PAU Xuño 2010 Código: 25 FÍSICA

PAU
Código: 25
Xuño 2010
FÍSICA
Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado).
Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución ás cuestións; terán que ser respostas razoadas.
Pódese usar calculadora sempre que non sexa programable nin memorice texto.
O alumno elixirá unha das dúas opcións.
OPCIÓN A
C.1.- Dous satélites A e B de masas mA e mB (mA < mB), xiran arredor da Terra nunha órbita circular de radio
R. A) Os dous teñen a mesma enerxía mecánica. B) A ten menor enerxía potencial e menor enerxía cinética
que B. c) A ten maior enerxía potencial e menor enerxía cinética que B.
C.2.- Unha onda harmónica estacionaria caracterízase por: A) Ter frecuencia variable. B) Transportar enerxía. C) Formar nodos e ventres.
C.3.- A luz visible abarca un rango de frecuencias que van desde (aproximadamente) 4,3·10 14 Hz (vermello)
ate 7,5·1014 Hz (ultravioleta); cal das seguintes afirmacións é correcta: A) A luz vermella ten menor lonxitude de onda que a ultravioleta. B) A ultravioleta é a mais enerxética do espectro visible. C) Ambas aumentan a lonxitude de onda nun medio con maior índice de refracción co aire.
C.4.- Na práctica da lente converxente, debuxa a marcha dos raios si o obxecto se coloca: a) No foco. b) Entre o foco e o centro óptico da lente.
P.1.- A lonxitude de onda máxima capaz de producir efecto fotoeléctrico nun metal, é 4500 Å. Calcula: a) O
traballo de extracción. b) O potencial de freado si a luz incidente é de λ = 4000 Å. c) Habería efecto fotoeléctrico con luz de 5·1014 Hz? (Datos: qe = -1,6·10-19 C; h = 6,63·10-34 J·s ; 1 Å = 10-10 m; c = 3·108 ms-1)
P.2.- Tres cargas eléctricas de +1 μC, están nos puntos A(-1, 0), B(0, 2) e C(0, -2) (metros): calcula en
D(0, 0) e en F(2, 0); a) O campo eléctrico. b) O potencial eléctrico. c) Si en D(0, 0) se coloca unha terceira
carga q´ de +1 μC e de 10 g de masas, sometida solo a acción electrostática das outras tres, calcula a velocidade coa que chega ao punto F(2, 0) (K = 9·109 N·m2·C-2; 1 μC = 10-6 C)
OPCIÓN B
C.1.- Segundo a lei de Faraday-Lenz, un campo magnético B induce forza electromotriz nunha espira plana:
A) Si un B constante atravesa ó plano da espira en repouso. B) Si un B variable é paralelo ao plano da espira.
C) Si un B variable atravesa o plano da espira en repouso.
C.2.- Si con un instrumento óptico se forma unha imaxe virtual, dereita e de maior tamaño que o obxecto,
trátase de: A) Unha lente diverxente. B) Un espello convexo. C) Unha lente converxente.
1
141
92
1
C.3.- Cál das seguintes reaccións nucleares é correcta?: A) 235
92U 0 n  56 Ba  36Kr 3 0 n
2
3
4
1
10
1
7
2
B) 1 H 1 H  2 He 2 0 n
C) 5 B0 n  3 Li1 H
C.4.- Describe brevemente o procedemento empregado no laboratorio para medir a constante elástica dun resorte polo método estático.
P.1.- As relacións entre as masas e os raios da Terra e a Lúa son: MT/ML= 79,63 e RT/RL = 3,66: a) Calcula a
gravidade na superficie da Lúa. b) Calcula a velocidade dun satélite xirando arredor da Lúa nunha órbita circular de 2 300 km de raio. c) Onde é maior o período dun péndulo de lonxitude l, na Terra ou na Lúa? (Datos: g0 = 9,80 ms-2; RL = 1700 km).
P.2.- A ecuación dunha onda é y(t, x) = 0,2 sen π (100 t – 0,1 x). Calcula: a) A frecuencia, o número de ondas k, a velocidade de propagación e a lonxitude de onda. b) Para un tempo fixo t, que puntos da onda están
en fase co punto que se atopa en x = 10 m? c) Para unha posición fixa x, para que tempos o estado de vibración dese punto está en fase coa vibración para t = 1 s?
