Tema 6. Medición de la gravedad.

Tema 6. Medición de la gravedad.
TEMA 6
MEDICIONES ABSOLUTAS Y RELATIVAS DE LA GRAVEDAD
128
6.1. Medidas de la gravedad.
La gravedad en la tierra puede ser medida como mínimo de cuatro formas diferentes:
(1) Mediante la caída libre de una carga testigo.
(2) también mediante la oscilación de un péndulo en libre oscilación.
(3) o mediante el análisis de la oscilación de una masa pareja a un muelle.
(4) o bien mediante el análisis de las oscilaciones de una masa testigo solidaria a una
fibra.
Los principios físicos que rigen las medidas de estos fenómenos son bastante simples, no
podemos decir lo mismo del diseño de los aparatos para cuantificarlos y obtener una
medida del evento lo suficientemente buena como para que tenga una eficacia técnica, y
una precisión del valor de la gravedad acorde con el trabajo a realizar.
Actualmente debido a la alta precisión con que se realizan los cálculos en cualquier
trabajo de gravimetría, y debido a la tecnología que se utiliza y el destino que va a tener,
independientemente de el campo de aplicación (ya sea prospección o la geodesia física)
se hace recomendable trabajar con una precisión de entre 10 y 100 µGal. Otra
característica que se le debe pedir a un gravímetro es que el diseño del mismo permita la
portabilidad, ya que en otro caso este gravímetro sería inútil, excepto para centros de
investigación o estudios especiales. También hay que considerar que el tiempo empleado
para obtener una medida de la gravedad se halle en un periodo razonable.
Todo estos requerimientos hace que el diseño de un gravímetro, a pesar de la simplicidad
de los principios físicos en que se basan, sea complicado si se tienen que cumplir todos
los requerimientos vistos.
6.2. Medidas en caída libre.
Supongamos que una pequeña masa testigo es abandonada al vacío desde una posición
fija. La atracción gravitacional de la tierra g produciría que dicha masa se precipitase al
vacío realizando una trayectoria de x m en un tiempo t, según la conocida ecuación:
1
x= gt2
2
(6.1)1
despejando g
1
a=
129
dv
dt
; dv = a dt ; v = a t :
v=
dx
dt
; dx = v.dt ; x =
1
2
at
2
Tema 6. Medición de la gravedad.
g =2
x
t2
(6.2)
Ésta fórmula establece que el valor de la gravedad se determina midiendo, t el tiempo de
caída del objeto, y x la distancia recorrida. En el supuesto de que esta masa fuese lanzada
desde un metro de altura tardaría en recorrer dicha distancia algo menos que medio
segundo lo cual estaría indicando una aceleración aproximada de 980 gals, en el caso que
nos encontremos sobre la superficie terrestre.
Generalmente no se conoce con precisión la posición inicial de la masa en caída libre ni
el tiempo exacto de despegue, esto hace obligatorio la toma de al menos tres medidas de
tiempo t y de la posición de la masa x, ya que (6.1) pasa a (6.3)
x = x0 + v0 t +
g 2
t
2
(6.3)
En estas medidas la precisión de la distancia y del tiempo debe ser muy alta. Si en (6.1)1
despejamos la aceleración y la obtenemos en función de t y x se obtiene
g=
2x
t2
(6.4)
que aplicando la ley de propagación de errores se resuelve (Torge1989).
dg dx
dt
= −2
g
x
t
(6.5)
Esto implica que para obtener una medida de g con precisión de 0.1 mgal se hace
necesario medir la distancia con una precisión de 10-5 cm, y el tiempo debería ser medido
con una precisión cercana a los 10-8 s. Ésta precisión en las medidas no fue posible hasta
pasados los 60 cuando la tecnología electrónica y el láser permitieron dichas operaciones.
Otro factor a tener en cuenta es que la gravedad no es homogénea, o lo que es lo mismo
la aceleración no es constante debido a que un cambio de posición implica un cambio en
los valores de la gravedad, quiere decir esto que conforme el objeto descienda los valores
de la gravedad van en aumento como hemos visto en el tema 4 (reducción aire-libre), la
corrección se puede encontrar en Torge, 1989 y en Cook, 1965.
130
Otros factores a tener en cuenta en la medición de la gravedad por caída libre es el efecto
producido por la fricción de la atmósfera y los movimientos del suelo, eventos que
alteran la medición y las condiciones de caída.
La fricción atmosférica depende del material, forma y de la velocidad de caída, del
cuerpo y de la densidad de la atmósfera. Normalmente bajo condiciones atmosféricas
estándar se obtiene una precisión en la medida de los valores de la gravedad de 10-3 g, lo
cual implica una precisión muy baja. En condiciones de vacío la fricción de la atmósfera
se ve disminuida, las partículas de la atmósfera se comportan como partículas simples,
oponiendo estas partículas una fuerza a la caída de la masa de forma lineal, lo cual
posibilita el cálculo de esta fuerza de resistencia. Existen diferentes métodos para reducir
los efectos de la presión atmosférica. Una es la medición en cámaras de alto vacío, siendo
este proceso muy costoso y puede provocar interferencias sobre los sistemas de medida.
Otra solución es la de establecer cámaras de vacío controladas por un servo, a través del
cual posteriormente se calcula el efecto provocado por la atmósfera.
El efecto provocado por microsismos tiene una repercusión sobre los sensores ya que les
produce un movimiento o lo que es lo mismo una aceleración la cual se traduce en unas
medidas de la aceleración erróneas. La forma de evitar este error es, mediante la
realización de series de medidas, o bien mediante la inclusión en el proceso de medidas
de un sismómetro o acelerógrafo que registre las aceleraciones y eliminarlas de las
medidas Torge,1989.
Prisma en caida
libre
Prisma fijo
Fig.6.1.
