indice - Biblioteca de la UNS - Universidad Nacional del Santa

Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 01
ACTIVIDAD N° 01
INTERPRETAR EL PRINCIPIO
FUNDAMENTAL DE CONTEO Y
APLICARLO EN LA SOLUCION
DE PROBLEMAS
ANALICE LA SIGUIENTE INFORMACION Y LOS EJEMPLOS
DESARROLLADOS SOBRE EL
Examinemos
el
siguiente
problema.
Hay
tres
caminos-
rutas, (1), (2) y (3), que unen la Ciudad Círculo y la
Población Triángulo, y hay dos caminos-rutas: (4) y (5),
que unen la Población Triángulo y Villa Cuadrada (Fig.
1-1).
(3)
(5)
(2)
(1)
Ciudad
Círculo
(4)
Población
Villa
Triángulo
Cuadrada
Fig. 1-1 Rutas que unen la ciudad círculo, la población triángulo y villa cuadrada
Ahora, si deseamos viajar desde Ciudad Círculo hasta la
Población Triángulo, y después
1
hacia
Villa Cuadrada,
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
podemos escoger una de varias maneras para llegar allá.
Según la Fig. 1-1, vemos que podemos viajar desde Ciudad
Círculo hasta la Población Triángulo por una cualquiera
de tres rutas, y después, para cada una de estas rutas
tenemos dos elecciones para viajar hacia Villa Cuadrada.
Por tanto, tenemos 3x2, o sea, 6 posibles maneras en
total. Una de las seis maneras consiste en tomar la ruta
(1) y después la ruta (4). ¿Cuáles son las otras cinco
maneras? Supóngase que hubiera cuatro caminos uniendo
Ciudad Círculo y Población Triángulo, y seis caminos
uniendo Población Triángulo y Villa Cuadrada, ¿Cuántas
formas
diferentes
habría
para
llegar
desde
Ciudad
Círculo pasando por la Población Triángulo? El principio
general
que
se
involucra
aquí
se
llama
Principio
Fundamental de Conteo y se establece como sigue:
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
Si un primer suceso puede ocurrir de
k1
maneras
diferentes, y después de ocurrido de una de esas
maneras,
un
segundo
suceso
puede
ocurrir
de
k2
maneras diferentes, y después de ocurrido de una de
esas maneras, un tercer suceso puede ocurrir de k3
maneras
diferentes,
y
así
sucesivamente
para
n
sucesos, entonces, colectivamente, los n sucesos
pueden ocurrir de k1k2k3 ...kn maneras diferentes.
Ejemplo 1
¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas en una
fila de 6 asientos: (a) si dos de ellas insisten en
sentarse uno junto a otro; (b) si las mismas dos no
aceptan sentarse una junto a la otra?
2
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
Solución
Indiquemos
por
medio
de
marcas
la
posición
de
los
asientos que van a ser ocupados por las seis personas.
(a)
Si dos personas insisten en sentarse uno junto al
otro, dos de los seis asientos van a ser ocupados
por
estas
dos
personas.
Supongamos
que,
de
izquierda a derecha, los dos primeros asientos son
ocupados por estas dos personas, entonces el tercer
asiento puede ser ocupado por cualquiera de las
cuatro personas restantes, y después de ocupado, el
cuarto asiento puede ser ocupado por cualquiera de
las tres personas restantes, y así sucesivamente.
Observe que después que los primeros cinco asientos
han sido ocupados, solamente queda una persona para
el último asiento. El número de posibilidades para
ocupar cada uno de los seis asientos se indica como
sigue:
1
1
1
4
3
2
1
Que, aplicando el Principio Fundamental de Conteo,
el número de posibilidades se da por
1.1.4.3.2.1
1
1
=
4
4!
=
3
24
2
1
Ahora, si el segundo y tercer asientos son ocupados
por aquellas dos personas, entonces el primer
asiento puede ser ocupado por cualquiera de las
cuatro personas restantes, y después de ocupado, el
3
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
cuarto asiento puede ser ocupado por cualquiera de
las tres personas restantes, y así sucesivamente.
En este caso, el número de posibilidades es:
2
4
1
1
4.1.1.3.2.1
3
=
4!
2
=
1
24.
A continuación se presenta los otros casos de las
dos personas que insisten en sentarse uno junto al
otro.
3
4
3
1
1
2
1
1
1
4
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1
1
De lo cual se concluye que el número de maneras que
pueden sentarse seis personas en una fila de seis
asientos si dos de ellas insisten en sentarse una
junto a la otra, es:
5.4! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
(b)
Si las mismas dos personas no aceptan sentarse uno
junto al otro, dos de los seis asientos van a ser
ocupados por estas dos personas.
Supongamos que, de izquierda a derecha, el primer y
tercer asiento son ocupados por estas dos personas,
entonces el segundo asiento puede ser ocupado por
cualquiera de las cuatro personas restantes, y
después de ocupado, el cuarto asiento puede ser
4
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
ocupado por cualquiera de las tres personas
restantes, y así sucesivamente. Observe que después
que los primeros cinco asientos han sido ocupados,
solamente queda una persona para el último asiento.
El número de posibilidades para ocupar cada uno de
los asientos se indica como sigue:
1
1
4
1
3
2
1
Aplicando el Principio Fundamental de Conteo el
número de posibilidades es:
1.4.1.3.2.1
=
4!
=
24.
Los otros casos de las dos personas que no aceptan
sentarse uno junto al otro, son:
2
3
5
6
8
11
15
17
18
7
9
12
14
4
10
13
16
19
20
Por lo tanto, el número de maneras en que pueden
sentarse seis personas en una fila de seis
asientos, si dos personas no aceptan sentarse una
junta a la otra, es:
20.4! = 20.24 = 480.
Ejemplo 2
5
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
¿De cuántas maneras pueden sentarse 4 hombres y
mujeres en una fila de 9 sillas, si los hombres
mujeres tienen que alternarse?
5
y
Solución
Si el primer asiento, de izquierda a derecha, es ocupado
por una de las cinco mujeres, entonces el tercer asiento
puede ser ocupado por cualquiera de las cuatro mujeres
restantes y, después de ocupado, el quinto asiento puede
ser ocupado por cualquiera de las tres mujeres
restantes, y así sucesivamente. Observe que después que
el primero, tercero, quinto y séptimo asientos han sido
ocupados, solamente queda una mujer para el noveno y
último asiento. El número de posibilidades para ocupar
cada uno de estos cinco asientos impares por las mujeres
es 5! = 120. Luego, si el segundo asiento es ocupado por
uno de los cuatro hombres, entonces el cuarto asiento
puede ser ocupado por cualquiera de los tres hombres
restantes y, después de ser ocupado, el octavo asiento
será ocupado por el último hombre restante. El número de
posibilidades para ocupar cada uno de estos cuatro
asientos pares por los hombres es 4! = 24.
El número de ambas posibilidades para ocupar cada uno de
los nueve asientos por 4 hombres y 5 mujeres en forma
alternada se indica como sigue:
Hombres
5
4
4
3
3
2
2
1
1
Mujeres
Aplicando el principio fundamental de conteo el número
de maneras que pueden sentarse cuatro hombres y cinco
mujeres en una fila de nueve sillas en forma alternada,
es:
5! 4! = 120.34 = 2880.
Ejemplo 3
6
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
a)
b)
c)
Fidel Vera Obeso
¿Cuántos números se pueden formar con algunas de
las cifras 1, 3, 4, 7 y 8, si un número no puede
tener dos cifras repetidas?
