EL ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS: UNA METODOLOGÍA

El análisis por elementos finitos: una metodología muy reciente en economía
EL ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS:
UNA METODOLOGÍA MUY RECIENTE EN ECONOMÍA
Miguel Escribano Ródenas
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I
Escuela Universitaria de Estudios Empresariales
Universidad Complutense de Madrid
RESUMEN
La técnica de análisis por elementos finitos (AEF) consiste en dividir la geometría en la
que se quiere resolver una ecuación diferencial de un campo escalar o vectorial en un dominio,
en pequeños elementos, teniendo en cuenta unas ecuaciones de campo en cada elemento, los
elementos del entorno de vecindad y las fuentes generadoras de campo en cada elemento.
Habitualmente, esta técnica es muy utilizada en el ámbito de la ingeniería debido a que
muchos problemas físicos de interés se formulan mediante la resolución de una ecuación
diferencial en derivadas parciales, a partir de cuya solución es posible modelar dicho problema
(transmisión del calor, electromagnetismo, cálculo de estructuras, etc). Esta técnica se encuentra
automatizada en las herramientas software comerciales, llamadas herramientas de análisis por
elementos finitos para problemas físicos tanto de propósito general, como aplicadas a problemas
físicos particulares.
Sin embargo, su aplicación es aún poco conocida en economía y a veces es incluso
confundida con la discretización de las ecuaciones diferenciales, técnica que es mucho más
utilizada en estudios económicos. No es habitual encontrar herramientas comerciales en que se
automatice esta labor para problemas económicos.
Esta comunicación presenta la técnica matemática del AEF y algunas ideas para su
aplicación en la resolución de problemas de tipo económico.
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
1
Miguel Escribano Ródenas
Palabras claves: Elementos finitos, Discretización, Economía
Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C-63 computational techniques
Área temática: Metodología y didáctica de la matemáticas aplicadas a la economía y la
empresa
2
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
El análisis por elementos finitos: una metodología muy reciente en economía
FINITE ELEMENT ANALYSIS: A VERY RECENT
METHODOLOGY IN ECONOMICS
Miguel Escribano Ródenas
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I
Escuela Universitaria de Estudios Empresariales
Universidad Complutense de Madrid
ABSTRACT
Finite element analysis technique (FEA) is based on splitting a geometry in which a
partial derivative equation for a scalar or vector field, has to be solved in a physical domain, in
small elements, taking into account field equations, boundary elements and field sources on
each element.
Commonly, this technique is very used in engineering applications due to many
physical problems are formulated by means of the solution of a partial derivative equation,
whose solution is the first step to model this physical problem (heat transfer, electromagnetics,
stress analysis in structures, etc). This technique is implemented in commercial software tools
named finite element analysis tools, for physical problems of general purpose and applied
physical problems too.
However, its application is not yet very well known in economics, and sometimes is
confused with discretization of partial derivative equations. This technique is much more used
in economical studies. On the other hand, it is not very common to find commercial tools in
which this task be implemented for economical problems.
This work presents finite element analysis technique and some ideas for its application
in solving economical problems.
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
3
Miguel Escribano Ródenas
Key words: Finite Elements, Discretization, Economics
JEL Classification: C-63 computational techniques
Área temática: Metodología y didáctica de la matemáticas aplicadas a la economía y la
empresa
4
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
El análisis por elementos finitos: una metodología muy reciente en economía
1. INTRODUCCIÓN
Existen multitud de problemas físicos cuya formulación desde un punto de vista
matemático responde a una ecuación diferencial en derivadas parciales. Tal es el caso de
la transmisión del calor, del electromagnetismo, de la mecánica de fluidos o del análisis
estructural. La solución de dichos problemas tiene un interés elevado en ingeniería, ya
que dichas soluciones son el punto de partida para el diseño y modelado de los sistemas
físicos que representan aquellas ecuaciones.
En general, la resolución de las ecuaciones diferenciales que formulan un
problema físico es de gran complejidad. Solamente en los casos en que se hacen
simplificaciones sobre las dimensiones en que se estudia el problema para las
distribuciones de campo, y sobre las geometrías en que se resuelven estas ecuaciones, es
posible obtener una solución analítica del problema. En dichos casos, tales
simplificaciones conducen a ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles. El método
de separación de variables también proporciona solución a multitud de problemas
físicos. Por otro lado la semejanza y la analogía permiten la obtención de la solución de
un problema físico cuando se conoce la solución a otro problema físico (análogo) que
tiene la misma forma desde un punto de vista matemático. Tal es el caso de la analogía
entre la transmisión de calor en régimen permanente y la electrostática, y el caso de la
analogía entre la transmisión de calor unidimensional transitoria y las ecuaciones de las
líneas de transmisión.
