Sistemas con parámetros distribuidos Régimen Permanente

Sistemas con parámetros
distribuidos
Régimen Permanente
65-10. Teoría de Campos
Rev. 1 -3/NOV/09
Para línea bifilar o una fase de
trifilar traspuesta
rdx
i
ldx
+
u
-
x
i+di
+
gdx
cdx
dx
u+du
-
∂i
⎧
⎪⎪− du = r ⋅ dx ⋅ i + l ⋅ dx ⋅ ∂t
⎨
⎪− di = g ⋅ dx ⋅ u + c ⋅ dx ⋅ ∂u
⎪⎩
∂t
u,i son funciones de (x,t)
Para variación armónica
⎧ d U&
= (r + jω l ) ⋅ I&
⎪−
⎪ dx
⎨
⎪ − d I& = (g + jω c ) ⋅ U&
⎪⎩ dx
derivadas totales porque las del tiempo
ya las sacamos afuera con jω .
d 2U&
→ 2 = (r + jωl ) ⋅ ( g + jωc ) ⋅ U& = γ& 2 ⋅ U&
dx
similar a campos eléctricos armónicos
Variación Armónica
La solución es:
− γ& x
γ& x
&
&
&
U = A1 ⋅ e + A2 ⋅ e
γ& = α + jβ =
(r + jωl ) ⋅ (g + jωc )
Es la constante de propagación [1/m]
U& = U& + U&
d
i
U d ⇒ ud (t ) = 2 ⋅ U d ⋅ e
123
A1
−α x
⋅ cos (ωt − β x + Θ d )
Variación Armónica
U& = A&1 ⋅ e −γ& x + A& 2 ⋅ eγ& x
dU&
y empleando
−
= (r + jωl ) ⋅ I&
dx
& ⋅ (− γ& ) −γ& x A& ⋅ (γ& ) γ& x
A
→ I& = − 1
⋅e − 2
⋅e
r + jωl
r + jωl
Sabiendo que
r + jωl
r + jωl
= Z& C [Ω]
=
γ&
g + jωc
Z& : Impedancia característica, de onda o de impulso
C
&
&
A
A
&
x
−
γ
→ I& = 1 ⋅ e − 2 ⋅ eγ& x con signo distinto al de U
Z& C
Z& C
Propagación de ondas
Se denomina velocidad de
fase a aquella con la que se
propaga la fase de una
onda.
Ud
Se denomina longitud de onda
a la distancia entre 2 puntos
consecutivos de una línea en
que la onda tiene igual fase
ω
v=
β
ω ⋅ t − β ⋅ x + Θ d = cte
derivando a ambos lados :
d
(ω ⋅ t − β ⋅ x + Θ d ) = 0
dt
dx
ω=β⋅ =0
dt
dx
ω
=
v =
dt fase cte β
β ⋅ λ = 2π
v
λ = v ⋅T =
f
Propagación de ondas para línea
bifilar sin pérdidas
μ0 D
π ⋅ε0
l=
ln
; c=
D
r
π
ln
r
β = ω ⋅ l ⋅ c sin pérdidas
1
1
=
v=
l⋅c
μ0 ⋅ ε 0
v ≅ 300.000 km / seg; a 50 Hz :
v
λ = = 6000 km
f
Propagación de ondas
Id
Ii
+
+
x
Ud
-
Ui
-
Todas en el mismo punto
I& = I&d − I&i
U& d U& i &
=
= ZC
&I
&I
d
i
Todas las magnitudes desde el punto 1 (emisor), con x = 0