Lente de escisión
emisor laser
Lente de fusión
Fotomultiplicador y
contador
Veamos un diseño de estos tipos de gravímetros basados en la caída libre de una masa, el
cual ha sido confeccionado mediante dos prisma de reflexión troncocónicos (fig.6.1.). El
131
Tema 6. Medición de la gravedad.
gravímetro expuesto en fig 6.1 opera de la siguiente forma. El haz láser es emitido por un
diodo láser el cual se ve escindido en dos haces en la lente de escisión mediante un
partidor (beam splitter), tomando cada haz una dirección perpendicular entre ellos, uno
toma la dirección hacia un prisma móvil superior y el otro haz una dirección hacía el
prisma estático. Ambos haces sufren reflexiones internas en ambos primas volviendo a
ser fundidos finalmente en un nuevo haz de determinadas características. Debido al
diferente recorrido de los haces (conviene recordar que la luz láser es una luz coherente
en longitud y fase, el desfase de ambos haces produce un patrón diferente de brillo),
cuando de nuevo se vuelven a fundir los dos haces en un mismo haz, genera un nuevo
haz con unas características diferentes al primero (por lo que se refiere a patrón de
brillo). Ésta composición diferente determina unas características de brillo en el haz, y
será cambiante en el tiempo ya que el prisma superior sometido a una caída libre va
cambiando su posición. Esto provoca en el haz resultante una variación del brillo, dichas
variaciones de brillo (Luz, no Luz) una vez contadas, nos permite obtener la distancia
recorrida por el prisma y el tiempo tardado en recorrerlo, este conteo se realiza mediante
un sistema contador y multiplicador.
Este tipo de medición se realiza en unas condiciones medioambientales estrictamente
controladas. Las medidas se realizan en una cámara al vacío. Como cualquier pequeño
micromovimiento del suelo puede producir errores es necesario que el experimento sea
repetido en varias ocasiones, usualmente en este tipo de gravímetros la repetición es del
orden de unas 50. La instrumentación montada debe ser manejada con un gran cuidado.
A pesar de que este instrumento puede ser desmontado para su transporte el montaje
requiere de una gran precisión y de una calibración, lo cual revierte en un gran consumo
de tiempo.
Estos tipos de aparatos proporcionan valores absolutos de la gravedad.
Otros tipos de aparatos fundamentados en el mismo principio miden el movimiento de un
objeto en libre caída mediante un interferómetro láser. Otro tipo de gravímetro tiene
perfectamente medido la distancia entre dos haces de luz, entre los cuales en un momento
dado se halla una masa en movimiento afectada por la fuerza de la gravedad, midiendo
este aparato el tiempo que tarda en recorrer la masa dicha distancia.
Aunque este principio fundamental de la medida del tiempo de caída de un objeto, da
muchas posibilidades a la hora de diseñar un gravímetro, en ningún caso es posible
construir en la actualidad un gravímetro portátil bajo estas premisas, con lo cual estos
instrumentos tan especiales se suelen hallar en centros para el control de los valores de la
132
gravedad. Para resolver valores de la gravedad en ubicaciones diferentes a estas se opta
generalmente por medir los incrementos del valor de la gravedad entre estos puntos y los
puntos de los cuales se quiere resolver la gravedad, ya que esta operación se puede
realizar con aparatos con una alta portabilidad en comparación con los gravímetros que
dan los valores absolutos de la gravedad, como veremos en las siguientes secciones.
6.3 Medidas con péndulo.
6.3.1. Medidas absolutas de la gravedad.
Se entiende como péndulo al dispositivo compuesto por una masa de libre oscilación
sobre un eje estático. El péndulo matemático es un punto material que oscila suspendido
en un hilo inextensible y sin peso, este péndulo es ideal ya que no se puede construir.
Apartamos el péndulo de su posición de
Fig.6.2.
equilibrio A, trasladandolo a B y el péndulo
φ
debido a su tendencia de adquirir su posición de
B
mínima energía potencial alcanza de nuevo A.
C
h
Debido a la energía potencial suministrada al
φ
x
A
colocarlo en B (mgh) esta se convierte en energía
mg
cinética, la cual empuja a la masa a C,
convirtiéndose esta de nuevo en energía potencial.
La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso (mg) , que puede descomponerse en
dos componentes, una de ellas tangente a la trayectoria
Ft = − mg sen ϕ
(6.6)
indicando el signo menos que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento angular
Podemos aproximar (6.6) por
Ft = − mgϕ
(6.7)
Se demuestra que el periodo de oscilación de un m.v.s se obtiene por (Burbano, 1984)
τ = 2π
133
M
K
(6.8)
Tema 6. Medición de la gravedad.
siendo M la masa del péndulo y K la constante de la fuerza que provoca el movimiento
del péndulo.
Para el caso que estamos estudiando K se puede considerar en (6.7) que se puede
aproximar por
F =−
Mg
mg
x = − Kx; K =
l
l
(6.9)
Que aplicado a (6.8) obtenemos finalmente un periodo para el péndulo de
τ = 2π
M
Mg
l
g
= 2π
l
(6.10)
Se conoce como periodo del péndulo al tiempo requerido por la masa en suspensión para
realizar un ciclo completo (partida de una posición determinada y llegada de nuevo al
mismo punto). La ecuación que establece la relación entre los valores de la gravedad y el
periodo del péndulo físico, ya que el matemático es imposible resolver su construcción:
τ = 2π
I
mgh
(6.11)
Donde m es la masa del péndulo
I es el momento de inercia respecto el punto de suspensión (el sumatorio de las masas
por la distancia al cuadrado respecto de un eje)
h es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa.
Tras una conveniente reordenación obtenemos que:
4π 2 I
g= 2 : K=
mh
τ
K
(6.12)
Conociéndose K como la constante del péndulo. Observando el periodo del péndulo se
resuelve el valor de la gravedad según (6.12). El problema es que hasta la fecha nadie ha
podido determinar con suficiente precisión la constante del péndulo K, para poder
resolver los valores de la gravedad con una precisión mayor a 0.1 mgals. Esto implica
que nos podemos encontrar con el caso de dos instrumentos construidos de la misma
forma, y sin embargo obtener en ambos, valores de la gravedad diferentes, no existiendo
forma de resolver cual de los dos da un valor de la gravedad más exacto.