Solucións
OPCIÓN A
C.1.- Dous satélites A e B de masas mA e mB (mA < mB), xiran arredor da Terra nunha órbita circular de
radio R:
A) Os dous teñen a mesma enerxía mecánica.
B) A ten menor enerxía potencial e menor enerxía cinética que B.
C) A ten maior enerxía potencial e menor enerxía cinética que B.
Solución: C
A enerxía mecánica é a suma das enerxías cinética e potencial.
E = Ec + Ep
A enerxía cinética dun satélite de masa m que xira arredor da Terra con velocidade v
Ec = ½ m v2
é directamente proporcional á masa. Como mA < mB,
Ec A < Ec B
A enerxía potencial gravitatoria para un satélite de masa m que xira arredor da Terra nunha órbita de radio R
E p =−G
M Tm
R
tamén é directamente proporcional á masa, pero como é negativa, canto maior sexa a masa, menor será a
enerxía potencial.
Ep A > Ep B
C.2.- Unha onda harmónica estacionaria caracterízase por:
A) Ter frecuencia variable.
B) Transportar enerxía.
C) Formar nodos e ventres.
Solución: C
Unha onda estacionaria é xerada por interferencia de dúas ondas de iguais características pero con distinto
sentido de desprazamento. Nela existen puntos que non vibran e que se chaman nodos. Un exemplo sería a
onda estacionaria ancorada á corda dun instrumento musical como unha guitarra ou violín. Os extremos da
corda están fixos (son os nodos) e a amplitude da vibración é máxima no punto central. Nesta onda a lonxitude da corda sería a metade da lonxitude de onda o a situación correspondería ao modo fundamental de vibración.
C.3.- A luz visible abarca un rango de frecuencias que van desde (aproximadamente) 4,3 ×1014 Hz (vermello) ate 7,5×1014 Hz (ultravioleta). Cal das seguintes afirmacións é correcta?
A) A luz vermella ten menor lonxitude de onda que a ultravioleta.
B) A ultravioleta é a mais enerxética do espectro visible.
C) Ambas aumentan a lonxitude de onda nun medio con maior índice de refracción co aire.
Solución: B
Fago notar que, estritamente, a luz ultravioleta non é visible, pero limita coa violeta, que si o é, nesa frecuencia.
Na teoría clásica, a enerxía dunha onda é directamente proporcional ao cadrado da amplitude e da frecuencia. Como a frecuencia da luz ultravioleta é maior ca da luz vermella, terá maior enerxía.
(Na teoría cuántica, a luz pódese considerar como un feixe de partículas chamadas fotóns. A enerxía E que
leva un fotón de frecuencia f é:
E=h·f
na que h chámase constante de Planck e ten un valor moi pequeno: h = 6,63×10-34 J·s
Nese caso, canto maior sexa a frecuencia, maior será a enerxía do fotón)
As outras opcións:
A. A lonxitude de onda «λ» está relacionada coa velocidade de propagación «v» e a frecuencia «f» por:
v=λ·f
Nun medio homoxéneo, a lonxitude de onda e a frecuencia son inversamente proporcionais. Como
fu = 7,5×1014 > 4,3×1014 = fv ⇒ λu < λv
C. O índice de refracción dun medio co respecto ao baleiro «nm» é o cociente entre a velocidade da luz no
baleiro «c» e a velocidade da luz no medio «vm».
nm = c / vm
Se o índice de refracción do medio e maior que o de o aire, a velocidade da luz nese medio ten que ser menor, por ser inversamente proporcionais.
nm > na ⇒ vm < va
Como a frecuencia da luz é característica (non varía ao cambiar de medio) e está relacionada coa velocidade
de propagación da luz no medio por:
vm = λ m · f
Como son directamente proporcionais, ao ser menor a velocidade, tamén ten que ser menor a lonxitude de
onda.
C.4.- Na práctica da lente converxente, debuxa a marcha dos raios si o obxecto se coloca:
a) No foco.
b) Entre o foco e o centro óptico da lente.