⎧ & U& 1 + Z& C ⋅ I&1
⎪⎪ A1 =
⎧⎪U& 1 = A&1 + A& 2
2
→⎨
→⎨
&
& &
⎪⎩Z& C ⋅ I&1 = A&1 − A& 2
⎪ A& = U1 − Z C ⋅ I1
⎪⎩ 2
2
⎧U& = U& 1 ⋅ cosh (γ& x ) − Z& C ⋅ I&1 ⋅ sh (γ& x )
& yA
& : ⎪⎨
&
∴ reemplazando A
1
2
&I = − U1 ⋅ sh (γ& x ) + I& ⋅ cosh (γ& x )
1
⎪
Z& C
⎩
Matricialmente :
⎤
⎤ ⎡ cosh (γ&x ) − senh(γ&x )⎤ ⎡U& 1
⎡U&
⋅⎢
⎥
⎥=⎢
⎢
⎥
&
&
&
&
&
&
(
)
(
)
γ
senh
γ
x
x
cosh
−
⎢⎣ Z C ⋅ I ⎥⎦ ⎣
⎦ ⎢⎣ Z C ⋅ I1 ⎥⎦
e (γ&x ) − e − (γ&x )
;
Recordar que : senh (γ&x ) =
2
e (γ&x ) + e − (γ&x )
cosh (γ&x ) =
2
Otra posibilidad : medir las coordenadas desde el punto 2, receptor (longitud L)
x = L− y
⎧⎪e −(γ&⋅ x ) = e −(γ&⋅L ) ⋅ e (γ&⋅ y )
⎨ (γ&⋅ x )
⎪⎩e
= e (γ&⋅L ) ⋅ e −(γ&⋅ y )
U& = A&1 ⋅ e −(γ&⋅L ) ⋅ e (γ&⋅ y ) + A& 2 ⋅ e (γ&⋅L ) ⋅ e −(γ&⋅ y ) = A& 3 ⋅ e (γ&⋅ y ) + A& 4 ⋅ e −(γ&⋅ y )
U& 2 = A& 3 + A& 4
con y = 0 :
(
)
(
)
A& 3 (γ&⋅ y ) A& 4 −(γ&⋅ y )
&
⋅e −
⋅e
para todo y : I =
ZC
ZC
A&3 A& 4
&
I2 =
−
con y = 0 :
ZC ZC
⎧ & U& 2 + Z& C ⋅ I&2
corresponde a avance en sentido negativo de y (onda directa)
⎪⎪ A3 =
2
→⎨
&
& &
⎪ A& = U 2 − Z C ⋅ I 2
⎪⎩ 4
2
Matricialmente :
&
& ⎤ ⎡cosh (γ& y ) senh (γ&y )⎤ ⎡ U
⎤
⎡U
2
⋅⎢
⎥
⎢ & &⎥ = ⎢
⎥
&
&
&
&
(
)
(
)
γ
senh
γ
y
cosh
y
⎢⎣ ZC ⋅ I⎥⎦ ⎣
⎦ ⎢⎣ Z C ⋅ I 2 ⎥⎦
I1
I2
U1
U2
x
Extremo
emisor
1
U
I
y
Extremo
receptor
2
Los signos de las matrices pueden entenderse a partir de U, I
Fasores Ud (Udr) y Ui (Urf) a lo largo de la línea
Par.Distribuidos - Estacionario
LINEAS LARGAS Y CORTAS (ref. Elgerd)
Si la línea no tuviera pérdidas (en el caso real son
comparativamente insignificantes)
Z& C =
γ& =
r + jω l
=
g + jω c
(r +
l
= Z C [Ω ] , puramente resistiva
c
jω l ) ⋅ (g + jω c ) = jω ⋅ l ⋅ c ,
imaginaria pura
λ=
2π
β
⇒ βx =
x
⋅ 2π
λ
Si quiere representarse una línea mediante un circuito equivalente al de
la figura que cumpla con las relaciones entre V(L);I(L) y V(0);I(0) puede
concluirse mediante inspección y comparación que la impedancia serie