Para todos los casos en los que las técnicas analíticas o bien porque pierden
exactitud (debido a que la distribución de campo empieza a dejar de ser
unidimensional), o bien porque no es posible aplicarlas, debido a que estos casos se
salen del alcance de las mismas (como consecuencia de que la distribución térmica sea
2D o 3D), es donde los métodos numéricos tienen mucha utilidad. Esta técnica consiste
en la resolución de las ecuaciones diferenciales que modelan el problema mediante
procedimientos numéricos iterativos, que discretizan la ecuación diferencial en una
ecuación en diferencias, resolviéndola de forma iterativa. Dentro de estas técnicas
destaca la técnica de análisis por elementos finitos.
En este trabajo, se propone el empleo de esta técnica para la resolución de
problemas de tipo económico.
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
5
Miguel Escribano Ródenas
2. LA TÉCNICA DE ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS
La técnica de análisis por elementos finitos (AEF) consiste en el empleo de los
métodos numéricos en la resolución de un problema físico determinado.
Este método numérico se basa en dividir la geometría en la que se quiere
resolver un problema físico, en pequeños elementos en los cuales se resuelven las
ecuaciones diferenciales correspondientes a un campo (la temperatura en transmisión
del calor, el campo magnético en electromagnetismo, el campo de velocidades en
mecánica de fluidos, etc), en forma discreta, teniendo en cuenta las propiedades físicas
de los materiales empleados, los elementos del entorno de vecindad, las condiciones de
contorno y las fuentes generadoras de campo. La resolución de estas ecuaciones de
forma discreta se realiza de forma iterativa hasta que se alcanza convergencia en la
solución.
Las herramientas software que permiten realizar este proceso de forma eficiente
y cómoda se denominan herramientas de análisis por elementos finitos, o simplemente
herramientas de elementos finitos (HEF).
Existen HEF de propósito general o multidisciplinar que permiten resolver
varios problemas físicos como son: mecánica de fluidos, transmisión del calor,
electromagnetismo, mecánica estructural, etc y HEF que se aplican a un problema físico
específico. Hay herramientas que permiten incluso acoplar dos problemas como es el
caso del problema térmico y del problema electromagnético. Es decir la salida de un
problema se emplea como entrada en el otro problema y viceversa, de forma iterativa.
El proceso de generación de la solución mediante AEF se realiza en estas
herramientas mediante varios pasos: definición de la geometría objeto de estudio,
especificación del régimen a estudiar, asignación de las propiedades físicas de los
materiales, asignación de las condiciones de contorno, aplicación de las cargas, mallado
de la geometría, resolución del problema y análisis de la solución. Estos pasos se pasan
a explicar a continuación para el caso de un problema físico en particular, como es el
problema de la transmisión del calor.
2.1
Definición de la geometría objeto de estudio
Consiste en la obtención de un dibujo en 2D o 3D, en malla de alambre, de las
formas de los diferentes objetos en los que se pretenden resolver las ecuaciones de
6
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
El análisis por elementos finitos: una metodología muy reciente en economía
campo. Para efectuar este cometido las HEF suelen tener una herramienta CAD por
debajo.
2.2
Especificación del régimen a estudiar
Para el caso del modelado térmico, las HEF permiten realizar un análisis en
régimen permanente o en régimen transitorio. Es en esta fase en la que se especifica el
tipo de régimen a estudiar.
2.3
Asignación de las propiedades físicas de los materiales
Es aquí donde las propiedades termofísicas tales como la conductividad térmica,
la densidad y el calor específico, se asignan a cada uno de los objetos que se han
generado en la fase de definición de la geometría. Las HEF suelen tener una base de
datos de propiedades de materiales, de forma que la asignación de propiedades térmicas
se realice de forma más cómoda.
2.4
Asignación de las condiciones de contorno
Las condiciones de contorno más típicas que se aplican en la frontera del
problema suelen ser de temperatura constante (isoterma), superficies adiabáticas (flujo
de calor nulo) o condiciones de simetría. Asimismo, en el caso de la frontera entre
sólidos y entre sólidos y el ambiente, suele aplicarse alguna condición de contorno del
tipo de conducción, y de convección o de convección y radiación respectivamente.
