07 Momento Angular

7. Momento angular
7. MOMENTO ANGULAR
El concepto de momento angular es muy útil para describir movimientos en dos o tres dimensiones y rotaciones. Consideremos el movimiento de un punto de masa m respecto de O. Este movimiento se puede pensar como la superposición un movimiento radial con velocidad vr y un
movimiento de rotación alrededor de O con velocidad vt . Desde este punto de vista la cantidad
de movimiento p = mv es la suma de dos términos:
p = mvr + mvt = pr + pt
(7.1)
donde pr = rˆ( rˆ ⋅ p) es la cantidad de movimiento radial y pt la cantidad de movimiento asociada con la rotación alrededor de O (Fig. 7.1).
p
pt
pr
m
r
O
Fig. 7.1. El movimiento de un punto respecto de O se puede pensar como la superposición
de un movimiento radial y un movimiento de rotación alrededor de O.
Una forma práctica de separar las dos partes de p es introducir la cantidad
L=r×p
(7.2)
L = r × p = r × pt
(7.3)
dado que L depende solamente de pt porque
La magnitud L se llama momento angular y es el momento1 de la cantidad de movimiento; su
valor depende de la elección de O, en efecto el momento angular respecto del punto O′ que difiere de O por un desplazamiento rOO′ es LO′ = LO − rOO′ × p (Fig. 7.2). Cuando no haya riesgo
de confusión daremos por sobreentendido el punto respecto del cual se calcula L.
1
El origen del término momento proviene de que se denomina momento de un vector A (aplicado en el punto P)
respecto de un origen O a la cantidad M = rOP × A .
201
7. Momento angular
S
P
U
U
2
U22
2|
Fig. 7.2. El momento angular depende del punto respecto del cual se lo calcula.
Veamos dos ejemplos:
• Sea un cuerpo de masa m que sigue una trayectoria circular con velocidad angular ω alrededor de un eje y sea O un punto del eje (Fig. 7.3). Entonces v = ω × r = ω × r⊥ , luego
p = mv = mω × r⊥ y el momento angular respecto de O es
L = r × p = m r × (ω × r⊥ )
(7.4)
Si A, B, C son tres vectores cualesquiera A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B)C , luego
L = m r⊥2ω − mr||ω r⊥
(7.5)
Si O coincide con el centro de giro r|| = 0 y
L = m r⊥2ω
(7.6)
w
r⊥
O
m
p
v
r
Fig. 7.3. Momento angular de un cuerpo que sigue una trayectoria circular.
•
Sea un objeto que se mueve con movimiento rectilíneo y O un punto cualquiera (Fig. 7.4).
Luego L = r × m v ; pero r = r|| + r⊥ y entonces
L = m r⊥ × v
202
(7.7)
7. Momento angular
p
r
r⊥
O
Fig. 7.4. Momento angular de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo.
Relaciones entre momento angular, cantidad de movimiento y energía cinética
Dado que el momento angular y la cantidad de movimiento radial son magnitudes útiles para
describir movimientos conviene tener a mano expresiones que las vinculen con la energía cinética. La energía cinética se expresa como
T = 12 m v 2 =
p2
2m
(7.8)
Partiendo de la definición de L calculemos
L2 = L ⋅ L = ( r × p) ⋅ ( r × p) = r 2 p2 sen 2 ϕ = r 2 p2 (1 − cos2 ϕ )
(7.9)
donde ϕ es el ángulo entre r y p. Pero rp cos ϕ = r ⋅ p = rpr de modo que L2 = r 2 p2 − r 2 pr2 . Dividiendo por 2 mr 2 resulta
L2
p2
pr2
=
−
2 mr 2 2 m 2 m
(7.10)
y entonces
T=
L2
pr2
+
2 mr 2 2 m
(7.11)
Claramente el primer término del miembro derecho es la parte de la energía cinética debida a la
rotación alrededor del punto respecto del cual estamos calculando el momento angular y el segundo término es la parte de T asociada con el movimiento radial.
