Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Solución numérica de algunas ecuaciones no integrables Martı́n G. Garcı́a A Georgii A. Omel’yanov Israel Segundo C. Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas Hermosillo, Sonora, México Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Contenido 1 Introducción 2 Ec. tipo KdV 2 Caso m = 4 2 Ec. tipo sine-Gordon Ec. tipo sine-Gordon Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Introducción Consideremos la ecuación KdV modificada ut + (um)x + ε2uxxx = 0, m ∈ N, donde u = u(t, x, ε), t > 0, x ∈ R; ε es un parámetro, 0 < ε ≪ 1. m > 2, (1) Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Dinámica de un solitón Buscamos una solución para (1) de forma autosimilar β (x − vt − x0) . (2) u(x, t) = Af ε β (x − vt − x0) y ε 1 m−1 m+1 2 tomamos v = β 2 y A = β . 2 Definimos η = Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Encontramos que f debe satisfacer 2 df = f 2 − f m+1. (3) dη Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon La ecuación (3) tiene solución en forma explı́cita para toda m : 2 m−1 m−1 . η f(η) = sech 2 (4) Ası́, la solución de la ecuación (1) es 2 m−1 m−1 β u(t, x, ε) = A sech (x − vt − x0 ) 2 ε (5) Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Interacción de solitones Consideremos la ecuación tipo KdV con dispersión pequeña ut + (um)x + ε2uxxx = 0, con condición inicial dada por la superposición de dos ondas solitarias x − x01 u0 (x, ε) = A1 ω β1 ε con x02 < x01, x − x02 + A2 ω β2 ε (6) A2 > A1 > 0. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 ω(η) está dada por ω(η) = R Ec. tipo sine-Gordon f(η) , f(η)dη donde f está dada en (4). Suponemos que x02 < x01, A2 > A1 > 0. Entonces existe un instante t∗ en el que las trayectorias de las ondas solitarias (6) se intersectan; es decir v1t∗ + x01 = v2t∗ + x02. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Nos interesa considerar la situación en la que la distancia entre los frentes del los solitones tiende a cero. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Para los casos especiales m = 2 y m = 3, la respuesta es conocida (Inverse Scattering Transform): despues de la interacción, la solución será de nuevo la superposición de ondas autosimilares, pero con corrimientos en fases con respecto a las ondas antes de la interacción. A éste se le conoce como escenario de solitones. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon De hecho, por ejemplo, para el caso m = 2, si se toma la condición inicial ut=0 = u0(x, ε), la solución exacta para el problema de la interacción de dos solitones, obtenida con el método de dispersión inversa (Inverse Scattering Transform) es Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon u(x, t) = 6β12(β22 − β12)u1(η1, ρ) +6β22(β22 − β12)u2(η1, ρ), u1 = {β1 senh(β1 η1 − µ) − β2 coth(β2 (η1 − ρ) + µ) cosh(β1 η1 − µ)} u2 = {β2 cosh(β2 η2 + µ) − β1 tanh(β1 (η2 + ρ) − µ) sinh(β2 η2 + µ)} donde vi = 4βi2 , µ= 1 β2 − β1 ln , 2 β2 + β1 ηi = (x − ϕi0 (t))/ε, ϕi0 (t) = vi t + x0i , ρ = (ϕ20 (t) − ϕ10 (t))/ε. −2 −2 Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Interacción de solitones El método de soluciones asintóticas debiles Una solución asintótica débil módulo O(ε2) del problema ( ut + (um)x + ε2uxxx = 0, x−x01 x−x02 0 u (x, ε) = A1ω β1 ε + A2ω β2 ε , es una función u que satisfaga Introducción d dt Z Ec. tipo KdV uψdx − Z Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon umψ ′(x)dx = O(ε2), Z R m+1 ′ d 2m u ψ (x)dx u2ψdx- m+1 dt Z +3 (εux)2ψ ′(x)dx=O(ε2) para cualquier ψ(x) ∈ D(R). Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon De acuerdo a este enfoque, se busca una solución asintótica débil mod OD′ (ε2) en la forma x − φ1(t, τ, ε) u = g1(τ )ω β1 ε x − φ2(t, τ, ε) +g2(τ )ω β2 , (7) ε donde gi = Ai + Si(τ ), φi = ϕi0(t) + εϕi1(τ ), τ = β1 ϕ20(t) − ϕ10(t) . ε Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon ϕi0(t) = vi(t) + x0i describe la trayectoria del frente del i-ésimo solitón, con amplitud Ai, antes de la interacción. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon τ se considera como un “tiempo rápido;” τ (t∗, ε) = 0. Si y ϕi1 son correcciones a la amplitud y a las fases, respectivamente, y satisfacen lim Si(τ ) = 0, |τ |→∞ lim ϕi1 = 0, τ →−∞ lim ϕi1 = ϕ∞ i1 = constante. τ →+∞ Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Ocurre que, contrariamente a lo que se observa en el método de transformada inversa, la construcción de la solución depende fuertemente de la relación entre los parámetros β1 y β2; i.e., del parámetro θ = β1/β2 (y esta razón puede ser expresada en términos de las amplitudes). Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Por ejemplo, para m = 2, ocurre que puede construirse una solución en la forma (7) sólo si 0 < θ < 1/2. Para θ = 1/2 las fórmulas se degeneran y este caso debe estudiarse separadamente. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Para 1/2 < θ < 1 las funciones que aparecen en el lado derecho de (7) se convierten en expresiones complejas, y para poder realizar el análisis se debe buscar una solución asintótica en la forma 2 X x − φi(t, τ, ε) + c.c. u= gi(τ )ω βi ε i=1 Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon El principal resultado obtenido mediante este enfoque es el siguiente. Teorema Existe θ∗(m) ∈ (0, 1) tal que la interacción de las correspondientes ondas solitarias en la ecuación tipo KdV (1) se da bajo el escenario de solitones para θ = θ1/θ2 ∈ (0, θ∗(m)). Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Solución numérica Ec. tipo KdV Para encontrar la solución numérica para la ecuación ut + (um)x + ε2uxxx = 0 con condición inicial u(x, 0) = f(x), construimos el siguiente esquema explı́cito. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Para escribir el esquema de diferencias finitas para la ec. KdV, se deben discretizar las derivadas. Nos interesa calcular la solución numérica en (x, t) ∈ [xmin, xmax] × [0, T] con xmin < xmax y T > 0. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Usamos la siguiente notación: τ = ∆t, h = ∆x, M= xmax −xmin , h xm = xmin + mh, para m = 0, . . . , M, u(x, t) = u(mh, nτ ) = unm. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Con esta notación, los valores en cada punto (x, t) = (mh, nτ ), de las derivadas que aparecen en la KdV se pueden discretizar de la manera siguiente: Introducción Ec. tipo KdV ut = n+1 −un−1 um m , 2τ ux = unm+1 −unm−1 , 2h uxxx = Caso m = 4 unm−2 +2unm−1 −2unm+1 −unm+2 . 2h3 Ec. tipo sine-Gordon Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Después de sustituir en (1) y de hacer simplificaciones algebraicas se obtiene: n+1 n−1 um = um − 6c1unm(unm+1 − unm−1) +c2(unm−2 − 2unm−1 + 2unm+1 − unm+2), (8) donde c1 = mτ /h y c2 = τ ε2/h3. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon En la siguiente figura se ilustran las posiciones de cada u(x, t) = unm. b b n+1 bum n n un bum−2 b m−1 bum b b n−1 u bm b b n n bum+1 bum+2 b b Usando (5) (con t = 0) discretizamos la condición inicial: u0m = f(xm), para m = 0, 1, . . . , M. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Dado que (8) es un esquema de dos pasos, para inicializar el proceso iterativo es necesario construir, a partir de la condición inicial, los valores u1m. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Para esto, construimos un esquema similar a (8) pero usando n+1 − unm um ut = τ como discretización de la derivada con respecto a t. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon El esquema resultante es n+1 = unm − 3c1unm(unm+1 − unm−1) um c2 + (unm−2 − 2unm−1 + 2unm+1 − unm+2). 2 (9) Finalmente, escogemos los extremos del intervalo [xmin, xmin] de tal manera que podamos fijar los valores un0 = un1 = unM−1 = unM = 0 para toda n. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Resultados numéricos para m=4 Caso I: β1 = 0.8, β2 = 1.6 (θ = 1/2) u(x,0) 2.0 bb bbb bbb bb bbbb bbbbbb bb bbbb bbbb bbbb bbbb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bbb bbb b b bb bb bbb bbb b b bb bb bbb bbb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bbb bbb bbb bb bb bbbbb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bbb bbb bb b b bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bbb bb b b bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bbb bb bb b bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bbb bbb b bb b bbb bb bb bbb bb bbb bb bbb bb bb bbb bbb bb b bbbb bb b b b b bbb bbbbb bbbbb bb bbbbbbb bbbb bbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbb bbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbb 1.5 1.0 0.5 -2 -1 0 1 2 3 4 x Introducción Ec. tipo KdV