Astronáutica/Mecánica Orbital y Veh´ıculos Espaciales ´Orbitas de

Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Órbita geoestacionaria I
Se define la órbita geoestacionaria (ideal) como:
Astronáutica/Mecánica Orbital y Vehı́culos
Espaciales
Geosı́ncrona, es decir, su periodo es el de la Tierra
(T = 23 h 56 m 4 s), por tanto
⇣
⌘1/3
T2
aGEO = µ 4⇡2
= 42164 km. (Nota: este cálculo se
Tema 3:Análisis y Diseño de Misiones Geocéntricas
Parte 2: Órbitas de Aplicación y Maniobras
puede afinar teniendo en cuenta el J2, ver problema 47)
Circular (e = 0), ecuatorial y directa (i = 0).
Por tanto RGEO = aGEO y hGEO = 35786 km.
Para ubicar un satélite geoestacionario, por tanto, sólo
necesitamos la longitud del punto del Ecuador sobre el que
se encuentra fijo.
Otra forma de dar la posición del satélite es mediante su
longitud verdadera T (no se puede usar ✓, !, ni ⌦). Se tiene
que T (t) = GST(t) + y por otro lado puesto que n = ! ,
T (t) = T (t0 ) + ! t.
La Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un disco
que ocupa aproximadamente 17o en el horizonte.
Rafael Vázquez Valenzuela
Departmento de Ingenierı́a Aeroespacial
Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla
rvazquez1@us.es
16 de noviembre de 2015
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Órbitas de Aplicación
Órbitas de Aplicación
Maniobras
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Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Órbita geoestacionaria II
La Tierra vista desde GEO:
Un satélite geoestacionario permanece
inmóvil respecto a la Tierra: su “vista” es
fija. Las antenas de recepción pueden ser
por tanto fijas.
Inconveniente: no se cubren bien las zonas
polares (por encima de 81,3o de latitud).
La órbita GEO:
Si bien hay una gran posible diversidad para las órbitas
geocéntricas, en la práctica se utilizan los siguientes tipos de
órbitas:
La órbita GEO está muy congestionada
(en sentido fı́sico y de interferencias
radioeléctricas). Está regulada
internacionalmente.
Geosı́ncronas/geoestacionarias.
Órbitas bajas, especialmente la órbita heliosı́ncrona.
Órbitas de alta excentricidad.
Órbita media.
Constelaciones.
Se necesitan lanzadores potentes para
llegar a GEO.
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Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Órbita geoestacionaria III
Eclipses:
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Órbita geoestacionaria V
Los eclipses son importantes porque
los paneles solares (principal fuente de
alimentación) dejan de funcionar y se
producen fuertes gradientes térmicos.
Cobertura total de la Tierra (excepto los polos): son
necesarios tres satélites geoestacionarios.
El eclipse máximo se produce en los
equinoccios.
La “temporada de eclipses” comienza
21 dı́as antes del equinoccio y finaliza
21 dı́as después. (Ver prob. 8)
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Órbitas de Aplicación
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Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
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Órbita geoestacionaria IV
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Órbitas de Aplicación
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LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Órbita geoestacionaria VI
Efecto de perturbaciones:
Puesto que la órbita es ecuatorial, por simetrı́a el J2 no altera
el plano de la órbita. (Pero exige afinar el cálculo de a, ver
problema 47)
Puesto que la órbita es de gran altitud, no existe resistencia
atmosférica.
La perturbación lunisolar tiene el efecto de sacar al satélite del
plano ecuatorial (cambiando la inclinación) aproximadamente
1o /año. A veces se denomina perturbación N-S. (Ver problema
34 para ver como cambia la forma de la traza).
La presión de radiación solar tiene un efecto apreciable; el más
importante es una perturbación periódica (periodo 1 año) de la
excentricidad. (Ver problema 43 para ver como cambia la
forma de la traza).
El efecto más importante es el de la triaxialidad (J22 ).
Estas perturbaciones se tienen que compensar mediante
maniobras (stationkeeping).
Cobertura de la Tierra:
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Órbitas de Aplicación
Maniobras
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Órbitas de alta excentricidad
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Órbita geoestacionaria VII
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Órbitas de alta excentricidad
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LEO (órbita baja)
La órbita baja es la más utilizada, por
su proximidad “energética” a la
Tierra. Las estaciones espaciales se
han situado en LEO.
Perturbación N-S:
Se considera órbita baja a aquella
órbita que no se extiende más allá de
una altitud de 2000 km.
Se evitan altitudes inferiores a 300 km
ya que la resistencia atmosférica
reduce mucho la vida útil.
Efecto en la traza:
Las perturbaciones más importantes
son el J2 y la resistencia atmosférica.
Muy utilizadas son las órbitas
heliosı́ncronas.
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Órbitas de Aplicación
Maniobras
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Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
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Órbita geoestacionaria VIII
Órbitas de Aplicación
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Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Heliosincronismo I
Efecto de la triaxialidad (forma no perfectamente circular del
Ecuador terrestre):
El J22 provoca que los satélites oscilen
en longitud. La dinámica aproximada
viene dada por la ecuación
¨⇡
k 2 sen 2(
✓
S)
◆2
R
J22 y
a
o
S = 75,3 es la posición de uno de
los equilibrios. Se tiene
k 2 ⇡ 0,002o /dia2 .
donde k 2 = 18 n
Las posiciones estables (ejes menores)
se pueden utilizar como “basurero
espacial” para GEO.
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En el sistema geocéntrico ecuatorial, la proyección del Sol
Medio en una esfera con la Tierra en su centro será un punto
S (el punto subsolar medio) que define un “meridiano solar”
(medio); éste punto se desplaza en el sentido antihorario con
una velocidad de 360/365,25o /dia.
Sea ARM (↵ en la figura) la
ascensión recta del Sol Medio:
˙ M = 360/365,25o /dia.
AR
Por otro lado ⌦, la ascensión
recta del nodo ascendente,
cambia debido a perturbaciones.
Llamemos = ⌦ ARM .
Una órbita es heliosı́ncrona si se
cumple que ⇡ cte.
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Órbitas de alta excentricidad
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Heliosincronismo II
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Órbitas de alta excentricidad
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Heliosincronismo IV
Del modelo de perturbaciones
seculares con el J2 , se tiene que
d
dt i = cte. mientras que
d
⌦=
dt
3
J2 n
2
✓
R
p
◆2
cos i
La condición que tiene que cumplir la órbita, por tanto, es
˙ M , es decir:
⌦˙ = AR
r
✓
◆2
3
µ
R
2⇡
J2
cos i =
3
2
2
a
a(1 e )
365,25 ⇥ 1 dia solar medio
Para el caso de órbita circular de altura h, se cumple:
✓
◆7/2
R
cos i
= 0,0989
R +h
Órbitas de Aplicación
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Heliosincronismo III
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Heliosincronismo V
Por tanto, existen múltiples órbitas heliosı́ncronas con
diferente inclinación y altitud. No obstante, de la ecuación,
cos i ha de ser negativo (luego i > 90o , es decir, órbitas
retrógradas); normalmente se usan alturas en LEO, con lo que
cos i es pequeño, es decir, las órbitas son aproximadamente
polares.
