INTRODUCCION AL FLUJO TURBULENTO

1
INTRODUCCION AL FLUJO TURBULENTO
Preparado por
Ing. Esteban L. Ibarrola
Mecánica de los Fluidos UNCor
1. Características físicas de los flujos turbulentos.
Antes de definir en una forma precisa el significado de la turbulencia, resulta mas provechoso para comprender su
naturaleza analizar de qué formas se manifiesta y las características esenciales de esas formas. Las soluciones
clásicas de las ecuaciones de Navier-Stokes, corresponden a los flujos laminares, caracterizados por ser flujos
perfectamente ordenados y regulares. Pero los flujos que se presentan en situaciones de la vida real no
responden a esas soluciones porque manifiestan un comportamiento completamente diferente. Las
manifestaciones típicas de la turbulencia se pueden resumir en tres efectos principales:

Inestacionariedad de pequeña escala

Un permanente y continuo proceso de mezcla.

Un dominante efecto de la inercia del fluido
Inestacionariedad
Aun cuando se encuentre confinado y limitado por contornos estacionarios el flujo turbulento presenta una
progresiva sucesión de inestabilidades que causan e inducen fluctuaciones en las componentes de la velocidad
que hacen que el movimiento se torne inestacionario. Este tipo de manifestaciones pueden ser observados en
experimentos como la conocida experiencia de Reynolds, en chorros fluidos y capas límites.
Procesos de mezcla.
La turbulencia introduce componentes de velocidad transversales el movimiento principal que generan procesos
de mezcla que aumentan notablemente el intercambio de masa, calor y cantidad de movimiento en la masa fluida.
Efecto dominante de la inercia del fluido.
La densidad del fluido tiene un papel mucho mas preponderante que el coeficiente de viscosidad molecular en el
establecimiento de las tensiones tangenciales efectivas. Una remarcable característica de la turbulencia es que la
disipación friccional es mucho menos dependiente de la viscosidad que de la densidad del fluido. Esto se debe a
que la transferencia de energía mecánica desde la componente estacionaria del flujo a la energía cinética de la
turbulencia es provocada por efectos inerciales.
Ciertos aspectos de los flujos turbulentos y su contraste con los laminares pueden observarse mediante la
realización de experimentos en un conducto con flujo totalmente desarrollado .Algunas características relevantes
que pueden apreciarse de las observaciones son las siguientes:



Mientras un instrumento estándar para medir la velocidad como una sonda Pitot-estática revela una
distribución de velocidades en cada punto que parece no cambiar, la utilización de un instrumento de
respuesta rápida como un anemómetro de hilo caliente ( de muy pequeño diámetro y consecuentemente baja
inercia térmica), mostrará que la velocidad en un punto variará en el tiempo, indicativo que la velocidad local
en realidad es inestacionaria
Los flujos laminares tienen una distribución de velocidades típicamente parabólica, mientras que los perfiles de
velocidad medios en un flujo turbulento presentan un núcleo central más aplanado, debido a un rápido
intercambio de cantidad de movimiento de las partículas, con un gradiente de velocidades sobre la pared
mayor que provoca mayores tensiones tangenciales sobre la misma.
Mientras que en los flujos laminares las tensiones tangenciales son producidas exclusivamente por la
viscosidad molecular y ésta domina sobre los efectos de inercia, en los flujos turbulentos la viscosidad
molecular tiene una muy débil influencia, y las tensiones tangenciales (de naturaleza diferente a la molecular)
son gobernadas casi exclusivamente por los efectos inerciales, asociadas a esa inestacionariedad de pequeña
escala presente en los flujos turbulentos.
2