Solución:
a) Neste caso non se forma imaxe, porque
os raios saen paralelos despois de atravesar
a lente.
b) A imaxe é virtual, dereita e maior, e situada entre -∞ e o foco.
O
F
F'
Hai que facer constar que nada disto se
pode facer na práctica. Cando o obxecto se
pon no foco, a imaxe non se forma (fórmase no infinito), e cando se pon entre o foco
e a lente, a imaxe é virtual, e non se pode
I
O
F
F'
recoller nunha pantalla para facer medidas.
Pero se o facemos no laboratorio, en ámbolos dous casos unha imaxe parece que se
forma na pantalla só que non é unha imaxe definida. Como non podemos obter unha imaxe definida, puidera
ser que tomemos as imaxes que se forman na pantalla como imaxes reais.
P.1.- A lonxitude de onda máxima capaz de producir efecto fotoeléctrico nun metal, é 4 500 Å:
a) Calcula o traballo de extracción.
b) Calcula o potencial de freado si a luz incidente é de λ = 4 000 Å.
c) Habería efecto fotoeléctrico con luz de 5×1014 Hz.?
Datos: qe = -1,6×10-19 C; h = 6,63×10-34 J·s ; 1 Å = 10-10 m; c = 3×108 m·s-1
Rta.: a) W0 = 4,4×10-19 J ; b) V = 0,34 V
Datos
Lonxitude de onda limiar
Lonxitude de onda
Frecuencia da radiación
Constante de Planck
Velocidade da luz no baleiro
Carga do electrón
Incógnitas
Traballo de extracción
Potencial de freado
Outros símbolos
Enerxía cinética máxima dos electróns emitidos
Ecuacións
De Planck (enerxía do fotón)
De Einstein do efecto fotoeléctrico
Relación entre a frecuencia e a lonxitude de onda dunha onda
Relación entre potencial de freado e enerxía cinética
Cifras significativas: 3
λ0 = 4 500 Å = 4,50×10-7 m
λ = 4 000 Å = 4,00×10-7 m
f = 5×1014 Hz
h = 6,63×10-34 J·s
c = 3,00×108 m/s
qe = -1,60×10-19 C
We
V
Ec
Ef = h · f
Ef = We + Ec
f=c/λ
Ec = qe·V
Solución:
a) A radiación que teña a frecuencia limiar, terá a enerxía xusta para arrincar o electrón, pero non sobrará
nada para comunicarlle enerxía cinética.
h · f0 = We + 0
O traballo de extracción valerá:
W e =h · f 0 =
h · c 6,63×10−34 [ J·s ]·3,00×108 J
=
=4,42×10−19 J
λ0
4,50×10−7 m
b) Pola ecuación de Einstein do efecto fotoeléctrico
Ef = We + Ec
a enerxía cinética máxima dos electróns emitidos será
E c=E f – W e =h·f −W e =
h·c
6,63×10−34 [J·s]·3,00×108 [ m·s−1 ]
– W e=
−4,42×10−19 [J ]=5,53×10−20 J
λ
4,00×10−7 [ m ]
Despexando o potencial de freado da expresión da enerxía cinética
E
5,53×10−20 [ J]
V= c=
=0,35 V
e 1,60×10−19 [ C]
c) A enerxía dunha radiación de f = 5×1014 Hz, é
E = h · f = 6,63×10-34 [J·s] · 5×1014 [s-1] = 3,32×10-19 J
menor que o traballo de extracción, polo que non se producirá efecto fotoeléctrico.
P.2.- Tres cargas eléctricas de +1 C, están nos puntos A(-1, 0), B(0, 2) y C(0, -2) (metros). Calcula en
D(0, 0) e en F(2, 0):
a) O campo eléctrico.
b) O potencial eléctrico.
c) Si en D(0, 0) se coloca unha terceira carga q´ de +1 μC e de 10 g de masas, sometida solo a acción
electrostática das outras tres, calcula a velocidade coa que chega ao punto F(2, 0).
K = 9·109 N·m2·C-2; 1 μC = 10-6 C
Rta.: a) ED= 9,0×103 (N/C) i; EF= 2,6×103 i (N/C); b) VD = 18·103 V; VF = 9,4.103 V; c) v = 1,31m/s
Datos
Valor da carga situada no punto A: (-1,00, 0) m
Valor da carga situada no punto B: (0, 2,00) m.