Puesto que el ángulo es constante, se puede utilizar para
identificar una órbita heliosı́ncrona concreta.
Ventajas de la órbita heliosı́ncrona
Los mecanismos de apuntado de los paneles solares al Sol se
simplifican considerablemente, y se posibilitan largos periodos
de iluminación solar; además, con una altura suficiente (1400
kilómetros) nunca se producen eclipses.
Puesto que la hora solar y la hora solar media son
aproximadamente iguales, las condiciones de iluminación en el
paso por el Ecuador (es decir, la hora solar) son casi
constantes.
Más aún, la hora solar media en el paso por una latitud
cualquiera (al atravesar un paralelo) también es constante.
Ésta propiedad es tremendamente útil para las tareas de
observación y reconocimiento.
Si = 0o , entonces el nodo ascendente cruza el Ecuador a
mediodı́a medio (y el nodo descendente a medianoche media).
Esta órbita se llama 12h-24h (high noon orbit).
Si = 90o el nodo ascendente cruza el Ecuador al atardecer
medio (y el nodo descendente, al amanecer medio). Esta órbita
se llama 18h-6h (dusk-dawn).
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Órbitas de alta excentricidad
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Heliosincronismo VI
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
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Frozen orbits: altitud constante I
La hora solar media en un punto de la tierra L es
HSM = /15 + 12, donde = LST ARSM . Si el satélite
pasa por dicho punto, entonces por un lado
AR = ⌦ + u = LST.
El concepto de “frozen orbits” (órbitas congeladas) surge por
la necesidad de conseguir órbitas con uno o más elementos
orbitales que se mantengan constantes.
En el caso de altitud constante, se busca una órbita cuyo
vector excentricidad sea pequeño y varı́e lo menos posible, a
pesar de las perturbaciones por la forma de la Tierra (seculares
+largo periodo). Esto es importante para los sistemas ópticos.
El problema es que en la práctica “no existen” órbitas
circulares, sin embargo una elección adecuada de una
excentricidad, aunque sea muy pequeña, puede permitir que
apenas existan variaciones de dicha excentricidad.
El diseño se basa en los siguientes efectos del J2 y J3 , que
incluyen efectos de largo periodo:
Luego HSM = ⌦ AR15SM + u + 12. La HSM en el Ecuador y ◆,
SM
HSM0 , se da para u = 0: HSM0 = ⌦ AR
+ 12 = 15 + 12.
15
Por otro lado, de la trigonometrı́a esférica, sen u = tan
tan i .
arc sen( tan
tan i )
Por tanto, se tiene: HSM = HSM0 +
y como i y
15
HSM0 son constantes para un satélite heliosı́ncrono
( ⇡ cte.), HSM siempre es la misma para la misma latitud .
Se toma una solución del arc sen cuando se va de Sur a Norte
y otra cuando se va en la otra dirección.
Por tanto cada vez que un satélite heliosı́ncrono cruza un
paralelo en un sentido (de Norte a Sur o de Sur a Norte) lo
hace a la misma hora solar media HSM.
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!
˙
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Heliosincronismo VII
ė
=
=
3
4
3
2
nJ2
nJ3
R2 ⇣
p2
R
3
p3
⌘
R 3 sen ! ⇣
3
2
1 +
nJ3
5 cos i
8e
p 3 sen i
✓
◆
5
2
2
e ) sen i cos !
sen i
1 ,
4
2
5 cos i
(1
Órbitas de Aplicación
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1
⌘⇣
2
sen i
2
2
e cos i
⌘
,
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Frozen orbits: altitud constante II
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Para igualar estas perturbaciones a cero, en primer lugar uno
elige ! = 90o o ! = 270o . Entonces la perturbación de largo
periodo de e desaparece.
Quedarı́a garantizar que !˙ es también cero, puesto que si no
las variaciones de ! inducirı́an cambios en e. Recordando que
p = a(1 e 2 ), podemos obtener de la ecuación de !˙ una
cúbica en e cuyas soluciones nos darı́an la excentricidad
adecuada (eligiendo la solución positiva más próxima a cero).
Se demuestra (ver problema 48) que despreciando términos de
orden 2 o mayores obtenemos
⇣ ⌘la siguiente aproximación de la
1 J3 R
excentricidad: e = 2 J2 a sen i sen !.
Puesto que el valor obtenido es muy pequeño es la órbita
deseada; se comporta mejor que una inicialmente circular!
Esta órbita se usa en la práctica porque es muy estable no sólo
para las perturbaciones J2 y J3 sino también frente a otras.
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Órbitas de alta excentricidad: Los Molniya
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Molniya II
Los Molniya (“relámpago” en ruso) son
una familia de satélites de
comunicaciones de la antigua URSS .
Puesto que los satélites en GEO no
cubren bien altas latitudes (cercanas al
polo), y gran parte del territorio ruso se
encuentra muy al Norte, un satélite en
GEO no proporciona una cobertura
geográfica adecuada.
Además dado que los sitios de
lanzamiento rusos son de elevada latitud,
la órbita GEO es muy costosa en
términos “energéticos”.
Solución: varios satélites en órbitas de
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alta excentricidad
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Por tanto, ya que con 35o se pueden cubrir
las altas latitudes rusas, situando el apogeo
en la zona de máxima latitud ( = i), donde
se quiere tener cobertura (! = 270o ), se
pueden conseguir aproximadamente 8 horas
de cobertura.
Son necesarios pues tres satélites para
obtener 24 h de cobertura.
Es fundamental evitar que las perturbaciones
del J2 desplacen el apogeo (frozen orbit).
La regresión de los nodos se puede compensar eligiendo
adecuadamente el periodo del satélite.
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Molniya I
d!
dt
3J2 nR 2
4p 2
(5 cos2 i 1), se elige i tal que
q
d!
1
o
=
0.
Por
tanto,
i
=
arc
cos
dt
5 = 63,4 , la llamada
inclinación crı́tica.
Puesto que
=
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Molniya III
Supongamos una órbita con los siguientes
elementos: T ⇡ 12 h, e = 0,75, es decir una
órbita “semi-sı́ncrona” (cada dos
revoluciones pasa por la misma localización
geográfica) y de alta excentricidad.
Obtendrı́amos hp ⇡ 300 km,
ha ⇡ 40000 km.
¿Qué ángulo se recorre en dos horas desde el
perigeo? De la ecuación de Kepler,
n t = E e sen E , obtenemos que
E = 1,78 rad luego ✓ = 2,54 rad ⇡ 145o .
Por tanto en las cuatro horas restantes del
semi-periodo se recorren los 35o restantes.
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La órbita Molniya con sus dos apogeos diarios: uno en Rusia y
otro en Norteamérica. La utilidad del segundo apogeo sobre
Norteamérica (particularmente para la URSS durante la
Guerra Frı́a) es evidente.
