T - U-Cursos

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Ec. Diferenciales
Ec
Ordinarias
Gonzalo Hernández
UChile - CMM
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
1
Descripción EDO: Objetivos
1) Resolver edo y sistemas lineales edo usando métodos clásicos.
2) Interpretar
I t
t geométricamente
ét i
t ell problema
bl
de
d valor
l inicial
i i i l en
términos de curvas integrales.
3) Aplicar el teorema de existencia y unicidad y conocer ejemplos
donde no hay unicidad o existencia global.
4) Conocer y aplicar los métodos numéricos de Runge
Runge-Kutta
Kutta de
orden 2 y su implementación en Matlab, Maple o Scilab.
5) Estudiar el comportamiento cualitativo de sistemas no lineales.
6) Comprender el rol de las edo en la modelación de fenómenos de
la vida real; péndulo no-lineal, sistemas lineales de vibraciones
mecánicas, modelos de dinámica de poblaciones.
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2
Programa EDO
0)
Motivación: Modelación utilizando EDO
1)
EDO de primer orden (3 semanas)
2)
EDO lineales de orden n (4 semanas)
3)
Transformada de Laplace (2 semanas)
4)
Sistemas lineales de EDO (3 semanas)
5)
Sistemas no lineales de EDO (3 semanas)
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3
Programa EDO
0) Motivación: Modelación utilizando EDO
1)) EDO
O de primer orden (3
( semanas))
 Descripción cualitativa edo primer orden. Curva integral
 Ecuaciones de variable separable
separable. Ecuaciones homogéneas
homogéneas.
 Modelación usando EDOs de primer orden.
 Resolución EDO lineales de primer orden homogéneas y no
homogéneas utilizando el factor integrante.
 Ecuación de Bernoulli y de Ricatti.
 Teorema de existencia y unicidad para problema valor inicial.
 Métodos numéricos tipo Runge-Kutta.
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4
Programa EDO
2) EDO lineales de orden n (4 semanas)
 Existencia de base soluciones de edo lineales homogéneas de
orden n. Wronskiano.
 Edo lineales homogéneas orden 2. Fórmula Abel. Problema
vibraciones mecánicas.
 Edo lineales no homogéneas orden 2. Fórmula de variación de
parámetros Función de Green
parámetros.
Green.
 Edo lineales de orden 2 con condiciones de borde.
 Series de potencia para edo no homogéneas de orden 2 con
puntos singulares. Método de Frobenius.
 Edo lineales homogéneas orden n. Polinomio característico.
Ecuación de Euler – Cauchy.
 Edo lineales no homogeneas orden n. Met. coef. indeterminados.
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5
Programa EDO
3) Transformada de Laplace (2 semanas)
 Definición
Definición, ejemplos y fórmulas básicas.
básicas Fórmula de convolución.
convolución
 Resolución de edo lineales usando transformada de Laplace.
 Función de Heaviside y delta de Dirac. Resolución de edo lineales
con lados derechos generalizados.
4) Sistemas lineales de EDO (3 semanas)
 Problema valor inicial para un sistema lineal
lineal. Matriz fundamental
fundamental.
 Problema de valor inicial para un sistema lineal a coeficientes
constantes. Cálculo de la matriz exponencial.
 Análisis del comportamiento asintótico de las soluciones en
función de los valores propios.
 Diagramas
g
de fase p
para el caso 2x2.
 Fórmula de variación de parámetros para sist. Lineales no homog.
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6
Programa EDO
5) Sistemas no lineales de EDO (3 semanas)
 Sistemas
Si t
hamiltonianos
h ilt i