Variación del momento angular
Diferenciando la definición de L obtenemos
dL = dr × p + r × dp = r × Fdt
(7.12)
dL
=r×F
dt
(7.13)
pues dr × p = vdt × p = 0 . Luego
203
7. Momento angular
Ahora M ≡ r × F es el momento de F (calculado respecto del punto desde donde tomamos el
momento angular). Luego
dL
=M , M=r×F
dt
(7.14)
Esta es la ecuación de movimiento del momento angular y expresa que la tasa de variación del
momento angular es igual al momento aplicado.
Fuerzas centrales y conservación del movimiento angular
Sea un móvil sometido a la acción de una fuerza central. Las fuerzas centrales son aquellas que
están siempre dirigidas hacia un punto fijo2. Con muy buena aproximación las interacciones gravitatorias entre el Sol y los planetas y entre los planetas y sus satélites son centrales. Las fuerzas
electrostáticas entre cargas puntuales son centrales. Por lo tanto el movimiento de cuerpos sometidos a fuerzas centrales es un problema muy importante. Veamos sus propiedades.
Si referimos la posición al centro de la fuerza, una fuerza central se expresa como F = Frˆ (aquí
F puede ser positiva o negativa) o sea que r y F son siempre paralelas (Fig. 7.5). Si tomamos
momentos respecto del centro de fuerzas, M = r × F = 0 y entonces de la (7.14) obtenemos
dL
= M = 0 ⇒ L = cte.
dt
(7.15)
Luego en todo movimiento que se realiza bajo la acción de una fuerza central se conserva el
momento angular. Este hecho tiene varias importantes consecuencias que pasaremos a analizar.
F
m
r
F'
r'
m
O
Fig. 7.5. En un movimiento bajo la acción de una fuerza central se conserva el momento
angular respecto del centro de la fuerza.
El movimiento se realiza en un plano
En un instante dado r y p definen un plano que pasa por el centro de fuerzas O y que es normal a
L. En otro instante cualquiera r ′ y p ′ definen también un plano que pasa por el centro. Su normal está en la dirección de L′ = r ′ × p ′ y coincide con la anterior pues L′ = L . Luego ambos
planos pasan por O y tienen la misma normal, por consiguiente coinciden y el movimiento está
contenido en ese plano, que se denomina plano de la órbita (Fig. 7.6).
2
La atracción gravitatoria es una fuerza central (el peso está siempre dirigido hacia el centro de la Tierra, por lo
menos con buena aproximación).
204
7. Momento angular
L
O
r
p
m
Π
Fig. 7.6. La conservación del momento angular implica que el movimiento se realiza en un
plano.
Ley de las áreas (Segunda Ley de Kepler)
Analicemos el movimiento en el plano de la órbita (Fig. 7.7). Por la conservación de L
L = m r v sen ϕ = cte.
(7.16)
El área barrida por el radio vector que va de O al móvil es dA = 12 r v dt sen ϕ (Fig. 7.7), luego
dA 1
L
= 2 r v sen ϕ =
= cte.
dt
2m
(7.17)
Esta es la célebre ley de las áreas o Segunda Ley de Kepler y establece que el radio vector del
centro de fuerzas al móvil barre áreas iguales en tiempos iguales. Kepler dedujo esta ley para el
movimiento de los planetas alrededor del Sol, pero aquí vemos que el resultado es más general
pues depende de la conservación del momento angular y por lo tanto vale para todo movimiento
regido por una fuerza central.
v
vdt
ϕ
O
r
Fig. 7.7. Ley de las áreas: el radio vector del centro de fuerzas al móvil barre áreas iguales
en tiempos iguales.
La conservación de L está relacionada con la simetría del campo de la fuerza central, que al depender solamente de la distancia al centro no establece ninguna dirección privilegiada en el espacio: el campo es invariante ante cualquier rotación alrededor del centro. Este es un nuevo
ejemplo de la relación entre simetrías y leyes de conservación.