¿Cuántos de éstos números serán pares?
¿Cuántos serán mayores que 350?
Solución
a)
Debemos considerar los números de uno, dos, tres,
cuatro y cinco cifras. El número total de
posibilidades lo presentamos en el siguiente
esquema:
5
--5
--5
--5
--5
---
b)
c)
4
--4
3
--- --4
3
2
--- --- --4
3
2
1
--- --- --- ---
=
5
=
20
=
60
= 120
= 120
----325
Hay que tener presente que la última posición o
cifra de cada número puede ser ocupado solamente
por dos números: el 4 y el 8. El número total de
posibilidades lo presentamos en el siguiente
esquema:
2
= 2
--4
2
= 8
--- --4
3
2
= 24
--- --- --4
3
2
2
= 48
--- --- --- --4
3
2
1
2
= 48
--- --- --- --- ------130
Los números mayores que 350 son de tres, cuatro y
cinco cifras. Para los números de cuatro y cinco
7
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
cifras no hay ningún inconveniente; pero para los
números de tres cifras hay que considerar aquellos
cuya cifra de las centenas es 3 y aquellos cuya
cifra de las decenas son 4, 7 y 8. Hay que tener
presente que cuando la cifra de las centenas es 3,
la cifra de las decenas puede ser ocupada solamente
por los números 7 y 8, quedando tres números para
ocupar la cifra de las unidades. El número total de
posibilidades lo presentamos en el siguiente
esquema:
[3] [7,8]
[4,7,8]
1
2
3
+
3
4
3
--- ------- --- --5
4
3
2
--- --- --- --5
4
3
2
1
--- --- --- --- ---
=
42
= 120
= 120
-----280
Ejemplo 4
¿Cuántos enteros positivos pares de
diferentes cada uno son menores que 400?
tres
dígitos
Solución
Se utilizará los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
La cifra de las centenas de los números menores que 400
puede ser ocupado solamente por los dígitos 1, 2 ó 3. Ya
que éstos números son pares hay que tener presente que
cuando la cifra de las centenas es ocupado por el 2, la
cifra de las unidades puede ser ocupado por los dígitos
0, 2, 4, 6 u 8, quedando ocho dígitos para ocupar la
cifra de las decenas. Cuando la cifra de las centenas es
ocupado por el 1 ó el 3, la cifra de las unidades puede
ser ocupado por los dígitos 0, 2, 4, 6 u 8, quedando
ocho dígitos para ocupar la cifra de las decenas. El
número total de posibilidades lo presentamos en el
siguiente esquema:
[2]
1
[0,4,6,8]
8
4
[1,3]
+
2
8
[0,2,4,6,8]
8
5
= 112
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
---
---
Fidel Vera Obeso
---
---
---
---
ACTIVIDAD N° 02
9
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
RESUELVA A CONTINUACIÓN LOS SIGUIENTES
PROBLEMAS SOBRE EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
1.
¿De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas en una
fila de 7 asientos:
a)
si 2 de ellas insisten en sentarse uno junto a
otro?;
b)
si las mismas 2 personas no aceptan sentarse una
junto a la otra?
2.
¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 hombres y 4
mujeres en una fila de 7 sillas si los hombres y mujeres
tienen que alternarse?
3.
Obtener el número de palabras de cuatro letras (no
necesariamente pronunciables) que pueden formarse con 7
consonantes diferentes y 3 vocales diferentes, si las
consonantes y vocales deben ir alternadas y no se
permite la repetición.
4.
5.
Resolver el problema 3 si se permite la repetición.
a)
¿Cuántos números se pueden formar con algunas de la
cifras 2, 4, 5, 8 y 9, si un número no puede tener dos
cifras repetidas?
b)
¿Cuántos de éstos números serán impares?
c)
¿Cuántos serán mayores que 460?
6.
¿Cuántos enteros positivos impares de
diferentes cada uno son menores que 500?
10
tres
dígitos
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
7.
¿De cuántas maneras diferentes
personas en una fila de 8 sillas?
8.
Resolver el problema 7 si las 5 personas deben sentarse
en sillas consecutivas?
9.
¿Cuántos enteros positivos impares de
diferentes cada uno son mayores que 3 540?
11
pueden
sentarse
4
5
dígitos
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 02
ACTIVIDAD N° 01
CALCULAR
EL
NÚMERO
DE
PERMUTACIONES
LINEALES
Y
CIRCULARES DE n ELEMENTOS DE UN
CONJUNTO TOMADO DE r EN r.
INTERPRETE LOS TEOREMAS Y ANALICE LOS EJEMPLOS
DESARROLLADO SOBRE
PERMUTACIONES LINEALES
Cada uno de los distintos arreglos lineales que pueden
hacerse con todos los n elementos de un conjunto en un
orden definido se llama PERMUTACIÓN LINEAL. EL número
total de permutaciones lineales de n elementos tomados
de n en n está dado por
P(n, n)  Pn  n  n 1 (n  2)(n  3)...3.2.1  n!
donde n ! es el factorial de n definido como el producto
de todos los números enteros positivos consecutivos de 1
hasta n .
Si se trata de formar los distintos arreglos lineales
tomando solamente r de los n elementos, entonces el
número total de permutaciones lineales de n elementos
tomados de r en r está dado por la fórmula:
P( n,r)= P nr = n( n- 1)( n- 2)...( n- r + 1)=
12
n!
( n - r)!
,
r  n.
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
En efecto, el valor de P(n, r ) es igual al número total de
maneras que puede llenarse r lugares con n elementos
diferentes, ya que en este punto todos los n elementos
están disponibles. El segundo lugar puede llenarse de
n  1 maneras diferentes con los n  1 elementos restantes.
Análogamente, el tercer lugar puede llenarse de n  2
maneras diferentes, y así sucesivamente. Para visualizar
mejor este proceso lo esquematizamos del modo siguiente:
LUGARES A
LLENARSE
1
2
3
4
.
.
.
r - 1
r
NÚMERO DE
MANERAS
n
n-(2-1) = n-1
n-(3-1) = n-2
n-(4-1) = n-3
.
.
.
n-[(r-1)-1] = n-r+2
n-(r-1) = n-r+1
r+1
r+2
.
.
.
n-1
n
n-[(r+1)-1] = n-r
n-[(r+2)-1] = n-r-1
.
.
.
n-[(n-1)-1] = 2
n-(n-1) = 1
Se observa que el lugar r puede llenarse de
n  (r  1)  n  r  1 maneras diferentes. Entonces por el
Principio Fundamental de Conteo el valor de
P(n, r)  n  n 1 n  2 n  3... n  r 1 .
Ahora, si multiplicamos y dividimos P(n, r ) por
 n  r  n  r 1...3.2.1
P(n,r) =
se verifica que
n(n -1)(n - 2)  n  3 ...(n - r +1)(n - r)(n - r -1)...3.2 . 1
(n - r)(n - r -1)...3.2 . 1
P( n,r)=
n!
,
( n - r)!
r  n.
13
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
Ejemplo 1
Calcular
a)
P(10,4)
P( 10,4)=
b)
10!
10! 10 x 9 x 8 x 7 x 6!
=
=
= 5,040
( 10- 4)! 6!
6!
P(7,4) / P(5,4)
P( 7,4)=
7!
7! 7 x 6 x 5 x 4 x 3!
= =
= 840
( 7 - 4)! 3!
3!
P( 5,4)=
5!
5!
= = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
( 5 - 4)! 1!
Entonces:
P(7,4) / p(5,4) = 840 / 120 = 7
Ejemplo 2
a)
Si P(n,5) = 24 P(n,2), hallar n.
Solución
P(n,5) = 24 P(n,2)
n!
24 n!
------- = -------(n-5)!
(n-2)!
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)!
n(n-1)(n-2)!
---------------------------- = 24 ------------(n-5)!
(n-2)!
(n-2) (n-3) (n-4) = 24
(n²- 5n + 6)(n-4) = 24
n3 - 9n2 + 26n - 48 = 0
(n - 6) (n2 - 3n + 8) = 0
D = 32 - 4 (1) (8) = 9
No tiene solución en
, por lo tanto:
14
n = 6.
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
b)
Fidel Vera Obeso
Si 12 P(7,r) = 5 P(9,r), hallar r.
Solución
7!
9!
12 -------- = 5 -------(7-r)!
(9-r)!
7!
9.8.7!
12 -------- = 5 -----------------------(7-r)!
(9-r) (9-r-1) (9-r-2)!
12(9-r)(8-r)= 5(72)
72 - 17r + r2 = 30
r2 - 17r + 42 = 0
r
-14
r
-3
(r - 3) (r - 14) = 0