2.5
Aplicación de las cargas
Se entiende por cargas, las fuentes activas de campo. En el caso particular de la
transmisión del calor, la fuente de campo es la generación de calor. La generación de
calor suele expresarse o bien mediante un valor neto [W] o bien mediante una densidad
de generación de calor [W/m3]. Si se asigna una densidad de generación de calor, ésta
suele poderse expresar en función de las variables espaciales.
2.6
Mallado de la geometría
La geometría objeto de estudio se divide en diferentes elementos en los que
resuelven las ecuaciones de campo. Las HEF suelen tener herramientas por debajo que
mallan de forma automática y permiten que el usuario malle de forma más fina las
zonas que más le convenga. Es por ello que el mallado de la geometría es una tarea
clave en el proceso de AEF.
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
7
Miguel Escribano Ródenas
2.7
Resolución del problema
En esta fase del proceso, es donde se aplica el método de análisis por elementos
finitos para obtener la solución del problema físico de forma iterativa, en este caso la
transmisión del calor. La solución se obtiene en cada uno de los elementos en que se
descompone la geometría. Aunque siempre es posible sumar o integrar estos pequeños
elementos en una región determinada, ya sea área o volumen.
2.8
Análisis de la solución
Una vez que se ha obtenido la solución del problema térmico, la distribución de
temperaturas se puede emplear para calcular energías térmicas, flujos de calor a través
de superficies, para hacer operaciones entre distintos campos e incluso para calcular
resistencias térmicas. Una vez obtenida la solución, es posible representar gráficamente
la distribución que se trate.
La última fase se conoce también con el nombre de solución, y la penúltima fase
del proceso que se acaba de describir se conoce también con el nombre de
postprocesamiento, y el resto de las fases se conocen con el nombre de
preprocesamiento.
El empleo de HEF en el modelado térmico de componentes magnéticos es muy
importante, ya que mediante el uso de estas herramientas software es posible analizar
distintos efectos sobre la distribución térmica tales como efectos geométricos, efectos
de las propiedades termofísicas, efectos de las cargas y de las condiciones de contorno.
Asimismo permiten visualizar distintas magnitudes como temperaturas, flujos de calor,
energías térmicas, etc. Esta visualización permite la determinación de puntos calientes,
y qué zonas están peor y mejor refrigeradas del dispositivo.
En la figura 1 se muestra el método de análisis por elementos finitos aplicado a
la resolución del problema térmico de forma resumida.
Una vez obtenida la solución de un problema físico mediante AEF la generación
de un modelo físico no está resuelta1. En la obtención de este modelo hay dos puntos
claves:
1
Véanse las Tesis Doctorales de Miguel Escribano Ródenas, “Modelado Térmico de
Componentes Magnéticos en Electrónica de Potencia de Alta Frecuencia mediante Técnicas
Analíticas y de Análisis por Elementos Finitos”, leida en 2005, y la de R. PRIETO LÓPEZ,
titulada “Análisis y Optimización de Componentes Magnéticos mediante Técnicas de
Elementos Finitos”, leida en 1998, ambas en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Industriales de Madrid de la Universidad Politécnica de Madrid.
8
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
El análisis por elementos finitos: una metodología muy reciente en economía
•
En primer lugar hay que considerar una estructura para el modelo que se desea
construir. La estructura de este modelo y su complejidad en general, dependerán de la
precisión con la que se modelan los diferentes aspectos de los que consta esta
disciplina: cómo se considera la distribución de la generación de calor, qué detalle se
quiere obtener en el mapa de temperaturas, qué tipo de régimen es preciso considerar,
cómo se modelan las condiciones de contorno y cómo se consideran las propiedades
físicas.
•
En segundo lugar, una vez establecida la estructura que tiene el modelo, habrá que
determinar sus parámetros, para los cuales también existen varias posibilidades
dependiendo de: el tipo de distribución en la generación de calor para el análisis, el tipo
de condiciones de contorno empleadas, el tipo de régimen, etc. Dependiendo del tipo
de estructura elegida para el modelo, la complejidad en el proceso de obtención de
parámetros cambiará. Por tanto ambos aspectos están relacionados. Cuanto más
complejo y más preciso sea el modelo generado, más difícil será la obtención de sus
parámetros. Es decir, existirá una solución de compromiso entre la precisión que se
desea del modelo y la complejidad del mismo.
Geometría
Geometría
Condiciones
Condiciones de
de contorno
contorno yy cargas
cargas
Generación
núcleo
Convección
Radiación
Conductores
Temperatura cte.
Análisis
Análisis de
de la
la solución
solución
Mallado
Mallado
Generación
devanado1
Temperatura cte.
