Filtros y ancho de banda

FILTROS
Definición y aplicaciones de los Filtros.
Un filtro es una red de dos puertos cuyo objeto es dejar pasar a la salida un
conjunto de frecuencias, eliminando o atenuando las frecuencias restantes.
En circuitos de comunicaciones se usan los filtros para sintonización de canales,
eliminación de ruido e interferencias, supresión de frecuencias (por ejemplo la
señal piloto de 19 KHz de FM estéreo).
En circuitos de audio se usan para controles de tono, circuito de “loudness”,
ecualizadores y redes separadoras de frecuencia para altavoces.
Frecuencias de corte de un filtro.
Son las frecuencias en que la ganancia en dB (de potencia, voltaje o corriente) es
igual a la ganancia máxima en dB menos 3 dB. En estas frecuencias la ganancia
de potencia es igual a ½ del valor máximo, y la ganancia de voltaje o corriente
corresponde la ganancia máxima dividida por
2.
Las frecuencias de corte dividen al eje de frecuencias en intervalos alternados en
que la ganancia es mayor o igual a la de las frecuencias de corte, e intervalos en
que la ganancia es menor a la de las frecuencias de corte.
Bandas pasantes y rechazadas de un filtro. Ancho de banda.
• Las bandas pasantes de un filtro se definen como las gamas de frecuencia en
que la ganancia (de potencia, voltaje o corriente) es mayor o igual a la
ganancia máxima en dB menos 3 dB.
• Las bandas rechazadas son aquellas en que la ganancia (de potencia, voltaje
o corriente) es menor que la ganancia máxima en dB menos 3 dB.
EC2272 / Tema 3
Prof. Orlando Sucre
Marzo 2008
• El ancho de banda de un filtro es el ancho de su banda pasante, y se calcula
restando la frecuencia superior menos la frecuencia inferior del intervalo
correspondiente a la banda pasante.
Clasificación de los filtros.
Filtro pasa-bajas
Filtro pasa-altas
Frecuencia de corte: f0
Frecuencia de corte: f0
Banda pasante: f ≤ f 0 .
Banda pasante: f ≥ f 0 .
Filtro pasa-bajas ideal:
Filtro pasa-altas ideal:
1, si f ≤ f 0
H( f ) = 
0, si f > f 0
0, si f ≤ f 0
H( f ) = 
1, si f > f 0
H(f)
1
H(f)
1
f
0
0
f0
f
f0
Filtro pasa-banda
Filtro rechaza-banda
Frecuencias de corte: f1 y f2
Frecuencias de corte: f1 y f2
Banda pasante: f1 ≤ f ≤ f 2
Banda rechazada: f1 < f < f 2
Fltro pasa-banda ideal:
Filtro rechaza-banda ideal:
0, si f <

