LA VISIÓN DEL OJO Y EL MÁXIMO DE WIEN DEL ESPECTRO

LA VISIÓN DEL OJO Y EL MÁXIMO DE WIEN DEL ESPECTRO SOLAR
James M. Overduina)
Astrophysics and Cosmology Group, Department of Physics, Waseda University, Okubo, Shinjuku-ku,
Tokyo 169-855, Japan
(Am. J. Phys. 71(6), 519 (2003), Traducción de G. Fuster)
Se dice que los humanos vemos mejor a longitudes de onda amarillo-verde porque hemos evolucionado bajo un
Sol cuyo espectro de cuerpo negro tiene su máximo en la parte verde del espectro. Sin embargo, el espectro
solar en función de la frecuencia tiene su máximo en el infrarrojo. ¿Por qué el ojo humano no evolucionó para
tener su sensibilidad máxima en este último rango, siendo que el ojo es un eficiente detector de fotones? El
misterio puede resolverse si suponemos que la selección natural actuó de modo de maximizar la energía total
detectada por la retina en un rango de longitudes de onda (cuyos límites máximo y mínimo están determinados
por restricciones biológicas). De este modo se puede demostrar que nuestros ojos están en realidad perfectamente adaptados para vivir bajo un sol del tipo G2. Extendiendo este razonamiento podemos hacer conjeturas
razonables acerca del tipo de visión que puede haber evolucionado en otros sistemas planetarios, como por
ejemplo, el recientemente descubierto sistema alrededor de la enana roja Gliese 876.
I.
INTRODUCCIÓN
Los libros de Astronomía nos enseñan que el ojo
humano tiene su máxima sensibilidad en el rango
óptico (con su máximo entre 500 y 560 nm) porque
ha evolucionado para tomar ventaja del espectro de
cuerpo negro del Sol. Cuando se evalúa en función
de la longitud de onda, el máximo de Wien ocurre a
502 nm, de modo que este argumento aparece lógico
a primera vista. La realidad sin embargo puede ser
más complicada que esto, porque el espectro solar
evaluado en función de la frecuencia tiene su máximo a ν≈3,39⋅1014 Hz. Esta frecuencia corresponde a
una longitud de onda de 884 nm. Si el ojo es un eficiente detector cuántico de fotones: ¿no debería
haber evolucionado hacia este último máximo, donde
podría recolectar el máximo número de fotones?
¿Por qué entonces somos incapaces de ver en el
infrarrojo?
Esta pregunta ha sido planteada por Brecher1,
quien llega a la conclusión de que otros factores
(tales como la disponibilidad de pigmentos adecuados) debió haber jugado un rol más importante que la
forma del espectro de la luz solar en la determinación
del máximo de sensibilidad del ojo humano. Aunque
muchos factores complejos, tanto bioquímicos como
de otra naturaleza, deben ciertamente haber estado
involucrados, me gustaría interpretar los hechos de
otra manera.
Supongamos que alguna vez la naturaleza
hubiera experimentado con formas de vida cuya visión estaba finamente sintonizada para una sensibilidad máxima precisamente en el máximo de Wien.
Tales criaturas habrían sucumbido frente a competidores capaces de funcionar en un amplio rango de
condiciones de iluminación, en vez de tener una
agudeza visual limitada a un rango estrecho en torno
a un máximo. En otras palabras, en un medio ambiente complejo y siempre cambiante, la selección
natural habría operado para producir el mejor balan-
ce posible entre un máximo de sensibilidad a una
determinada longitud de onda λp, y un rango de longitudes de onda, ∆λ, dentro del cual la retina fuera
capaz de responder. En el caso del ojo humano este
rango se extiende aproximadamente desde 400 nm a
700 nm, de modo que ∆λ ≈ 300 nm.
El mejor balance posible podrá estar influenciado
por muchos factores, pero desde el punto de vista de
la luz solar, podemos suponer que la cantidad relevante es la energía total a disposición del ojo. Esta
cantidad no es proporcional al espectro de radiación
del cuerpo negro (ni en función de la longitud de
onda ni en función de la frecuencia), sino a su integral respecto a una u otra variable. Si suponemos
que la sensibilidad es aproximadamente simétrica, la
integral debe evaluarse desde λ p – ∆ λ / 2 hasta
λ p + ∆ λ / 2 . Siguiendo este razonamiento, encontraremos que la visión humana, evolucionando bajo la
luz de una estrella G2 tal como el Sol, debería tener
un máximo de sensibilidad cerca de λ p ≈ 5 6 0 n m ,
exactamente como se observa en la realidad.