r = 3
r = 14
r = 14 se descarta, ya que r  9
Por tanto, r = 3.
Ejemplo 3
Demostrar que P(n,r)- P(n,r-1) = (n-r)P(n,r-1)
Solución
Partimos del miembro de la derecha y debemos llegar al
miembro de la izquierda. En efecto:
n!
(n-r) P(n,r-1) = (n-r) -----------[n-(r-1)]!
[(n-r+1)-1] n!
= ---------------(n-r+1)!
15
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
(n-r+1) n!
n!
= ------------ - ---------(n-r+1)!
(n-r+1)!
(n-r+1) n!
n!
= ---------------- - ---------(n-r+1) (n-r)!
(n-r+1)!
n!
n!
= -------- - -----------(n-r)!
[n-(r-1)]!
= P(n,r)- P(n,r-1).
LQQD
Ejemplo 4
A partir de los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5:
a) ¿Cuántos números naturales de tres dígitos pueden
formarse si ningún número puede tener un dígito
repetido?
b) ¿Cuántos números naturales de uno o más dígitos
pueden formarse si ningún número puede tener un
dígito repetido?
Solución
El total de números de tres dígitos es igual al número
de permutaciones que pueden hacerse con los cinco
dígitos tomados de tres en tres, es decir:
P( 5,3)=
b)
5!
5! 5 x 4 x 3 x 2!
= =
= 60
( 5 - 3)! 2!
2!
El total será la suma de los números de uno, dos,
tres, cuatro y cinco dígitos, es decir:
P(5,1) + P(5,2) + P(5,3) + P(5,4) + P(5,5)
5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325
Hay que tener presente que al calcular:
P( 5,5)=
5!
5! 5!
= = = 5! = 120
( 5 - 5)! 0! 1!
0! = 1
16
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
Ejemplo 5
Un estante tiene espacio para 6 libros. Disponemos de 5
libros diferentes de inglés y 6 libros diferentes de
francés. ¿De cuántas maneras podemos colocar en el
estante 3 libros en inglés y 3 libros en francés, si los
libros escritos en la misma lengua tienen que estar
juntos?
Solución
De izquierda a derecha los libros de inglés pueden
colocarse de P(5,3) maneras y los de francés de P(6,3)
maneras. Luego, por el Principio Fundamental de Conteo,
los libros tanto de inglés como de francés pueden
colocarse de 2 P(5,3) P(6,3) =
14,400 maneras. Aquí
hemos considerado la otra posibilidad de derecha a
izquierda. Esquemáticamente:
I = 5
F = 6
F
2
I
I
1
F
Ejemplo 6
¿Cuántos números de 5 cifras distintas pueden formarse
con las cifras 3, 4, 5, 6 y 7, si
a)
los números 4 y 5 tienen que estar juntos?
Solución
Lo calculamos utilizando el siguiente esquema:
1
1
3
(1) (2)
17
2
(3)
1
(4)
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
Es evidente que el total de números de 5 cifras
está dado por 4 P(2,2) P(3,3) = 4 x 2 x 3! = 48
Ya que los números 4 y 5 ocupan dos espacios de
P(2,2) maneras quedando los números 3, 6 y 7 los
cuales ocupan los tres espacios restantes de P(3,3)
maneras para cada una de las cuatro posibilidades.
b)
Los números 4 y 5 tienen que estar separados?
Solución
Las posibilidades las presentamos a continuación:
1
2
3
4
6
7
8
10
5
9
11
12
El número total de números de 5 cifras está dado
por 12 P(2,2) P(3,3) = 144.
Ejemplo 7
a)
¿De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas en
una fila de 7 sillas, si hay 4 personas que tienen
que estar uno al lado del otro?
Solución
Esquema de posibilidades:
18
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
El total de maneras que pueden sentarse 7 personas
está dado por
4 P(4,4) P(3,3) = 576.
b)
Resolver la parte (a) si se considera una fila de 8
sillas.
Solución
Esquema de posibilidades:
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Total de maneras:
5 P(4,4) P(4,3) = 2880
**
Aquí cabe aclarar que el número de maneras
que pueden sentarse 3 personas en una fila
de 4 sillas es igual al número de grupos de
3 sillas que pueden formarse con 4 de ellos
PERMUTACIONES LINEALES CON REPETICIÓN
El número de permutaciones lineales distintas que se
pueden formar con los n elementos de un conjunto, en los
que en cada arreglo cada elemento puede aparecer n1,
n2,..., nk veces en un orden definido, está dado por:
PR( n,n1 , n 2 , , n k ) =
19
n!
n1! n 2! n k !
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
donde:
k
n =  ni = n1 + n2 + ... + nk
i=1
Ejemplo 8
Calcular el número de permutaciones diferentes que
pueden
formarse
con
las
letras
de
la
palabra
AUTODIDACTA, tomadas todas a la vez.
Solución
La palabra contiene 11 letras, de las cuales 3 son A, 2
son T, 2 son D y el resto diferentes. Por tanto, el
número de permutaciones diferentes es:
11!
PR(11;3,2,2,1,1,1,1) = ---------------------3! 2! 2! 1! 1! 1!
11x10x9x8x7x6x5x4
= ------------------4
= 1'663,200
Ejemplo 9
¿Cuántos numerales distintos de cinco dígitos pueden
formarse en cada caso?
a)
3, 4 y 7 pueden utilizarse cada uno una vez; 5
puede utilizarse dos veces.
b)
6, 7 y 8 pueden utilizarse cada uno una vez; 9
puede utilizarse dos veces.
c)
3 puede utilizarse 3 veces; 5 puede utilizarse 2
veces.
d)
2 y 3 pueden utilizarse cada uno dos veces; 4
pueden utilizarse una sola vez.
Solución
a)
5!
PR(5;2,1,1,1) = ------------------ = 5x4x3 = 60
2! 1! 1! 1!
20
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
b)
PR(5;2,1,1,1) = 60
c)
5!
5.4
PR(5;3,2) = ------- = -------- = 10
3! 2!
2
d)
5!
5.4.3
PR(5;2,2,1) = ----------- = ----------- = 30
2! 2! 1!
2
3.3. PERMUTACIONES CIRCULARES
Cada uno de los distintos arreglos que se pueden hacer
alrededor de un círculo con los n elementos de un