Cifras significativas: 3
QA = 1,00 µC = 1,00×10-6 C
QB = 1,00 µC = 1,00×10-6 C
Datos
Cifras significativas: 3
Valor da carga situada no punto C: (0, -2,00) m
QC = 1,00 µC = 1,00×10-6 C
Masa da partícula que se despraza
m = 10,0 g = 1,00×10-2 kg
Carga da partícula que se despraza
q = 1,00 µC = 1,00×10-6 C
Velocidade inicial no punto D
vD = 0
Punto do que sae
D (0, 0) m
Punto ao que chega
F (2,00, 0) m
Constante eléctrica
K = 9,00×109 N m2 C-2
Incógnitas
Intensidades do campo electrostático nos puntos D(0, 0) e F(2, 0)
ED, EF
Potenciais electrostáticos nos puntos D e F
VD , VF
Velocidade que terá ó pasar polo punto F
vF
Outros símbolos
Distancia entre dous puntos A e B
rAB
Ecuacións
Q
Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga pun- ⃗
E =K 2 ⃗
ur
tual Q situada a unha distancia r
r
⃗
⃗ Ai
E A =∑ E
Principio de superposición
Q
Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a
V=K
unha distancia r
r
Potencial electrostático de varias cargas
V = ∑ Vi
Enerxía potencial electrostática dunha carga q nun punto A
EPA = q VA
Solución:
a) Faise un debuxo das cargas e cada un dos vectores intensidade de
campo electrostático e da suma vectorial que é o vector ED intensidade
de campo resultante.
A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga en A é:
1,00×10−6 [C] ⃗
⃗
E A→ D =9,00×10 [ N·m · C ]·
i =9,00 ×103 ⃗i N/ C
(1,00 [ m])2
9
2
B
EC→D
A D
−2
A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga en B é:
EB→D
EA→D
ED
C
1,00×10−6 [C] ⃗
⃗
E B→ D =9,00×109 [ N·m 2 · C−2 ]·
i =2,25×103 ⃗i N /C
2
(2,00 [m ])
Por simetría,
EC→D = 2,25×103 j N/C
Aplicando o principio de superposición,
ED = EA→D + EB→D + EC→D = 9,00×103 i N/C
Análise: Vese que o vector intensidade de campo resultante do cálculo é horizontal cara á a dereita, coherente co debuxo que fixemos previamente.
A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga en A é:
B
EC→F
Para calcular os campos debidos ás cargas en B e en C, faise antes o cálculo
de distancias:
A
F
r CF=r BF = √(2,00 [m ]) +(2,00 [ m ]) =2,83 m
2
O vector unitario do punto F, uBF respecto de B é:
2
C
ª
1,00×10−6 [C] ⃗
⃗
E A→ F=9,00×109 [ N·m2 · C− 2 ]·
i =1,00×103 ⃗i N /C
(3,00 [m ])2
E
EA→F F
EB→F
u BF=
⃗
⃗r BF (2,00 ⃗i −2,00 ⃗j) [m ]
=
=0,707 ⃗i −0,707 ⃗j
2,83 [ m ]
| ⃗r BF|
A intensidade de campo electrostático no punto F debida á carga en B é:
−6
⃗E B→ F=9,00×109 [ N·m 2 ·C−2 ] · 1,00×10 [ C] (0,707 ⃗i −0,707 ⃗j )=(795 ⃗i – 795 ⃗j) N/ C
(2,83 [ m])2
Por simetría,
EC→F = (795 i + 795 j) N/C
Aplicando o principio de superposición,
EF = EA→F + EB→F + EC→F = 2,59×103 i N/C
Análise: Vese que o vector intensidade de campo resultante do cálculo é horizontal cara á a dereita, coherente co debuxo que fixemos previamente.