II. LA FUNCIÓN DE CUERPO NEGRO DEL SOL
La función de Planck que describe el espectro de la
radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura T puede escribirse ya sea en función de la
longitud de onda λ o de la frecuencia ν:
2hc / λ
2
Bλ (T ) =
exp( hc / kT λ ) − 1
2hν / c
3
Bν (T ) =
5
,
(1a)
2
exp( hν / kT ) − 1
.
(1b)
Estas expresiones tienen dimensiones de intensidad
por unidad de rango de longitud de onda en el primer
caso, y por unidad de rango de frecuencia en el segundo. La sustitución de ν= c/λ en Bν (T) no resulta
1
igual a Bλ(T). Es la integral de cualquiera de estas
funciones (con respecto a λ o ν según corresponda),
la que debe dar la misma intensidad a una temperatura dada.
Para graficar las dos funciones Bλ(T) y Bν (T)
para la luz solar, necesitamos estimar la temperatura
de cuerpo negro del Sol. El Sol es generalmente
modelado con un cuerpo negro con una temperatura
efectiva de 5800 K. (Esto corresponde en realidad a
la temperatura de un cuerpo negro cuya potencia
total radiada es la misma que la del Sol). Sin embargo, el espectro de la luz solar que recibimos sobre la
superficie de la Tierra es modificado por la atmósfera
terrestre. Los efectos más importantes son el scattering de Rayleigh y el continuo de absorción por el
ozono; ambos efectos desplazan el espectro hacia
longitudes de onda más largas. La absorción producida por moléculas de oxígeno, vapor de agua y otros
gases generan una larga serie de estrechas líneas
de absorción que modifican aún más la forma del
espectro, especialmente hacia el costado de longitudes mayores que la del máximo de Wien. Para las
mediciones hechas en dirección hacia el Sol, estos
procesos se combinan para reducir la temperatura de
cuerpo negro efectiva a unos 5200 K, en una gran
variedad de condiciones climáticas3. La luz diurna
ambiental (es decir, la luz solar medida en otras direcciones) tiene una temperatura efectiva más alta,
porque el scattering de Rayleigh dispersa preferentemente la luz de longitudes de onda más cortas.
(Esta es la razón de por qué el cielo se ve azul.) En
resumen, el espectro promedio que recibimos sobre
la superficie de la Tierra puede ser modelado aproximadamente como el de un cuerpo negro a una
temperatura ubicada en algún valor entre 5 2 0 0 K y
5 8 0 0 K . Tomemos esta temperatura como
T S O L = 550 0± 300 K . Las dos funciones Bλ(TSOL) y Bν
(TSOL) están graficadas en la Fig. 1.
La sensibilidad espectral aproximada del ojo
humano también se muestra en la Fig. 1 para comparación (línea punteada delgada). Para la visión adaptada a la luz diurna, o fotópica, la curva es aproximadamente de forma gaussiana y está centrada en 555
nm. He tomado ∆λ /2 igual a 3σ, tres desviaciones
estándar, de modo que σ ≈ 50 nm. Este modelo es,
por supuesto, muy simplificado. Los detalles son
muchos más complicados y también mucho más
interesantes. La visión fotópica en los primates es
debida a tres tipos diferentes de células cónicas cuyas sensibilidades individuales tienen sus máximos
aproximadamente a 430 nm (violeta – azul), 535 nm
(verde), y 562 nm (amarillo).4 Esta configuración
particular puede haber evolucionado para ayudar en
la detección de frutas5 u hojas tiernas6 en contraste
con un trasfondo predominantemente verde. La presencia de células sensibles al color rojo podría en
principio haber permitido una mejor discriminación de
los colores pero puede que no se haya producido
debido a la menor energía de los fotones a esas
longitudes de onda.7 (Este es un punto relevante al
presente artículo). La visión adaptada a la oscuridad
o escotópica, por otra parte, está basada en células
cilíndricas cuya sensibilidad es máxima a los 550 nm.