u(x,0.072169) u(x,0.144338) 2.0 1.5 1.0 0.5 bbbb bbbbb bbbbbb bbbbbb bbbb bb bbbb bbbbbbb b bbbbb bbbb bbbb bbb bbbb bbbb bb bbb bb bb bb bb bb b bbb bbbb bb bb b bb bb bb bbb bb b bbb bbbb bb b bb bb bb bbb bbb bb bb bbbb bbb bbb bb bb bb bb b b bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bbb bb b bb bb bb bb bb b bb bbb b bb bb b bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bbb bbbb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb b b bb b b bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bbb bbb bb bb bbb bbb bb bbbb bb bbb bbbb bbbbbbbbbbb bb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbb -2 -1 0 1 2 3 bbbbb bbbbbb bbb bbbbbb bbbb b bbbbbbb bbb bbbb bbbbbbb bbb bbbb bbbbbb bb bbbb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbbb bb bb bb bbb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb b bb bb bb bb bb bbbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb b b b b bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bbb bb bb bb bbb bb bbb bbbb bb bbbb bbbbbbb bbbbbbbb bb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbb 4 x-2 -1 0 1 2 3 bb bbbbbb bbb bbbb bbbbb bbb bbbb bbbbb bb bbbb bb bbb bb b bb bb bb bb bbb bb b bb bb bbb bb b b bb bbb bb b bb bb bbbb bbbbb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bbb b b bb b bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bbb bbb bbb bb bb bb bb b bb bb bbb bbbb bb bb bb bb bb bb bbbbb bb bb bb bbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bbb bb bbbb bb bbbbbbbbb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb 4 x-2 -1 0 1 3 4 x-2 1 2 3 4 x-2 -1 0 1 -1 0 1 2 3 4 x 3 4 x 2.0 1.5 1.0 0.5 2 3 4 x-2 b bbbb bbbbbb bb bbbbbb bb bb b bbb bbbb bb bb bb bbb bbbb bbb bbbb b b bb bb bb bbb bbbb bbbbbbb bb bb bb bb bbb bbb bbbb bbb b b b b bb bbb bb bbb bb bb bbb bb bb bbbb bb bbb bbb bbbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bbb bb bbbb bbbbbbb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb -1 0 1 2 u(x,0.649519) 2.0 1.5 1.0 0.5 b bbb bbbb bbb bbbb bbbb bbbb bbbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bbb bbb bb b bb bb bb b bb bb bb bbb bbbb b b b bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb b bb bbbb bbb bbb bb bb bbb bb bb bbbb bb bb bbbb bbb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb b bbb bb bbbbb bb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb bb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbb bbbb b bbb bbbbb bbbbb bbbb bbbb bb bbbbbb bb bbbb bbbbbb bbbb bb bbbbbb bbbb bbbb bbb bbb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bbb bbbb bbbbb bbb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb b bb bb bb bb bbbb bb bb bb bb b bb bb bb b b bb bb bb bb b bb bb bbb bbbb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb b b bbb b b bb bb b bb bb bb bb bb bb b bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bbb bbb bb bbb bbbb bb bbbb bbbbbbb bb bbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbb u(x,0.433013) u(x,0.577350) 2.0 1.5 1.0 0.5 -2 -1 0 2 2.0 1.5 1.0 0.5 u(x,0.505182) bbb bbbb bbbb bb bb bbb bbbb bb bb bbbbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bbbb bb bb b bbb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bbb bb bb bb bb bbb bb bb b bb bbb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bbb b bbb bb bbbbb bbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb 2.0 1.5 1.0 0.5 u(x,0.360844) 2.0 1.5 1.0 0.5 -2 -1 0 1 Ec. tipo sine-Gordon u(x,0.216506) 2.0 1.5 1.0 0.5 u(x,0.288675) b bbbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbbbb bb bbbb bb bb bb bb bb bb bbb bbbb b bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bbb bbbb b bb bb bb bbb bb b bbbbb bb bb bbb bb bb bb b b bb bb bb bbb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb b b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb b bb b bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bbbbb bbb bb bbb bb bbbb bb bbbbbbb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb Caso m = 4 2.0 1.5 1.0 0.5 2 3 bb bbbb bbbbbb bbbb bbbbbb bbbb bbb bbbbbb b bbbbb b bb bbb bbb bb bb bbb bbb b bb bb bbb bb b bb bb b bb bb bb bb bb bbb bbbbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbbb bb bb b b b b b b bb b bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bbb bb bbb