conjunto dado, se llama permutación circular.
¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse n
elementos alrededor de un círculo?
Con los elementos del conjunto {x,y,z} pueden formarse
P(3,3)=3! = 6 permutaciones lineales diferentes. Pero
solamente pueden formarse 2 permutaciones circulares
diferentes. ¿Cuál es la razón?. Para responder a la
pregunta notemos que los siguientes arreglos
y
z
y
x
z
z
y
x
son los mismos ¿Por qué?. Análogamente los arreglos
x
y
y
z
z
z
x
x
y
son también los mismos. Observe que, al formar una
permutación circular, es indiferente dónde localizamos
el primer objeto sobre el círculo. Después de fijar la
posición de uno de los n elementos de un conjunto, se
procede a calcular el número de permutaciones de los n-1
21
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
elementos restantes como si estuvieran en una línea
recta. Hecho que nos permite formular lo siguiente:
El número de permutaciones circulares diferentes que se
pueden formar con los n elementos de un conjunto es
igual a (n-1)!.
Ejemplo 10
Un grupo formado por 4 muchachas y 4 muchachos van a
sentarse de modo que queden alternados. Calcular de
cuántas maneras pueden hacerlo si: a) se sientan en
línea recta; b) se sientan alrededor de una mesa
circular.
Solución.
a)
Podemos considerar que las muchachas se sientan en
los lugares con número impar y los muchachos en los
lugares con número par; esto puede hacerse de 4!.4!
maneras diferentes. Un número igual de arreglos
diferentes puede obtenerse sentando a los muchachos
en los lugares con número impar y a las muchachas
en los lugares con número par. Por tanto, el número
total de maneras diferentes es igual a 2.4!.4! =
1,152.
b)
Podemos
sentar
primeramente
a
las
muchachas
alrededor de la mesa en 3! maneras. Entonces quedan
4 lugares alternados para sentar a los cuatro
muchachos; esto puede hacerse en 4! maneras. Por
tanto, el número total de maneras diferentes es
igual a 3!4! = 144.
22
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
ACTIVIDAD N° 02
RESUELVA A CONTINUACIÓN LOS SIGUIENTES
PROBLEMAS SOBRE PERMUTACIONES LINEALES Y CIRCULARES
1.
Calcular
a)
b)
P(8,2) + P(9,3)
P(6,1) - P(2,1)
2.
a)
b)
Si P(n,5) = 42 P(n,3), hallar n.
Si 2 P(6,r) = 3 P(5,r), hallar r.
3.
Demostrar que P(n,4) - P(n,3) = (n-4) P(n,3)
4.
Resolver para n, P(n,r) = k P(n-1,r-1).
5.
A partir de los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9:
a)
b)
¿Cuántos números enteros de cuatro dígitos pueden
formarse si ningún número puede tener un dígito
repetido?
¿Cuántos números naturales de uno o más dígitos
pueden formarse si ningún número puede tener un
dígito repetido?
6.
Un estante tiene espacio para 7 libros. Si disponemos de
6 libros diferentes de Biología y 7 libros diferentes de
Química, ¿de cuántas maneras podemos colocar en el
estante 4 libros de Biología y 3 libros de Química, si
los libros de la misma especialidad tienen que estar
juntos?
7.
¿Cuántos números de 6 cifras distintas pueden formarse
con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9, si:
23
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
a)
b)
los números 7 y 8 tienen que estar juntos?
los números 7 y 8 tienen que estar separados?
a)
¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en
una fila de 5 sillas si hay 3 personas que tienen
que estar uno al lado del otro?
b)
Resolver la parte a) si se considera una fila de 6
sillas.
8.
9.
Calcular el número de permutaciones diferentes que
puedan
formarse
con
las
letras
de
la
palabra
MISSISSIPPI, tomadas todas a la vez.
10.
Cuántos numerales distintos de 6 dígitos pueden formarse
en cada caso:
a)
b)
c)
d)
11.
Un grupo formado por 5 muchachos y 5 muchachas van a
sentarse de modo que queden alternados. Calcular de
cuántas maneras pueden hacerlo si:
a)
b)
12.
1, 5 y 6 pueden utilizarse cada uno una vez; 2
puede utilizarse tres veces.
4, 7 y 8 pueden utilizarse cada uno dos veces.
3 puede utilizarse dos veces; 2 puede utilizarse
tres veces; 8 puede utilizarse una sola vez.
5 puede utilizarse cuatro veces; 9 puede utilizarse
dos veces.
se sientan en línea recta.
se sientan alrededor de una mesa circular.
Siete personas van a sentarse alrededor de una mesa
circular. Hallar el número de maneras diferentes en que
esto puede hacerse si:
a)
b)
no hay restricciones.
dos personas determinadas deben quedar contiguas.
24
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 03
ACTIVIDAD N° 01
CALCULAR EL NÚMERO DE
COMBINACIONES
DE
n
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
TOMADO DE r EN r
INTERPRETE LOS TEOREMAS Y ANALICE LOS EJEMPLOS
DESARROLLADO SOBRE
Cada uno de los distintos arreglos que pueden formarse
tomando todos o parte de los elementos de un conjunto,
con la condición de que dos arreglos serán distintos si
y solo si están formados por elementos distintos, es
decir, no se tiene en cuenta el orden de los elementos
tomados, se llama combinación.
Así, mientas que ab y ba son dos permutaciones
distintas, ambos representan una sola combinación, a
saber, el arreglo formado por las dos letras a y b.
El número de combinaciones de n elementos diferentes
tomados de r en r está dado por la fórmula:
C (n, r ) 
P(n, r )
n!