Un alto grado de desorden en el flujo y movimientos inestacionarios e irregulares superpuestos a un flujo
regular y ordenado que produce intercambio y mezcla de masa, cantidad de movimiento y energía entre las
capas fluidas.
Fig.Nº1- Distribución de velocidades en flujos laminar y turbulento
El conjunto de fenómenos antes descriptos es lo que caracteriza a lo que genéricamente llamamos turbulencia,
pudiendo resumirse los siguientes contrastes o diferencias entre un flujo laminar un turbulento:
FLUJO LAMINAR
FLUJO TURBULENTO
El movimiento es ordenado y en conjunto es Es estacionario en conjunto en valores medios, pero
realmente estacionario.
contiene inestacionariedades de pequeña escala
Las fuerzas viscosas de origen molecular Las fuerzas viscosas son relativamente importantes
son predominantes.
Las fuerzas de inercia son irrelevantes
Las fuerzas de inercia son dominantes
Los primeros análisis teóricos detallados fueron encarados por O. Reynolds Con relación a su trabajo dos
aspectos pueden ser analizados. Por un lado se puede demostrar, considerando las ecuaciones diferenciales de la
Mecánica de los Fluidos que las oscilaciones espaciales y temporales presentes en las componentes de la
velocidad afectan al movimiento promedio, y se manifiestan como una resistencia a la deformación del fluido de un
3
modo similar a la resistencia que produce la fricción molecular interna a través de la viscosidad  en los flujos
laminares. La segunda consideración teórica tiene que ver con las condiciones bajo las cuales una perturbación
del movimiento como los que ocurren en los flujos turbulentos puede incrementarse o amortiguarse en el tiempo.
Se abordará solamente el análisis del primer aspecto, considerando que el movimiento es estacionario con
fluctuaciones que tienen valores temporales medios.
De acuerdo a la evidencia experimental los movimientos sujetos a fluctuaciones en el espacio y el tiempo pueden
ser tratados considerándolos como integrado por un valor medio constante en el tiempo y de oscilaciones positivas
y negativas alrededor de ese valor medio.
Los diferentes autores que estudiaron el problema difieren en la elección de ese valor medio .Algunos consideran
un media espacial de valores promediados en un espacio definido de moderada extensión, en tanto que otros
toman los valores promediados en un simple punto del espacio durante un tiempo suficientemente largo, y algunos
hacen uso de un concepto combinado. El presente análisis, debido a Prandtl, considera a las componentes de la
velocidad, presión etc en un punto del espacio como compuestas de un valor medio temporal constante tomado
como promedio durante un período de tiempo suficientemente largo, y de fluctuaciones en el tiempo superpuestas
a ese valor medio. Un movimiento de estas características se representa en la figura Nº 2.
Si por ejemplo la componente de la velocidad según la dirección "x" se designa con u (t ) , su valor medio
u entre
el instante t 0 y el tiempo T se obtiene, aplicando el Teorema del Valor Medio:
1
u
T
t 0 T
 u(t )dt
(1)
t0
el tiempo T debe tomarse lo suficientemente grande para que u se independiente tanto de T como de t 0 .
Movimientos con estas características existen en el mundo real , y se denominan movimientos turbulentos con
valor medio estacionario.
4
2. Reglas de cálculo para valores medios temporales de magnitudes físicas
El tratamiento de ecuaciones con magnitudes físicas utilizando sus medias temporales implica el uso de ciertas
reglas de cálculo elementales que determinan la validez de algunas operaciones aritméticas básicas que se
presentan en las mismas. Las mas frecuentes son:

El valor medio de las fluctuaciones en el tiempo
u(t ) es nulo:
Siendo.
u (t )  u (t )  u
(2)
El valor medio de u (t ) es:
t 0 T
1
u 
T
 u (t )dt
(3)
t0
llevando la (2) a la (3) y haciendo por comodidad:
T
T
T
1
1
1
u    (u (t )  u )dt   u (t )dt   udt
T0
T0
T0
(4)
Las integrales de la (4) resultan:
1T
u (t )dt  u
T 0
T
(5)
T
1
1
T
udt  u.  dt  u  u

T 0
T0
T
(6)
de donde se concluye que el valor medio de las fluctuaciones de una magnitud es siempre nulo:
u (t )  0
(7)
Si A y B son dos magnitudes de un flujo turbulento y n es una coordenada espacial cualquiera se verifican
las siguientes reglas para las operaciones elementales con valores medios temporales :

Suma o diferencia de valores medios:
La suma de sus valores medios es igual al valor medio de la suma:
A  B  A  B.
(8)
5

Producto por una constante por un valor medio:
El producto de una constante por el valor medio de una magnitud es igual al valor medio del producto de la
constante por la magnitud:
const  A  const  A

(9)
Derivada del valor medio según una dirección:
La derivada según una dirección "n" del valor medio es igual al valor medio de la derivada:
A A