134
6.3.2. Medida relativa de los valores de la gravedad.
Aun así, los péndulos han demostrado una auténtica utilidad para medir incrementos en
los valores de la gravedad (∆g), entre diferentes puntos. Para este último propósito
partimos de la asunción de un valor de K constante, este, teóricamente es el mismo
mientras no cambiemos el péndulo y no varíen las condiciones físicas del entorno. Por
ello tan solo conociendo el valor del periodo de oscilación del péndulo se puede resolver
el ∆g a partir de (6.12):A pesar de tener un valor de K impreciso los valores relativos de
g1 t12 = g 2 t22
(6.13)
la gravedad se pueden obtener con una precisión buena. Cuando se miden los valores de
la gravedad en dos puntos diferentes con el mismo péndulo y bajo las mismas
condiciones físicas el error cometido en la medida de la gravedad es el mismo y con el
mismo signo, bajo esta suposición el valor del incremento de la gravedad será más
preciso que el valor absoluto de la gravedad. Algunos péndulos trabajan con una
precisión en g de 20 mgal y en ∆g de 0.1 mgal
Los péndulos portátiles fueron usados con fines prospectivos durante los años 30. Un
ejemplo práctico de péndulo es el que
Fig.6.3
se muestra en la figura 6.2., en este la
función de péndulo la realiza una
varilla de cristal suspendida por un
soporte de cuña, el cual descansa
sobre dos planos de cristal solidarios
a una pesada y consistente basada. El
periodo de estos tipos de péndulos es
ligeramente menor a un segundo.
Durante los procesos de medición
mediante péndulo se observó que la
oscilación de un péndulo simple producía ciertas vibraciones en los soportes, lo cual
producía alteraciones en el periodo natural del péndulo, por lo cual se optó por fabricar
péndulos opuestos, los cuales podían ser ajustados para provocar exactamente el mismo
periodo de oscilación, lo cual reducía en gran medida las vibraciones provocadas por la
oscilación del péndulo.
135
Tema 6. Medición de la gravedad.
Los péndulos suelen funcionar bajo condiciones termoestables para evitar expansiones
térmicas y cambios de presión, por la misma razón suelen ir montados en cámaras de
vacío y controladas termostaticamente.
Las operaciones previas para realizar las medidas de gravedad con un péndulo son, la
nivelación del instrumento, comprobación del vacío, de los relojes, y de la temperatura,
en definitiva una medición de la gravedad suele tardar del orden de una hora como
mínimo, y usualmente el registro que se obtenía quedaba gravado en un registro
fotográfico, que después mediante un recuento de ciclos y con la medida del tiempo total
se obtenía el valor del periodo.
6.4 Gravímetros de muelles
6.4.1. Gravímetro de equilibrio de muelle vertical
Los gravímetros son aparatos diseñados
Fig.6.4.
expresamente para la obtención de los
valores de los incrementos de la
gravedad,
entre
observación.
x
instrumentos
La
dos
puntos
mayoría
consisten
de
de
estos
en
una
disposición de masas pendientes de
kx
mg
muelles.
∆x
El
principio
básico
de
funcionamiento de estos gravímetros es
bastante simple, este consiste en una
masa m suspendida de un muelle tal
como aparece en la figura 6.4, la cual
produce una elongación de la longitud
del muelle x, esta elongación es
producida por la fuerza actuante sobre la
masa, que es la fuerza de la gravedad mg. La fuerza ejercida por la gravedad se ve
compensada, por una fuerza de reacción ejercida por el muelle, kx, así pues podemos
establecer:
k.x=mg (6.14)
136
Siendo k la constante del muelle. Cuando este sistema es trasladado de un emplazamiento
a otro, conlleva un cambio de la gravedad ∆g, este cambio produciría un cambio en la
longitud del muelle, ∆x, por tanto se puede decir que:
k. ∆x = m ∆g (6.15)
Como ya hemos visto cualquier perturbación a la cual se vea sometida la masa, tendrá
como resultado el movimiento de la masa hacía arriba y hacía abajo, describiendo un
m.v.a., según hemos visto en (6.8) este periodo se puede obtener, el periodo natural τ de
m
(6.16)
k
este movimiento estará relacionado con la masa y la contante del muelle.
τ = 2π
Ya con estos principios se trata de construir un instrumento práctico a los efectos,
pequeño, portátil, de lectura fácil y que tenga como mínimo una sensibilidad a las
diferencias de gravedad entorno 0.01 mgal. Obviamente la masa no debe ser muy pesada,
ni el muelle excesivamente largo, ya que en caso contrario la portabilidad desaparecería,
una guía buena para el diseño de las partes del gravímetro es fijarnos en las ecuaciones
(6.14), (6.15) y (6.16). Por ejemplo supongamos que nosotros queremos obtener un
gravímetro con un periodo menor de 10 s en vistas de no dilatar mucho el tiempo
ocupado para una lectura, si a ésta condición le añadimos una masa menor de 10 gramos,
a partir de estos datos obtendríamos el resto de los condicionantes y parámetros a los
cuales hemos sujeto el resto de los componentes del gravímetro, si los resolviésemos
veríamos que es inviable por la longitud del muelle ;
que hay que buscar otra vía más factible en el diseño del gravímetro.
x=
mg
∆g
∆x
: K=
m: x=
g
∆g
∆x
k
(6.5)
Gravímetro de equilibrio muelle-palanca.
Otros diseños de gravímetros basados en el mismo mecanismo de compensación de la
fuerza de la gravedad fueron ideados para resolver el problema de la longitud del muelle
que en el caso del gravímetro de muelle vertical requería una longitud muy larga para
obtener precisión, lo cual era poco práctico.
137
Tema 6. Medición de la gravedad.
A este respecto los gravímetros de equilibrio muelle-palanca han resuelto en gran medida
este problema. Este tipo de gravímetros utilizan muelles de torsión y helicoidales,
proporcionado estos muelles la fuerza que contrarresta la fuerza de la gravedad.
