Problema realizado por Elena Abad Enunciado Pilar tenía escrito en su cuaderno los vértices de un paralelogramo, pero se le ha caído un borrón de tinta y le ha tapado uno de los vértices. a- Calcular las coordenadas del vértice C, sabiendo que A(2, 2), B(12, 8) y D(6, 1) b- Halla las ecuaciones de las diagonales. c- Calcular el punto de corte de las diagonales. d- Comprobar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus respectivos puntos medios. Bases teóricas • Los paralelogramos tienen los lados paralelos e iguales dos a dos: AB = DC ; AD = BC • Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: x − x1 y − y1 = x 2 − x1 y 2 − y1 • Ecuación general de la recta en el plano: Ax +By +C = 0 • Punto medio de un segmento: x + x 2 y1 + y , M = 1 2 2 • Para hallar el punto de intersección de dos rectas hay que resolver el sistema de ecuaciones que forman. • Para que dos rectas en forma general sean paralelas los coeficientes de la x y de la y tienen que ser proporcionales y los términos independientes diferentes. Resolución gráfica 1- Se dibujan los puntos A, B y D. 2- Se dibuja una recta que pase por los puntos A y D, y una paralela a esta que pase por el punto B. 3- Se dibuja una recta que pase por los puntos A y B, y una paralela a esta que pase por el punto D. 4- Donde se corte esas dos rectas halladas se encontrará el punto C. B C A D 1 O 1 Cálculo Calcular las coordenadas del vértice C, sabiendo que A(2, 2), B(12, 8) y D(6, 1) 1- Se halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B, y se pasa a la forma general. x−2 y−2 = ⇒ 6x − 12 = 10y − 20 ⇒ 6x − 10y + 8 = 0 ⇒ 3x − 5y + 4 = 0 12 − 2 8 − 2 2- Se sustituyen x e y por las coordenadas del punto D para hallar una recta paralela a la que pasa por A y B y que pase por el punto D. 3(6) − 5(1) + K = 0 K = −13 3x − 5y − 13 = 0 3- Se halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y D, y se pasa a la forma general. x−2 y−2 = ⇒ − x + 2 = 4y − 8 ⇒ x + 4y − 10 = 0 6 − 2 1− 2 4- Se sustituyen x e y por las coordenadas del punto B para hallar una recta paralela a la que pasa por A y D y que pase por el punto B. 12 + 4(8) + K = 0 K = −44 x + 4y − 44 = 0 5- Se halla el punto de intersección de las rectas que pasan por B y C y por D y C y se encuentra el punto C. 3x − 5y − 13 = 0 x = 44 − 4y ⇒ x = 16 x + 4y − 44 = 0 3(44 − 4y) − 5y − 13 = 0 132 − 12y − 5y − 13 = 0 17y = 119 y=7 Las coordenadas del punto C es: C= (16, 7) Halla las ecuaciones de las diagonales. 6- Se hallan las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos A y C, y B y D y se pasan a la forma general. x−2 y−2 = ⇒ 5x − 10 = 14y − 28 ⇒ 5x − 14y + 18 = 0 16 − 2 7 − 2 x − 6 y −1 DB : = ⇒ 7x − 42 = 6y − 6 ⇒ 7x − 6y − 36 = 0 12 − 6 8 − 1 AC : Calcular el punto de corte de las diagonales. 7- Se resuelve el sistema de ecuaciones que forman y se encuentra el punto donde se cortan. 5x − 14y + 18 = 0 9 7x − 36 ⇒y= y = 7x − 6y − 36 = 0 6 2 7x − 36 5x − 14 + 18 = 0 6 30x − 98x − 504 + 108 = 0 68x = 612 x=9 9 P 9, 2 Comprobar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus respectivos puntos medios. 8- Se halla el punto medio de cada una de las diagonales. 2 + 16 2 + 7 9 M AC = , = 9, 2 2 2 6 + 12 1 + 8 9 MDB = , = 9, 2 2 2 Se cortan en sus puntos medios