y las admitancias paralelo pueden expresarse como (todos elementos
reactivos):
ZS
+
+
V (0)
-
ZS = j ⋅
Y1P
Si x <
Si x >
λ
2
λ
2
Y2P
V (x)
-
(líneas más cortas que
l
⎛x
⎞
⋅ sen⎜ ⋅ 2π ⎟
c
⎝λ
⎠
Y1P = Y2 P = j ⋅
λ
2
c
⎛x ⎞
⋅ tan⎜ ⋅ π ⎟
l
⎝λ ⎠
) → Z S es inductivo y YP capacitivo
→ Z S es capacitivo y YP inductivo
Para 50 Hz la long. de onda λ es aprox. 6000 km
En transmisión casi nunca se excede λ/8(∼750 km)
Si la línea es lo suficientemente corta, x/λ es tan chico que
puede ser representada por parámetros concentrados:
⎧ ⎛x
⎞ x
⋅
π
sen
2
⎟ ≈ ⋅ 2π
⎪ ⎜
⎠ λ
⎪ ⎝λ
⇒
⎨
⎪tan⎛⎜ x ⋅ π ⎞⎟ ≈ x ⋅ π
⎪⎩ ⎝ λ ⎠ λ
⎧
l
l x
⎛x
⎞
=
⋅
⋅
⋅
2
≈
⋅
⋅ ⋅ 2π ≈ jω ⋅ l ⋅ x
π
Z
j
sen
j
⎜
⎟
⎪ S
c
c λ
⎪
⎝λ
⎠
⎨
c
c x
c⋅x
⎛x ⎞
⎪
=
=
⋅
⋅
⋅
≈
⋅
⋅
⋅
≈
tan
π
π
ω
Y
Y
j
j
j
⎜
⎟
2P
⎪ 1P
2
l
l λ
⎝λ ⎠
⎩
Para una línea de 200 km, x/λ =1/30 y aceptando la
aproximación anterior se tendría un error del 1%.
Por lo tanto se podrían aceptar los parámetros
concentrados hasta una longitud de la línea de 200 km y
hablar de líneas “cortas”
Para x/λ = 0,25 (1500 km a 50 Hz) las reactancias serie y
paralelas son iguales. Esto resulta en resonancia, que
puede resultar inaceptable desde el punto de vista de los
perfiles de tensión (línea “demasiado larga”).
Ejemplo : Línea Trifásica de 1000 km; r = 74 ⋅10-6 Ω ; g ≈ 0 ;
m
l = 1.212 ⋅10 −6 H ; c = 9.577 ⋅10 −12 F .
m
m
¿Que U1 hace falta para U 2 = 220 kV, si P2 = 0 ? (linea abierta )
λ=
2π
β
ZC =
x
λ
=
=
2π
1
1
=
=
= 5.87 ⋅106 m
ω ⋅ l ⋅ c f ⋅ l ⋅ c 50 ⋅ l ⋅ c
l
= 356 Ω
fase
c
1000
= 0.17 ;
5870
ZS = j
l
⎛x
⎞
sen⎜ 2π ⎟ = j 356 ⋅ sen(61.2 ) = j 311.96 Ω
fase
c ⎝λ
⎠
Y1P = Y2 P = j
1
V (x )
Y2 P
=
= 2.07
1
V (0) Z S +
Y1P
1
c
⎞
⎛x
tan ⎜ 2π ⎟ = j
tan (30.6) = j 0.00166 mho
fase
356
l
⎠
⎝λ
220
V (x )
3 = 106 kV de fase
∴ V (0 ) =
=
2.07
2.07
3
muestra las dificultades con el perfil de tensión en líneas largas
Conceptos particulares –
Línea Adaptada
1
ZC
Si Z& = Z& C se dice que la línea está adaptada.