6.4.2.Los
T(α-α0)
gravímetros
muelle-palanca
compensación
α
m
a
O
con
de
equilibrio
mecanismo
mediante
muelle
de
de
torsión están compuestos por una masa m
localizada al final de la palanca de longitud
mg
a pudiendo rotar esta alrededor de un eje
horizontal denominado O. El ángulo entre
la línea de la plomada y la palanca es α. Un
cambio
Fig.6.5.
de
la
correspondido
gravedad
con
una
(g)
se
fuerza
ve
de
compensación generada por el muelle provocando un cambio de la posición de la palanca
(α). La ecuación de equilibrio la podemos escribir de esta forma.
m g a sen α = T (α 0 − α )
(6.6)
Siendo T la constante de torsión, la cual es función de la longitud, grosor y elasticidad del
muelle de torsión.
Un cambio de la gravedad se ve correspondido con un cambio angular. Este dos cambios
no presentan una correspondencia lineal (6.6). Diferenciando (6.6) obtenemos la relación
existente entre una cambio de la gravedad y su repercusión en el cambio de la posición
de la palanca, o sea la sensibilidad.
α0 + α
dα
=
dg g (1 − (α 0 + α ) cot gα )
(6.7)
Esta ecuación que expresa la sensibilidad del sistema pone de manifiesto que
disponiendo la palanca en ciertas posiciones de partida (α0), podemos obtener un sistema
más sensible. De particular importancia son las posiciones de α0=0º, adquiriendo el
sistema una disposición de péndulo invertido y α0=90º.
138
K(l-l0)
6.4.3. Los gravímetros de equilibrio
muelle-palanca
con
mecanismo
compensación mediante muelle
h
δ
α
l
b
de
se
diferencian de los de torsión en que la fuerza
m
del muelle que contrarresta la fuerza de la
gravedad, no se aplica sobre el eje O, si no
a
sobre la palanca.
La fuerza que contrarresta a la de la gravedad
es K(l-l0) y se puede hacer que actué sobre la
Fig.6.6
palanca bajo un ángulo arbitrario. La línea
que une el punto de anclaje del muelle con el punto de giro de la viga tiene un ángulo
respecto a la vertical δ. Veamos el momento generado por el muelle en esta disposición.
d
M F = K (l − l0 )h = K (l − l0 )b sen α
l
(6.8)
En este caso la condición de equilibrio es
m g a sen(α + δ ) = k b d
l − l0
sen α
l
(6.9)
Diferenciado apropiadamente (6.9) obtenemos de nuevo la sensibilidad del sistema:
dα
ma sen(α + δ )
=
kbd 
bd
dg

2
 (l − l0 )cosα + 2 sen α  − mga cos(α + δ )
l 
l

(6.10)
esta ecuación pone de manifiesto que con una correcta elección de los parámetros que
configuran el dispositivo podemos alcanzar una mayor sensibilidad de medida y
precisión en concreto los parámetros importantes son α,δ y l0.
De especial importancia es l0 , este es la longitud inicial del muelle, cuanto más pequeña
sea esta más sensibilidad presentara el gravímetro, lo deseable en estos muelles es que
partieran de una longitud 0. Esto no es posible por que los muelles están confeccionados
con un material lo cual no hace posible el lograr este objetivo. Sin embargo varios
desarrollos han conseguido mediante diversas técnicas constructivas obtener muelles con
comportamiento parecido a muelles de longitud 0.
139
Tema 6. Medición de la gravedad.
Otras preguntas que nos podemos formular en cuanto al diseño del gravímetro, es como
reducir el tiempo requerido para realizar una lectura, y como mínimo mantener una
precisión en la lectura de 0.1 mgal, lo cual ha sido objeto de largos desarrollos y
experimentaciones hasta encontrar una solución idónea al problema, para este fin los
fabricantes realizaran pruebas completas y severas a los gravímetros, finalmente se
obtuvieron gravímetros con una gran sensibilidad. A través de estos esfuerzos en la
actualidad nos encontramos con gravímetros con un periodo natural entre 5 y 10 s y con
precisiones entorno a los 0.001 mgal, y con pesos inferiores a 2.5 Kg., y con una alta
portabilidad.
En contrapartida los gravímetros presentan una gran desventaja y es que son mucho mas
sensibles al medio en el cual trabajan, esto es debido a que los parámetros de medición
están basados en sistemas completamente mecánicos, esto es, la fuerza de la gravedad es
compensada por una fuerza mecánica buscada, este sistema mecánico que compensa la
fuerza es muy sensible a cualquier cambio de las condiciones térmicas y de presión, ya
que se producirían dilataciones, contracciones, etc.
Por lo tanto en los gravímetros el control termostático es de alta importancia ya que
cualquier cambio influye de gran manera sobre estos, ya que cualquier contracción o
expansión de las diferentes partes que componen el microgravímetro pueden modificar
las condiciones de equilibrio de la viga, en virtud de esto una de las grandes precauciones
que se toman en la construcción del gravímetro es que el mecanismo sensible se halle
bien aislado, por lo general estos suelen estar controlados por termostatos con una
precisión de 0.002º.
Todos las gravímetros deben de ser calibrados para encontrar exactamente la relación
existente entre las desviaciones de la viga y los incrementos de la gravedad, para lo cual
existen dos métodos utilizados. Uno de ellos consiste en la inclinación del gravímetro
respecto a la vertical lo cual implica un cambio en la dirección en la cual actúa la
gravedad sobre la viga, el cual es el equivalente a ∆g= g-g*cos θ, donde la plataforma es
inclinada un ángulo θ respecto a la horizontal. La otra vía para resolver la relación
existente entre desviaciones e incrementos es mediante la medición de las desviaciones
entre los sitios de los cuales conocemos los valores exactos de la gravedad.
En cuanto a los diseños de este tipo de gravímetros, han sido varios los diseñados y
utilizados, en la actualidad los más extendidos son los Lacoste&Romberg, Worden,
Sodin y el Scintrex.
140
6.5 Gravímetro Lacoste&Romberg.
El diseño básico del gravímetro
Lacoste&Romberg es el que se
observa en la figura 6.5. Este consta
de una viga goznada mediante un
muelle amortiguador, la cual va
sujeta mediante un muelle de
longitud cero, el cual es el elemento
sensible del aparato, sobre este se
actúa
hasta
que
adquiere
una
posición de equilibrio. La forma de
actuar sobre el muelle en este tipo
de gravímetro es mediante una
palanca, los movimientos que le
imprimimos
medidos
a
la
por
micrométrico
palanca
un
sobre
son
tornillo
el
cual
actuamos directamente, hasta que el
muelle se encuentre en su posición
Fig.6.7
de
equilibrio.
