ANUALIDADES ORDINARIAS MARCO TEORICO: 1. ANUALIDAD

www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
ANUALIDADES ORDINARIAS
MARCO TEORICO:
1. ANUALIDAD.
Una anualidad es una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, cada uno de
esos intervalos puede ser un mes, un semestre, un número de años etc y todos los pagos
son afectados por la misma tasa de interés.
1.1 ANUALIDADES ORDIANRIAS O SIMPLES.
Una Anualidad Simple son pagos uniformes en donde la tasa de interés es de la misma
periodicidad a la del tiempo, es decir, si los pagos son semestrales la tasa de interés debe
ser Efectiva Semestral, no es necesario convertir las tasas para calcularlas.
“Una anualidad Uniforme es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:
1. Todos los pagos son de igual valor.
2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
3. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.
4. El número de pagos es igual al número de periodos.”1
1. Tomado de INGENIERIA ECONOMICA, Guillermo Baca Currea.
1.1.1. ANUALIDAD VENCIDA:
Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de cada periodo, por ejemplo el
pago de salarios a los empleados, ya que primero se realiza el trabajo y luego se
realiza el pago. Se representa así:
Gráfica de una anualidad vencida.
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
El
el
valor presente de la anualidad vencida en
0
1
2
n-1
n
un
punto de partida (en este caso es cero) de
periodo (n), es indicado por:
Y se lee ‘’a ángulo n a i’’, siendo i la tasa efectiva interés del periodo, la n es el numero de
periodos de la anualidad, y a simboliza que es una anualidad simple y vencida.
En Dónde ésta última, es la fórmula general para el valor presente de las anualidades
simples vencidas, de una serie de pagos de 1.
En forma general para rentas de cualquier valor tenemos:
En dónde:
R: Valor de la cuota o renta.
a: Indica que es el valor presente de una anualidad uniforme.
n: Indica el numero de periodos.
i: Tasa de Iterés.
De la misma manera, el valor acumulado o valor futuro de esta anualidad esta
representado por:
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
Para una serie de pagos de 1. En donde S indica que es el valor futuro de una anualidad
uniforme, y se lee ese ángulo n de i
Y en forma general:
En dónde:
R: Valor de la cuota o renta.
a: Indica que es el valor presente de una anualidad uniforme.
n: Indica el numero de periodos.
i: Tasa de Iterés.
Ejemplo 1.
Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años. Si este
documento se cancela con un solo pago de A) Al principio o B) al final. Determinar valor
presente y valor futuro suponiendo un interés del 32% CT.
SOLUCIÓN:
A:
n= 4 X 6= 24 trimestres,
R= $80.000
i= 32/4= 8% efectivo trimestral
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
Valor Presente de la Anualidad = 842.301.
R= 80.000
B:
S= 5.341.181
Valor Futuro de la Anualidad = 5.341.181
Ejemplo 2.
• Calcular el valor futuro y el valor presente de la siguiente anualidad ordinaria.
$2.000 semestrales durante 8 ½ años al 6%, capitalizable semestralmente.
SOLUCIÓN:
Se convierte la tasa NS a ES,
6%/6
i = 1% ES
Valor futuro
Vf
2.000 [(1 + 0, 04)17 -1]
=
=
47.395,07
0,04
Valor presente
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
Vp = 2.000 [1 – (1+ 0, 04)-17]
= 24.331,34
0,04
1.1.2. ANUALIDADES ANTICIPADAS:
Son aquellas en que los pagos se efectúan al principio del periodo.
Gráfica de una anualidad anticipada.
0
1
2
n-1
n
La formula de valor presente la podemos deducir del mismo modo de las anualidades
vencidas, inclusive si aplicamos la misma formula a un flujo de efectivo anticipado
obtendríamos la sumatoria de los valores presentes, un periodo antes del primer pago, es
decir en (-1), para corregirlo y dejarlo en el punto cero, multiplicamos toda la ecuación por
(1+i), para corregirlo y dejarlo en Cero.
• Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de
$3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible
mensualmente.
Solución: Se convierte la tasa NS a ES, i = 4% ES
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
3.000 [1 – (1+ 0,01)-180] (1+0.01) = 252.464,64
P=
0,01
ACTIVIDADES
Problemas de Anualidades Vencidas
Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias.
1. $2.000.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.
Valor Presente:
$24,331,337.72
Valor Futuro:
$47,395,024.80
2. $4.000.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.
3. $200.000 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.
Valor Presente.
$7,001,760.94
Valor Futuro.
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
$9,133,569.97
4. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones:
$20.000.000 de contado; $1.000.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6
meses y un último pago de $2.500.000 un mes después de pagada la última
mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.
5. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000.000
de cuota inicial; $1.600.000 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de
$2.500.000, si se carga el 12% con capitalización mensual?
$57,128,775.99
6. Una mina en explotación tiene una producción anual de $800’000.000 y se estima que se
agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero
es del 8%.
7. En el ejercicio 6 Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor
de $150´000.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas
representan el 25% de la producción.
8. En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500.000 en una cuenta que abona
el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus
consignaciones a $3.000.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18
años.
9. Una persona deposita $1´000.000 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6%
de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20
años.
$462,040,895.20
Problemas de Anualidades Anticipadas
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
10. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $40´000.000 de
contado; (b) $19.000.000 de contado y $5´000.000 semestrales, durante 2 ½ años (c)
$20.000.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $2´500.000, al finalizar
el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?
11. Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de
$3.00.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible
mensualmente.
$252,464,641.90
12. Haga la tabla de capitalización para un depósito de $500.000 al principio de cada mes,
durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?
13. ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para
proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo valor al final del quinto año
es de $20.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el
10% del costo?
$3,012,391.70
14. Sustituir una serie de pagos de $800.000 al final de cada año, por el equivalente en
pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.
15. Un empleado consigna $300.000 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que
paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000.000?
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
Formulas a utilizar:
VALOR PRESENTE EQUIVALENTE
DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
 1 − (1 + i) − n
VP = R 
i




VALOR PRESENTE EQUIVALENTE
DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
 1 − (1 + i ) − n
VP = R 
i


 (1 + i )

P: Valor presente en pesos.
R: Valor del pago.
n: Número de periodos.
i: Tasa de interés por periodo.
www.siresistemas.com/clases
VALOR FUTURO EQUIVALENTE
DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
 (1 + i ) n − 1
VF = R 
i




VALOR FUTURO EQUIVALENTE
DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
 (1 + i ) n − 1
VF = R 
i


 (1 + i )

F: Valor futuro o monto.
R: Valor del pago.
n: Número de periodos.
i: Tasa de interés por periodo.
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com
www.siresistemas.com/clases
Ing. Oscar Restrepo
BIBLIOGRAFÍA
ZIMA, PETR, BROWN ROBERT L. Matemáticas Financieras. Serie Shaum. Mc Graw Hill.
Segunda Edicion.
BACA, GUILLERMO. Ingeniería Económica. Fondo Educativo Panamericano. Octava
edición.
GARCIA, JAIME. Matemáticas Financieras. Pearson. Cuarta edición.
Kellison Stephen, The Theory Of Interest.
www.siresistemas.com/clases
www.fundacionsire.org
www.siresistemas.com