& =U
& cosh (γ& ⋅ y ) + I& ⋅ Z& ⋅ senh(γ& ⋅ y )
U
2
2
C
&
&
U
U
U& − Z& C I&2
= 0, no hay onda reflejada)
I&2 = 2 y aqui : I&2 = 2 (de la ec. de A 4 alresultar 2
2
Z&
Z& C
& =U
& [cosh (γ& ⋅ y ) + senh(γ& ⋅ y )] = U
& ⋅ eγ&⋅ y ⎫⎪ U
&
U
2
2
∴
⎬ & = ZC
⎪⎭ I
I& = I&2 ⋅ eγ&⋅ y
∴ No hay diferencia en mirar la carga desde cualquier punto a lo largo de la línea
2
Z
Conceptos particulares – Línea Adaptada
*
2
2
*
U
U
U
&
γ
⋅
γ
⋅
y
y
S& = U& ⋅ I = U& ⋅ * = *2 ⋅ e ⋅ e = *2 ⋅ e 2α ⋅ y para línea adaptada
ZC ZC
ZC
*
*
γ& = α + jβ y γ = α − jβ
también S& =
U12
*
⋅ e − 2α ⋅ y , hay una amotiguación doble a la de tensión
ZC
en la potencia que se transmite en un punto a lo largo de la línea.
La variación entre entrada y salida (x = 0 y x = L) de potencia activa es :
P2
= e − 2α ⋅L , rendimiento de la transmisión para la línea adaptada.
P1
ln
P2
= −2α ⋅ L = N nep [Neper ] ó
P1
10 log
P2
= N [dB ]
P1
Potencia Natural
Sin pérdidas, para la línea cargada con ZC
U& = U& ⋅ e −γx = U& ⋅ e − jβx ; γ& = α + jβ = jβ
1
1
I(0)
V(0)
β(x)
I(x)
V(x)
El módulo de la tensión no cambia, sí la fase.
Si P es distinta a Pn, la tensión sube o baja.
Con línea en vacío, como ZC es capacitiva en gral, U2 sube y la corriente
adelanta a la tensión.
Si la pongo en corto baja, tiende a 0.
En la práctica para líneas cortas, se transmite P>Pn aunque caiga la tensión
porque si no es antieconómico.
Para P=Pn se equilibra el reactivo capacitivo e inductivo.
Para líneas largas P<Pn por estabilidad, salvo que se use compensación serie
Compensación (ref. Elgerd 6-6-8)
La línea adaptada sin pérdidas da el perfil ideal de
tensiones pero no se consigue en la práctica.
Ante grandes cargas la tensión cae y con baja
carga la corriente capacitiva produce caída de
signo cambiado en la reactancia inductiva, lo que
produce la suba de tensión.
A su vez los generadores tiene sólo una
capacidad limitada de absorber reactivo.
Se soluciona con capacitores serie (se insertan
con cargas grandes) y reactores shunt (en los
extremos para condiciones de vacío o similares).
Variación con la frecuencia
Para cualquier línea (adaptada o no), las constantes básicas de la línea son :
Z& C =
z&
=
&y
r + jω ⋅ l
l
=
⋅
g + jω ⋅ c
c
r
+ jω
l
= Z C [ϕC
g
+ jω