n n

(10)
Valores medio de un producto
Si los valores medios de dos magnitudes A y B son nulos el valor medio del producto es en general distinto de
cero:
1
A
T
T
 A(t )dt  0
0
T
1
B   B (t )dt  0
T 0
1
A.B 
T
T
 A(t ).B(t )dt  0
(11)
0
Para ilustrar la regla anterior , si se supone que las magnitudes A y B varían en el tiempo según una ley senoidal el
gráfico siguiente muestra que el valor medio del producto es distinto de cero:
6
3. Aplicación del Teorema de la Cantidad de Movimiento al flujo turbulento.
Antes de trabajar con las ecuaciones de Navier-Stokes como lo hizo Reynolds para establecer las ecuaciones que
manejan los flujos turbulentos, se puede arribar a conclusiones de un modo mas directo y obtener algunas
conclusiones referidas a la mecánica de este tipo de flujo utilizando el Teorema de la Cantidad de Movimiento.
Si las componentes de la velocidad según un sistema de referencia cartesiano xyz son u , v, w respectivamente,
y se está ante la presencia de un movimiento turbulento estacionario, ellas se pueden expresar como la suma de
un valor medio y sus correspondientes fluctuaciones en el tiempo del siguiente modo:
u  u  u
v  v  v
(12)
w  w  w
y similarmente para la presión:
p  p  p
(13)
los valores medios se indican con los términos en barras y son los correspondientes a la parte del flujo regular y
perfectamente ordenado que pueden ser medidos por un observador con un instrumento estándar como una
sonda de presión Pitot-estática, y las fluctuaciones en el tiempo se representan con las letras con tildes. El caudal
en masa que pasa por una superficie elemental perpendicular al eje "x" en un instante se expresa como:
dq  udA.dt
(14)
la cantidad de movimiento elemental asociada a ese caudal en dirección "x" es:
dQx  u 2 dA.dt
(15)
y las componentes en dirección "y" y "z" son:
dQy  uvdA.dt
(16)
dQz  uwdA.dt
(17)
El primer paso consiste en evaluar los valores medios de las (15), (16) y (17):
dQx 
1 T
dA u 2 dt
T 0
dQy 
1
dA uvdt
T 0
T
(18)
7
T
dQz 
1
dA uwdt
T 0
En las anteriores se hizo t 0  0 por simplicidad, y se supone que el tiempo T es suficientemente grande.
Considerando la componente u y elevándola al cuadrado:
2
u 2  (u  u ) 2  u  2u.u   u  2
y reemplazando en la primera de las (18):
T
T
T
1
1
1
2
dQx  dA   u dt  dA  2  u.u dt  dA  u  2 dt
T
T
T
0
0
0
Aplicando las reglas del punto 2 la segunda integral se anula por ser producto de una constante u por el valor
medio de una fluctuación que es cero, y luego de evaluar las restante integrales se tiene para el flujo de cantidad
de movimiento medio elemental en dirección "x":
2
dQx  (  u   u  2 )dA
(19)
2
Es importante señalar que u  es el valor medio de los cuadrados de u  , y no el cuadrado del valor medio de
2
u  ,indicado como u  que es nulo de acuerdo a las reglas y definiciones anteriormente vistas. La (19) es válida
para un flujo incompresible, ya que cuando están presentes cambios de densidad debe introducirse también a esta
como suma de un valor medio y su fluctuación. Aplicando un procedimiento similar a la segunda y tercera
integrales de las (18) se determinan las cantidades de movimientos medios elementales en las otras dos
direcciones las que resultan:
dQy  (  u.v   u .v ) dA
(20)
dQz  (  u.w   u .w) dA
(21)
Dividiendo las ecuaciones anteriores por el área elemental, se obtiene, desde un punto de vista dimensional una
relación fuerza/área, es decir una tensión:
dQx
2
 (  u   u  2 )
dA
dQy
 (  u.v   u .v )
dA
(22)
8
dQz
 (  u.w   u .w)
dA
En las ecuaciones (22) se han cambiado los signos de los segundos miembros para tener en cuenta que la
ecuación de la cantidad de movimiento da la fuerza que actúa desde los alrededores sobre el sistema, y así
obtener las tensiones que actúan sobre el elemento fluido. Puede notarse que las componentes del cambio de la
cantidad de movimiento elemental contiene nuevos términos formados por productos y cuadrados de las
fluctuaciones (u , v , w) sumados a términos que provienen de productos de valores medios (u , v, w) . Estos
últimos son exactamente los mismos que se obtienen cuando se considera el caso estacionario.
2
El término  u  representa tensiones normales, en tanto que  u v  y  u w denotan tensiones tangenciales en
las direcciones "y" y "z" respectivamente. El análisis permite ver claramente que los valores temporales medios
de las fluctuaciones de la velocidad introducen componentes de tensión adicionales que no están presentes en los
flujos laminares. Un estudio mas pormenorizado que conduce a idénticas conclusiones se hará en el próximo
punto.
4. Tensiones de aparentes, tensor de tensiones de Reynolds
Las leyes de la viscosidad de Stokes y las ecuaciones de Navier-Stokes son aplicables a un flujo turbulento si
se usan las velocidades y magnitudes reales .Pero se mencionó anteriormente que desde un punto de vista
físico resulta más práctico obtener expresiones a partir de valores temporales medios, ya que estas son
magnitudes que pueden ser medidas por un observador con instrumentos convencionales como las sondas de
presión. A continuación se derivarán las ecuaciones aplicables a movimientos turbulentos con valores
temporales medios de magnitudes. Por simplicidad y sin pérdida de generalidad se considerará un movimiento
incompresible definido por la condición .V  0 a partir de las ecuaciones de Navier–Stokes, las que se
escriben :
 u
u
u
u 
p
   u
v
 w   Kx 
  2 u
x
y
z 
x
 t
 v
v
v
v 
p
   u  v  w   Ky 
  2 v
x
y
z 
y
 t
(23)
 w
w
w
w 
p
 