Estas parecen haber evolucionado después de las
células cónicas.8 Muy pocos fotones de longitudes de
onda menores que 400 nm alcanzan la retina. Aquellos en el rango 3 1 5 < λ < 4 0 0 nm son absorbidos por
el cristalino (en donde causan cataratas), mientras
que aquellos con λ < 315 nm no logran traspasar la
córnea. Restricciones similares deben operar para
las demás formas de vida, proporcionando la base
biológica para la cantidad ∆λ.
Fig.1. The Planck blackbody spectrum, evaluated as a function of
wavelength λ (solid line) and as a function of frequency ν, where
λ=c/ν (dashed line). The spectral sensitivity of the human eye
(dotted line) is shown for comparison.
Comparemos a continuación la longitud de onda en
el máximo de sensibilidad del ojo humano (555 nm
para visión fotópica) con la ubicación de los dos
máximos de radiación de cuerpo negro en la Fig.1.
Podemos obtener aproximaciones analíticas a estos
máximos de la siguiente forma. Diferenciamos cualquiera de las dos expresiones en Ec. (1) e igualamos
el resultado a cero (para el máximo a λ = c / ν = λB)
obteniendo la ecuación:
1 − hc / mkT λ B = exp( − hc / kT λ B )
(2)
en donde m=5 para Bλ(T) y m= 3 para Bν(T). Ambos
lados de la Ec. (2) son pequeños. Si llamamos al
lado izquierdo ε, el lado derecho queda exp[-m (1 ε)] y la Ec. (2) puede escribirse como
ε exp( m ) = exp( ε m )
(3)
Si expandimos exp(εm) en serie de Taylor y conservamos hasta los términos de orden ε2, obtenemos la
ecuación cuadrática
m ε / 2 − ( e − m )ε + 1 = 0
2
2
m
(4)
Resolviendo la Ec. (4) para ε encontramos que el
máximo del espectro de cuerpo negro ocurre a la
longitud de onda
2
λB =
=
hc
m(1 − ε )kT
hc
(5)
1
⋅
kT ⎡ (e m / m − 1)2 − 2 − ( e m − 1) + m ⎤
⎣
⎦
Para m= 5 Ec. (5) se reduce a la conocida fórmula de
2,9 [ mm ⋅ K ]
Wien λ Bλ =
; para m = 3 el máximo se
T
5,1[ mm ⋅ K ]
. Para la luz del Sol
encuentra en λ Bν =
T
recibida
en
la
superficie
de
la
Tierra
( T S O L = 550 0± 300 K) estas expresiones dan longitudes de onda de 5 5 0 ± 3 0 n m y 9 3 0 ± 3 0 n m , respectivamente, en concordancia con las ubicaciones
de los máximos en la Fig. 1. Estos valores están
suficientemente cerca de 555 nm para darnos algún
grado de certeza de que la forma del espectro de
cuerpo negro de la radiación solar tuvo algún efecto
en la evolución de la visión humana. Si esto es así,
entonces: ¿cuál de los dos máximos del espectro de
cuerpo negro es el relevante? (Si es que alguno lo
es).
III. LA INTENSIDAD Y EL OJO ÓPTIMO
De hecho, ninguno de los dos máximos del espectro
de cuerpo negro de la Fig. 1 es particularmente relevante en sí mismo. Lo razonable es suponer que el
ojo humano ha evolucionado a través del tiempo de
forma de recolectar la máxima cantidad de energía
posible de luz solar, sujeto a las restricciones biológicas de un rango finito (y no cero) de longitudes de
onda ∆λ, centrado en una longitud λp. En términos de
Bλ(T) esta suposición significa maximizar la cantidad:
I B ( ∆λ , λ p ) =
∫
λ p + ∆λ / 2
λ p − ∆λ / 2
Bλ (T )d λ
tener retinas con un rango de longitudes de onda tan
amplio como ∆λ=2000 nm, la Fig. 2 nos demuestra
que la selección natural nos habría llevado a centrar
este amplio rango en el infrarrojo lejano, cerca de
λp=1210 nm (la curva de mayor intensidad).