, n  r.
r!
r !(n  r )!
Si sustituimos r por n  r obtenemos el resultado:
C (n, r )  C (n, n  r ) .
Es
decir,
para
seleccionados
cada
entre
n
combinación
objetos
de
diferentes
r
elementos
existe
una
combinación correspondiente de n  r objetos que no son
25
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
seleccionados.
Fidel Vera Obeso
Tales
se
llaman
combinaciones
complementarias.
Ejemplo 1
Calcular
a)
C(21,19)
Solución
C(21,19) = C(21,21-19)
21!
21!
21.20
C(21,2) = ------------ = -------- = ------- = 210
2!(21-2)!
2! 19!
2
b)
C(7,4) + C(7,5)
Solución
C(7,4) + C(7,5)
= C(7,7-4) + C(7,7-5)
= C(7,3) + C(7,2)
7!
7!
= ----------- + ----------3!(7-3)!
2!(7-2)!
7!
7!
7.6.5
7.6
= ------- + ------- = -------- + ------4!
2! 5!
6
2
= 35 + 21 = 56.
Los valores de C (n, r ) para enteros no negativos r y n ,
r  n,
forman
un
modelo
interesante
cuando
están
dispuestos en un arreglo triangular como en la Fig. 1
¿Qué combinaciones pertenecen a la línea punteada?
26
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
C(0,0)
C(1,0)
C(2,0)
C(3,0)
C(4,0)
C(5,0)
...
Fidel Vera Obeso
C(1,1)
C(2,1)
C(3,1)
C(4,1)
C(5,1)
...
C(2,2)
C(3,2)
C(4,2)
C(5,2)
...
C(3,3)
C(4,3)
C(5,3)
...
C(4,4)
C(5,4)
...
C(5,5)
...
Fig. 1
Reemplazando los símbolos de la Fig. 1 por sus valores,
obtenemos la siguiente tabla:
n
r
0
1
2
3
4
5
6
0
1
1
1
1
1
1
.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
.
1
3
6
10
.
1
4
10
.
1
5
.
1
.
.
¿Qué valores le corresponde a la línea 6 de la tabla?
Ahora calcule los valores de:
C(6,0)
C(6,1)
C(6,2)
C(6,3)
C(6,4)
C(6,5)
C(6,6)
para ver si usted ha descubierto el modelo.
Regresando a la Fig. 1, localice las
C(3,2), C(3,3) y C(4,3).
Observe que:
C(3,2) + C(3,3) = C(4,3).
combinaciones
Examinando la Fig. 1, determine cuáles de los siguientes
enunciados son verdaderos:
C(2,1) + C(2,2) = C(3,2)
C(3,2) + C(3,3) = C(4,3)
C(4,0) + C(4,1) = C(5,1)
C(4,3) + C(4,4) = C(5,4)
27
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
Sobre la base de sus observaciones ¿piensa usted que el
siguiente enunciado es verdadero?
C(6,2) + C(6,3) = C(7,3).
Calcule y verifique su respuesta.
Probablemente, usted ha concluido que para todos los
enteros no negativos r y n, rn:
C(n,r-1) + C(n,r) = C(n+1,r).
Esta identidad se llama Regla de Pascal. Pascal (16231662) fue uno de los hombres que en el siglo XVII
estudió esta disposición, dada en la tabla precedente,
en relación con el estudio de juegos de azar. Los
números en este cuadro reciben el nombre de Triángulo de
Pascal. Utilizando esta Regla, extiéndase la Tabla con n
y r hasta 10, suponiendo que C(n,0) = C(n,n) = 1.
A continuación se demuestra la regla de Pascal.
Ejemplo 2 Demostrar que C(n+1,r) = C(n,r) + C(n,r-1)
Solución
Partiendo del primer miembro debemos llegar al
segundo miembro.
En efecto:
(n+1)!
(n+1)n!
C(n+1,r) = --------------- = --------------r![n-(r-1)]!
r![n-(r-1)]!
[n-(r-1)+r]!
[n-(r-1)]n!
rn!
= ------------ = --------------- + --------------r![n-(r-1)]!
r![n-(r-1)]!
r![n-(r-1)]!
n-(r-1)]n!
rn!
= --------------------- + -------------------r![n-(r-1)](n-r)!
r(r-1)![n-(r-1)]!
n!
n!
= ----------- + ------------------r!(n-r)!
(r-1)![n-(r-1)]!
28
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
= C(n,r) + C(n,r-1)
LQQD
Ejemplo 3
a)
Hallar n si C(n+1,4) = 6C(n-1,2)
Solución
C(n+1,4) = 6 C(n-1,2)
(n+1)!
(n-1)!
--------------- = 6 --------------4![(n+1)-4]!
2![(n-1)-2]!
(n+1)!
(n-1)!
----------- = 6 ----------4!(n-3)!
2!(n-3)!
(n+1)n(n-1)!
---------------- = 3(n-1)!
4.3.2
n2 + n = 72
n2 + n - 72 = 0
(n-8)(n+9) = 0
n = 8