El
principio
de
funcionamiento de este gravímetro
se conoce como astatización, este consiste en igualar el momento de la gravedad con el
momento del muelle lo cual produce un aumento de la sensibilidad del gravímetro, lo
cual se traduce en unas mediciones muy precisas de los incrementos de la gravedad.
La lectura se obtendrá directamente a través del propio tornillo micrométrico, la lectura
que se obtiene es el número de vueltas, requeridas para alcanzar la posición de equilibrio.
Con lo cual todas las lecturas se realizaran con la viga en la misma posición, lo cual se
produce mediante el ajuste del muelle. Los cambios en la gravedad finalmente son
hallados multiplicando las diferencias en dial por la constante del gravímetro. Esta
construcción es una de las más precisas que se tiene en la actualidad, y uno de los
gravímetros con menor periodo de lectura, pudiéndose obtener incrementos de la
gravedad medidos con precisión de microgal.
141
Tema 6. Medición de la gravedad.
Los gravímetros Lacoste&Romberg son construidos con metales con un bajo
comportamiento térmico, y por su diseño es uno de los microgravímetros más ligeros del
mercado.
6.6 Gravímetro Worden.
El instrumento Worden se halla construido íntegramente por barras de cristal de cuarzo,
fibras y muelles. Y su funcionamiento también está basado en la astatización. El
mecanismo es el que se muestra en la figura 6.8.
Fig.6.8.
El muelle de longitud cero y los muelles invertidos soportan la viga, en este caso es muy
pequeña. Todas las lecturas se realizan con la viga en la misma posición. El observador
ajusta dicha viga mediante el ajuste de un tornillo micrométrico al cual va unido a un
muelle de ajuste. La posición de equilibrio se alcanza cuando la viga se halla en
equilibrio. En este caso el dial muestra el número de vueltas del tornillo micrométrico,
hasta que el muelle de longitud cero ha alcanzado la posición de equilibrio. Las
diferencias de lecturas de este microgravímetro son convertidas en incrementos de los
valores de la gravedad, a través de la constante del gravímetro. En este caso se podría
142
llegar a medir diferencias de hasta 5200 mgal, claro esta en el caso que el ajuste del
muelle se halle en los extremos.
Este sistema tiene una gran ventaja, y es el reducido espacio necesario para su ubicación.
Este al igual que los gravímetros de este tipo se halla ubicado dentro de un recipiente con
un alto aislamiento térmico, para reducir las fluctuaciones en la temperatura, en este caso
para reducir los efectos derivados de los cambios térmicos, los cuales siempre son
inevitables, para compensarlos se le dota de un resorte de fibra el cual actúa como
compensador térmico, esta fibra la función que cumple es la de contrarrestar los efectos
producidos por el cambio de temperatura, y es que la barra y la fibra tienen procesos de
respuesta contrarios a un cambio de temperatura. En virtud de lo cual estos se combinan
de tal forma que finalmente estos movimientos se ven compensados, este
comportamiento se da siempre que nos movamos en un margen y un cambio de
temperatura no muy acusado, claro está.
6.7. Fuentes de error en los gravímetros
A lo largo del texto hemos podido ir viendo la multitud de factores que repercuten sobre
los sistemas ideados para medir el valor de la gravedad,
este número de efectos
perturbadores es mucho mayor en los gravímetros de muelle, este comportamiento se
traduce en un largo número de precauciones en el diseño de los gravímetros (se diseñan
los dispositivos de tal forma que el efecto no deseado no aparezca, en el caso de
dilataciones por temperatura, se produce un aislamiento para que no se produzca). Aún
así, se produce la aparición de efectos residuales, ya que como ocurre en casi todos los
instrumentos existe un rango de precisión mecánica difícilmente superable, lo cual no
permite controlar el efecto no deseado de una forma total (siguiendo con el ejemplo
anterior, el efecto debido al cambio de temperatura se controla mediante un termostato, el
cual tiene una precisión y un error, este error en el control de la temperatura provoca un
error en las medidas de la gravedad). La manifestación de estos tipos de errores, puede
ser de forma aleatoria o de carácter sistemático dependiendo de la fuente del error.
Además de una clasificación de los errores por su carácter, se puede establecer una en
función de su origen, la cual puede ser de carácter instrumental o por efectos externos.
143
Tema 6. Medición de la gravedad.
6.7.1 Los errores instrumentales
Los errores instrumentales tienen su origen en la propia construcción del gravímetro, y en
estos también se incluyen los provocados por errores en la lectura, errores en la
nivelación del instrumento, voltaje inestable, cambio de propiedades elásticas y errores
en la función de calibración.
El error de lectura es función de dos aspectos, el primer aspecto es la sensibilidad con
la que el sistema indica que la masa se encuentra en la posición de equilibrio, cada
gravímetro nos indicara que la masa se halla en una posición de equilibrio, sin embargo
esta posición es función de la sensibilidad del dispositivo de lectura, una vez alcanzada,
el muelle se hallara no en la posición exacta si no ligeramente desplazado. Esta diferencia
es la que se traduce en la lectura como un error. El segundo aspecto a considerar es el
factor de conversión de este factor, para lo cual hay que multiplicar el desplazamiento
introducido por la constante de transformación de lecturas a valores de la gravedad.
El gravímetro L&R tiene una precisión en la lectura de 0.03 a 0.05 µms-2 mediante un
dispositivo de coincidencia óptico y de 0.02 a 0.03 µms-2 con un sistema capacitivo (este
sistema busca la zona de equilibrio mediante la medidas de diferencia de potencial).
Dentro del sistema de lectura otro factor que puede introducir un error de lectura es el
provocado por la existencia de holguras en el tornillo de ajuste, para evitar este error se
recomienda siempre ajustar las lecturas siempre en el mismo sentido, la aproximación al
equilibrio del muelle siempre se realiza con el tornillo girando en el mismo sentido. Este
error puede llegar a ser de 0.5 µms-2.
