LECCIÓN 7 El Sr. Martínez va a enmarcar con canaleta de bronce un espejo cuadrado que tiene de área 1369 cm 2. ¿De qué largo es cada orilla del espejo? Lección 7: Números enteros y orden Recordemos un ejemplo que vimos en la lección 2: Si vamos a la tienda con $20, podemos gastar por ejemplo $5 y nos quedan $15, si gastamos $12 nos quedan $8, etc.: mientras más gastamos menos nos queda. Si gastamos $20 no nos queda nada, si gastamos $25 quedamos a deber $5, si gastamos $27 quedamos a deber $7 y cada vez nos queda menos. Si seguimos gastando nos tendremos que conseguir otro trabajo. En matemáticas se inventaron los números negativos para poder escribir este tipo 77 GUÍA DE MATEMÁTICAS I de situaciones en las que “quedamos a deber” y lo que describimos es lo que nos queda: una deuda. Escribimos las deudas del ejemplo como –5 y –7; estos números se leen “menos cinco” y “menos siete” o bien “cinco negativo” y “siete negativo”. Para que esta representación sirva, debe reflejar toda la situación de -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 nuestro ejemplo, entonces debe reflejar que “mientras más gastamos, menos tenemos”: cada peso más que gastemos debemos quedar más lejos de los $20 que teníamos. Por cada número natural vamos a tener su correspondiente número negativo y los vamos a representar en la recta numérica “a espejo” de los naturales, del otro lado del cero, como si pusiéramos un espejo en el cero, empezamos con –1, –2, –3, ... y nos vamos alejando del cero. Los números naturales y sus correspondientes negativos se llaman números enteros. En la recta numérica los números son más grandes mientras más a la derecha están, por ejemplo 11 es mayor que 7, 4 es mayor que 0, cero y todos los positivos son mayores que los negativos, –1 es mayor que –8, –4 es mayor -384 -383 -382 -381 -380 -379 -378 -377 -376 ... 376 377 378 379 380 381 382 383 384 que –5, etc. Observe que también el orden nos queda “a espejo”: tenemos que 7 es mayor que 3 y que –3 es mayor que –7. Para saber cuál es mayor entre dos números negativos, por ejemplo –376 y –384, nos fijamos en sus correspondientes positivos, 376 y 384. Como 384 es mayor que 374, en los negativos nos va a quedar al revés, a espejo: es decir, –376 es mayor que –384. Observe que en la recta numérica –376 queda a la derecha de –384: 78 LECCIÓN 7 Veamos ahora como representar con símbolos la expresión “–376 es mayor que –384”. Como usted sabe, que el signo = significa “igual que”, por eso escribimos 6 = 2 ´ 3. De un modo similar podemos reemplazar por signos las expresiones “mayor que” y “menor que”. Por ejemplo en lugar de la expresión “26 es mayor que 15”, podemos escribir 26 > 15 y en lugar de “26 es menor que 36”, podemos escribir 26 < 36. Veamos en algunos ejemplos como se leen estos símbolos: Se escribe Se lee 5 < 23 5 es menor que 23 0 < 17 0 es menor que 17 –6 < 2 –6 es menor que 2 –32 < 0 –32 es menor que 0 –9 < –5 –9 es menor que –5 13 > 7 13 es mayor que 7 1 > 0 1 es mayor que 0 8 > –21 8 es mayor que –21 0 > –1 0 es mayor que –1 –376 > –384 –376 es mayor que –384 Los números negativos se usan en muchas situaciones cotidianas. Usted seguramente habrá oído expresiones como 3 grados centígrados bajo cero cuando se habla de temperatura, 200 metros bajo el nivel del mar cuando se habla del tiro de una mina, o números rojos cuando se habla de contabilidad. Todas esas expresiones hacen referencia a números negativos. 79 GUÍA DE MATEMÁTICAS I Un número natural y su correspondiente negativo son simétricos con respecto al cero: están a la misma distancia del cero. A esa distancia le llamamos valor absoluto del número y la representamos poniendo el número entre barras. Por ejemplo: |–384| = 384 y |384| = 384. Estas expresiones se leen: “el valor absoluto de menos 384 es 384” y “el valor absoluto de 384 es 384”. Observe que el valor absoluto siempre es positivo porque es una distancia. En la siguiente recta se representa el valor absoluto de –3 y el valor absoluto de 3: |–3|=3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 |3|=3 En cada inciso ordene los números de menor a mayor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda: a) 2, 1, 4, –1, –8, –2 b) 63, 47, 89, –83, –85, –64 c) 286, 884, –572, –433 d) 7525, 2996, 6477, –6214, –8357, –3234 80 LECCIÓN 7 En cada inciso ordene los números de mayor a menor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda: a) 40, –32, 28, –15, 77, 0 b) 3, 5, –9, –2, 7, 18 c) 3241, –5008, 2116, 999, –876 d) 18, –59, –23, 132, –6, –220 Encuentre el valor absoluto de los siguientes números: a) 186 b) –30 c) 60 d) –724 e) 320 f) –109 Encuentre todos los números enteros que son: a) mayores o iguales que 23 y menores que 32 b) mayores que 0 y menores o iguales que 13 c) mayores que –2 y menores que 3 d) mayores que –7 y menores que –1 Encuentre un número: a) tres unidades mayor que 12 b) tres unidades mayor que –12 81 GUÍA DE MATEMÁTICAS I c) dos decenas menor que 34 d) dos decenas menor que –34 e) una centena mayor que 125 f) una centena mayor que –125 g) una centena menor que 50 h) una centena mayor que –50 En rectas numéricas represente a) los números 0, 10, –10, 20, –20, 30 y –30 b) los números –27, –28, –29, –30, –31 c) los números 0, –1, –2, –3, –4, 1, 2, 3, 4 Conteste las siguientes preguntas y exprese la situación con símbolos: a) El lunes, Doña Petra debía en la tienda de la esquina $45. El viernes siguiente debía $34. ¿Mejoró o empeoró su situación? b) En Chihuahua, el día 17 de enero estaban a 5º bajo cero, y el 20 estaban a 7º bajo cero. ¿Qué día fue más alta la temperatura? c) El buzo A baja a 70 metros 82 LECCIÓN 8 bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál de los dos está más cerca de la superficie? d) El saldo de la empresa “Caluro, S.A.” es de $12 807 en números rojos, y el de la empresa “Forzo, S.A.” es de $6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos está en mejor situación? Lección 8: Suma y resta de en teros Con los números enteros también se hacen operaciones. En este curso veremos sólo la suma y la resta con enteros, y en el próximo curso se verán las otras operaciones. Aquí ya vimos la suma de números positivos y la resta de números positivos cuando el sustraendo es menor que el minuendo. Ahora vamos a ver suma y resta de negativos y de negativos con positivos; y también la resta de números positivos cuando el sustraendo es mayor que el minuendo. Trabajaremos en primer lugar con esta última. Resta de enteros positivos con el sustraendo mayor que el minuendo Recuerde que nos interesaron los números negativos porque permiten expresar situaciones como “si tengo $20 y me gasto $27, quedo a deber $7”. Si queremos expresar esta situación con una operación, tendremos una resta en la que el sustraendo es mayor que el minuendo: 20 – 27 = –7. En general, si queremos restar un número mayor de uno 83