n = -9
Se descarta (n = -9)
Por tanto: n = 8
b)
Hallar r si 2 C(6,r) = 3 C(5,r)
Solución
2 C(6,r) = 3 C(5,r)
6!
5!
2 ----------- = 3 ----------r!(6-r)!
r!(5-r)!
6x5!
5!
2 ------------- = 3 -----(6-r) (5-r)!
(5-r)!
29
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso

4 = 6 - r
r = 2.
Ejemplo 4
¿Cuántos comités de cinco integrantes se pueden formar
con ocho estudiantes de Energía y con cuatro de
Agroindustria si cada comité debe tener: a) exactamente
tres estudiantes de Energía; b) por lo menos tres
estudiantes de Energía.
Solución
a)
En este caso debe haber exactamente 2 estudiantes
de Agroindustria. Los estudiantes de Energía pueden
seleccionarse de C(8,3) = 8!/3!5! = 56 maneras y
los de Agroindustria en C(4,2) = 4!/2!2! = 6
maneras.
Por tanto, por el Principio Fundamental de Conteo,
el número total de comités de 5 integrantes es 56x6
= 336.
b)
En este caso tenemos tres tipos de comités: (1)
tres estudiantes de Energía y 2 de Agroindustria;
(2) cuatro de Energía y 1 de Agroindustria; (3)
cinco de Energía. El número de comités para cada
uno de los tres casos es, entonces:
(1)
(2)
(3)
336
C(8,4) C(4,1) = (8!/4!4!).4 = 280
C(8,5) = 56
Sumando, el número total de comités es 336+280+56 =
672.
Ejemplo 5
Calcular el número de palabras (no necesariamente
pronunciables) que pueden formarse seleccionando 5
consonantes y 3 vocales entre 7 consonantes diferentes y
4 vocales diferentes.
30
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
Solución
Primeramente
seleccionamos
5
consonantes
consonantes en C(7,5) maneras, es decir:
Análogamente,
7!
7.6
C(7,5) = ------- = ----- = 21.
5!2!
2
podemos seleccionar 3 vocales
entre
entre
7
4
vocales de C(4,3) = C(4,1) = 4 maneras.
Entonces, por cada una de las 21 maneras para
seleccionar las consonantes, tenemos 4 maneras para
seleccionar las vocales. Por tanto, por el Principio
Fundamental de Conteo, las ocho letras de cada palabra
pueden seleccionarse de 21.4 = 84 maneras. Después de
efectuar cada una de estas relaciones, las ocho letras
pueden permutarse de 8! maneras diferentes. Por tanto,
el número total de palabras que pueden formarse es 84.8!
= 3'386,880.
Ejemplo 6
En una lotería se sortean 5 artefactos eléctricos. El
primero que se acerca a la urna saca 3 billetes. Hallar
el número de métodos en que puede sacarlos, de modo que
por lo menos uno de ellos sea premiado. En la urna hay
20 billetes.
Solución
Como se sortean 5 artefactos eléctricos, en la urna hay
5 billetes premiados y 20-5=15 billetes no premiados.
Al sacar los tres billetes se presentan las siguientes
posibilidades: (1) que uno de sea premiado y dos no
premiados; (2) que dos sean premiados y uno no premiado;
(3) que los tres sean premiados. El número de métodos
para cada posibilidad es entonces:
5.15!
(1)
C(5,1) C(15,2) = -------- = 525
2!.13!
(2)
C(5,2)C(15,1) = 10x15 = 150
(3)
C(5,3) = 10
31
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
Sumando, el número total de métodos es 525+150+10 = 685.
Ejemplo 7
Se tienen 15 puntos en el espacio de manera que 4 de
ellos no están en un mismo plano. (a) Hallar el número
de planos determinados por estos puntos; (b) Calcular el
número de estos planos que contienen a un punto
prefijado; (c) encontrar el número de estos planos que
contienen a dos puntos prefijados.
Solución
Decir que 4 puntos no están en un mismo plano significa
que solamente 3 puntos están en dicho plano.
(a) Para determinar un plano es necesario 3 puntos de
los 15, entonces se debe hallar las combinaciones
de 15 tomados de 3 en 3. El número de planos es:
C(15,3) = 455.
(b)
Si todos los planos contienen un punto prefijado y
para determinar un plano es necesario 3 puntos,
entonces para calcular el número total de planos
debe hallarse las combinaciones de los otros 14
puntos tomados de 2 en 2 y que estos al unirse al
punto prefijado determinan planos. Es decir:
C(14,2) = 91.
(c)
Si todos los planos contienen dos puntos prefijados
y para determinar un plano es necesario 3 puntos,
entonces para calcular el número total de planos
debe hallarse las combinaciones de los otros 13
puntos tomados de 1 en 1 y que este punto al unirse
a los dos puntos prefijados forman planos. Es
decir:
C(13,1) = 13.
32
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
ACTIVIDAD N° 02
RESUELVA A CONTINUACIÓN LOS SIGUIENTES
PROBLEMAS SOBRE COMBINACIONES
1.
2.
Calcular:
a)
C(18,15)
b)
C(8,5) - C(7,5)
Demostrar que:
n-r
C(n,r+1) = ----- C(n,r)
r+1
3.
,
0  r  n.
a)
Hallar n si 2C(n,5) = 3C(n,3).
b)
Hallar n y r si P(n,r) = 120 y C(n,r) = 20.
4.
Se va a seleccionar un comité de 5 miembros entre 6
hombres y 9 mujeres. Calcular el número de tales comités
si: (a) deben contener por lo menos dos mujeres; (b) no
deben contener más de dos mujeres.
5.
Una bolsa contiene 4 objetos rojos, 6 blancos y 5
azules. De cuántas maneras se pueden escoger 6 objetos:
(a) si debe haber dos de cada color; (b) si debe haber
exactamente 4 objetos blancos; (c) si no debe haber
objetos blancos.
33
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
6.
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes, tales que
contengan 3 cifras impares y 2 pares, pueden formarse
con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
7.
En una lotería se sortean 7 artefactos eléctricos. El
primero que se acerca a la urna saca 4 billetes. Hallar
el número de métodos en que puede sacarlos, de modo que
por lo menos uno de ellos sea premiado. En la urna hay
25 billetes.
8.