b) Os potenciais no punto D debidos a cada carga valen:
V C → D=V B→ D =9,00×109 [ N·m 2 · C−2 ]
V A →D =9,00×10 9 [ N·m2 · C− 2 ]
1,00×10−6 [ C]
=4,50×103 V
(2,00 [ m ])
1,00×10−6 [C]
=9,00×103 V
(1,00 [ m ])
O potencial electrostático no punto D é:
VD = VA→D + VB→D + VC→D = 9,00×103 [V] + 2 · 4,50×103 [V] = 1,800×104 V
Os potenciais no punto F debidos a cada carga valen:
V C  F=V B F=9,00×109 [ N · m 2 ·C−2 ]
V A F=9,00×109 [ N· m 2 · C− 2 ]
1,00×10−6 [ C]
=3,18×103 V
2,83[ m ]
1,00×10−6 [C]
=3,00×103 V
3,00[ m]
O potencial electrostático no punto D é:
VF = VA→F + VB→F + VC→F = 3,00×103 [V] + 2 · 3,18×103 [V] = 9,36×103 V
c) Como a forza electrostática é unha forza conservativa a enerxía mecánica consérvase.
(Ec + Ep)C = (Ec + Ep)D
½ m vF2 + q · VF = ½ m vD2 + q · VD
O potencial no punto D vale:
(1,00×10-2 [kg] / 2) · vF2 + 1,00×10–6 [C] · 9,36×103 [V] = 1,00×10–6 [C] · 1,800×104 [V]
vF = 1,31 m/s
Como a velocidade é un vector, temos que deducir a dirección e sentido.
Pola dirección e sentido do vector intensidade de campo nos puntos D e F, pódese deducir que a aceleración
ten a dirección do eixo X e sentido positivo. Se un móbil parte do repouso, e a aceleración ten dirección
constante, o movemento será rectilíneo na liña da aceleración. Polo tanto a dirección da velocidade é a do
eixo X e o sentido positivo
vF = 1,31 i m/s
OPCIÓN B
C.1.- Segundo a lei de Faraday-Lenz, un campo magnético B induce forza electromotriz nunha espira
plana:
A) Si un B constante atravesa ó plano da espira en repouso.
B) Si un B variable é paralelo ao plano da espira.
C) Si un B variable atravesa o plano da espira en repouso.
Solución: C
A lei de Faraday – Lenz di que se inducirá unha corrente que se opoña á variación de fluxo a través da espira. A f.e.m. desa corrente será igual á variación de fluxo magnético respecto ao tempo.
ε=
−d Φ
dt
O fluxo magnético é o produto escalar do vector B campo magnético polo vector S perpendicular á superficie delimitada pola espira.
Φ = B · S = B S cos φ
Se un campo magnético B variable atravesa o plano da espira en repouso, o ángulo φ ≠ 90, polo que cos φ ≠
0. Se B é variable, a súa derivada non é nula e existirá unha f.e.m.
ε =−
dΦ
d (B S cos ϕ )
dB
=−
=−S sen ϕ
≠0
dt
dt
dt
As outras opcións:
A. Se o campo é constante e a espira está en repouso, todo é constante e a derivada é nula: non hai f.e.m.
B. Se o campo é variable pero é paralelo ao plano da espira, o ángulo entre o campo B e o vector superficie
(perpendicular á espira) é de 90º e o cos 90º = 0
C.2.- Si con un instrumento óptico se forma unha imaxe virtual, dereita e de maior tamaño que o obxecto, trátase de:
A) Unha lente diverxente.
B) Un espello convexo.
C) Unha lente converxente.
Solución: C
O diagrama mostra a formación da imaxe cando o obxecto atópase
dentro da distancia focal.
As outras opcións:
A e B. Falsa. As lentes diverxentes e os espellos convexos sempre
producen imaxes virtuais, dereitas pero de menor tamaño que o obxecto.
F'
I
F O
C.3.- Cal das seguintes reaccións nucleares é correcta?
1
141
92
1
A) 235
92U  0n  56Ba  36Kr 3 0n
B) 21 H 31H  42He 2 10n
C) 105 B  10n  73 Li 21H
Solución: A
Polos principios de conservación do número bariónico (nº de nucleóns = nº de protóns + nº de neutróns) e da
carga, a única solución posible é a A, xa que o número bariónico total antes e despois é:
235 + 1 = 141 + 92 + 3·1 = 236
Reacción
nº bariónico
carga
1
141
92
1
A: 235
92 U  0 n  56 Ba  36Kr 3 0 n
235 + 1 = 141 + 92 + 3·1 = 236
92 + 0 = 56 + 36 + 3 · 0
B: 21 H 31 H  42 He 2 10 n
2+3≠4+2·1
1 + 1 = 2 + 2·0
C: 105 B10 n  73 Li 21 H
10 + 1 ≠ 7 + 2
5+0≠3+1
C.4.- Describe brevemente o procedemento empregado no laboratorio para medir a constante elástica dun resorte polo método estático.