y conservación
ió d
de energía.
í A
Análisis
áli i d
de
algunos casos simples.
 C
Clasificación
as cac ó de puntos
pu os críticos.
c cos Estabilidad
s ab dad asintótica.
as ó ca Uso de
coordenadas polares.
 Análisis de algunos sistemas no-lineales clásicos: Sistema de
Volterra.
 Funcional de Lyapunov y estabilidad. Estudio de sistemas que
provienen de gradientes
gradientes.
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7
Organización de la Sesiones
 2 Clases de cátedra a la semana: Martes y jueves 14:30 hrs.
 1 Clase auxiliar a la semana: Viernes 14:30 hrs.
Francisco Bravo
Pedro Montealegre
 En U-Cursos se publicará el material del curso: Clases +
Notas + Laboratorios + Pautas
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8
Evaluación
1) Tres controles (semanas 4,8,12).
Nota eximición según reglamento: 5.5
2) Ayudantía + Laboratorios Matlab:
 L1: Algebra Lineal Numérica
 L2: Ecuaciones Diferenciales
 L3: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
3) Cálculo nota final: NF = (NC)*0.75 + (NA)*0.25
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9
Evaluación:
Laboratorio de Matlab para EDO
1) Capacidades básicas de cálculos matemáticos
2) Herramientas
H
i t d
de visualización
i
li
ió d
de resultados
lt d
3) Más de 30 Toolboxes:
 Curve Fitting
Fitting, Splines
Splines, Optimization
Optimization, PDE,
PDE Symbolic,
Symbolic Statistics
 Neural Networks, Genetic Algorithms, etc.
 Signal & Image Processing, Bioinformatics, Control, Financial, etc.
4) Funciones .m y programación
5) Tools: Taylor, Spline, Curve Fiiting, etc
6) Help ! , Libros, Manuales
7) File Exchange, Webminars
8) Cálculos complejos lentos + Traducción a C/C++ deficiente
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Laboratorio MA-43B
10
Evaluación:
Laboratorio de Matlab para EDO
 Objetivos del Laboratorio:
 Utilizar
Utili
algunos
l
Mét
Métodos
d Numérico
N éi +M
Matlab
tl b como
herramienta para resolver edos no lineales.
Ingeniería
 Conocer algunos modelos en en Ciencias e Ingeniería.
 Algunos links de interés:
 Home Matlab: http://www.mathworks.com/
p
 Documentación Oficial:
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/helpdesk.ht
ml
 File Exchange:
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/
Gonzalo Hernández
Laboratorio MA-43B
11
Motivación EDO
 Desde el siglo 18, las leyes físicas del universo han sido
descritas principalmente,
descritas,
principalmente por edo o edp.
edp
 Estas ecuaciones tienen derivadas de funciones que se
desconocen y que representan la fuerza, presión,
temperatura, potencial electromagnético, etc. La edo más
conocida es la segunda ley de Newton:
2x
d
f   m 2
ft
dt
 donde x(t) es la posición de un cuerpo de masa m,
constante que se mueve horizontalmente debido a la acción
constante,
de una fuerza f(t).
 Esta ley que fue publicada en 1687 en la obra "Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica".
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MA-2601 Presentación
12
Motivación EDO
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MA-2601 Presentación
13
Motivación EDO
 En Ciencia e Ingeniería, las ec. diferenciales representan
(modelan) el comportamiento de un sistema real
real.
 Se obtienen como resultado de un proceso iterativo de
abstracción análisis,
abstracción,
análisis hipótesis,
hipótesis verificación y validación.
validación
 Se pueden clasificar de acuerdo a:





Tipo:
p Ordinaria o p
parcial
Orden: Primer o orden superior
Linealidad o No-Linealidad
Coeficientes: Constantes o Variables
Lado derecho: Homogénea o No Homogénea
 Forma general de una edo lineal:
dn y
d2 y
dy
a
x



a
x

a
x
 a 0 xy  Qx
n
2 MA-2601 Presentación
1
n
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2
dx
dx
dx
14
Motivación: Modelación con EDO
 Trayectorias de partículas: Caída Libre
y
m
x
g
mx  mg  f R ( x )  mg  cx 2
 Lanzamiento de proyectiles
 Movimiento planetario
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Coeficiente de
viscosidad
15
Motivación: Modelación con EDO
 Trayectorias de partículas: Ecuación del Péndulo Simple:
2
d
m s  −mg sin
dt
d 2   − g sin
i 
dt
l
sin   − 16  3 
1
120
 5  O 7 
d2  ≈ − g 
l
dt
t ≈ c 1 sin
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g
l
t
 c 2 cos
g
l
t
16
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico: Masa colgando de un resorte
k
x<0
L
x>0
2
d
m 2x  mg − kx
dt
 mg − kx − L
x
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17
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico: Ejemplo simple
2
d
m 2x  F E  F R  Ft
dt
 −kx − mg  Ft
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18
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico acoplado: Ejemplo simple
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Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico acoplado: Masas colgando de
resortes
t
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20
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico: Masas ligadas por un resorte

kL 2 −  1  − mg sin 1   mL  1

− kL 2 −  1  − 2mg sin 2   2mL  2
 Esta edo de segundo orden se puede llevar a un sistema
de edo de primer orden, utilizando las transformaciones:
y 1 t   1 t
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y 2 t   2 t
y 3 t 
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d 1
dt
y 4 t 
d 2
dt
21
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento Armónico: Masa ligada a resorte en ángulo
x
µ=0
L0
m
k

Lx00
d2x
 k  

    x 1
2
2
dt
 m  
x2  L0 
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Motivación: Modelación con EDO
 Ecuación de Duffing:
E t edo
Esta
d no-lineal
li
l se utiliza
tili para d
describir
ibi dif
diferentes
t
sistemas dinámicos (resortes, transformadores, etc).
La forma más general de esta ec
ecuación
ación es
es:
d 2 x(t )
dx(t )
3
2






x
(
t
)

0 x (t )    cos   t   
2
dt
dt
Por ejemplo, la edo del flujo magnético
de un transformador tiene la forma:

3
2

  b  0   E cos t 
N
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23
Motivación: Modelación con EDO
 Ejemplo Ecuación de Duffing:

x   x    x3  0 2 x    cos t   
  1,   1, 0  1
  1,   1,   0
Ejemplo de caos
“ordenado”
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24
Motivación: Modelación con EDO
 Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:
L población
La
bl ió p(t)
(t) de
d EEUU en ell siglo
i l 20 crece
aproximadamente según la edo no lineal logística:
dp
 pt − pt 2 ∀t ∈ t 0 , T
dt
p0  p 0
 Aplicando un proceso de ajuste de parámetros, los
modeladores determinaron que:
α=0.02
β=0 00004
β=0.00004
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25
Motivación: Modelación con EDO
 Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:
Año Tiempo t k
pt real [millones de personas] Año
Tiempo t k
pt
  real [millones de personas]
1890
-10.0
62.9798
1900
0.0
76.2122
1880
-20.0
20.0
50.1892
1910
10.0
92.2285
1870
-30.0
38.5584
1920
20.0
106.0215
1860
-40.0
31.4433
1930
30.0
123.2026
1940
40 0
40.0
132 1646
132.1646
1950
50.0
151.3258
1960
60.0
179.3232
1970
70.0
203.3020
1850
-50.0
23.1919
1840
-60.0
17.0634
1830
-70
70.00
12 8607
12.8607
1820
-80.0
9.6384
1980
80.0
226.5422
1810
-90.0
7.2399
1990
90.0
248.7099
1800
-100.0
5.3085
2000
2010
100.0
281.4219
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26
Motivación: Modelación con EDO
 De acuerdo a los datos reales de la transparencia anterior:
 Se
S puede
d afirmar
fi
que ell modelo
d l es adecuado
d
d ?
 Cuál es error entre 1900 y 1980 ?
dp
  p (t )   p 2 (t )
dt
solución
500
p (t ) 
1
4239  50 t
exacta
1+ 761 e


pk 1  pk  h( pk   pk 2 )
pk  p(t  tk ) k  0,...,8  n
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(T  t0 ) (1980  1900)