u
v
 w   Kz 
  2 w
x
y
z 
z
 t
El primer paso consiste en sustituir todas las variables que aparecen en las ecuaciones (23 ) por la suma de las
medias temporales y de las componentes debidas a las fluctuaciones. Como ejemplo, en la primera ecuación
haciendo
u  u  u  el término u u x resulta:
u  u . (ux u )  u. ux  u. ux  u . ux  u . ux
(24)
9
Tomando valores medios temporales y haciendo uso de las reglas antes vistas, el segundo y tercer término del
segundo miembro se anulan porque son productos de constantes ( u y u x ) por valores medios de
fluctuaciones ( u  y de u  x ) que se hacen cero. El primer término
u.  u x permanece invariable al
calcular la media, porque la expresión es constante con el tiempo. Finalmente el último termino es el producto
de dos magnitudes variables, y como se vio su valor medio u . u  x no debe anularse necesariamente.
Resumiendo al tomar valores medios temporales del producto analizado se obtiene:
u  u . (ux u )  u. ux  u . ux
Realizando operaciones similares con todos los términos de las tres ecuaciones de NS se arriba a las
siguientes expresiones válidas para un movimiento turbulento con valores temporales medios en sus
magnitudes :
 u
 u 
p
u
u 
u 
u  

  u.  v.  w.   .Kx 
  2 u    u .
 v .
 w.


x

y

z

x

x

y

z




 v
 v 
p
v
v 
v 
v  

  u.  v.  w.    .Ky 
  2 v    u .
 v .
 w.
y
z 
y
y
z 
 x
 x
(25)
 w
 w
p
w
w 
w
w 
2
   .Kz 
 u .

.
.
  u.
 v.
 w.



w



v

w

 x


x

y

z

z

y

z




Estas ecuaciones luego de algunas sustituciones y operaciones algebraicas se pueden escribir en forma mas
compacta como:



Du
Dt
Dv
Dt
Dw
Dt
  Kx 
  (u ) 2  (u .v ) (u .w) 
p

  2 u   


 x

x

y

z


  Ky 
  (v u )  (.v ) 2  (v .w ) 
p

  2 v   


 x

y

y

z


  Kz 
  ( w.u )  ( w.v ) (.w) 2
p
  2 w   


 x
z
y
z

(27)




10
Una comparación de las ecuaciones anteriores con las correspondientes al flujo laminar, muestra que ambas
son formalmente idénticas, a excepción de aquellos términos que surgen de productos de las fluctuaciones de
las componentes de la velocidad. El análisis dimensional de esos términos da como unidad fuerza/superficie, y
en consecuencia esto sugiere que una forma apropiada es considerar al flujo turbulento con valores medios
temporales como un flujo laminar con la presencia de fuerzas adicionales que tienen su origen en la
turbulencia. Estas fuerzas son llamadas fuerzas aparentes y tienen las siguientes expresiones:
  (u ) 2  (u .v )  (u .w) 
.dVol.
(dfx)ap    


 x


y

z


  (v u )  (.v ) 2  (v .w 
.dVol.
(dfy)ap.    


 x


y

z


  ( w.u )  ( w.v )  (.w ) 2
(dfz) ap.    


 x

y
z

(28)

.dVol.


Las 9 tensiones asociadas a estas fuerzas se denominan tensiones aparentes o tensiones de Reynolds, y
conforman las componentes de un tensor denominado tensor de tensiones aparentes de Reynolds,
  (u u )
 XX  XY  XZ 



  (v u )



ap
.