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Órbita Tundra
Órbitas de Aplicación
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Constelaciones I
Otra órbita de alta excentricidad es la órbita tundra.
Es una órbita geosı́ncrona inclinada con la i crı́tica
(i = 63,4o ) y de alta excentricidad, de forma que el apogeo se
sitúa sobre Norteamérica.
Se emplea para los satélites Sirius (radio por satélite); con 3
satélites se garantiza que 1 sobrevuela USA en todo momento.
Órbitas de Aplicación
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Para proporcionar cobertura durante 24 h no basta con un
sólo satélite: son necesarios varios.
Una constelación de satélites es un conjunto de satélites
situados en órbitas coordinadas, de forma que ofrecen
cobertura total o casi total.
Un ejemplo serı́an varios satélites que comparten la misma
traza de forma coordinada en el tiempo (ver problema 10).
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Órbita Media
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Constelaciones II
Se considera órbita media (MEO) la que
está por encima de la órbita baja (más de
2000 km) y por debajo de la GEO.
Al ser de mayor altitud, ofrece más
cobertura que las órbitas LEO sin requerir la
potencia de transmisión/recepción ni el
coste de la GEO.
Hemos visto ya varios ejemplos
Tres satélites geoestacionarios proporcionan cobertura total del
planeta, excepto los polos.
Tres satélites Molniya proporcionan cobertura para Rusia.
La órbita Tundra (tres satélites).
Tı́picamente usada por constelaciones de satélites de
navegación (GPS, Glonass, Galileo), o por satélites de
comunicaciones polares.
Contiene las órbitas semisı́ncronas circulares (con periodo
igual a la mitad del periodo terrestre).
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Otros ejemplos son la constelación de satélites de GPS (unos
24 satélites en órbita media, a = 26600 km), la constelación
Iridium (66 satélites en órbita baja) o la constelación
Globalstar (unos 40 satélites, no ofrece cobertura total).
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Constelaciones tipo Walker
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Constelaciones GNSS
Una constelación que contiene órbitas circulares, de altitud h
e inclinación i constantes, con planos separados de forma
pareja se denomina constelación de Walker.
Está definida por tres números enteros:
En los últimos años ha habido una actividad considerable en el
despliegue de nuevas constelaciones de navegación por parte
de distintos paı́ses, algunas de ellas regionales (IRNSS) o
globales-regionales (BeiDou).
Número total de satélites t
Número de planos orbitales p
Espacio relativo entre satélites en planos adyacentes,
f 2 [0, p 1].
La siguiente tabla ofrece datos actualizados en Agosto de
2015. MEO=Medium Earth Orbit. IGSO=Inclined
Geo-Synchronous Orbit (órbita geosı́ncrona con inclinación y
circular, traza con forma de 8).
Con estos datos, la separación entre nodos ascendentes será
360/p o , la separación entre vehı́culos en el mismo plano
360p/t y la separación relativa entre satélites en planos
adyacentes será 360f /t.
Una constelación 15,5,1 tendrá 5 planos espaciados 72o , con
tres satélites cada uno separados por 120o , y la separación
entre satélites de planos adyacentes es de 24o .
Cuadro: Comparativa GNSS (Global Navigation Satellite Systems)
Sistema
GPS
GLONASS
Galileo
BeiDou
IRNSS
Propietario
USA
Rusia
EU
China
India
Satélites
> 24 (31 en 8/2015) MEO
24 (8/2015) MEO
> 24(4 en 8/2015) MEO
27 MEO, 5 GEO, 3 IGSO
3 GEO, 4 IGSO
Precisión
⇡ 5m
5-10m
⇡ 1m
⇡ 10m
10m (India), 20m (Índico)
Estado
operativo
operativo
en construcción
15 sats. 8/2015 (global/regional)
operativo? en 3/2016 (regional)
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Constelaciones tipo Walker: Ejemplos
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Órbitas “cementerio”
Para subsanar el problema de la “basura espacial”, se sitúan
los satélites en una zona segura al final de su vida.
Para los satélites en LEO éstos pueden ser eliminados
simplemente provocando la reentrada.
Para los GEO, la órbita cementerio está situada
significativamente sobre la órbita original.
De acuerdo a la IADC (Inter-Agency Space Debris
Coordination Comitee) la altitud mı́nima de perigeo sobre
GEO debe ser: h = 235 + (1000CR mAV ) km donde
CR = (1 + ✏) cos S ⇡ 1,2 1,4.
30 / 60
32 / 60
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Introducción
Maniobra básica II
En general, no es posible alcanzar la órbita requerida para una
misión directamente en el lanzamiento.
En el caso más simple (maniobra coplanaria) la
maniobra queda definida por el escalar
!
!
| V | = V y el ángulo que forma V con
~i (convenio: medida en el sentido contrario
V
de las agujas del reloj).
El rango de inclinaciones que se pueden alcanzar es limitado.
Las sondas lunares o interplanetarias no se suelen lanzar a su
trayectoria definitiva, sino a una órbita de “aparcamiento”
intermedia.
El objetivo de la misión puede necesitar una órbita inicial que
luego debe ser modificada.
Además, debido al efecto de perturbaciones, las órbitas se
degradan con el tiempo y es necesario corregirlas
(stationkeeping).
Por tanto, las maniobras para modificar una órbita son parte
de cualquier misión. La forma de llevar a cabo una maniobra
es mediante propulsión, proporcionada por motores cohete de
combustible sólido o lı́quido (en este curso no consideramos
otros tipos de propulsión continua, como motores eléctricos o
velas solares, que exigen integración numérica).
Órbitas de Aplicación
Maniobras
33 / 60
Partiendo de la velocidad final deseada Vf y '
(el ángulo entre Vi e Vf ), se obtienen ( V , )
mediante el teorema del coseno:
V 2 = Vi2 + Vf2 2Vi Vf cos ', y el teorema
'
del seno: sen = Vf sen
V .
Obsérvese que la velocidad final se maximiza (minimiza) en el
caso de que = 0o (180o ). En tal caso Vf = Vi + V
(Vf = Vi
V ). Es decir, la dirección tangente es la de
“máximo aprovechamiento” del impulso añadido.
35 / 60
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Maniobra básica I
Consumo de combustible I
Hipótesis fundamental: El tiempo de combustión de los
cohetes es muy pequeño comparado con el periodo orbital del
satélite.
Entonces el efecto de la propulsión se puede asimilar a un
!
impulso instantáneo V en la velocidad; la nueva velocidad
!
~f = V
~i + V define una órbita diferente, con el mismo foco:
V
El consumo de combustible viene dado por:
m0 + mp
V = Ve ln
m0
donde Ve es la velocidad especı́fica de escape del propulsante,
m0 es la masa sin propulsante y mp es la masa de propulsante.
Ve = Isp g donde Isp es el impulso especı́fico
y◆g = 9,81 m/s2 .