Convección
Radiación
Núcleo
Generación
devanado2
Resolución
Resolución del
del problema
problema
Figura 1. Proceso de obtención de la solución mediante análisis por elementos finitos.
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
9
Miguel Escribano Ródenas
Aunque la obtención de un modelo a partir de la solución del problema físico no
es automática, bien es verdad que constituye el primer paso para su posterior
generación.
3. APLICACIÓN
DE
LA
TÉCNICA
DE
ANÁLISIS
PARA
PROBLEMAS ECONÓMICOS
La economía viene siendo en los últimos años una de las ciencias que más se
está matematizando, haciendo uso de los modelos que anteriormente sólo se habían
utilizado en física o ingeniería. Cuando las variables económicas tienen suficiente grado
de especificación sus relaciones pueden traducirse fácilmente a funciones matemáticas.
Así los modelos económicos se elaborarán como un conjunto de relaciones
matemáticas, al que será preciso aplicar las técnicas analíticas adecuadas para su
resolución.
Aunque los economistas utilizan la teoría y la observación como otros
científicos, se enfrentan a un obstáculo que hace su tarea muy desafiante: en economía
no es fácil hacer experimentos para conseguir datos. Los economistas deben utilizar los
datos que les proporciona la sociedad, y en particular los que les ofrece la historia. Los
modelos que utilizan los economistas están realizados, en la mayoría de los casos, con
diagramas y ecuaciones matemáticas.
La economía del siglo XXI es una ciencia empírica, y por lo tanto, el método
científico es imprescindible en ella. Por lo tanto, los procesos de observación,
modelización y verificación son importantes. En sus intentos de entender las relaciones
subyacentes al entramado económico, los economistas se ven forzados a usar varios
tipos de datos agrupados, entre otras simplificaciones. Por lo tanto, y como en todas las
ciencias complejas, los modelos sólo son capaces de dar una descripción aproximada de
la realidad, mediante la utilización de algunas de las variables implicadas.
Los economistas actuales ya han comenzado a utilizar muchos modelos de la
física, pero en particular han hecho poco uso de las HEF. En la literatura revisada, sólo
hemos encontrado el artículo “Numerical Analysis of a nonlinear operator equation
arising from a monetary model”, de Jenny X. Li, aparecido en 1998, en el Journal of
Economic Dynamics and Control, págs. 1335-1351. En dicho trabajo se resuelve un
modelo de economía monetaria, mediante una ecuación de un operador no lineal con
métodos numéricos de elementos finitos, con iteraciones en punto fijo.
10
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
El análisis por elementos finitos: una metodología muy reciente en economía
4. CONCLUSIONES
Se ha presentado la técnica de análisis por elementos finitos como una técnica
interesante, utilizada habitualmente en problemas físicos de ingeniería, y que desde aquí
se propone su empleo en la resolución de problemas en economía. Asimismo se ha
descrito esta técnica para un problema físico particular como es la transmisión del calor.
Desde este trabajo se ha propuesto su empleo en la resolución de problemas económicos
mostrando varias ideas para su utilización. Como aspectos interesantes de esta técnica
de cara a su uso en problemas económicos destacan las siguientes:
•
La resolución puede ser automatizada con ayuda de un programa por computador,
como es el caso de las HEF en ingeniería
•
La tarea de visualización de distribuciones de campo se efectúa de forma cómoda
•
Un vez obtenida la solución a un problema, realizar operaciones matemáticas con la
solución (postprocesamiento) se realiza con facilidad
Aunque la implementación en problemas físicos de ingeniería se realiza en dos y
tres dimensiones, puede ser interesante su implementación en una herramienta software
con más de tres dimensiones, que modelen diferentes variables económicas en un
problema de esta índole, aunque tenga menos sentido físico su representación espacial.
5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•
ESCRIBANO RÓDENAS M. (2005). “Modelado Térmico de Componentes Magnéticos en
Electrónica de Potencia de Alta Frecuencia mediante Técnicas Analíticas y de Análisis por
Elementos Finitos”. Tesis Doctoral. 2005. Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Industriales de Madrid. Universidad Politécnica de Madrid.
•
LI, Jenny X. (1998). “Numerical Analysis of a nonlinear operator equation arising from a
monetary model”, Journal of Economic Dynamics and Control, pp. 1335-1351.
•
PRIETO LÓPEZ R. (1998). “Análisis y Optimización de Componentes Magnéticos
mediante Técnicas de Elementos Finitos”. Tesis Doctoral. 1998. Escuela Técnica Superior
de Ingenieros Industriales de Madrid. Universidad Politécnica de Madrid.
XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional
11