En un estante hay 12 libros diferentes. (a) Calcular el
número de selecciones de 8 libros diferentes que pueden
hacerse; (b) Hallar el número de estas selecciones que
incluyen a un libro determinado; (c) Encontrar el número
de
estas
selecciones
que
incluyen
a
2
libros
determinados.
34
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 03
ACTIVIDAD N° 01
DESARROLLAR BINOMIOS Y
CALCULAR
SU
r-ESIMO
TÉRMINO
UTILIZANDO
COMBINACIONES
ANALICE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Y LOS EJEMPLOS
DESARROLLADOS SOBRE EL
El teorema del binomio es una fórmula con la cual se
pueden escribir directamente los términos del desarrollo
de una potencia entera y positiva de un binomio. Para
formarnos una idea de la estructura del desarrollo de
(a+b)n, donde n es un número entero y positivo,
escribiremos el resultado para los primeros cuatro
valores de n. Así, por multiplicación directa, tenemos:
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Observamos que cada uno de estos desarrollos tienen las
siguientes características:
1.
El número de términos es n+1, o sea, una unidad más
que el exponente n del binomio.
35
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
2.
3.
Fidel Vera Obeso
En el primer término el exponente de a es n y
decrece de unidad en unidad en cada uno de los
términos siguientes.
La b aparece por primera vez en el segundo término,
con exponente 1, y éste aumenta de unidad en unidad
en cada uno de los términos siguientes. El
exponente de b es siempre una unidad menor que el
número de orden del término.
4.
La suma de los exponentes de a y b es igual a n en
cualquiera de los términos.
5.
Los coeficientes de a y b presentan cierta
simetría, que consiste en que los coeficientes de
términos equidistantes de los extremos son iguales.
6.
El coeficiente del primer término es la unidad y el
del segundo término es n.
7.
Si en cualquiera de los términos el coeficiente se
multiplica por el exponente de a y este producto se
divide entre el exponente de b aumentado en 1, el
resultado es el coeficiente del siguiente término.
Nota:
Las
primeras
seis
características
se
observan
inmediatamente, la séptima tal vez no parezca tan
evidente, y como es de mucha importancia en la
determinación de coeficientes, la explicaremos con más
detalle
aplicándola
al
desarrollo
de
(a+b)4.
El
coeficiente del tercer término se obtiene del segundo
como sigue: se multiplica el coeficiente 4 del segundo
término por el exponente 3 de a y este producto se
divide entre el exponente 1 de b aumentado en 1. Es
decir, (4x3)/(1+1) = 6, que es el coeficiente del tercer
término. Análogamente, de este coeficiente obtenemos
(6x2)/(2+1) = 4, que es el coeficiente del cuarto
término, y así sucesivamente.
Ahora, si suponemos que para cualquier valor entero y
positivo de n, el desarrollo de (a+b)n tiene las mismas
características que observamos para n=1,2,3,4, podemos
escribir:
36
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
n
n(n-1)
n(n-1)(n-2)
n-1
n-2 2
(a+b) = a + ---a b + ------a b + -----------an-2b3
1
1.2
1.2.3
n
n
n(n-1)(n-2)(n-3)
+ -----------------------an-4b4 + ... +
1.2.3.4
n(n-1)(n-2)...(n-k+2)
+ ----------------------------an-k+1bk-1 +
1.2.3..(k-1)
n(n-1)(n-2)...(n-k+1)
n
+ ---------------------------an-kbk + ... +--abn-1 + bn
1.2.3...k
1
(a+b)n = C(n,0)an + C(n,1)an-1b + C(n,2)an-2b2 + C(n,3)an-3b3 +
T1
T2
T3
T4
+ C(n,4)an-4b4 + ... + C(n,k-1)an-k+1bk-1 +
T5
Tk
+ C(n,k)an-kbk + ... + C(n,n-1)abn-1 + c(n,n)bn
Tk+1
Tn
Tn+1
(a+b)n
n
= 
C(n,k)an-kbk
k=0
(a+b)n
n+1
=  C(n,k-1)an-k+1bk-1
k=1
donde:
Término k-ésimo :
Tk = C(n,k-1)an-k+1bk-1
Término (k+1)-ésimo: Tk+1 = C(n,k)an-kbk
Nota
En la quinta característica del desarrollo del binomio
observamos cierto tipo de simetría en los coeficientes
de los términos. Esta simetría se muestra claramente en
el triángulo de Pascal, que da los coeficientes de los
37
Universidad Nacional del Santa
Análisis Combinatorio
Fidel Vera Obeso
términos del desarrollo de (a+b)n para valores enteros y
positivos. Estos coeficientes se llaman coeficientes
binomiales
o binómicos.
Ejemplo 1
Desarrollar (a+2b)6 mediante el teorema del binomio y
simplificar el resultado.
Solución
Empezaremos escribiendo el primer término a6 y el
coeficiente 6 del segundo término, que va multiplicado
por a5(2b). De este punto en adelante podemos escribir
inmediatamente todos los términos que siguen, incluyendo
los coeficientes, de acuerdo a las características del
desarrollo binomial. Así tenemos:
6x5
6x5x4
(a+2b)6 = a6 + 6a5(2b) + ------a4(2b)2 + ----------a3(2b)3 +
2!
3!
6x5x4x3
+ -------- a2(2b)4 + 6a(2b)5 + (2b)6
4!
Nótese que hemos conservado el término 2b encerrado en
paréntesis para que no interfiera con la formación
correcta de los coeficientes binomiales. Luego podemos
efectuar las potencias de 2b y obtener la forma final.
(a+2b)6 = a6 + 12a5b + 60a4b2 + 160a3b3 + 240a2b4 + 192ab5 + 64b6
Ejemplo 2
a)
Desarrollar
(
1/2
y
x
- 1/2 )4
y
x
Solución
38
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos
Fidel Vera Obeso
En este desarrollo es aconsejable encerrar ambos
términos en paréntesis, ya que aquí no sólo nos
interesa formar correctamente los coeficientes
binomiales, sino también obtener correctamente los
exponentes finales y los signos de cada término.
Por tanto, escribimos
pasos, como sigue:
[
el
desarrollo
en
varios
y
x1/2
x1/2 4-k - y k
+( ) ] 4 = 4k=0 C( 4,0)(
) (
)
y
y
x1/2
x1/2
4
3
2
 x 12 
 x 12    y 
 x 12    y  2
 x 1 2    y 3
  C (4,1) 
 