✓
V
De la anterior expresión, mp = m0 e Isp g
1
Obsérvese que si se requieren n maniobras:
VTOTAL
34 / 60
=
V1 +
=
Ve
=
Ve ln
=
Ve ln
ln
V2 + . . . +
Vn
m0 + mp1 + . . . + mpn
m0 + mp2 + . . . + mpn
+ ln
m0 + mp2 + . . . + mpn
m0 + mp3 + . . . + mpn
+ . . . + ln
m0 + mpn
m0
!
m0 + mp1 + . . . + mpn
m0
m0 + (mp )TOTAL
m0
36 / 60
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Consumo de combustible II
Cambio genérico de órbita coplanaria I
El razonamiento anterior no es válido si consideramos
diferentes etapas, que no sólo constan del peso de
combustible mpi sino también del peso estructural msi de cada
etapa (que contiene al depósito), que se eyecta al consumirse.
Por ejemplo, para dos etapas, se tendrı́a:
V1
=
V2
=
VTOTAL
=
m p1
= Ve ln 1 +
m0 + ms1 + ms2 + mp2
m0 + ms1 + ms2 + mp2
✓
◆
m p2
m0 + ms2 + mp2
Ve ln
= Ve ln 1 +
m0 + ms2
m0 + ms2
"
!✓
◆#
mp1
mp2
Ve ln
1+
1+
m0 + ms1 + ms2 + mp2
m0 + ms2
Ve ln
m0 + ms1 + ms2 + mp1 + mp2
Conocidos (ai , ei , !i ) y
(af , ef , !f ), el punto de maniobra
se obtiene de
af (1 ef2 )
ai (1 ei2 )
ri = 1+e
= rf = 1+e
,
i cos ✓i
f cos ✓f
donde ✓i + !i = ✓f + !f .
!
En la anterior expresión (también para n etapas) se pueden
buscar los valores óptimos de (mp1 , ms1 ) y (mp2 , ms2 ) que
minimizan el consumo mp1 + mp2 para un valor de VTOTAL .
Esta distribución óptima del combustible por etapas (ya
considerada por Tsiolkovsky) permite alcanzar valores de V
que no se podrı́an alcanzar con una sola etapa.
Órbitas de Aplicación
Maniobras
En general un V arbitrario en el
mismo plano provocará un
cambio de a, e y !.
37 / 60
vi depende de ai , ri y vf de af , rf .
Usando los ángulos de trayectoria, ' = i
f . Con estos
valores ya podemos hallar V y .
e sin ✓
Para encontrar f y i se usa la fórmula tan = 1+e
cos ✓ .
En la siguiente transparencia detallamos más el procedimiento
39 / 60
para hallar ✓i y ✓f .
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Cambio de radio de perigeo/apogeo y circularización
Cambio genérico de órbita coplanaria II
Regla: Para cambiar el apogeo, aplicar un V tangente en el
perigeo. Para cambiar el perigeo, aplicar un V tangente en
el apogeo.
Ejemplo. Cambio de apogeo:
¿Cómo despejar ✓i y ✓f de las dos siguientes ecuaciones?
af (1 ef2 )
ai (1 ei2 )
=
, ✓ i + !i = ✓f + !f
1 + ei cos ✓i
1 + ef cos ✓f
Supongamos un perigeo rp , un apogeo inicial rai y uno final raf .
r +r
r +r
Por tanto ai = p 2 ai y af = p 2 af .
Usando
las fuerzas vivas en el perigeo:
q la ecuación de q
2µ
µ
2µ
µ
vi =
rp
a i y vf =
rp
af .
Por tanto:
q
q
q
1
V = |vf vi | = 2µ
1
1 1+r1ai /rp
rp
1+raf /rp
Si el objetivo es circularizar, entonces es necesario hacer
ra = rp . En el ejemplo anterior, serı́a
lo mismo que hacer⌘
q ⇣p q
raf = rp , y por tanto: V = rµp
2 1 1+r1ai /rp 1 > 0
q p
1
En función de a y e: V = µa p1+e
1 e
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Paso 1: Escribir por ejemplo ✓f en función de ✓i y eliminar las
fracciones:
ei2 )(1 + ef cos(✓i + !i
ai (1
✓f ) = af (1
ef2 )(1 + ei cos ✓i )
Paso 2: Usar la fórmula del coseno de la suma y agrupar
factores:
h
38 / 60
af (1
2
ef )
ai (1
2
ei )
i
=
h
i
2
2
ai (1
ei )ef cos(!i
✓f )
af (1
ef )ei cos(✓i )
h
i
2
ai (1
ei )ef sen(!i
✓f ) sen(✓i )
40 / 60
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cambio genérico de órbita coplanaria III
Rotación de la linea de ápsides
¢~V
INICIAL
Paso 3: Identificando coeficientes, esta es una ecuación del
tipo A sen ✓ + B cos ✓ = C . En primer lugar, esta ecuación
2
2
sólo tiene
C 2 . Definimos
p solución si A + B
2
2
D = A + B y dividimos la ecuación por esta cantidad:
~
V
f
~
Vi
'
¢!
µ
r~
FINAL
A
B
C
sen ✓ + cos ✓ =
D
D
D
Paso 4: Convertir esta ecuación a una del tipo
C
cos(✓ ✓0 ) = D
. Desarrollando la fórmula del coseno de una
diferencia:
cos ✓ cos ✓0 + sen ✓ sen ✓0 =
¢~V
C
D
por lo que identificando coeficientes: sen ✓0 =
lo que permite hallar ✓0 sin ambigüedad.
A
D,
cos ✓0 =
B
D,
'
°i
requiere el mismo
r~
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cambio genérico de órbita coplanaria IV
Paso 5: Resolviendo la ecuación cos(✓ ✓0 ) =

C
✓ = ✓0 ± arc cos
D
Se deduceq V = 2Vi sen i y desarrollando
V = 2e µp | sen 2! | (la otra solución
°f
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Se pretende rotar ! en una cantidad !, sin
modificar a ni e.
q
µ
Por tanto, Vf = Vi = 2µ
r
a . Se deduce
que el punto de aplicación de V vendrá
dado por ✓i = !/2, por tanto
e2)
r = 1+ea(1
cos !/2 . Obsérvese que
✓f =
!/2 (otra solución es
✓i = ⇡ + !/2, ✓f = ⇡
!/2).
Falta encontrar ', que se deduce de
e sin ✓
'= i
f . Puesto que tan = 1+e cos ✓ , se
tiene que f =
i , luego ' = 2 i y que
e sin !/2
tan i = 1+e
cos !/2 .
~V
i
~
Vf
41 / 60
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
V ).
43 / 60
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Cambio de plano orbital
C
D,
Supongamos que queremos
mantener a, e, ! y ✓ pero
queremos variar el plano (⌦ e i).
obtenemos
Si a no cambia,
p
Vf = Vi = 2µ/r µ/a, por
tanto el ángulo ' ( A en la
figura) determina la maniobra,
junto con la latitud en la que
se debe efectuar la maniobra.