Solución:
O método estático, baséase na lei de Hooke:
F=-k·x
Cólganse pesas dunha balanza de masa coñecida dun resorte e mídense os alongamentos producidos. A
constante determínase:
– numericamente da media dos cocientes m g / ∆L,
– graficamente representando os alongamentos producidos fronte as masas colgadas. O valor da constante obtense da pendente da recta da gráfica pola relación.
pendente= p e=
 L g L
L g
=
=g
=
m mg
F k
P.1. As relacións entre as masas e os raios da Terra e a Lúa son: MT / ML = 79,63 e RT / RL = 3,66.
a) Calcula a gravidade na superficie da Lúa.
b) Calcula a velocidade dun satélite xirando arredor da Lúa nunha órbita circular de 2 300 km de raio.
c) Onde é maior o período dun péndulo de lonxitude l, na Terra ou na Lúa?
Datos: g0 = 9,80 m·s-2; RL = 1700 km).
Rta.: a) gL = 1,65 N/kg; b) v = 1,44 km/s
Datos
Relacións entre as masas da Terra e da Lúa
Relacións entre os raios da Terra e da Lúa
Aceleración da gravidade na superficie da Terra
Radio da órbita do satélite arredor da Lúa
Radio da Lúa
Incógnitas
Gravidade na superficie da Lúa
Velocidade do satélite arredor da Lúa
Outros símbolos
Constante da gravitación universal
Ecuacións
Lei de Newton da gravitación universal
(aplicada á forza que exerce a Lúa esférica sobre o satélite puntual)
Cifras significativas: 3
MT / ML = 79,63
RT / RL = 3,66
g0 = 9,80 m/s2
r = 2 300 km
RL = 1 700 km
gL
v
G
F G =G
2
Aceleración normal (nun movemento circular de radio r)
2ª lei de Newton da Dinámica
Velocidade nun movemento circular uniforme de radio r (M.C.U.)
M Lm
r2
v
r
∑F = m · a
2πr
v=
T
a N=
Solución:
a) O peso dun obxecto cerca da superficie da Terra é a forza coa que a Terra o atrae:
m g T =G
M Tm
R 2T
Analogamente, o peso dun obxecto cerca da superficie da Lúa é a forza coa que a Lúa o atrae:
m g L =G
MLm
R 2L
Dividindo a primeira ecuación entre a segunda, queda:
m gT
=
m gL
G
G
M Tm
R2T
M Lm
2
RL
g T M T / M L 79,63
=
=
=5,94
g L RT / R L 2 3,662
Despexando
gL = 1,65 m/s2
Análise: O resultado é razoable, xa que sabemos que a gravidade na superficie da Lúa é unhas 6 veces menor que na superficie da Terra.
b) Como a única forza sobre o satélite a ter en conta é a forza gravitatoria que exerce a Lúa,
∑F = FG
m · a = FG
O satélite describe unha traxectoria aproximadamente circular con velocidade de valor constante, polo que a
aceleración só ten compoñente normal aN,
m
M m
v2
=G 2T
r órb
rórb
v=
√
GML
r
Como non se teñen os datos da constante da gravitación universal nin da masa da Lúa, haberá que ter en
conta que na superficie da Lúa, o peso dun corpo mg0 é igual á forza gravitatoria
m g L =G
MLm
R 2L
G ML = gL RL2
Por tanto, substituíndo G ML por gL RL2, na expresión da velocidade, v e substituíndo os datos,
√
√ √
2
GML
g R
1,65 [ m /s2 ]·(1,700×106 [ m ])2
v=
= L L=
=1,44×103 m /s=1,44 km/ s
r
r
2,3×106 [ m]
c) O período T dun péndulo de lonxitude L nun lugar onde a gravidade sexa g vén dado pola ecuación:
T =2

Dividindo as expresións correspondentes á Terra e a Lúa
L
g
TT
=
TL
2
2
  

L
gT
L
gL
=
gL
1
=
=0,4101
gT
5,94
pódese ver que o período do péndulo na Terra e menor que na Lúa.