La precisión de la nivelación del instrumento depende de la calibración de los niveles así
como de la precisión con la cual realicemos el centrado. Para niveles bien calibrados
(10’’) y un error de centrado de la burbuja de 10´´ se suele establecer un error menor a 2
µms-2.
Un error instrumental importante, es el debido a un cambio en las propiedades
elásticas del sistema de forma temporal. Este error suele aparecer cuando la fuerza
compensadora que restaurá la posición del muelle a su posición original esta lejana de la
posición de equilibrio (hay que darle varias vueltas al tornillo del dial para alcanzar la
posición de equilibrio), este proceso produce un cambio momentáneo de las constantes
elásticas. El mismo efecto se observa durante los primeros movimientos de oscilación del
muelle. Para evitar este problema se recomienda realizar una aproximación al equilibrio
de forma paulatina y con movimientos del tornillo del dial esperando que la oscilación
del muelle sea mínima.
144
El error por la disminución del voltaje de la batería viene motivado porque dicha caída
provoca un descenso de la temperatura el cual motiva un cambio en la física del
gravímetro dándose muchas veces esta caída de una forma no lineal, produciendo errores
no lineales. Los L&R se estima que la caída de un voltio provoca un error de entre –0.05
a 0.25 µms-2.
Los errores producidos o introducidos en la tabla de calibración del instrumento
afectan de diferente forma a las medidas de la gravedad, dependiendo del tipo y el
tamaño del error. Normalmente los valores de las diferencias de la gravedad de mayor
tamaño, el error que se produce tienen componentes lineales y no lineales, mientras que
los valores relativos de la gravedad de menor tamaño el error que se produce tiene un
carácter periódico. El margen de variación de estos errores puede ser de 0.1 µms-2 hasta
de 1000 µms-2. La mejor forma de controlar dichos errores es mediante la re-calibración
periódica del gravímetro en líneas de calibración.
6.7.2. Efectos debido a errores externos.
Se consideran como errores externos los cambios de temperatura del sistema, cambios en
las condiciones de presión del sistema (cambios de presión atmosférica) y también la
influencia magnética que se pueda generar en el terreno, también se consideran errores
ambientales los provocados al gravímetro por movimientos bruscos.
Los cambios de temperatura que se producen en el exterior del recinto aislado del
gravímetro, tienen una repercusión en la medida de la gravedad a pesar del aislamiento
en el que se encuentra la parte sensible del gravímetro, esto viene motivado por que no se
puede producir un aislamiento perfecto. Particularmente críticos son los cambios
producidos de una forma brusca, y aquellos que se producen de una forma diferenciada,
existen partes del gravimetro con una temperatura y otras con otra temperatura diferente,
estos cambios de temperatura producen un cambio en las constantes elásticas del sistema,
debido a que existe un cambio en la cinética de las partículas del sistema.
No existe una forma exacta de corregir estos cambios de gravedad debido a los cambios
de temperatura, con lo cual la mejor recomendación es evitarlos. Se establece que un
cambio de temperatura de 1º produce un cambio en los valores de la gravedad de 1µms-2
Los instrumentos con termostato ven reducidos estos efectos, estimándose que con la
precisión de los termostatos se puede producir un error de unos pocos 0.01 µms-2.
145
Tema 6. Medición de la gravedad.
Los cambios de presión atmosférica afectan al gravímetro cuando el recipiente estanco
al vacío no se halla lo suficientemente sellado. Más aún, las variaciones de presión
provocadas por la atmósfera pueden incluso llevar a la deformación del recipiente donde
se halla la parte sensible del gravímetro, produciendo cambios en las lecturas. Estas
influencias pueden ser investigadas en el laboratorio, y generalmente pueden ser
aproximadas mediante una ecuación. Con lo cual se pueden realizar correcciones por
presión atmosférica llegado un caso de alta precisión, o simplemente que hayamos tenido
una alta variabilidad en la presión.
Los errores provocados por una variación en el campo magnético pueden producirse
en gravímetros con componentes metálicos, y dicho efecto supera las contramedidas
magnéticas que tienen los gravímetros para evitar dichas influencias. En particular estos
dispositivos son muy sensibles a los movimientos bruscos pudiendo quedarse
desarmados los gravímetros en un momento dado. Para evitar las influencias provocadas
por las variaciones del campo magnético se suele recomendar, el testeo del gravímetro.
Una forma de detectar si el gravímetro se halla influenciado por dicho campo es realizar
diferentes lecturas de la gravedad en un mismo punto pero con diferentes orientaciones
del gravímetro, en el caso que no exista una influencia, todos los valores deberían salir
iguales. Se considera que el error máximo introducido puede llegar a 0.1 µms-2 en zonas
con una alta variabilidad magnética, normalmente este error se suele considerar
despreciable.
Los movimientos bruscos que sufre el gravímetro durante el transporte pueden provocar
cambios de lectura, siendo estos función del tipo y magnitud del movimiento. El motivo
es que dichos movimientos producen cambios en las constantes elásticas del sistema, ya
que esos momentos de fuerza quedan residentes en el sistema sensible, mediante
vibraciones o dislocaciones temporales del muelle. En función de lo expuesto nos
podemos imaginar lo complicado que es establecer una corrección por estos efectos, ya
que cad movimiento produce un efecto completamente distinto. La única medida que se
puede tomar es la de dejar descansar al gravímetro hasta que desaparezcan estos efectos y
transportar el gravímetro de forma que se produzcan el menor número de aceleraciones
indeseables. Después de un largo viaje nos podemos encontrar con errores del orden de
entre 0.01 a 0.1 µms-2.
146
6.8. Clasificación de los gravímetros.
En los apartados anteriores hemos podido ver diferentes formas de medir los valores de
la gravedad, se puede realizar una clasificación de los métodos de medida de la gravedad
en función del proceso al cual se ha visto sometida la carga testigo, sobre la cual actúa la
gravedad y es parte del sistema sensible del gravímetro.
