PR´ATICA 2: Conjuntos Inductivos.

Lógica y algoritmos
2008
PRÁTICA 2: Conjuntos Inductivos.
Ana Casali
Raúl Kantor
Gerardo Huck
Federico Severino Guimpel
Dante Zanarini
1. Defina inductivamente los siguientes conjuntos:
a) El conjunto de los numeros naturales múltiplos de 3.
b) El conjunto de los números enteros múltiplos de 3.
c) El conjunto de los números naturales que son potencia de 2.
2. Sea Σ = {a, b, c}, defina inductivamente los siguientes conjuntos:
a) Σ∗
b) {an b c2n | n ∈ N0 }
3. Sea Σ = {a, b, c}. Definimos Γ inductivamente por las siguientes cláusulas:
i. ǫ ∈ Γ
ii. Si α ∈ Γ entonces bα ∈ Γ
iii. Si α ∈ Γ entonces aα ∈ Γ
iv. Estos son todos los elementos de Γ
a) Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:
b∈Γ
a∈Γ
babacbaca ∈ Γ
aba ∈ Γ
b) Considere ahora la siguiente definición inductiva de ∆:
i.
ii.
iii.
iv.
ǫ∈∆
Si α ∈ ∆ entonces αb ∈ ∆
Si α ∈ ∆ entonces αa ∈ ∆
Estos son todos los elementos de ∆
Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:
Γ⊆∆
∆⊆Γ
∆=Γ
4. Defina inductivamente los siguientes conjuntos:
a) {a}∗
b) {α ∈ {a, b, c}∗| α es un palı́ndromo}
c) {a, b, ab, ba}
5. Enuncie el principio de inducción primitiva para el conjunto P definido inductivamente de la siguiente
forma:
i. 0 ∈ P
ii. Si n ∈ P entonces (n + 2) ∈ P
iii. Estos son todos los elementos de P
Pruebe utilizando este principio que para todo n ∈ P existe m ∈ N tal que n = m + m
6. Sea Σ = {a, b, c}. Definimos ∆ inductivamente por las siguientes cláusulas:
i. a ∈ ∆
ii. Si α ∈ ∆ entonces bαb ∈ ∆
iii. Estos son todos los elementos de ∆
1
Lógica y algoritmos
2008
a) Enuncie el principio de inducción primitiva para ∆
b) Demuestre que cualquier cadena de ∆ tiene un número par de sı́mbolos b
7. Considere la siguiente definición inductiva de la relación S ⊆ N × N:
i. Si n ∈ N entonces (n, n) ∈ S
ii. Si (n, m) ∈ S entonces (n, m + 1) ∈ S
iii. Estos son todos los elementos de S
a) Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:
(0, 0) ∈ S
0∈S
(2, 3) ∈ S
(3, 4) ∈ S
b) Enuncie el principio de inducción primitiva para S. Demuestre, utilizando este principio, que para
todo par (n, m) ∈ S, n ≤ m
c) Considere ahora la siguiente definición inductiva de Q ⊆ N × N:
i. Si n ∈ N entonces (0, n) ∈ Q
ii. Si (n, m) ∈ Q entonces (n + 1, m + 1) ∈ Q
iii. Estos son todos los elementos de Q
Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:
S⊆Q
Q⊆S
Q=S
2