Análise: O resultado é razoable, xa que sabemos que a gravidade na superficie da Lúa é menor que na superficie da Terra, e canto máis pequena, máis lentamente se move o péndulo e maior é o seu período.
P.2. A ecuación dunha onda é y(t, x) = 0,2 sen π (100 t – 0,1 x). Calcula:
a) A frecuencia, o número de ondas k, a velocidade de propagación e a lonxitude de onda.
b) Para un tempo fixo t, que puntos da onda están en fase co punto que se atopa en x = 10 m?
c) Para unha posición fixa x, para que tempos o estado de vibración dese punto está en fase coa vibración para t = 1 s?
Rta.: a) f = 50 Hz; k = 0,31 rad/m; v = 1,0×103 m/s; λ = 20 m; b) x = 10 + 20 n; c) t = 1,0 + 0,020 n
Datos
Ecuación da onda
Posición do punto
Tempo de referencia
Incógnitas
Frecuencia
Número de ondas
Velocidade de propagación
Lonxitude de onda
Puntos da onda que están en fase co punto que se atopa en x = 10 m
Tempos nos que o estado de vibración está en fase coa vibración para
t=1s
Outros símbolos
Pulsación (frecuencia angular)
Número de onda
Ecuacións
Dunha onda harmónica unidimensional
Relación entre a frecuencia f e a frecuencia angular ω
Relación entre a lonxitude de onda λ e o número de onda k
Relación entre a lonxitude de onda λ, a frecuencia f e a velocidade de
propagación vp
Cifras significativas: 2
y(t, x) = 0,20 · sen π(100 t – 0,10 x) m
x = 10 m
t = 1,0 s
f
k
vp
λ
x
t
ω
k
y = A · sen(ω · t – k · x)
ω=2π·f
k=2π/λ
vp = λ · f
Solución:
a) Comparando a ecuación dunha onda coa do dato, e supondo que as unidades son as do S.I.:
y = A · sen(ω · t – k · x)
y = 0,20 · sen π(100 t – 0,10 x)
Pulsación (frecuencia angular): ω = 100 π rad/s = 314 rad/s
Número de onda:
k = 0,10 π rad/m = 0,314 rad/m
Calcúlase agora a lonxitude de onda e a frecuencia para determinar a velocidade de propagación.
Frecuencia:
f = ω / 2 π = 100 π [rad/s]/ 2 π [rad] = 50 s-1 = 50 Hz
Lonxitude de onda:
λ = 2 π / k = 2 π [rad] / 0,10 π [rad/m] = 20 m
Velocidade de propagación:
vp = λ · f = 20 [m] · 50 [s-1] = 1,0×103 m/s
b) Dous puntos atópanse en fase cando a diferenza de fase é múltiplo de 2π:
Δφ = 2π n (siendo n = 0, 1, 2...)
∆φ = [π (100 t – 0,10 x2)] – [π (100 t – 0,10 x1)] = 0,10 π (x1 – x2) = 2 π n
x1 = 20 n + x2 = 10 + 20 n [m]
Análise: Os puntos que están en fase atópanse a unha distancia que é múltiplo da lonxitude de onda, Δx =
20 n [m]
c)
∆φ = [π (100 t2 – 0,10 x)] – [π (100 t1 – 0,10 x)] = 100 π (t2 – t1) = 2 π n
t2 = 0,020 n + t1 = 1,0 + 0,020 n [s]
Análise: Os instantes en que están en fase son múltiplos do período que é o inverso da frecuencia, Δt = 1 / f
= 0,020 n [s]
Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia.
Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán, alfbar@bigfoot.com
Algunhas ecuacións construíronse coas macros da extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou.
A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López.
Algúns cálculos fixéronse cunha folla de cálculo OpenOffice (ou LibreOffice) feita por Alfonso J. Barbadillo Marán.