6.8.1 Método Dinámico.
Los métodos dinámicos son aquellos métodos donde la carga testigo cuando se ve
sometida a la fuerza de la gravedad, describe la trayectoria o movimiento producido por
la fuerza de la gravedad. Posteriormente mediante un análisis de este movimiento, se
obtienen los valores de la gravedad. En los capítulos anteriores los métodos dinámicos
vistos han sido, dentro de la medida absoluta de la gravedad el método de caída libre, y el
de libre oscilación de un péndulo. En las medidas relativas de la gravedad el método de
libre oscilación del péndulo.
6.8.2 Los métodos estáticos.
Los métodos estáticos se definen como aquellos métodos donde a la carga testigo que por
hallarse sometida a la aceleración de la gravedad se encuentra en un estado, inestable,
dispuesta a describir una trayectoria, se le proporciona una fuerza equivalente a la fuerza
de la gravedad de tal forma que la contrarreste y la carga quede en equilibrio. De los
métodos vistos, los pertenecientes a esta tipología son los gravímetros de muelles, el
gravímetro Lacoste&Romberg y el gravímetro Worden.
6.9. Obtención de valores de la gravedad mediante gravímetro.
6.9.1Correcciones por marea y deriva.
En el capítulo anterior vimos que para obtener las lecturas de la gravedad (Lg) en los
gravímetros relativos bastaba con multiplicar las diferencias de las lecturas del dial por la
constante del gravímetro. Esta operación en principio tan sencilla no se puede llevar a
cabo directamente, en verdad con esta operación se obtiene un valor relativo de la
gravedad, pero este valor no se corresponde exactamente con el incremento del valor de
147
Tema 6. Medición de la gravedad.
la gravedad entre dos puntos, si no con la variación de la gravedad entre dos puntos (δg).
Esta variación de la gravedad esta conformada por la lectura relativa de la gravedad
propiamente dicha (Lg) y un valor de la gravedad variable con el tiempo (gd y
gM,componentes temporal), variando esta componente en función de la hora de
observación. debido a factores externos e intrínsecos al instrumental.
δg=Lg+gd+gM :Lg= δg-gd-gM:Lg= δg+Cd+CM (6.11)
Para resolver correctamente las Lg, en primer lugar hay que realizar una corrección la
cual tenga en cuenta como influye la atracción gravitacional de la luna y el sol (gM) sobre
el punto en el cual estamos realizando la medición . Y en segundo lugar tendremos que
tener en cuenta como varía los δg debido a un cambio en las propiedades mecánicas del
sistema (gd).
Fig.6.9.
0.5mGal
δg
17 Marzo
18 Marzo
19 Marzo
20 Marzo
21 Marzo
22 Marzo
Ahora planteemos como resolver la influencia de las dos componentes, para ello en un
primer momento podemos plasmar en una gráfica las variaciones de la gravedad que se
obtienen en un punto fijo y como varían estas con el tiempo, más concretamente para
poder resolver las dos componentes hay que realizar un seguimiento de la evolución de la
gravedad como mínimo con una cadencia de entre 3 y 1 horas. Observando esta
evolución en la figura 6.9., podemos establecer en un primer momento dos tipos de
cambios uno cíclico y otros no cíclicos.
Los cambios cíclicos son debidos a la posición de la luna y el sol, estos cuerpos celestes
describen una órbita alrededor de la Tierra o la Tierra alrededor de ellos (depende de
donde ubiquemos al observador) lo cual provoca cambios en los valores de la gravedad
observada sobre la superficie de la Tierra (gm). Debido a que este movimiento se realiza
alrededor siguiendo unas órbitas, los cambios en los valores de la gravedad van a
presentar una secuencia o lo que es lo mismo van a ser cambios cíclicos.
148
En la fig.7.1 estos valores cíclicos son mucho más claros si los consideramos respecto a
una línea ligeramente inclinada, esta línea representa los cambios no cíclicos en los ∆g,
el origen de esta fluctuación de la gravedad no es real si no que esta provocada por el
mismo gravímetro en concreto por el elemento sensible, “el muelle”, este sufre un
“cansancio”, tensiones diferenciales y cambios de temperatura durante el proceso de
medición, estos procesos repercuten en la cinética de las partículas del muelle,
produciendo ligeros cambios en sus propiedades elásticas.
Los valores de la gravedad relativos que aparecen en la figura 7.1 se han obtenido por la
multiplicación de las lecturas del dial por la constante del gravímetro. Ahora si
observamos como varia la componente cíclica de la gravedad respecto a la línea de
deriva del gravímetro veremos que esta lo hace en un rango menor que unas pocas
decenas de miligales, y aún más podemos observar que los valores picos de la función
(ya sean máximos o mínimos) se encuentran en un intervalo de 6,.25 horas, y que
cambian la amplitud del periodo es cambiante conforme pasan los días.
En el caso de disponer de la misma gráfica en diferentes puntos no muy lejanos de este,
observaríamos gráficas muy similares, aunque veríamos como cambia esta, conforme la
distancia superara unos pocos centenares de kilómetros.
Se plantea que para obtener los Lg de manera precisa hay que corregir, la componente
gravitatoria introducida por la Luna y el Sol, para lo cual se utiliza una ecuación que
tenga en cuenta la masa de la Luna, el Sol, así como la posición de los mismos respecto
al punto de observación, siendo esta:
M 
3
1 M 
1 
g m = σ GR  3m  cos 2θ m +  + 3s  cos 2θ s + 
2
3  rs 
3 
 rm 
(6.12)
Siendo R el radio terrestre Mm y Ms la masa lunar y solar respectivamente, y rm y rs las
distancias de las mismas al centro de la tierra. El valor σ = 1.16 es una constante la cual
tiene en cuenta la propia deformación que sufre la Tierra bajo esta atracción luni-solar, ya
que esta se también se ve deformada por las mareas. Los ángulos θm y θs son los que se
forman en el centro de la tierra (este coincide con el origen del sistema geocéntrico) y es
el comprendido entre las rectas 1 generada por el punto de observación y el centro de la
Tierra y la recta 2 generada por el astro considerado y el centro de la Tierra. En el tema 7
trataremos con mayor profundidad las mareas gravimétricas.
149
Tema 6. Medición de la gravedad.
La deriva del gravímetro.