Movimiento bajo la acción de una fuerza central
Sea un cuerpo de masa m sometido a una fuerza central. Tomamos el origen de coordenadas O
en el centro de fuerza, que suponemos fijo. Sea F (r )r̂ el campo de fuerza, donde F depende
205
7. Momento angular
sólo de la distancia r entre el cuerpo y O. Si F(r ) es positiva la fuerza es repulsiva, si es negativa la fuerza es atractiva. Un campo como el que suponemos es conservativo. En efecto (Fig.
7.8) dr = dr rˆ + rdθ θˆ y entonces
dW = F ⋅ dr = F(r )rˆ ⋅ ( dr rˆ + rdθ θˆ ) = F(r )dr
(7.18)
Por lo tanto
r2
2
W12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ F(r )dr
1
(7.19)
r1
no depende del camino seguido para ir de 1 a 2. Podemos entonces definir una energía potencial
r
V (r ) = − ∫ F(r )dr + V0
(7.20)
r0
donde r0 es un nivel de referencia y V0 es una constante arbitraria.
2
dr
rdθ
dθ
r
O
dr
1
Fig. 7.8. Un campo de fuerza central es conservativo.
Separación del movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza central
Debido a la conservación de L un cuerpo sometido a una fuerza central se mueve en un plano.
Describiremos entonces el movimiento en el plano de la órbita. Tomamos como origen el centro
de la fuerza y usamos coordenadas polares r, θ (Fig. 7.9). Las componentes de la velocidad son
vr = v ⋅ rˆ = v sen ϕ , vθ = v ⋅ θˆ = v cos ϕ
v
ϕ
r
O
θ
r
órbita
Fig. 7.9. Geometría para estudiar el movimiento en el plano de la órbita.
206
(7.21)
7. Momento angular
Por la conservación de L tenemos que
L = mrvθ = cte.
(7.22)
de donde si conocemos r podemos inmediatamente determinar vθ (L es una constante del movimiento, luego es un dato del problema y lo podemos obtener de las condiciones iniciales).
Si usamos ahora la conservación de la energía mecánica:
E = T + V = cte.
(7.23)
podremos relacionar vr con r. En efecto de (7.23), usado (7.11) y (7.20) resulta
E = 12 mvr2 +
L2
+ V (r ) = cte.
2 mr 2
(7.24)
En esta expresión no figura θ. Sólo aparecen r y vr , además de la constante del movimiento L2 .
Obsérvese que la (7.24) es equivalente a la expresión de la energía mecánica de un movimiento
unidimensional para el cual la energía potencial es
U (r ) =
L2
+ V (r )
2 mr 2
(7.25)
En consecuencia gracias a la conservación del momento angular el problema ha quedado separado en dos partes:
• un movimiento de rotación alrededor del origen con la velocidad
vθ =
•
L
mr
, L = cte.
(7.26)
y que por lo tanto cumple la ley de las áreas, y
un movimiento radial determinado por la energía potencial U (r ) .
El potencial centrífugo
La energía potencial U (r ) del problema unidimensional (Fig. 7.10) es la suma de dos términos.
El primero es la energía potencial V (r ) del campo de fuerzas centrales. El segundo, L2 / 2 mr 2 ,
es la parte de la energía cinética asociada con el movimiento de rotación, que depende solamente
de L (que es un dato) y de la distancia al centro. Este término equivale formalmente a una energía potencial repulsiva (pues crece a medida que r disminuye) ya que la fuerza dada por:
−
mvθ2
d  L2 
L2
=
=


dr  2 mr 2  mr 3
r
(7.27)
tiende a empujar el móvil lejos del origen. Esta fuerza no es otra que la fuerza centrífuga, que
aparece al describir el movimiento desde un sistema rotante (no inercial). Esto es en efecto lo
que estamos haciendo en el problema unidimensional equivalente, pues estamos describiendo el
movimiento desde un sistema con origen en O y que sigue al móvil en su órbita mientras gira
con velocidad angular ω = vθ / r alrededor del centro de fuerzas. Por este motivo el término
L2 / 2 mr 2 se suele llamar potencial centrífugo.
