Modelo Granular del Movimiento Browniano

Modelo Granular del Movimiento Browniano
Departamento de Física, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile
Introducción. El Movimiento Browniano se refiere al movimiento aleatorio de pequeñas
partículas inmersas en un fluido. Este fenómeno fue invesitgado en forma sistemática por
Robert Brown en 1827, quien observó bajo un microscopio el movimiento de partículas
de polen sobre la superficie de agua, las cuales describían movimientos aleatorios, tanto
en amplitud como en dirección. Sus observaciones, y las de otros científicos, fueron
objeto de intensos debates, contraponiendo inicialmente una explicación biológica a una
física. Realizando experimentos con partículas de materiales inorganicos, fue el propio
Brown quien descartó que el movimiento se debia a que el polen estuviese “vivo”. Por
casi más de 70 años existieron diferentes explicaciones del fenómeno, entre ellas la idea
de que el movimiento se debía a choques con los átomos. Es importante notar que a
comienzos del siglo XX, la idea atómica de la naturaleza era aún muy controversial.
Fue Albert Einstein, en 1905, quien concluyó que si la Teoría Cinética de
Fluidos, desarrollada por Ludwig Boltzmann a fines del siglo XIX, era correcta, entonces
una partícula macroscópica (grande) inmersa en el fluido seguiría un movimiento
aleatorio similar al descrito por Brown. Einstein obtuvo también una primera estimación
del Número de Avogadro, el cual da un tamaño finito a los átomos, reafirmando su
existencia. Fue en 1909 que Jean Perrin condujo experimentos para verificar los modelos
matemáticos propuestos, y para determinar de forma más precisa el Número de
Avogadro. Sus trabajos terminaron con la disputa sobre la realidad atómica de la
naturaleza, valiendole el premio Nobel en 1926.
La explicación de Einstein se basa en la naturaleza atómica de los fluidos. Si los
componentes básicos de un fluido, ya sean átomos o moléculas, se mueven en forma
aleatoria como se supone en la teoría cinética, entonces una partícula inmersa en el fluido
sufrirá colisiones con éstos, en forma aleatoria tanto dirección como en intensidad. Es
entonces el bombardeo aleatorio de los átomos sobre la partícula intrusa lo que causa el
movimiento descrito inicialmente por Brown.
Es interesante notar que Einstein desarrolló su trabajo sin conocer los resultados
de Brown ni las formulaciones originales de la mecánica estadística, como él mismo lo
explica: “Sin conocer las investigaciones de Boltzmann y de Gibbs, que habían aparecido
anteriormente y que habían acabado realmente el tema, desarrollé la mecánica estadística
y, basandome en ella, también la teoría cinética-molecular de la termodinámica. Mi
mayor objetivo era encontrar los hechos que garantizarían tanto como sea posible la
existencia de átomos de un tamaño finito. En medio de esto descubrí que, según la teoría
átomica, un movimiento de partículas microscópicas suspendidas tendría que existir, sin
saber que las observaciones referentes al movimiento Browniano eran ya muy
conocidas.”
Con respecto a la controversia sobre la existencia de los átomos, Einstein
concluye: “El acuerdo de estas consideraciones con los experimentos, junto con la
determinación de Planck del tamaño molecular a partir de la ley de la radiación (para las
altas temperaturas), convenció a escépticos de la realidad de átomos, que eran
absolutamente numerosos en aquella época (Ostwald, Mach). La antipatía de estos
eruditos hacia teoría atómica se puede remontar indudablemente hacia su actitud
filosófica positivista. Éste es un ejemplo interesante del hecho de que incluso eruditos de
espíritu audaz pueden ser obstruidos en la interpretación de los hechos por prejucios
filosóficos.”
En conclusión, el trabajo de Einstein es de gran importancia en física pues mostró
por primera vez de manera visible y concreta que los átomos eran reales. Su trabajo
forma además la base de ciertas ramas modernas y de investigación muy activa de la
Física (física estadística) y la Matemática (teoría ergódica).
Modelo Granular. El experimento que se presenta en esta exposición es un modelo
granular del movimiento Browniano, lo que bien podria haber sido una visión o sueño de
Einstein sobre el problema. Se trata de una colección de partícluas pequeñas, en este
caso de acero, que conforman los “átomos” del fluido. A diferencia de los fluidos
comunes donde la pérdida de energía en las colisiones entre átomos es despreciable, estos
fluidos granulares pierden una fracción importante de energía en sus colisiones, ya sea
entre granos o con las paredes o la base del recipiente. Es por ello que debemos forzarlos
continuamente, lo que se logra mediante vibraciones de la base que los contiene. La
partícula intrusa, que es más grande y en este caso de plástico, es entonces bombardeada
por las mas pequeñas, en forma análoga a lo propuesto por Einstein.
La foto 1 muestra la posición inicial de la partícula intrusa, en el mar de partículas
pequeñas, en este caso nuestros “átomos”. La figura 1 presenta una trayectoria de la
partícula intrusa, sobre un tiempo de aproximadamente 120 segundos, donde la estrellas
roja y morada muestran las posiciones iniciales y finales de la partícula. Esto es
básicamente lo que observó Brown bajo su microscopio, salvo que él no pudo ver los
átomos! La figura 2 muestra las coordenadas X e Y de la partícula intrusa en función del
tiempo, lo que es otra manera de ver su comportamiento aleatorio. Finalmente, la figura 3
muestra una medida de que tan “cerca” está este comportamiento de ser del tipo
Browniano. En particular, se espera que el promedio temporal de la distancia recorrida
por la particula intrusa al cuadrado <L2> varie linealmente con el tiempo, lo que se
comprueba para esta trayectoria. La saturación de <L2> a tiempos largos se debe al
tamaño finito de la caja.
Foto 1
Figura 1
Figura 2
Figura 3