H ( f ) = 1, si f1 ≤

0, si f >
f1
f ≤ f2
f2
H(f)
1
0
EC2272 / Tema 3
1, si f ≤ f1

H ( f ) = 0, si f1 < f < f 2

1, si f ≥ f 2
H(f)
1
f
f1
0
f2
Prof. Orlando Sucre
f
f1 f 2
Marzo 2008
FILTROS DE PRIMER ORDEN.
• Tienen sólo un elemento almacenador de energía.
• Tienen una sola frecuencia de corte, por lo que sólo pueden ser pasa-bajas o
pasa-altas.
• Tienen una atenuación de 20 dB/década en la banda rechazada.
Configuraciones de filtros pasa-bajas y pasa-altas de primer orden
Filtros pasa-bajas
RL serie
Filtros pasa-altas
RC serie
L
+
Vi
C
R
−
+
Vi
−
+
Vo
−
RC paralelo
+
Vi C
−
R
R
RL paralelo
+
Vi L
−
+
Vo
−
RC activo (ganancia unitaria)
R
+
Vi
−
C
+
Vo
−
RC activo (ganancia unitaria)
−
R
+
Vo
−
−
+
Vo
−
C
+
Vi
−
+
R
Vo
−
• La frecuencia de corte de todos los filtros RC es ω0 = 1 / (RC ).
• La frecuencia de corte de todos los filtros RL es ω0 = R / L .
• La impedancia de entrada de los circuitos paralelo puede ser nula.
EC2272 / Tema 3
Prof. Orlando Sucre
Marzo 2008
Configuraciones de filtros pasa-bajas y pasa-altas activos de primer orden (II)
RC activo inversor
RC activo inversor
R2
R2
R1
+
Vi
C
−
+
Vo
−
R1
C
−
+
Vi
−
+
Vo
−
−
ω0 = 1 / (R2C )
ω0 = 1 / (R1C )
RC activo no inversor
RC activo no inversor
R2
R2
R1
R1
−
−
C
+
Vi
−
R
+
Vo
−
R
+
Vi
−
+
Vo
C
−
ω0 = 1 / (RC )
ω0 = 1 / (RC )
• La ganancia máxima de los filtros activos inversores es GV = − R2 / R1 .
• La ganancia máxima de los filtros activos no inversores es GV = 1 + R2 / R1 .
EC2272 / Tema 3
Prof. Orlando Sucre
Marzo 2008
Filtros pasa-banda y rechaza-banda de primer orden.
Se pueden construir filtros pasa-banda o elimina-banda de primer orden
combinando un filtro pasa-bajas y uno pasa-altas de primer orden.
• Filtro pasa-banda:
o La frecuencia de corte del filtro pasa-bajas debe ser la frecuencia
superior del pasa-banda.
o La frecuencia de corte del filtro pasa-altas debe ser la frecuencia
inferior del pasa-banda.
Opción 2
Opción 1
Filtro
pasa-bajas
f0=f 2
Filtro
pasa-altas
f0=f 1
Filtro
pasa-altas
f0=f1
Filtro
pasa-bajas
f0=f 2
• Filtro rechaza-banda:
o La frecuencia de corte del filtro pasa-bajas debe ser la frecuencia
inferior del rechaza-banda.
o La frecuencia de corte del filtro pasa-altas debe ser la frecuencia
superior del rechaza-banda.
Filtro
pasa-bajas
f0=f1
Sumador
Filtro
pasa-altas
f0=f2
EC2272 / Tema 3
Prof. Orlando Sucre
Marzo 2008
FILTROS DE SEGUNDO ORDEN.
• Incorporan dos elementos almacenadores de energía. En el caso de filtros
pasivos, es necesario que haya un condensador y un inductor.
• Pueden tener una o dos frecuencias de corte, por lo que pueden realizarse
todos los tipos básicos de filtro.
• Tienen una atenuación de 40 dB/década en la banda rechazada.
Circuitos resonantes.
En circuitos pasivos de segundo orden es factible encontrar una frecuencia a la
cual los efectos capacitivo e inductivo se contrarrestan, quedando el circuito
puramente resistivo. A esta condición se le denomina resonancia, a la frecuencia
a la cual ocurre la resonancia se le denomina frecuencia de resonancia.
Circuito resonante RLC serie.
C
L
+
Vi
−
R
+
Vo
−
• Impedancia equivalente: Z eq = R + j (X L − X C ) = R + j (ωL − 1 /(ωC ) )
• Frecuencia de resonancia: ω 0 = 1/ LC
• A la frecuencia de resonancia:
Z eq = R
I = V/R
VR = V
VL = jV X L / R
VC = − jV X C / R
Z eq es mínimo, I es máximo, VR es máximo
• A frecuencias distintas a la de resonancia:
Z eq > R ⇒ I (ω ) < I (ω0 ) ⇒ VR (ω ) < VR (ω0 ) = V
EC2272 / Tema 3
Prof. Orlando Sucre
Marzo 2008
• Si se toma la salida del circuito en la resistencia, el circuito se comporta
como un filtro pasa-banda.
Frecuencias de corte y ancho de banda
• Frecuencias de corte:
VR = V / 2 ⇒ Z eq = 2 R ⇒ ωL − 1 /(ωC ) = ± R
Resolviendo, se tiene:
ω2 =
R 2C 2 + 4 LC + RC
2 LC
ω1 =
R 2C 2 + 4 LC − RC
2 LC
Nótese que ω1 ⋅ ω 2 = ω0 2 .
• Ancho de banda: AB = ω 2 − ω1 = R / L .