207
7. Momento angular
L2
2mr 2
U (r)
0
r1 r3
E>0
r2
r
r0
E<0
Umin
V (r)
Fig. 7.10. El movimiento radial es equivalente a un movimiento unidimensional regido por
una energía potencial dada por la suma de V (r ) más el potencial centrífugo, cuya magnitud está determinada por el momento angular.
El potencial centrífugo depende de L2 , el cuadrado del módulo del momento angular. Para un
dado L, crece y tiende al infinito cuando r → 0. Esto describe el hecho que un móvil que posee
un momento angular no nulo no puede pasar por el origen.
El movimiento radial
El movimiento radial se obtiene resolviendo el problema unidimensional descripto por
E = 12 m vr2 + U (r ) = cte.
(7.28)
donde
U (r ) = V (r ) +
L2
2 mr 2
(7.29)
Luego para analizarlo podemos aprovechar lo que desarrollamos en el Capítulo 5 para estudiar
movimientos unidimensionales y valernos de los diagramas de la energía (Fig. 5.7). El tipo de
movimiento depende de U(r) y del valor de E, que depende de las condiciones iniciales.
Sea una fuerza central atractiva que se anula para r → ∞ , de modo que eligiendo oportunamente
V0 podemos tener V (r ) → 0 para r → ∞ . El diagrama de la energía se ve en la Fig. 7.10. Habrá
en general dos tipos de órbita:
• si E < 0 la órbita es limitada y r1 ≤ r ≤ r2 : mientras gira alrededor del centro de fuerzas el
móvil efectúa una oscilación radial entre los puntos de retorno r1 y r2 (Fig. 7.11),
208
7. Momento angular
si E > 0 la órbita es ilimitada: el móvil llega del infinito, se acerca al origen hasta la distancia mínima r0 (que depende de L) y vuelve al infinito donde vr = v∞ ≡ 2 E / m .
Corresponde mencionar dos casos límites:
• si E = Umin < 0 la órbita es circular y toda la energía cinética es de rotación ya que vr = 0 ,
• si E = 0 la órbita se extiende al infinito y el móvil llega al infinito con vr = v∞ = 0 .
•
1
Fig. 7.11. Órbita limitada en un potencial V (r ) ~ r −0.9 . La integración comenzó en 1.
En general las órbitas con E < 0 no son curvas cerradas, es decir el móvil no vuelve a pasar por
el mismo lugar con igual velocidad en un tiempo finito. Sin embargo para algunas leyes de fuerzas especiales la órbita puede ser cerrada (en particular eso ocurre si F ~ − r −2 ).
Si V (r ) es repulsivo la órbita es siempre ilimitada.
Movimiento planetario
Consideremos el movimiento de un planeta alrededor del Sol, o de un satélite alrededor de su
primario. La fuerza en este caso proviene de la interacción gravitatoria. Como veremos en el
Capítulo 9, dos cuerpos de masas M y m se atraen con una fuerza central cuyo módulo vale
F=G
mM
r2
(7.30)
donde G ≅ 6.67 × 10 −11 Nm 2 / kg 2 es la constante universal de la gravitación. Supongamos que
M (masa del Sol) >> m (masa del planeta)3. En este caso podemos imaginar que el Sol está fijo y
es el centro de la fuerza que actúa sobre el planeta4. La energía potencial gravitatoria es
V (r ) = − G
mM
r
(7.31)
donde hemos elegido V0 de modo que V (r ) → 0 para r → ∞ . Entonces
U (r ) = − G
3
4
mM
L2
+
r
2 mr 2
(7.32)
La masa del Sol es de 1.9891× 1030 kg y la masa de la Tierra es de 5.9742 × 1024 kg, luego M/m = 3.329 × 105.
En el Capítulo 8 veremos las correcciones que se originan al tomar en cuenta el movimiento del Sol.
209
7. Momento angular
Órbita circular
Si el planeta se mueve en una órbita circular vr = 0 , vθ = v y la fuerza centrípeta es la fuerza de
atracción gravitatoria, por lo tanto
m
v2
mM
=G 2
r
r
(7.33)
2π r
= cte.