De la trigonometrı́a esférica se encuentran las fórmulas:
cos A = cos ii cos if + sen ii sen if cos(⌦f ⌦i ) y
if sen(⌦f ⌦i )
sen = sen ii sensen
A
donde vemos que hay dos posibles soluciones en general.
El procedimiento inverso (dado el V y , y la órbita original
ai , ei , !i , ası́ como el punto de aplicación ✓i ), es más directo.
Se calcula primero ri , Vi y i . Con el triángulo de velocidades
se calcula Vf y '. Se obtiene f . Con Vf , rf = ri y f se
calculan af y ef . Se obtiene ✓f y finalmente !f = !i + ✓i ✓f .
Se tiene
42 / 60
V = 2Vi sen
A/2.
44 / 60
Órbitas de Aplicación
Maniobras
tantáneos, por lo que la velocidad del vehı́culo cambia de forma instantánea pero no ası́ la posición.
Esto en la práctica solo serı́a posible si el propulsor del vehı́culo le proporcionase un empuje infinito durante un tiempo infinitesimal. Aunque esta hipótesis es una aproximación que da buenos
resultados, en la realidad, debido a que la maniobra no es infinitesimal, los costes energéticos serán
algo mayores que los calculados.
Conceptos Generales
Órbitas de Aplicación
Maniobras de un solo impulso
Maniobras
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
2.1. Análisis Coplanar
Rendezvous
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Comenzamos estudiando el caso de una transferencia de Hohmann sin cambio de plano orbital, de forma que consigamos determinar los impulsos tangenciales ( V1 y V2 ) que hay que
proporcionar al vehı́culo para realizar esta maniobra. Esta transferencia se ilustra en la figura 1.
Cambio sólo de nodo o de inclinación
Transferencia de Hohmann I
Dadas dos órbitas cı́rculares de radios ri y rf ,
se puede demostrar que la transferencia de
mı́nimo V usando dos impulsos es la
llamada transferencia de Hohmann.
Cambio de ⌦ sin cambiar i: De
las fórmulas anteriores
cos
A = cos2 i +sen2 i cos(⌦f ⌦i )
2
sen(⌦f ⌦i )
y sen = sen i sen
.
A
Usando la fórmula
cos ↵ = 1 2 sen2 ↵/2 se puede
deducir:
sen 2A = sen i sen ⌦f 2 ⌦i .
Se tiene entonces
V = 2Vi sen i sen(⌦f
Cambio de i sin cambiar ⌦:
cos A = cos ii cos if + sen ii sen if = cos(ii
A = ii if ; además, = 0.
Se tiene entonces V = 2Vi sen(ii if )/2.
⌦i )/2.
El primer impulso lleva la órbita a una cuyo
apogeo coincide con rf , mientras que el
segundo circulariza la órbita.
La elipse de transferencia de Hohmann
f
cumpleqaH = ri +r
q
q
2 .q
2. Transferencia
2µ
µ
µ
µ de Hohmann
2µ
µ
Luego V1 =
,
V
=
2
ri
aH
ri
rf
rf
aH .
El eje mayor de una órbita elı́ptica viene dada por la siguiente expresión:
⇣q
⌘
r
✓
◆
f
V = r2µr
2µr
1
2 2
Llamando
llega1 a= 2 V
1(2.10),
13
=
1 1 = V1i =
1
rri µ, se
V
µ(r + r )
1+
1 + 1+
✓q
◆
q
1
2r
✓
◆ r
r
V2 =V V
a2 (2.11)
2µr
µr
2µr
1
1
1 se llega
1
=
= i
=
(1+
) ,2 luego
V
µr
µr
µ(r + r )
1+
( + 1)
q 3
q
q
r
✓ 1 ◆ r
aH
VT
2
V 1) +
2
1
1
=
(
T
=
⇡
=
1
+ 1. También
1
(2.12)
H
Vi
µ .
(1+ )
V
1+
Figura 1: Transferencia de Hohmann.
1
if ) luego
i
2
i
45 / 60
i
f
i
i
i
i
f
i
f
f
i
f
T
47 / 60
i
Esta última expresión (2.12) representa el coste total de la transferencia de Hohmann adimensionalizado con la velocidad del vehı́culo en la órbita circular inicial.
Órbitas de Aplicación
Maniobras
En la figura 2 se representan el coste, en términos de incrementos de velocidad, de la transConceptos
ferencia de Hohmann coplanar en función del parámetro
. ComoGenerales
se observa en esta figura, una
de Aplicación
impulso , el VViT
de las caracterı́sticas Órbitas
interesantes
de la transferencia Maniobras
de Hohmannde
es un
quesolo
al aumentar
Maniobras
Maniobras
de
de un impulso.
Transferencias
alcanza un máximo de 0.536
para
=
15,58.
A
partir
de
este
punto
vamás
decreciendo
hasta alcanzar
p
VT
Rendezvous se puede deducir de la misma
una ası́ntota en Vi = 2 1 con ! 1. Este comportamiento
p
V1
V2
V1
figura examinando la evolución de Vi y Vi . La curva de Vi crece con y se aproxima a 2 1
para ! 1. Sin embargo, VVi 2 alcanza un máximo de 0.19 en = 5,88 y después decrece hasta 0
para ! 1. Un análisis similar al realizado puede encontrarse en [3].
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Introducción
Transferencia de Hohmann II
Si la órbita final no tiene ningún punto en
común con la órbita inicial, no es posible
realizar la maniobra con un sólo impulso.
La órbita intermedia se denomina órbita
de transferencia.
En general existen infinitas posibles órbitas de transferencia.
El “coste” de la transferencia será V = V1 + V2 .
Es importante determinar cuáles son las óptimas en algún
sentido (mı́nimo consumo de combustible, mı́nimo tiempo de
transferencia...).
Inicialmente consideraremos transferencias coplanarias entre
dos órbitas circulares.
46 / 60
0.6
Máx: λ=15.58
0.5
∆v/vi [−]
Es necesario realizar una transferencia,
con al menos dos maniobras intermedias
de un sólo impulso.
0.7
0.4
0.3
0.2
Máx: λ=5.88
0.1
0 0
10
1
10
2
λ=rf /ri [−]
10
3
10
Figura 2: Coste de la transferencia de Hohmann en función de .
El coste de la
transferencia de Hohmann está representado en
la figura más arriba, incluyendo transferenciaspinteriores.
15
Para ! 1 tenemos el impulso
de escape ( 2 1).
Sólo para valores de en torno a la unidad es más económica
la transferencia que el escape.
Existe un máximo, ⇡ 15,58, para el cual el costo es máximo.
48 / 60
de Hohmann se utilizan dos órbitas de transferencia elı́pticas para llegar a la órbita final y, por
tanto, se necesitan tres impulsos en vez de dos. A pesar de esto, vamos a ver como hay ciertos casos
en los que la transferencia bielı́ptica mejora el rendimiento de la transferencia de Hohmann.