 YX
YY
YZ 



  ( wu )
 ZX  ZY  ZZ 

 (u v )
 (v v )
 ( wv )
 (u w) 
 (v w) 

 ( ww) 
(29)
5. Manifestación de la tensión aparente, viscosidad turbulenta o de remolino.
Aunque así planteado el concepto de tensión aparente del flujo turbulento pareciera en cierto modo arbitrario y
carente de sustento físico, un análisis comparativo de los mecanismos que generan las tensiones debidas a la
fricción en el flujo laminar permite descubrir algunas analogías entre ambos tipos de tensiones. En los flujos
laminares existe un movimiento molecular aleatorio que macroscópicamente se observa como un movimiento de
moléculas perfectamente ordenado sobre el que se superpone un movimiento o fluctuaciones moleculares al azar.
Esto sumado a las fuerzas de cohesión molecular que son acciones microscópicas se manifiesta o se hacen sentir
como una tensión tangencial entre las capas fluidas. La relación entre la tensión tangencial y los gradientes del
campo de velocidades lleva a introducir el concepto de viscosidad absoluta o dinámica que es de origen
esencialmente molecular.
En un flujo turbulento existe también un flujo medio temporal bien ordenado al que se superpone una fluctuación al
azar de partículas o elementos fluidos de carácter macroscópico, cuyo efecto es similar a la acción molecular de
los flujos laminares. Esto provoca también un efecto macroscópico pero de naturaleza diferente y de carácter mas
grosero que se manifiesta como un valor medio temporal que llamamos tensión aparente. A igual que en el flujo
laminar, la tensión aparente se puede relacionar con el campo de velocidades y obtener una propiedad media
temporal análoga a la viscosidad molecular. Dicha analogía conduce a la definición de un coeficiente de
intercambio turbulento de cantidad de movimiento llamado también viscosidad turbulenta o de remolino
Para determinar la viscosidad turbulenta se puede partir de las ecuaciones de NS, considerando un flujo turbulento
estacionario y bidimensional cuya componente “x” se escribe:
11
u
 (u .u )  (v u ) 
p
u
u
u

v


  

x
y
x
y
y 
 x
Usualmente se ignora la variación longitudinal de la intensidad turbulenta,
u
Siendo
 l 
u
y
u u  , y la (30) se escribe:

 p   u
p 
u
u
v

     v u      ( l   t )
x
y
x y  y
x y

la fricción laminar o molecular y
(30)
(31)
 t   v u  la fricción turbulenta. Por analogía con la
ecuación que define la fricción laminar, se define un coeficiente de intercambio turbulento de cantidad de
movimiento viscosidad turbulenta como :
 t   v u    t
u
 v u 
de donde resulta  t  
y
u y
(32)
Debe señalarse que mientras la viscosidad molecular es una propiedad constitutiva que depende de las
propiedades termodinámicas locales del fluido, la viscosidad turbulenta viene determinada por las condiciones
locales del flujo mismo ( u  , v y u y ) y la densidad  del fluido. En un flujo turbulento próximo a una pared
sólida estacionaria, se pueden identificar varias regiones gobernadas por diferentes fenómenos. En la zona muy
cercana a la pared denominada subcapa laminar, la pared amortigua las fluctuaciones de las partículas y la
fricción molecular es predominante. En esta región el perfil de velocidades es lineal lo que implica que:
u 
  cte
y 
(33)
Entre esta y el flujo irrotacional se desarrolla el flujo turbulento propiamente dicho donde resulta posible
diferenciar tres regiones con distinto comportamiento, denominadas región interna, región de transición y
región externa.
Figura Nº4- Regiones de una capa límite turbulenta.
12
6. Concepto físico de las tensiones de Reynolds.
El mecanismo físico asociado a las tensiones de Reynolds puede ser explicado del siguiente modo Un flujo de
corte turbulento tiene une distribución de velocidades media temporal que no es uniforme. Debido a la turbulencia
de la corriente, pequeñas masas fluidas M1 y N1 intercambian su posición en dirección transversal a la corriente
principal, y cada una de ellas tienda a conservar su cantidad de movimiento. Luego del intercambio M2 tiende a
acelerar al fluido en el que está inmerso y que se mueve mas lentamente, e inversamente N2 trata de decelerar al
fluido en que está inmerso y que se mueve mas rápidamente. El resultado neto de este intercambio de cantidad de
movimiento es una tensión tangencial  XY en la coordenada ”y” actuando en dirección “x
Bibliografía:
1. Fluid Dynamics-_MIT Courses- Ascher H. Shapiro.
2. Aerodynanics Theory – W. F. Durand, Vol III, Division G-The mechanicas of Viscous Flow- L. Prandtl.
3. La mecánica de los Fluidos -Irving. H. Shames