T
(7.34)
Por otra parte L es constante, luego
v=
donde T es el período de revolución. Reemplazando en (7.33) resulta
4π 2 r GM
= 2
T2
r
(7.35)
4π 2 3
r
MG
(7.36)
De (7.35) obtenemos
T2 =
Por lo tanto el cuadrado del período es proporcional al cubo del radio de la órbita. Este resultado es la expresión de la Tercera Ley de Kepler para órbitas circulares.
Integración de la ecuación radial: la Primera Ley de Kepler
En general la órbita no es circular. Para determinar su forma partimos de la ecuación de la energía para el movimiento radial
E = 12 mvr2 +
L2
C
−
2
r
2 mr
, C = GmM
(7.37)
Ahora vθ = r ω y L = m r 2ω , de modo que
dr dθ dr
dr L
=
ω=
dθ dt dθ
dθ m r 2
(7.38)
2
L2  1 dr  2 1  C L2  d  1  
1  C
+
+
−
=

−
 2

r 2  r 2 m  dθ  r  
r 2  r
2 m  r dθ 
(7.39)
vr =
Sustituyendo en (7.37) obtenemos
E=
Si ahora hacemos la sustitución z = 1/ r en (7.39) resulta
E=

L2  dz  2
2
  + z  − Cz
2 m  dθ

que podemos escribir en la forma
210
(7.40)
7. Momento angular
2 mE m 2 C 2  dz  2 
mC  2
+
=
z
+
−

 dθ 
L2
L4
L2 
(7.41)
Hagamos ahora el cambio
ζ =z−
mC 1 mC
= − 2
L2
r L
, A2 =
2 mE m 2 C 2
+
L2
L4
(7.42)
La ecuación de la órbita queda entonces de la forma
2
 dζ 
  + ζ 2 = A2
 dθ 
(7.43)
La solución de esta ecuación es ζ = Acosθ de donde obtenemos
1
mC
= A cosθ + 2
r
L
(7.44)
Esta es la ecuación polar de las cónicas. La podemos escribir de la forma equivalente
r=
q
1 + e cosθ
, q=
L2
mC
, e=
AL2
E
= 1 + 2q
mC
C
(7.45)
la cantidad e se denomina excentricidad y de acuerdo con su valor se pueden dar los casos que
figuran en la Tabla 7.1.
Las órbitas de los planetas son elipses (de semiejes mayor y menor a y b, respectivamente,
siempre de muy baja excentricidad con la excepción de Marte y de Plutón) y el Sol ocupa uno de
los focos ( F1 en la Fig. 7.12). Este resultado es la Primera Ley de Kepler. Las distancias mínima
rp y máxima ra del planeta al Sol se denominan perihelio y afelio y sus valores son:
rp =
q
q
= a(1 − e ) , ra =
= a(1 + e )
1+ e
1− e
(7.46)
Tabla 7.1. Tipos de órbitas
Órbita
Semiejes o distancia focal
Energía
e=0
circular
a=b=q
E = −C / 2q
0 < e <1
elíptica
a = q /(1 − e 2 ) , b = q /(1 − e 2 )1 / 2
−C / 2q < E < 0
e =1
parabólica
f = q/2
E=0
e >1
hiperbólica
f = q /(1 + e )
E>0
211
7. Momento angular
a
b
P
F2
F1
ae
A
a(1+e)
a(1–e)
Fig. 7.12. Órbita elíptica. El sol ocupa el foco F1 . La figura corresponde a e = 0.5 .
La Tercera Ley de Kepler
El área de la elipse es S = π a b . Por otra parte, por la segunda Ley de Kepler
L
T
2m
(7.47)
2m 2
π a 1 − e2
L
(7.48)
S=
Luego
T=
Pero
L = m Cp = m Ca(1 − e 2 )
(7.49)
e introduciendo esta expresión en (7.48) obtenemos
T 2 = 4π 2
m 3
a , C = GmM
C
(7.50)
de modo que
T2 =
4π 2 3
a
GM
(7.51)
Este resultado es la Tercera Ley de Kepler: el cuadrado del período de la órbita es proporcional
al cubo del semieje mayor.