La transferencia comienza con un impulso V1 tangente a la órbita inicial que inyecta al vehı́culo
en la primera órbita de transferencia elı́ptica. Cuando se llega al apoapsis de esta órbita, que se
encuentra a una cierta distancia rt del cuerpo central, se realiza un segundo impulso V2 con el
que se pasa a la segunda órbita de transferencia, cuyo radio de periapsis coincide con el radio de la
Órbitas de Aplicación
órbita final deseada. Por tanto, al llegar al periapsis de la segunda órbita de transferencia se aplica
Maniobras
un tercer impulso contrario a la dirección del movimiento que inyecta definitivamente al vehı́culo
en la órbita final. En la figura 25 se puede observar un esquema de esta transferencia.
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
En los próximos apartados vamos a comenzar realizando un análisis coplanar de la transferencia
bielı́ptica para poder compararla con la transferencia de Hohmann. Y después analizaremos el caso
de la transferencia bielı́ptica con cambio de plano.
Transferencia biparabólica/bielı́ptica I
Comparación entre transferencias I
3. Transferencia Bielı́ptica
Es posible mejorar la transferencia de Hohmann
realizando más impulsos. La transferencia bielı́ptica
requiere tres impulsos (que siempre son tangentes)
y emplea dos órbitas de transferencia.
11.94 15.58
0.55
∆v/vi [−]
0.3
0.25
VT ! Vi
p
2
1
semiperiodos: TB =
T1 +T2
2
=⇡
a13
µ
+
50
60
70
80
Para > 15,58 la bielı́ptica
siempre mejora a la
Hohmann para > .
El aerobraking puede disminuir mucho el
coste de una transferencia a una órbita
de menor radio, ya que se obtiene un
impulso “gratis”.
Observación: el coste de ir a
la órbita lunar es similar al
coste de ir a GEO.
49 / 60
51 / 60
Además, en esta figura 26 también se puede observar que las curvas de las transferencias bielı́pticas presentan una discontinuidad al llegar a = . Para > el radio de la órbita final es mayor
Conceptos
que el radio de apoapsis de las órbitas de transferencia. Cuando esto ocurre vemos que
el coste Generales
Aplicación
de la maniobra aumenta bastante. Esta es la razón de Órbitas
que, comodedijimos
anteriormente,Maniobras
no tenga de un solo impulso
Maniobras
Maniobras
de más de un impulso. Transferencias
sentido en la práctica realizar una transferencia bielı́ptica con un valor de > .
Rendezvous
3. Transferencia Bielı́ptica
Comparación entre transferencias II
q
2
(1+ )
q
1
+
a23
µ
45
300
TB= 40 TH
250
TB= 20 TH
β=rt /ri [−]
200
q
2
( + )
⌘
BIELÍPTICA
TB= 10 TH
150
HOHMANN
100
TB= 5 TH
50
HOHMANN
0
1
Se tiene que VT es decreciente con , por lo tanto el
anterior
valor es el mı́nimo.
41
El tiempo de transferencia será ✓
laq
suma de
qlos◆dos
Figura 25: Transferencia bielı́ptica coplanar.
40
λ=rf /ri [−]
Un dato curioso que podemos concluir de este análisis es que el coste de una transferencia de
Hohmann para ir a una órbita geoestacionaria ó a una lunar ( = 6,46 y = 58,88 respectivamente)
suponiendo que no se realiza un cambio de plano orbital, es aproximadamente el mismo. Y se
puede encontrar una transferencia bielı́ptica a una órbita lunar cuyo coste sea menor que la de una
Hohmann para ir a una órbita geoestacionaria.
!
q1⌘ y
1+
30
Por otro lado, para la transferencia bielı́ptica encontramos tres tramos bien diferenciados: para
< 11,94 la bielı́ptica no mejora a la de Hohmann con ningún valor de ; para 11,94 < < 15,58,
la transferencia bielı́ptica mejora a la de Hohmann cuando se toman valores grandes de . Un
análisis y ecuaciones que describen este hecho vienen dados por [4] citado en [12]; y para valores
de > 15,58 la transferencia bielı́ptica mejora a la de Hohmann siempre que > . Como se
puede ver, el coste de la maniobra va disminuyendo con hasta alcanzar el mı́nimo para valores de
! 1. Los valores = 11,94 y = 15,58 son conocidos como lı́mites crı́ticos del problema de la
transferencia [12]. Estos valores se obtienen del corte de la curva de la transferencia de Hohmann
con las curvas de la transferencia bielı́ptica para ! 1 y = 15,58 respectivamente.
µ
a2 .
Llamamemos como antes = rrfi y = rrti .
⇣q
⌘
Se tiene V1 = Vi
2 2 1+1
1 ,
⇣q
⌘
q
2
2
2
2
V2 = Vi
y
+
✓ q
◆1+
q
1
2
V3 = Vi
+ 2
.
+
Si rt ! 1, entonces⇣
20
Se usan transferencias no tangenciales
para disminuir los tiempos, si bien
Esta figura es muy interesante porque nos permite conocer el coste de una maniobra tanto
el coste.
si se realizaaumenta
con una transferencia
de Hohmann como con una bielı́ptica. Por un lado, para la
Transferencia biparabólica/bielı́ptica II
Vi
10
Figura 26: Comparación entre el coste de la transferencia de Hohmann y la transferencia bielı́ptica
en función de y para distintos valores de .
En los próximos apartados vamos a comenzar realizando un análisis coplanar de la transferencia
bielı́ptica para poder compararla con la transferencia de Hohmann. Y después analizaremos el caso
de la transferencia bielı́ptica con cambio de plano.
2
( + )
Para 2 [11,94, 15,58] es
necesario tomar grande
para mejorar la transferencia
de Hohmann.
0.4
0.35
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
VT q
=
1+
β=80
β=200
β→
0.45
transferencia de Hohmann, se observa que el resultado es análogo al que se obtuvo
p en la figura 2.
El coste alcanza el máximo en = 15,58, y para ! 1 el coste tiende a VViT = 2 1.
de Hohmann se utilizan dos órbitas de transferencia elı́pticas para llegar a la órbita final y, por
tanto, se necesitan tres impulsos en vez de dos. A pesar de esto, vamos a ver como hay ciertos casos
en los que la transferencia bielı́ptica mejora el rendimiento de la transferencia de Hohmann.
2
1+
β=40
0.5
3. Transferencia Bielı́ptica
Por⇣q
tanto:
Hohmann
Bielíptica
β=15.58
0.6
Si rt = 1 la transferencia se denomina
“biparabólica” (caso a) ya que las dos órbitas de
transferencia son parábolas.
rf +rt
t
Se cumple a1 = ri +r
2 y a2 = 2 .
q
q
Figura 25: Transferencia bielı́ptica coplanar.