 10
h
n
8
tk  hk  10
k k  0,1,...,8
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27
Motivación: Modelación con EDO
 Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:
Añ
Año
Ti
Tiempo
tk
p(t)
(t) reall
p(t)
(t) Edo
Ed
p(t)
(t) Euler
E l
E 1
Error1
E 2
Error2
1900
0.0
76.1
76.1
76.1
0.0
0.0
1910
10.0
92.4
89.9
89.0
2.5
0.9
1920
20.0
106.5
105.6
107.5
0.9
-1.9
1930
30.0
123.1
123.2
123.3
-0.1
-0.1
1940
40.0
132.6
142.7
141.7
-10.1
1.6
1950
50.0
152.3
164.0
152.1
-11.7
11.9
960
1960
60.00
60
180.7
80
186.7
86
173.5
35
-6.0
60
13.2
3
1970
70.0
204.9
210.6
203.8
-5.7
6.8
1980
80.0
226.5
235.3
229.1
-8.8
6.2
1990
90.0
248.7
260.3
253.9
-11.6
6.4
2000
100.0
281.4
MA-2601 Presentación
285.1
278.9
-3.7
6.2 28
CMM - G. Hernández
Motivación: Modelación con EDO
 El modelo de Lotka - Volterra predice la evolución de una
población con especies depredadora x1(t) y presa x2(t).
(t)
 Se supone que la población presa tiene suficiente comida y
que su natalidad es proporcional a la cantidad de presas
vivas: k1x1(t).
 La mortalidad de la población presa depende del número de
presas y depredadores: k2x1(t)x2(t).
 La natalidad de la p
población depredador
p
es: k3x1((t)x
) 2((t)) y su
mortalidad es: k4x2(t).
 Se expresa el cambio en la poblaciones presa y depredador
mediante el sistema de edos:
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29
Motivación: Modelación con EDO
dyy 1
dt
k1
dyy 2
dt
k3
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 k 1 y1 − k 2 y1 y2
 3 k 2  0. 002 y 1 t 0  1  1000
 k 3 y1 y2 − k 4 y2
 0. 0006 k 4  0. 5 y 2 t 0  1  500
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30
Motivación: Modelación con EDO
 El proceso químico de decaimiento del ozono (O₃) en la
alta
lt atmósfera
t ó f
debido
d bid all efecto
f t de
d la
l radiación
di ió d
dell soll se
describe mediante la fórmula:
 Donde
dy 1
 −k 1 y 1 y 3  k 2 y 2 y 23 − k 3 y 1 y 2
dt
dy 2
 k 1 y 1 y 3 − k 2 y 2 y 23 − k 3 y 1 y 2
dt
dy 3
 −k 1 y 1 y 3  k 2 y 2 y 23  k 3 y 1 y 2
dt
 k₁,k₂,k₃ son los parámetros cinéticos
 y₁,y₂,y₃
y₁ y₂ y₃ son las concentraciones de O₃
O₃,O,O₂
O O₂
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31
Motivación: Modelación con EDO
 Para simplificar este sistema usualmente se supone que la
concentración
t ió d
de O
O₂ es constante.
t t Dándole
Dá d l valor
l a llas
constantes y re-escalando se obtiene el sistema:
dy 1
 −y 1 − y 1 y 22  294y 2 y 1 0  1
dt
y − y 1 y 2 
dy 2
 1
− 3y 2 y 2 0  0
98
dt
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32
Bibliografía:
1)
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Edición,
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L
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2002
2002.
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Pearson 2004
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2008.
4)
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Matlab Cambridge University Press
Matlab,
Press, 2005
2005.
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Yang, W.Y., W. Cao, T.S. Chung, J. Morris, Applied
Numerical Methods Using MATLAB
MATLAB, by
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Wiley, 2005
2005.
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33
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