En la realidad, la sensibilidad espectral humana
está caracterizada por ∆ λ ≈ 3 0 0 n m . La curva que
corresponde a este valor en la Fig. 2 (línea continua)
tiene alcanza su máximo a λ p ≈5 60nm. No es sorprendente entonces, que la visión fotópica en los
humanos alcance su máxima sensibilidad a los 555
nm. Esto responde a la interrogante acerca de cuál
de los máximos de Wien es el relevante: Lo importante no es la función del espectro solar en sí misma
sino su integral, cuyo valor resulta siempre el mismo
sin importar si integramos usando Bλ(T) o Bν (T). La
conclusión puede extenderse a otras situaciones en
física en la que uno tiene una función de distribución
o de densidad que es esencialmente de naturaleza
diferencial, (como por ejemplo, Bλ que es intensidad
por unidad de rango de longitud de onda; otros
ejemplos en astronomía son: la densidad de masa
por unidad de distancia radial en un cascarón esférico en el interior de una estrella, y la sección transversal de absorción por unidad de masa en el medio
interestelar). Es una regla general que las cantidades
integradas (por ejemplo la masa total de la estrella, y
la fracción de absorbida a lo largo de la línea de visión) son físicamente más significativas que las densidades en sí mismas.
(6)
Esta integral tiene unidades de energía por unidad
de tiempo y por unidad de área, es decir de intensidad. Los resultados están graficados en la Fig.2 como una función de λp para el rango 100 nm < λp <
2200 nm y para siete diferentes valores de ∆λ. [La
integración de Bν(T) sobre el correspondiente intervalo de frecuencias ∆ν=c/∆λ produciría exactamente el
mismo gráfico].
Supongamos que la biología hubiera dictado que el
ojo fuera sensible a un rango muy estrecho de longitudes de onda, ∆λ=10nm. Dicha situación estaría
representada en la Fig. 2 por la curva de más baja
intensidad (punteada doble), que tiene su máximo a
λ p = 5 3 0 n m , valor que corresponde al máximo de
Wien para la luz solar medida en la superficie de la
Tierra. (De hecho, el máximo de Wien es precisamente el límite cuando ∆ λ → 0 del valor óptimo de λp,
tal como hemos definido esta última cantidad). Por
otra parte, si hubiéramos sido tan afortunados de
Fig. 2. The intensity of solar radiation emitted between wavelengths λp–∆λ/2 and λp+∆λ/2, plotted as a function of λp for seven
values of ∆λ.
Los resultados que hemos obtenido hasta ahora
pueden ser presentados en otra forma que es más
compacta y más sugestiva. Encontremos numéricamente el valor máximo de lB(∆λ,λp) como función de
∆λ y de λp, y grafiquemos los resultados como contornos en el espacio de fase definido por estas dos
variables. Siguiendo este procedimiento obtenemos
(para el caso de la luz solar en la superficie de la
Tierra, con TSOL≈5500 K) el diagrama mostrado en la
Fig. 3. La línea sólida corresponde a los valores de
(∆λ, λp) para los cuales IB alcanza su máximo valor,
3
IB,máx. Los otros contornos corresponden a combinaciones de (∆λ, λp) para los cuales IB es igual a 0,95
IB,máx, 0,8 IB,máx , y 0,5 IB,máx respectivamente. La cruz
marca la ubicación en espacio de fase correspondiente al ojo humano (300 nm, 555 nm), y se observa
de inmediato que éste está en realidad adaptado
perfectamente para la vida bajo una estrella del tipo
G2.
Por supuesto que otros factores deben también
haber jugado un rol. El espectro de la luz solar filtrado por la atmósfera terrestre no es en realidad idéntico en forma al de un cuerpo negro.3 La absorción y el
scattering característicos de la atmósfera pueden
haber variado significativamente a lo largo de la evolución humana. La supervivencia requiere una agudeza visual no sólo bajo la luz del día, sino además
bajo la luz de la Luna, de las estrellas, e incluso bajo
luz artificial. Las reflectividades de las superficies
individuales en nuestro medio ambiente producen
espectros muy diferentes que los de la luz solar. Y la
sensibilidad de la retina depende de la longitud de
onda en una forma no trivial. Consideraciones de
este tipo podrían ser tomadas en cuenta, multiplicando Bλ(T) en el integrando de la integral (6) por funciones de λ que pesaran las diferentes longitudes de
onda de forma apropiada. Sin embargo, no hay razones para pensar que dichos efectos sean más importantes que el espectro de cuerpo negro del Sol en sí
mismo. En realidad, es admirable que hayamos podido predecir tan precisamente las verdaderas características del ojo humano sin tomar en cuenta los
refinamientos mencionados.