µ
µ
Se tiene V1 = 2µ
3. Transferencia Bielı́ptica
ri
a
ri ,
41
q
q 1
q
q
2µ
µ
2µ
µ
µ
2µ
En esta sección vamos a estudiar la transferenciaV
bielı́ptica
que nos permite pasar de una órbita
=
y
V
=
+
2
3
rt
a2la transferenciart
a1
rf
rf
circular inicial a otra órbita circular de un radio mayor. En este caso, a diferencia
de
La transferencia biparabólica
(y por tanto la bielı́ptica)
sólo mejora a la de Hohmann
para > 11,94).
0.65
La primera órbita de transferencia tiene como
perigeo ri y apogeo rt ; mientras que la segunda
tiene como perigeo rf y apogeo rt .
La transferencia comienza con un impulso V1 tangente a la órbita inicial que inyecta al vehı́culo
en la primera órbita de transferencia elı́ptica. Cuando se llega al apoapsis de esta órbita, que se
encuentra a una cierta distancia rt del cuerpo central, se realiza un segundo impulso V2 con el
que se pasa a la segunda órbita de transferencia, cuyo radio de periapsis coincide con el radio de la
órbita final deseada. Por tanto, al llegar al periapsis de la segunda órbita de transferencia se aplica
Órbitas de Aplicación
un tercer impulso contrario a la dirección del movimiento que inyecta definitivamente al vehı́culo
Maniobras
en la órbita final. En la figura 25 se puede observar un esquema de esta transferencia.
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Órbitas de Aplicación
Maniobras
11.94 15.58
20
30
40
λ=rf /ri [−]
50
60
70
80
En la figura se aprecia el otro aspecto de usar una
transferencia bielı́ptica en lugar de una de Hohmann: aunque
disminuya el coste (en muchos casos ligeramente), aumenta
La figura 27 es congruente con las conclusiones que se alcanzaron tras el análisis de la figura
26. considerablemente
En primer lugar, para valoreseldetiempo.
< 11,94 la transferencia bielı́ptica no es mejor que la de
Figura 27: Estudio del tipo de trasferencia (bielı́ptica ó de Hohmann) que es más eficiente en función
de la maniobra que se vaya a realizar.
50 / 60
Hohmann en ningún caso. Para valores 11,94 < < 15,58 hacen falta valores grandes de para
que la transferencia bielı́ptica mejore a la de Hohmann. Podemos ver que en = 11,94 tiene
una ası́ntota tendente a infinito, por lo que para que una transferencia bielı́ptica iguale el coste
de una de Hohmann para un valor de cercano a 11.94, se tendrá que utilizar una transferencia
biparabólica, algo que como dijimos no interesa en la práctica. Por último, antes vimos que para
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En este apartado vamos a analizar un caso particular de la transferencia de Hohmann entre
dos órbitas elı́pticas coaxiales, es decir, que compartan la misma lı́nea de ápsides [7][1]. Esta transferencia raramente se utiliza en la práctica. Primero vamos a estudiar la transferencia coplanar
para después ver un caso con cambio de plano. La idea es la misma que en las transferencias de
Hohmann que hemos estudiado anteriormente: tenemos
una órbita
inicial y una órbita final y para
Conceptos
Generales
Órbitas
de Aplicación
Maniobras
de undenominada
solo impulso elipse de Hohmann.
pasar de una a otra se utiliza
una elipse
de transferencia,
también
Maniobras
Maniobras
de
más
un impulso. Transferencias
La diferencia en este caso es que tendremos dos posibles órbitas de de
transferencia
debido al hecho
Rendezvous
de que la órbita inicial y final son elı́pticas. Una de las órbitas de transferencia va del perigeo de
la órbita inicial al apogeo de la final, y la otra órbita de transferencia va del apogeo de la órbita
inicial al perigeo de la órbita final. Todo esto se ilustra en la figura 21.
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Transferencia circular-elı́ptica y elı́ptica-elı́ptica
Maniobra restringida de tres impulsos para cambio de
plano II
Llamando = rr21 , se tiene: VT =
⇣q
⌘
q
2
2
2V1
1+
1+
(1+ ) sen i/2 .
Entre dosFigura
órbitas
elı́pticasde(alguna
de ellas
21: Transferencia
Hohmann entre
órbitas posiblemente
elı́pticas.
circular) coaxiales (con la misma lı́nea de ápsides), se puede
34
encontrar una maniobra óptima
tipo Hohmann.
Las dos posibles trayectorias conectan el apogeo de una de las
órbitas con el perigeo de otra; la regla óptima consiste en
elegir el mayor de los apogeos. Observación: para una órbita
circular, los radios de apogeo y perigeo son iguales entre sı́ e
iguales al radio nominal (todos sus puntos son perigeo y
apogeo).
Por tanto,hq
⇣
VT
2
=
2
1+
V1
1+
sen
i/2
Podemos buscar el valor de
maximizando el corchete.
Se llega a
OPT
=
⌘
i
1 .
óptimo
sen i/2
1 2 sen i/2 .
De aquı́ obtenemos la siguiente regla:
Si i  38,94o , no emplear esta maniobra (no compensa).
Si 38,94o < i  60o , emplear = OPT .
Si i > 60o , emplear ! 1 (tan grande como sea posible).
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55 / 60
2.2. Análisis No Coplanar
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
2.2.
Análisis No Coplanar
Estudiamos ahora la transferencia de Hohmann con un cambio de plano orbital i. Mientras
que en el caso coplanar los impulsos de la transferencia eran tangentes a la trayectoria, en este caso
formarán un cierto ángulo ( i1 y i2 respectivamente) con ésta. Esta maniobra es la transferencia
de dos impulsos óptima para cubrir la transferencia entre órbitas circulares con cambio de plano.
En la figura 3 se representa un esquema de esta transferencia.
Maniobra restringida de tres impulsos para cambio de
plano I
Transferencia de Hohmann con cambio de plano
Para disminuir el coste de la maniobra de
cambio de inclinación, se puede considerar
una transferencia de tres impulsos.
Consideremos el caso circular, con dos
órbitas circulares de radio r1 y diferencia de
inclinación i. Si se utiliza una sóla
maniobra, el gasto es V = 2V1 sen i/2.
Consideremos una órbita de transferencia con radio de perigeo
r1 y radio de apogeo r2 . Una vez alcanzado r2 , se cambia de
plano y se vuelve por
q una órbita deqtransferencia similar.
Por tanto: V1 = 2µ
r1
q
2µ
2µ
V2 = 2 r2
r1 +r2 sen
2µ
r1 +r2
µ
r1 ,
V3 =
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Órbitas de Aplicación
Maniobras
V1 .
i/2.
54 / 60
V2
2.2.2.
Es tı́pico tener que realizar una maniobra
2. Transferencia de Hohmann
para cambiar el radio y una maniobra para
q
cambiar
de plano.
= V +V
2V V cos( i)
(2.13)
2
a
2
f
a f
Es más económico realizar ambas maniobras
Cambio de Plano Repartidosimultáneamente.
2.2.2.1.
Estudio de la Distribución del Cambio de Plano
Se puede realizar el cambio de plano
simultáneo con el primer impulso, con el
Figura 3: Transferencia de Hohmann con cambio de plano repartido.
segundo, o “repartirlo” entre ambos.