bbb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bbb bb bb bb bb bbbbb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bbbb bb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbb bbbbbbbbbb 4 x-2 -1 0 1 2 3 4 x Introducción Ec. tipo KdV u(x,0.505182) u(x,0.577350) 2.0 1.5 1.0 0.5 bb bbbbb bbbbbb bb bbb b bbb bbb bbbb b bb bbbb bbbb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbbbbb bbbb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bbb b bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bbb bb b bbb b bbbbb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb -2 -1 0 1 2 3 bb bbbb bbbb bbbbbb b bbbb bbbb bb bb bb b bbb bbb bb bb b bb bb bb bb bb b bb bb bb b bb bb bb b bb b bb bb bb bbbb bbbbbbb b b bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb b bb bb bb bbb bb bbbb bbb bbb bb bb bbb bb bb bbbb bb bb bbbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb b bbbb bb bbbbb bb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbb bbbbbb 4 x-2 -1 0 1 1 3 4 x-2 -1 0 2 3 4 x-2 -1 0 1 2 3 4 x-2 -1 0 1 2 3 4 bbb bbbbbb bbb bb bbbbb bbb bbbbbb bbbbbb bb bbbbbb bbbb bb bbbbbb bbbb bb bbbb bbbbbb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bbb b bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bbbb bbbb b b bb bb bb b bb bb bb bbb bb bb bb b bb bb bbb bbb bbb bbb bb bb bb bb bb bbbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bbb bb b b b bb b bb bb bb bbbb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bbb bb bb bb bb bbbb bb bbb bbbbb bb bbbbbbbbbbbbbbbb bbbb bbb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbb bbbbb bbbbbb bbbbbbb 3 4 x-2 -1 0 3 4 2.0 1.5 1.0 0.5 2 2 x 2.0 1.5 1.0 0.5 u(x,1.010363) bb b bbbbb bbbb bbbb bbbbbb bb bbbbb bbbb bb bbbbbb bb bbbb bbbbbb bbbb bb bbb bbb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb b bbbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bbb bbb bb bb bb bbb bb bb bb b bb bbbb bb bb bb bb bb bbb bb bb b bbb b bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bbb b bb bb bb bbb bbb bbb b b b bb bbb bb bb bbbb bb bbb bb bbb bbbbbbb bbb bbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbb bbb bbbbb bbbbbbb bbbbbbbbb 1 u(x,0.866026) b bbbb bbbbbb bbbb bbbbb bbb bbbb bbbbbbb bbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbbbb bb bbbb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbbb b bb bbb bb b bb bbb bb bb bb bb bb bbbb b b bb bb bb b bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b b bb bb bb bb bb bbbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb b bbb b bb b b b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bbb bb bbbb bb bbb bb bb bb bbbb bbb bb bb bbbbbbbbb bbb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbb bbbbbbbbbbbbbb bb 2.0 1.5 1.0 0.5 -2 -1 0 2 bb bbbbbb bbbb bbbb bb bbbbb bbb bbbbbb bbb bbbbbb bb bb bbb bb bb bbb bb bb b bb bb bb bbb bb b b bb bbb bb bb bb b bbb bb bb bbbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bbb bbb bbb bbb bb b bb bbbb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bbb bb bb bb bbbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbbb bbb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bbbbbbbbb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbb 2.0 1.5 1.0 0.5 u(x,0.938194) bb bbbb bbbbbb b bbbb bbbb bbbb bbbb bbbbbb bb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbbbb bb bbbb bbbb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bbbb b b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bbb bb bb bb b bb bb bb bb bb bbbb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bbb bb b b bb b b b bb bb bbb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bbb bbb bb bb bb bb bbbb bb bb bbb bbbbb bb bbb bbbbbbbbbbbb bbbbb bbb bbbbbbb bbbbbbbbb bbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbb bbb bbbbb bbbbbbb bbbbbbbb 2.0 1.5 1.0 0.5 u(x,0.793857) 2.0 1.5 1.0 0.5 -2 -1 0 1 Ec. tipo sine-Gordon u(x,0.649519) 2.0 1.5 1.0 0.5 u(x,0.721688) b bb bbbbb bbb bbbb bbb bbbbbb bb bbb bbbb bbbb bbb bbbb bbbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bbb bb bb bb bbb bb bb bb bb bbbb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bbb bbb bbb bb b b b bb bbb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb b bb bb bb bbb bb bb b b b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bbb bb bb bb bb bb bb