dres con una amplia variedad de propiedades. Entre
estos sistemas, uno de los más interesantes es Gliese 876, una estrella enana roja de la clase M4 ubicada a 15 años luz de la Tierra en la constelación de
Acuario. Al igual que el Sol, esta estrella pertenece a
la secuencia principal, pero es mucho más pequeña,
más débil y más fría que nuestra estrella madre. La
masa, diámetro y luminosidad de Gliese 876 han sido
estimadas como 1/3, 1/5 y 1/800 de las del Sol, respectivamente. Dos grupos de investigación descubrieron independientemente un planeta orbitando a
esta estrella en 1998,9,10 y un segundo planeta fue
detectado tres años más tarde.11 Ambos planetas
son gigantes gaseosos, con masas de alrededor de
1,9 y 0,6 veces la masa de Júpiter. Ellos orbitan su
estrella madre en tan sólo 61 y 30 días, respectivamente. Aun cuando es muy poco probable que la
vida tal como la conocemos haya evolucionado en
alguno de estos dos planetas, podría ocurrir que las
condiciones necesarias estuvieran presentes en algún planeta similar a la Tierra muy cercano a la estrella, o quizás en alguna de las lunas de los gigantes
gaseosos. La Figura 4 muestra una vista del sistema
Gliese 876 como podría verse desde una de tales
lunas.
Fig. 4. A view of Gliese 876 and its two gas-giant planets, as seen
from a rocky moon. Figure Lynette Cook, reproduced by permission. Contact the artist at lynette@spaceart.org to license and
obtain-resolution color files depicting this and other extrasolar
systems. To see more of the artist´s work, go to
(http://extrasolar.spaceart.org).
Fig.3. Contours of equal solar intensity in the phase space defined
by the parameters ∆λ and λp. We would expect the human eye to
evolve to the solid line, where it is sensitive to the greatest amount
of energy from the Sun. This does in fact seem to have occurred
(location of cross).
IV. ¿CÓMO HABRÍA EVOLUCIONADO LA VISIÓN BAJO LA
LUZ DE OTRAS ESTRELLAS?
Como una aplicación de nuestro razonamiento, preguntémonos ahora cómo habría evolucionado la
visión bajo la luz de una estrella diferente. Más de
cien planetas extrasolares han sido descubiertos
recientemente, orbitando alrededor de estrellas ma-
A partir de las diferencias en los colores de sus bandas V- (óptica), y de las I-, y K-, (infrarrojas), la temperatura efectiva en la superficie de Gliese 876 ha
sido estimada entre 3100 K y 3250 K.10 Si suponemos, sólo para aplicar nuestro argumento, que los
demás planetas con vida tiene atmósferas similares a
la de la Tierra, entonces la temperatura de cuerpo
negro efectiva de la luz de Gliese 876 recibida en la
superficie de uno de tales mundos podría ser aproximadamente TG876 = 2900 K ± 300 K. Los máximos
de las funciones Bλ( TG876) y Bν (TG876), calculados
mediante la Ec. (5) serían λ Bλ = 1000 ± 120nm y
λ Bν = 1760 ± 120nm . Reemplazando TG876 en vez de
4
TSOL y repitiendo el procedimiento de optimización
descrito en la Sec. III, podemos construir el diagrama
de la Fig. 5. Tal como antes, este es un gráfico en el
espacio de fase definido por las características visuales ∆ λ y λ p . La posición del ojo humano está marcada de nuevo por una cruz. Se puede observar
claramente a partir de este diagrama que los humanos estaríamos muy pobremente adaptados a la vida
en Gliese 876. Si fuéramos transportados repentinamente a este sistema, encontraríamos que seríamos
sensibles a menos del 50% de la luz estelar potencialmente disponible.
ces podemos fácilmente explicar el por qué podemos
ver mejor en el rango amarillo del espectro. Alrededor de otras estrellas, un razonamiento similar nos
lleva a conclusiones diferentes, y hemos demostrado
a manera de ejemplo, que formas de vida en el sistema extrasolar alrededor de Gliese 876 habrían
evolucionado probablemente hacia un máximo de
sensibilidad en el infrarrojo.