Ahora vamos a estudiar el caso en el que se reparte el cambio de plano entre los dos impulsos.
Tendremos un cambio de plano i1 en el primer impulso y un i2 en el segundo. Siguiendo el
mismo razonamiento que antes ambos impulsos vendrán dados por las siguientes expresiones:
2.2.1.
Cambio de Plano en el 2o Impulso
El “reparto” del cambio qde inclinación se puede realizar de
= qué
Vp2 +forma
Vi2 2Vphay
Vi cos(que
ii )
(2.14)
Para minimizar el coste energético de la transferencia vamos a analizarV1de
óptima.
repartir el cambio de plano entre los dos forma
impulsos de
forma que optimicemos q
la maniobra. Como
veremos más adelante, para valores de >El
1 prácticamente
todose
el cambio
de
aa Vrealizar
V2 =plano
Va2 +se
Vf2va2V
i2 )
f cos(el
nuevo V
encuentra
usando
teorema del(2.15)
coseno.
en el segundo impulso, por lo que es una buena simplificación que no penaliza mucho la eficiencia
siendo i = i1 + i2 . El coste total de la maniobra vendrá dado por la suma de los dos impulsos.
de la maniobra.
Si ahora adimensionalizamos el impulso total de la maniobra con la velocidad inicial nos queda lo
siguiente:
Dejando todo el cambio de plano para el segundo impulso, el primer impulso será tangente y
se define de la misma forma que en el caso coplanar: V1 = VVp Vi . Para
V 2 V 2 nosV
V 2 elV segundo impulso
T
p
p
f
f Va
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la Tierra (h 150km) a una órbita geoestacionaria y a la Luna respectivamente, se puede ver que
el porcentaje de i que realizamos en el primer impulso es muy inferior al del segundo impulso.
De aquı́ se deduce que la aproximación que realizamos anteriormente concentrando todo el cambio
de plano en el segundo impulso no perjudica en exceso la eficiencia de la maniobra.
Por otro lado, para < 1, que es el caso en el que queremos pasar de una órbita circular a otra
de un radio menor, vemos que el comportamiento esConceptos
el opuesto Generales
al anterior. Ahora para optimizar
Órbitas
de parte
Aplicación
Maniobras
un solo
impulso
la maniobra realizamos
la mayor
del cambio de
plano en eldeprimer
impulso.
Por tanto, para
Maniobras
Maniobras
de más de un impulso. Transferencias
< 1 podrı́amos hacer la simplificación de realizar todo el i en el primer impulso sin que esto
Rendezvous
afecte mucho a la eficiencia. Además, el porcentaje de i1 presenta un mı́nimo que al aumentar
i aumenta su valor y se va desplazando hacia valores de más pequeños (el mı́nimo se desplaza
hacia la izquierda con i).
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Hohmann con cambio de plano en el 2o impulso
Maniobra de phasing I
Puede haber dos casos: el interceptor se
encuentra un ángulo ⌫ en atraso (arriba) o un
ángulo ⌫ en adelanto (abajo).
100
∆i=5º
∆i=15º
∆i=25º
∆i=35º
∆i=45º
∆i=55º
90
80
70
60
∆ i1 [%]
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
La idea es modificar ligeramente la órbita del
interceptor, de forma que al volver a pasar por
el punto de inicio, se encuentre al blanco.
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
λ=rf /ri [−]
9
10
11
12
13
14
15
En la figura
está la optimización resuelta para varios y i.
Figura 4: Porcentaje de cambio de plano que realizamos en el primer impulso.
Se observa que salvo i pequeños, en general casi todo el
En la anterior figura, debido a que se ha representado el porcentaje de i en vez o
valor real
impulso
se derealiza
el elimpulso
másla transferencia
lejano (el
2del cuando
se
de ese cambio
plano, no seen
aprecia
hecho de que según
que realicemos
(valor
de ), i alcanza un máximo con i.oEn la figura 5 se representa la variación de i en grados
aumenta
el
radio,
y
el
1
cuando
se
disminuye).
en función de para diferentes valores de i. En esta figura se observa que para cada valor de , el
máximo de i se da para un valor de i distinto. Además, también es muy interesante comprobar
Para
evitar resolver la optimización, en problemas realizaremos
que para que la maniobra sea óptima, el mayor cambio de plano que se realiza en el primer impulso
no llega a superar los 6 en ningún caso (para cualquier y i).
todo
el cambio de plano en el impulso más lejano. En la
Este hecho se observa claramente en la figura 6, en la que representamos la variación de i en
práctica
siempre
se práctico
resolverı́a.
grados frente
a i para el caso
de la transferencia desde una órbita de aparcamiento a una
1
1
1
1
o
1
57 / 60
órbita geoestacionaria (
6,5). En este caso vemos que i1 alcanza un máximo para i = 61,6o .
Por este motivo interesará repartir el cambio de plano cuando tengamos un i cercano a este
Para reducir V se impone que el encuentro
sea tras k órbitas del interceptor. Entonces
Conceptos
Generales
⌫ de
Órbitas deTAplicación
solo impulso
± 2⇡k
),unbajando
V.
ph = T (1Maniobras
19
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Si T es el periodo de la órbita común, el nuevo
⌫
periodo ha de ser Tph = T (1 2⇡
) (atraso) o
⌫
Tph = T (1 + 2⇡ ) (adelanto).
✓ q ◆1/3
T
A partir de Tph obtenemos aph = µ 2⇡ph
q
µ
y el impulso V1 = 2µ
r
aph necesario. Para
regresar a la órbita inicial habrá que aplicarlo
una segunda vez, frenando. Por tanto
59 / 60
VT = 2 V1 .
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Maniobras
Rendezvous e intercepción
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Maniobra de phasing II
El tiempo que se tardará en realizar la maniobra de phasing
será igual a Tph .
Rendezvous/intercepción: Encontrar una transferencia para ir
de un punto dado de una órbita a un punto dado de otra.
El problema genérico es equivalente al problema de Lambert;
algunos casos particulares se pueden resolver mediante las
maniobras y transferencias que hemos visto.
Estudiamos el caso en el que ambos puntos están en la misma
órbita, pero desfasados en su anomalı́a verdadera.
En dicho caso la maniobra de rendezvous se llama “phasing”.
Para simplificar consideramos el caso de una órbita circular.
Para reducir V se puede realizar la maniobra más despacio,
imponiendo que el encuentro sea tras k órbitas de phasing del
⌫
interceptor. Entonces Tph = T (1 ± 2⇡k
), bajando V , pero el
tiempo de maniobra será entonces kTph .
En ciertas misiones donde se quiere ubicar un satélite en una
órbita circular con una cierta anomalı́a verdadera, se puede
dejar al satélite en una cierta órbita con menor altitud (drift
orbit) de forma que eventualmente adquiera la anomalı́a
verdadera deseada, momento en el cual se realizará la
transferencia final a la órbita de destino ya con el valor
correcto de ✓.
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60 / 60