 

 C (4, 0) 
  C (4, 2) 
  C (4,3) 
 
 y 
 y   x 12 
 y   x 12 
 y   x 12 








 y 
C (4, 4)  1 
x 2
4
3
1
 y 
x y2
x 2  y3  y 4


6
.

4



1 
y2 x
y  x 3 2  x 2
 x 2
x2
x
y2 y4
 4 4 2 64  2 .
y
y
x x
x2
x 2
 4 4 3
y
y
b)
Desarrollar (a + b - c)3
Solución
3
(a+b-c)3
= [(a+b)+(-c)]3 =  C(3,k)(a+b)3-k(-c)k
k=0
= C(3,0)(a+b)3 + C(3,1)(a+b)2(-c) + C(3,2)(a+b)(-c)2 +
+ C(3,3)(-c)3
= (a+b)3 + 3(a+b)2(-c) + 3(a+b)(-c)2 + (-c)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) - 3c(a2 + 2ab + b2)
+ 3c2(a+b) - c3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - 3a2c - 6abc - 3b2c + 3ac2 +
+ 3bc2 - c3
39
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos
3.6
Fidel Vera Obeso
FORMULA PARA HALLAR UN TERMINO CUALQUIERA DE UN BINOMIO
Ya hemos observado que en el desarrollo de (a+b)n, el
término k-ésimo
Tk = C(n,k-1)an-k+1 bk-1
[1]
se llama el término general. Esta es una fórmula muy
conveniente
para
obtener
cualquier
término
del
desarrollo de la potencia de un binomio sin calcular los
términos anteriores.
Se sigue de [1] que el término que contiene bk es el
término (k+1)-ésimo, o sea:
Tk+1 = C(n,k)an-k bk
[2]
Cualquiera de estas fórmulas puede usarse para obtener
un término particular del desarrollo binomial.
Ejemplo 3 Hallar el séptimo término del desarrollo de
10
 3 1 4
 2a  b  .
4 

Solución.
Utilizando la fórmula [2]:
Tk+1 = C(n,k)an-k bk
T6+1 = C(10,6)a10-6 b6
T7 = C(10,6)a4b6
T7 = 210a4b6
Por tanto:
 
T7  210 2a
3 4
6
24 12 24 210 12 24 210 12 24
1 4
b

210.
.a b  8 .a b 
a b


212
2
256
4 
40
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos
Fidel Vera Obeso
Ejemplo 4
Hallar el término correspondiente que contiene a x3 en el
desarrollo de
 x  3x  .
1 9
Solución
Este problema difiere del anterior en que no sabemos el
orden
del
término
que
se
busca.
Por
tanto,
representaremos por k el orden del término. De acuerdo a
la forma [2], el término de orden k+1 es:
Tk+1 = C(9,k)a9-k bk
Tk+1 = C(9,k).x9-k.(-3x-1)k
Tk+1 = C(9,k).x9-k.(-3)k.x-k = C(9,k).(-3)k.x9-2k
Ya que nos interesa que el exponente de x sea 3, se
debe tener 9-2k = 3  k = 3; o sea, que el término
buscado es:
T3+1 = C(9,3).x9-3.(-3)3.x-3 = C(9,3)(-3)3x3
9.8.7
T4 
 27  x3
3.2
T4  2268 x3 .
Nota:
En los diversos desarrollos de
a  b
n
, observamos que
los coeficientes aumentan hasta la mitad del desarrollo
y luego decrecen en orden inverso. De esto podemos
concluir
que si n es par, el desarrollo tiene un
número impar de términos y el término central es el que
tiene mayor coeficiente; y si n es impar, el desarrollo
tiene un número par de términos, y los dos términos
centrales son los que tienen mayor coeficiente. Esto es
consecuencia de lo siguiente:
Si n es par, el valor máximo de C  n, k  se obtiene cuando
k1 ,
2
k
 n  1
2
y si
n
es impar se obtiene cuando
k
 n  1 ó
2
.
41
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos
Fidel Vera Obeso
Ejemplo 5
Sin
desarrollar
directamente,
coeficiente del desarrollo de
calcular
a  b
8
el
mayor
.
Solución.
n8
es
par,
entonces el valor
8
obtiene cuando k   4 . Es decir
2
C  8, 4  
máximo
de
C (8, k )
se
8! 8.7.6.5

 70 .
4!4! 4.3.2
42
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos
Fidel Vera Obeso
ACTIVIDAD N° 02
RESUELVA A CONTINUACIÓN LOS SIGUIENTES
PROBLEMAS SOBRE EL TEOREMA DEL BINOMIO
1.
2.
Desarrollar las siguientes expresiones mediante
teorema del binomio y simplificar el resultado.
a)5x - y2)4
b)
(ex - e-x)9
c)(x3/2 - x-3/2)4
d)
(1 + x)4 + (1 - x)4
Escribir y simplificar los primeros cuatro términos del
desarrollo de la potencia del binomio.
a)ex/2 - e-x/2)20
3.
el
b)
(x2/3 - y2/3)8
Obtener solamente el término o términos indicados en el
desarrollo correspondiente:
a)
Octavo término de (x1/2 + y1/2)12
b)
Término central de (a/b - b/a)10
c)
Los dos términos centrales de (x2/2 - y)9
d)
Términos en y4 de (2x/3y + 3y/2x)10
e)
Término independiente de x de (x1/2/y2/3 + y1/2/x3/2)16
43
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos
4.
Fidel Vera Obeso
Hallar el término que contiene a x10 en el desarrollo:
1  3x
5.
Los
términos
T2 , T3 y T4
2
 3x 4
del

7
.
desarrollo
de
a  b
n
valen
respectivamente 240, 720 y 1080. Hallar los valores de
a, b y n .
44
Universidad Nacional del Santa