VI. AGRADECIMIENTOS
El autor ha sido apoyado por la Sociedad Japonesa
para la Promoción de la Ciencia (JSPS).
a)
Correo electrónico:
overduin@gravity.phys.waseda.jp
1.
Fig. 5. The same diagram as in Fig. 3, but now assuming a class
M4 star like Gliese 876 in place of the Sun. The human eye would
be poorly adapted to life around this star (location of cross). Based
on this diagram, we would expect life-forms whose range of vision
was comparable to ours (∆λ≈300 nm) to evolve to a peak sensitivity of λp≈1000nm.
Supongamos que alguna otra forma de vida hubiera
evolucionado sobre alguno de los planetas o lunas
de este sistema, y aún más supongamos que las
restricciones biológicas allá fueran comparables a las
de la Tierra, de modo que la sensibilidad de la retina
se hubiera desarrollado aproximadamente en el
mismo rango de longitudes de onda, ∆ λ ≈ 3 0 0 n m .
Trazando una vertical hacia arriba desde la ubicación
de la cruz en la Fig. 5, podemos ver que la selección
natural habría llevado a las criaturas a evolucionar
hacia un máximo de sensibilidad en la vecindad de
λ p ≈ 1 0 0 0 n m . Si nosotros hubiésemos evolucionado
en las cercanías de Gliese 876, probablemente seríamos capaces de ver en el infrarrojo.
K. Brecher, “Why dont´we see in the infrared?”, Bull.
Am. Astron. Soc.193,34.01(1999).
2. B. W. Carroll and D.A. Ostlie, An Introduction to Modern
Astrophysics
(Addison-Wesley,
Reading,
MA,1997).
3. M. L. Biermann, D. M. Katz, R. Aho, J. Diaz Barriga,
and J. Petron, “Wien´s law and the temperature of the
Sun,” Phys. Teach. 40, 398 – 401 (2002).
4. G. H. Jacobs and J. F. Deegan II, “Uniformity of colour
vision in Old World monkeys,” Proc. R. Soc. London,
Ser B 266, 2023-2028 (1999).
5. D. Osorio and M. Vorobyev, “Colour vision as an adaptation to frugivory in primates,” Proc. R. Soc. London,
Ser. B 263, 593-599 (1996).
6. N. J. Dominy and P.W. Lucas, “Ecological importance
of trichromatic vision to primates,” Nature (London)
410, 363-366 (2001).
7. P. Gouras, “Color vision,” Webvision: The Organization
of the Retina and Visual System (online textbook at
(http://webvision.med.utah.edu/)).
8. J. K. Bowmaker, “Evolution of colour vision in vertebrates,” Eye 12, 541-547 (1998).
9. G. W. Marcy, R. P. Butler, S. S. Vogt, D. Fischer, and
J. J. Lissauer, “A planetary companion to a nearby M4
dwarf, Gliese 876,” Astrophys. J. Lett 505, L147-L149
(1998).
10. X. Delfosse, T. Forveille, M. Mayor, C. Perrier, D. Naef,
and D. Queloz “The closest extrasolar planet,” Astron.
Astroplys. 338, L67-L70 (1998).
11. G. W. Marcy, R. P. Butler, D. Fischer, S. S. Vogt J. J.
Lissauer, and E. J. Rivera, “A pair of resonant planets
orbiting GJ 876,” Astrophys. J. 556, 296-301 (2001).
V. CONCLUSIONES
El ojo humano ha evolucionado para sacar provecho
de la forma del espectro de cuerpo negro de la luz
solar. Sin embargo, no es la curva en sí misma la
que importa (ya sea en función de longitud de onda o
de frecuencia) sino su integral, que es proporcional a
la intensidad de la luz del Sol. Al tomar en cuenta
este hecho, junto con la observación de que la visión
humana está caracterizada no sólo por una longitud
de onda en el máximo del espectro λp, sino además
por un rango finito de longitudes de onda ∆λ, enton-
5