Factor de calidad Q
• El factor de calidad Q de un filtro pasabanda resonante es una medida de
cuán selectivo es el filtro, y se define como:
Q=
ω0
AB
• Para el filtro resonante RLC serie, Q es:
Q=
ω0 1 L X (ω0 )
=
=
AB R C
R
• Cuando Q>>1, se tiene ω 2 ≈ ω0 + AB / 2 y ω1 ≈ ω0 − AB / 2 .
Circuito resonante RLC paralelo.
I
EC2272 / Tema 3
C L
Prof. Orlando Sucre
R
+
Vo
−
Marzo 2008
• Admitancia equivalente:
Yeq = G + j (BC − BL ) = 1/ R + j (ωC − 1/(ωL) )
• Frecuencia de resonancia: ω 0 = 1/ LC
• A la frecuencia de resonancia:
Yeq = 1 / R
V = IR
IR = I
I L = − jI B L / G
I C = jI BC / G
Yeq es mínimo, V es máximo, I R es máximo
• A frecuencias distintas a la de resonancia:
Yeq > 1 / R ⇒ V (ω ) < V (ω0 ) = IR
• El circuito se comporta como un filtro pasa-banda.
Frecuencias de corte y del ancho de banda
• Frecuencias de corte:
I R = I / 2 ⇒ Yeq = 2 / R ⇒ ωC − 1 /(ωL) = ±1 / R
Resolviendo, se tiene:
L2 / R 2 + 4 LC + L / R
ω2 =
2 LC
L2 / R 2 + 4 LC − L / R
ω1 =
2 LC
Nótese que ω1 ⋅ ω 2 = ω0 2 .
• Ancho de banda: AB = ω 2 − ω1 = 1 / RC .
Factor de calidad Q
• Para el filtro resonante RLC paralelo, su factor de calidad es:
Q=
ω0
C B(ω0 )
=R
=
AB
L
G
• Cuando Q>>1, se tiene ω 2 ≈ ω0 + AB / 2 y ω1 ≈ ω0 − AB / 2 .
EC2272 / Tema 3
Prof. Orlando Sucre
Marzo 2008
FILTROS PASA-BAJAS DE SEGUNDO ORDEN (O SUPERIOR).
Filtro pasa-bajas pasivo.
• Se parte del filtro canónico con valores tabulados de L y C para R=1 Ω y
ω0=1 rad/s. La tabla de filtros más usada corresponde a la aproximación
Butterworth, que tiene respuesta máximamente plana en la banda pasante.
L1
+
Vi
−
L2
C1
L3
C2
C3
R=1 Ω
+
Vo
−
• Se aplica escalamiento de impedancia y de frecuencia para obtener un filtro
con R ≠ 1 Ω y ω0 ≠ 1 rad/seg.
Escalamiento de impedancia (o magnitud).
• Consiste en transformar los valores de las impedancias del filtro canónico
referido a R=1 Ω a cualquier valor de R’, sin alterar la respuesta de
frecuencia del filtro. También puede usarse para transformar los valores de
las impedancias de un filtro diseñado para una resistencia R a cualquier
otro valor de resistencia R’.
• Las fórmulas para escalamiento de impedancia son:
K m = R' / R
L' = K m L
C '= C / K m
Escalamiento de frecuencia.
• Consiste en transformar los valores de las impedancias del filtro canónico
referido a ω0 = 1 rad/seg a cualquier valor de ω0 ' , sin alterar la
impedancia del filtro. También puede usarse para transformar los valores
de las impedancias de un filtro diseñado para una frecuencia ω0 a
cualquier otro valor de frecuencia ω0 ' .
EC2272 / Tema 3
Prof. Orlando Sucre
Marzo 2008
• Las fórmulas para escalamiento de frecuencia son:
K f = ω0 ' / ω 0
L'= L / K f
C '= C / K f
Escalamiento combinado de impedancia y frecuencia.
K m = R' / R
K f = ω0 ' / ω 0
L'= (K m / K f )L C '= C / (K m K f
)
Filtro pasa-bajas activo.
• Se elige una configuración estándar, y se calculan los componentes con las
fórmulas del filtro, o se aplica escalamiento para transformar un filtro prediseñado en un filtro que cumpla con los requerimientos.
FILTROS PASA-ALTAS DE SEGUNDO ORDEN (O SUPERIOR).
Filtro pasa-altas pasivo.
• Se parte del filtro canónico pasa-bajas con valores tabulados de L y C para
R=1 Ω y ω0=1 rad/s.
• Se transforman los condensadores en inductores y viceversa, mediante las
fórmulas:
L'= 1 / C
C '= 1 / L
• Se aplica escalamiento de impedancia y de frecuencia para obtener un filtro
con R ' ≠ 1 Ω y ω0 ' ≠ 1 rad/seg. Las fórmulas combinadas son:
K m = R' / R
K f = ω0 ' / ω 0
L'= K m / (K f C ) C '= 1 / (K m K f L )
Filtro pasa-altas activo.
• Se elige una configuración estándar, y se calculan los componentes con las
fórmulas del filtro, o se aplica escalamiento para transformar un filtro prediseñado en un filtro que cumpla con los requerimientos.
EC2272 / Tema 3
Prof. Orlando Sucre
Marzo 2008