Los gravímetros de muelle cuando realizan la medición de los valores de la gravedad de
forma constante muestran que con el tiempo la posición de equilibrio del muelle se va
desviando, siendo esta desviación ajena a la influencia ejercida por la atracción de los
planetas. Esta desviación se conoce como deriva del gravímetro. Esta es causada por el
“cansancio” del muelle de tensión y por efectos externos no compensados o no
suficientemente aislados por el recinto estanco donde se halla el muelle. La magnitud y el
tipo de deriva depende de:
ƒ
Del tipo de instrumento y características del muelle. Los gravímetros de muelle de
cuarzo presentan una mayor deriva que los metálicos debido a sus propiedades
termoelásticas.
ƒ
De la edad y uso del instrumento. Los gravímetros LCR pueden partir de una deriva
diaria de 0.5 µms-2 al principio de su utilización y en pocos años alcanzar
correcciones de 0.1 µms-2. Los gravímetros de cuarzo presentan correcciones mucho
más altas.
ƒ
De la fluctuación de la temperatura externa, así como del tipo de transporte que sufra
el gravímetro y vibraciones que reciba.
ƒ
Cambios de presión atmosférica o de voltaje.
Generalmente la deriva suele ser descompuesta a su vez en una parte estacionaria
(cambios de periodo largo, meses) y una parte por transporte (cambios de periodo corto,
horas) se suele considerar que esta parte de la deriva tiene un comportamiento lineal.
Pero a los efectos nosotros vamos a considerar la deriva sin descomponer en estas partes
y con un comportamiento lineal (gd).
En cuanto a las correcciones a aplicar para eliminar los efectos producidos por la
deriva del gravímetro, no existe una forma exacta de predecirlos. En virtud de esto la
única forma de corregirla es pues conociéndola, para lo cual es preciso visitar puntos de
gravedad conocidos. Quiere decir esto que no existe una fórmula establecida la cual dé el
valor de la deriva, si no que cada gravímetro tiene una gráfica de deriva, además esta
gráfica se ve afectada por las condiciones ambientales en las cuales se realiza la
medición. Este factor establece que en cada proceso de medición se halle la deriva del
gravímetro para el periodo de tiempo en que se realiza la medición (gd).
Es decir una vez hemos observado los incrementos de la gravedad que existe entre los
puntos volvemos a observar la gravedad en punto de gravedad conocida, una vez
150
realizada esta operación lo que hacemos es corregir por efecto luni-solar los δg
obtenidos. Una vez realizada esta operación veremos que existe una diferencia en el valor
de la gravedad del punto la cual es atribuible a la deriva del gravímetro que como hemos
visto es lineal en el tiempo (no siempre), con lo cual basta aplicar esta corrección lineal al
resto de los puntos teniendo en cuenta por supuesto el tiempo.
Veamos una secuencia de observación y corrección de este efecto.
Para ello en primer lugar vamos a suponer una secuencia de observación con partida de
un punto y llegada al mismo (B1), del cual conocemos el valor de la gravedad y
queremos resolver el valor de la gravedad en el resto de los puntos intermedios (1,2,3,4):
Secuencia de observación: B1-1-2-3-B1-4-B1 en esta se han obtenido las lecturas del dial
del gravímetro y el tiempo en el que se han realizado las lecturas.
Secuencia de conversión de los valores del dial en δg: Para lo cual tan solo hace falta
convertir lecturas del dial en valores de la gravedad δg, lo cual se hace multiplicando
estos valores por la contante del gravímetro, en el caso del LCR existen unas tablas de
calibración, en las cuales en función del rango de la lectura le corresponde una constante.
Una vez multiplicado este valor disponemos ya de valores de la gravedad.
δg=Ldial*K (6.13)
Secuencia para corrección del efecto Luni-Solar: A los valores obtenidos en el proceso
anterior hay que aplicarles la fórmula 7.1 la cual eliminara el efecto de la marea.
δg-gM= δg-CM
(6.14)
Secuencia para corrección del efecto de deriva: Los valores obtenidos en el proceso
anterior se corrigen ahora por el efecto de deriva, para lo cual en primer lugar se realiza
el cierre en el itinerario. El cierre del itinerario viene dado sobre un punto en el cual se ha
realizado dos lecturas separadas por un intervalo de tiempo. En nuestro caso el cierre
vendría dado por la diferencia en el valor de la gravedad obtenida sobre B1 entre los
tiempos tB1 y tB1’.
d= [δgB1’-gMB1’]-[ δgB1-gMB1] (6.15)
Si no existiese deriva d seria 0 ya que en un mismo punto no existiría variación de la
gravedad (una vez hemos eliminado el efecto luni-solar). Para resolver el valor de la
151
Tema 6. Medición de la gravedad.
corrección de deriva (Cdx) de cualquier punto que se halla dentro del intervalo del
itinerario hay que calcular la deriva del gravímetro en el instante de la observación tx.
Para el caso del punto 3 aplicaríamos.
Cd 3 = d
(t3 − t B1 )
(t B1' − t B1 )
(6.16)
Siendo t3 la hora sobre la cual se realiza la observación del punto, tB1 la hora a la cual se
realiza la primera observación del punto de referencia (en este caso la primera
observación del punto B1), y tB1’ la hora en que finalmente se cierra el itinerario sobre el
punto de referencia.
δg-gm
B1
3
1
B1
2
∆g3
B1
tB1
4
d
Cd3
t1
t2
t3
tB1’
Fig.6.10.
t4
tB1´´
tiempo
Para resolver el valor de la corrección por deriva de el punto 4, no es valido realizar una
extrapolación a partir del valor d obtenido en el primer itinerario. En este caso hay que
realizar el cierre sobre tB1’’, el cual da mayor garantías sobre el comportamiento de la
deriva.
Secuencia para obtener los valores absolutos de la gravedad: En este caso como ya
conocemos los valores relativos de la gravedad entre un punto (B1) y el resto de puntos
bastara con sumar estos incrementos para obtener valores absolutos de la gravedad:
g3= gB1+ IB13
(6.17)
siendo IB13 según
IB13=Lg3-LgB1
Lg3=δg3-gM3-gd3= Lg3=δg3+CM3+Cd3
Vg1=δg1-gM1-gd1
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