bb bb bbbb bb bbb bb bb bbb bbb bbb bb bb bbb bb bb bbb bbb bb bbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb bb Caso m = 4 x 1 2 3 4 x Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Ec. sine-Gordon Consideremos una clase de funciones semi-lineales con un parámetro ε ε2(utt − uxx) + F′(u) = 0. (10) Para 1 − cos(2πz) 4π 2 (10) es la ecuación sine-Gordon. F(z) = (11) Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Es conocido que los kinks de la ecuación de sine-Gordon colapsan sin cambiar sus formas y el único resultado de la interacción es la aparición de un cambio de fases. A esta situación se le conoce como escenario tipo sine-Gordon. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon En esta parte se presenta un esquema de diferencias finitas para la ecuación (10) cuando F(z) = sin4(πz) (12) para analizar la solución numérica y si ésta presenta también un escenario tipo sine-Gordon. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Escenario Lineal Primero obtenemos un esquema para la ecuación utt − uxx = 0. Consideremos la siguiente aproximación j+1 j+1 j+1 yij+1 − 2yij + yij−1 yi+1 − 2yi + yi−1 − =0 τ2 h2 donde yij denota el valor aproximado de la función u en el punto (x = ih, t = jτ ). Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Esto nos conduce a resolver un sistema tridiagonal de la forma j+1 j+1 = Eji − Cyij+1 + Byi+1 Ayi−1 2 2 con A = B = hτ 2 y C = 2(1 + hτ 2 ) donde la aproximación a la solución está dada por yi = αi+1yi+1 + βi+1, i = N − 1, N − 2, . . . , 0. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Escenario no lineal Sea utt − uxx + F′(u) = 0 con F′(u) 6= 0. Aproximación por diferencias finitas j+1 j+1 j+1 yij+1 − 2yij + yij−1 yi+1 − 2yi + yi−1 − + F′ (yij+1 ) = 0 2 2 τ h Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Sea ϕ(s) → yj+1 cuando s → ∞, ϕ(0) = yj y W(s) = ϕ(s) − ϕ(s − 1). Denotamos ϕ = ϕ(s − 1). F′ (ϕ) = F′ (ϕ + W) = F′ (ϕ) + F′′ (ϕ)W + O(W2 ) Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Definimos con ϕ a la solución de la ecuación lineal τ2 τ2 τ2 2 ′′ ϕ − (1 + 2 + τ F (ϕ ϕi+1 = Ei ))ϕ + i−1 i i h2 h2 h2 Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon Esto nos conduce a resolver el sistema tridiagonal Aiyi−1 − Ciyi + Biyi+1 = Ei donde τ2 Ai = Bi = 2 h τ2 Ci = 1 + 2 2 + τ 2F′′(ϕi) h Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon 2 V1 1.8 t = 0.2 1.6 t = 0.246 t = 0.1 1.4 t=0 1.2 1 0.8 0.6 V2 0.4 0.2 0 1 1.25 1.5 Figure: Evolución de kink - kink antes de la interacción a diferentes valores de tiempo. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon 2 1.8 V2 t = 0.264 1.6 t = 0.3 t = 0.4 1.4 t = 0.6 1.2 1 0.8 0.6 V1 0.4 0.2 0 1 1.25 1.5 Figure: Evolución de kink - kink después de la interacción a diferentes valores de tiempo. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon 2 1.8 V2 V1 t = 0.2 1.6 t = 0.1 1.4 t=0 1.2 1 t = 0.24 0.8 1 1.5 Figure: Evolución de kink - antikink antes de la interacción a diferentes valores de tiempo. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon 1.8 1.6 1.4 t= 0.246 t = 0.26 1.2 1 t = 0.6 0.8 t = 0.3 0.6 0.4 t = 0.4 V1 V2 0.2 0 1 1.5 Figure: Evolución de kink - antikink después de la interacción a diferentes valores de tiempo. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Referencias Ec. tipo sine-Gordon Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon V. G. Danilov, G. A. Omel’yanov, V. M. Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves, Asymptotic methods for wave and quantum problems, (M. V. Karasev ed.), AMS Trans., Ser 2, v. 208, AMS, Providence, R. I., 2003, 33-164. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon M. G. Garcı́a A., R. Flores E., G. A. Omel’yanov, Interaction of shock waves in gas dynamics. Uniform in time asymptotics, Int. J. of Math. & Math. Sc., Vol. 2005, No. 19, pp. 3111-3126. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon M. G. Garcı́a A., G. A. Omel’yanov, Kink-Antikink Interaction for Semilinear Wave Equations with a Small Parameter, Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2009(2009), No. 45, pp. 1-26. Introducción Ec. tipo KdV Caso m = 4 Ec. tipo sine-Gordon D. A: Kulagin, G. A. Omel’yanov, Interaction of kinks for semilinear wave equations with a small parameter, Nonlinear Analysis, 2006, Vol. 65, N. 2, pp. 347-378.