c
Casos Típicos – Línea Aérea
μ0
D⎫
l=
ln ⎪
2π RC
⎪⎪
2π ⋅ ε 0 ⎬ v =
c=
1
=c
μ0 ⋅ ε 0
⎪
⎪
⎪⎭
donde c es la velocidad de la luz en el vacio
D
ln
RC
Despreciando pérdidas :
ln D
RC
μ0
l
ZC =
=
⋅
= 60 ⋅ ln D
≈ 300 Ω
R
C
c
2π
ε0
{
377 ≅120π
Casos Típicos –
Cable Monofásico Coaxil
μ Re ⎫
l=
ln ⎪
2π Ri
⎪⎪
2π ⋅ ε ⎬ v =
c=
1
=
c
c
; para ε r = 4 ⇒ v = ;
2
⋅ε
μ
{r r
μ ⋅ε
⎪
1
⎪
⎪⎭
donde c es la velocidad de la luz en el vacio
Re
ln
Ri
Re = radio externo de la vaina; Ri = radio interno de la vaina
Despreciando pérdidas :
l
ZC =
=
c
ln
Re
Ri
Re
μ
μr
⋅
= 60 ⋅
⋅ ln
⇒ 75 Ω (valor típico)
ε 2π
εr
Ri
Cuadripolo y circuito equivalente –
Otro punto de vista
& ⋅ senh(γ& ⋅ L )⎤
⎡
&
(
)
⋅
cosh
L
Z
γ
C
⎡U& 1 ⎤ ⎢
⎡U& 2 ⎤
⎥
⋅⎢ ⎥ =
⎢ & ⎥ = ⎢ senh(γ& ⋅ L )
&
⎥
(
)
L
⋅
cosh
γ
I&2 ⎦
⎣ I1 ⎦ ⎢
⎣
&
ZC
⎥⎦
⎣
⎡ A& B& ⎤ ⎡U& 2 ⎤
=⎢
⎥⋅⎢ & ⎥
&
&
⎣C D ⎦ ⎣ I 2 ⎦
A = D = cosh (γ& ⋅ L ) por ser simétrica
I1
+
I2
+
U1
U2
-
-
B = dimensión impedancia
C = dimensión admitancia
AD - BC = 1 por ser sistema bilateral (todos los pasivos lo son)
Cuadripolo equivalente T
ZT/2
I1
+
I2
+
U1
U2
-
-
YT
La Matriz de Transferen cia del cuadripolo T :
⎡ Z T ⋅ YT
⎢1 +
2
[K T ] = ⎢
⎢
YT
⎢⎣
ZT/2
Z T2 ⋅ YT
ZT +
4
Z T ⋅ YT
1+
2
⎤
⎥ ⎡ A& B& ⎤
⎥=⎢
⎥
&
&
⎥ ⎣C D ⎦
⎥⎦
Cuadripolo equivalente Π
I1
+
I2
Zπ
+
U1
U2
-
-
Yπ /2
La Matriz de Transferen cia del cuadripolo Π :
Z Π ⋅ YΠ
⎡
⎢ 1+
2
[K Π ] = ⎢
2
Y
⎢Y + Π ⋅ Z Π
⎢⎣ Π
4
⎤
⎥ ⎡ A& B& ⎤
⎥=⎢
⎥
Z Π ⋅ YΠ ⎥ ⎣C& D& ⎦
1+
2 ⎥⎦
ZΠ
Yπ /2
Cuadripolo
(
)
2 A& − 1 2[cosh (γ& ⋅ L ) − 1]
&
=
ZT =
⋅ ZC
&
senh(γ& ⋅ L )
C
senh(γ& ⋅ L )
&
&
YT = C =
Z&
C
Z& Π = B& = Z& C ⋅ senh(γ& ⋅ L )
(
)
& − 1 2[cosh (γ& ⋅ L ) − 1]
2
A
Y&Π =
=
&
Z C ⋅ senh(γ& ⋅ L )
B
Desarrollando en serie y tomando 1º términos :
⎧Z& T = ( z& ⋅ L ) ⋅ K& 1
⎧&
(
2 ⋅ [cosh (γ& ⋅ L ) − 1]
γ& ⋅ L )2 (γ& ⋅ L )4
≈ 1−
+
+ ...
K1 =
⎪&
⎪
&
(γ& ⋅ L ) ⋅ senh(γ& ⋅ L )
12
120
⎪YT = ( y& ⋅ L ) ⋅ K 2
⎪
⎨
⎨&
2
4
&
&
(
)
=
⋅
⋅
Z
z
L
K
&
&
&
(
)
(
)
(
)
⋅
⋅
⋅
senh
γ
L
γ
L
γ
L
⎪ Π
⎪ K& =
2
≈ 1+
+
+ ...
⎪Y
⎪ 2
& = ( y& ⋅ L ) ⋅ K&
(γ& ⋅ L )
6
120
⎩
1
⎩ Π
Cuadripolo
& =K
& =1
Si tengo longitudes pequeñas como para que K
1
2
basta tomar como ZT y ZΠ la impedancia total del circuito zL
Idem para YT y YΠ y yL.
Si quiero que el error sea menor que el 1%
(γ ⋅ L )2
6
< 0.01