212
7. Momento angular
Comentarios
Hemos visto que la existencia de las constantes de movimiento L y E simplifica el problema del
movimiento bajo la acción de una fuerza central. Esto se debe a que todo campo de fuerza central tiene simetría de rotación y es conservativo.
La conservación de L tiene dos consecuencias. La primera es que el movimiento tiene lugar en
un plano que pasa por el centro de la fuerza y cuya orientación es ortogonal a L y por lo tanto
está determinado por las condiciones iniciales. Gracias a esto el problema se reduce al de un
movimiento en dos dimensiones en el plano de la órbita. La segunda es que se cumple la ley de
las áreas (7.17). Esto implica que la velocidad angular del móvil alrededor del centro de fuerza
está dada por
dθ
L
=
dt mr 2
, L = cte.
(7.52)
donde L depende de las condiciones iniciales.
La conservación de la energía mecánica junto con la conservación de L implica que el movimiento radial cumple
dr
2
L2
=±
[ E − U (r )] , U (r ) = V (r ) +
dt
m
2 mr 2
(7.53)
De resultas de esto el problema de resolver las ecuaciones de Newton r˙˙ = −∇V (r ) / m , que son
un sistema de tres ecuaciones del segundo orden en el tiempo, queda reducido al de integrar las
dos ecuaciones del primer orden en el tiempo (7.52) y (7.53). Esto se puede lograr en dos pasos.
El primero consiste en resolver la (7.53), donde no figura θ. Para esto la escribimos en la forma
dt = ±
dr
2
[ E − U (r )]
m
(7.54)
que se integra formalmente para obtener
r
⌠
t ( r ) = t0 ± 

⌡r0
dr ′
2
[ E − U (r ′)]
m
(7.55)
Aquí se debe tomar en cuenta que si al avanzar el tiempo r crece se debe tomar el signo +,
mientras que si r decrece se debe tomar el signo –. Así partiendo del instante inicial t0 en el que
el móvil está a la distancia r0 del centro, para cada par de valores de E y L se obtiene la función
t (r ) . Invirtiendo esta función obtenemos r (t ) .
Conociendo r (t ) podemos dar el segundo paso que consiste en integrar la (7.52) para obtener
t
L
θ (t ) = θ 0 + ⌠
dt ′

⌡t0 mr (t ′)2
(7.56)
con lo que queda resuelto el problema. Por lo tanto para obtener la solución basta con calcular
las dos cuadraturas (7.55) y (7.56).
213
7. Momento angular
Como alternativa podemos obtener directamente la relación r(θ ) que da la forma de la órbita.
Para esto basta dividir la (7.53) por la (7.52) para eliminar t.
dr
mr 2
=±
dθ
L
2
[ E − U (r )]
m
(7.57)
de donde resulta
r
⌠
θ (r ) = θ 0 ± 
 mr ′ 2
⌡r0
L
dr ′
2
[ E − U (r ′)]
m
(7.58)
que finalmente nos da r(θ ) por inversión. Se puede observar que la órbita es simétrica respecto
del punto donde dr / dθ cambia de signo, esto es de los puntos donde r alcanza un valor extremo. El punto de máximo acercamiento al centro se llama periapsis (perihelio cuando el centro
es el Sol, perigeo cuando es la Tierra) y el de máximo alejamiento (cuando hay uno a distancia
finita) se llama apoapsis (afelio en el caso del Sol, apogeo para la Tierra).
Sin perjuicio de lo anterior se debe notar que solamente cuando V (r ) ~ 1 / r se pueden obtener
expresiones cerradas para t (r ) y r(θ ) . En los demás casos el programa esbozado anteriormente
no se puede llevar a cabo por vía analítica. En la práctica si se quiere obtener la forma de órbitas
como la que se muestra en la Fig. 7.11 lo más sencillo es integrar numéricamente las ecuaciones
de Newton en el plano de la órbita.
214