Matemática discreta

Lógica
Matemática discreta
Matemática discreta. Lógica
1
Lógica:
• rama de las matemáticas
– instrumento para representar el lenguaje
natural
– proporciona un mecanismo de deducción
Matemática discreta. Lógica
2
Cálculo proposicional y de
predicados
Razonamientos
Cálculo
Sentencias que expresan relaciones entre
proposicional atributos y cualidades de los objetos
Cálculo de
predicados
Establecen propiedades de individuos y
relaciones entre estos
Matemática discreta. Lógica
3
ejemplo
"si el dato es de entrada o de salida y el dato no es de entrada,
entonces es de salida"
p = el dato es de salida
q = el dato es de entrada
{p V q , ¬ p} → q
"si x es de entrada, entonces x se graba en la memoria"
Px = x es un dato de entrada
Qx = x se graba en la memoria
Px → Qx
Matemática discreta. Lógica
4
Cálculo proposicional
Cálculo proposcional
Proposición o enunciado: es toda afirmación u oración
declarativa que expresa algo sobre lo que se pueda
decir si es verdadero o falso.
–
–
–
–
–
Todos los procedimientos se han ejecutado correctamente.
¿Qué hora es?.
(x-y)2=x2-2xy+y2.
¡Menudo rollo de película!.
Esta frase es falsa.
• Proposiciones simples o atómicas.
• Proposiciones compuestas o fórmulas.
Matemática discreta. Lógica
5
Cálculo proposicional
Proposiciones simples o atómicas
• No pueden reducirse a otras más sencillas
• Símbolos primitivos Σ = {T, ⊥, p, q, r , s,K}
Símbolos de proposición
Constantes lógicas
Matemática discreta. Lógica
Enunciados atómicos
p, q , r , s ,K ∈ Σ
⊥
Falsedad
T
Verdad
6
Cálculo proposicional
Proposiciones compuestas o fórmulas
• Enunciados bien formados a partir de símbolos
primitivos unidos mediante conectivas.
LΣ = {P, Q, R, S ,K}
¬ Negación
∧ Conjunción
∨ Disyunción (“o” inclusivo)
Conectivas
∨ Disyunción (“o” exclusivo)
→ Implicación
↔ Doble implicación
Símbolos auxiliares ( , )
Matemática discreta. Lógica
para evitar ambigüedades
7
Cálculo proposicional
Regla de formación de fórmulas
P, P1 , P2 ∈ LΣ
p∈Σ
P ::= p T ⊥ (¬P1) (P1 ∧ P2 ) (P1 ∨ P2 ) (P1∨P2 ) (P1 → P2 ) (P1 ↔ P2 )
Para abreviar se siguen las siguientes directrices:
Omisión de paréntesis externos
Prioridad entre conectivas:
¬, ∧, ∨, ∨, →, ↔
Asociatividad de la implicación: → asocia a la derecha
Matemática discreta. Lógica
8
Cálculo proposicional
ejemplos
( p ∨ (q ↔ r )) lo escribimos p ∨ (q ↔ r )
p → ¬q ∧ r
es
p → ((¬q) ∧ r )
p ∧ q ↔ r es distinto de
p→q→r
Matemática discreta. Lógica
es
p ∧ (q ↔ r )
( p → (q → r ))
9
Cálculo proposicional
Semántica del cálculo proposicional
• Valoración
α: Σ → β
• Valor veritativo
π: LΣ → β
β = {0,1}
• A cada símbolo primitivo se le asigna un valor
booleano de verdad o falsedad: 0 falso, 1 verdad.
• A cada fórmula se le asigna un valor veritativo
dependiendo de los valores de verdad de los
símbolos primitivos que la componen.
En general, y abusando de la notación, hablaremos de valoración
y de valor veritativo indistintamente.
Matemática discreta. Lógica
10
Cálculo proposicional
Tablas de verdad
Representan todos los posibles valores veritativos de las
fórmulas básicas.
p
q
¬p ¬q p∧ q p∨ q p∨q p→q p↔ q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
Matemática discreta. Lógica
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
11
Cálculo proposicional
Las tablas de verdad son una representación de las funciones
f ¬:β → β
f ¬(0) =1
f ¬(1) = 0
f ∧ :β × β → β
f ∧(0,0) = 0
f ∧(0,1) = 0
f ∧(1,0) = 0
f ∧(1,1) =1
f ∨ :β × β → β
f ∨(0,0) = 0
f ∨(0,1) =1
f ∨(1,0) =1
f ∨(1,1) =1
f ∨ :β × β → β
f ∨(0,0) = 0
f (0,1) =1
∨
f ∨(1,0) =1
f ∨(1,1) = 0
f →:β × β → β
f →(0,0) =1
f →(0,1) =1
f →(1,0) = 0
f →(1,1) =1
f ↔ :β × β → β
f ↔(0,0) =1
f ↔(0,1) = 0
f ↔(1,0) = 0
f ↔(1,1) =1
Matemática discreta. Lógica
12
Cálculo proposicional
Valores veritativos
π(p)= α(p)
π(⊥)=0
π(T)=1
π(¬P)= f ¬ ( π(P))
π(P ∧ Q)= f ∧ ( π(P), π(Q))
π(P ∨ Q)= f ∨ ( π(P), π(Q))
π( P∨Q )= f ∨ ( π(P), π(Q))
π(P → Q )= f → ( π(P), π(Q))
π(P ↔ Q)= f ↔ ( π(P), π(Q))
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo proposicional
ejemplo
Si α(p)=1, α(q)=0, α(r)=1
π( p ∧ (q → r) ) = f ∧ ( π(p), π(q → r)) =
= f ∧ ( π(p), f → ( π(q), π(r))) = f ∧ (1, f → (0,1)) =
= f ∧ (1,1) = 1
p
1
q
0
r
1
Matemática discreta. Lógica
q→r
p ∧ (q → r)
1
1
14
Cálculo proposicional
Satisfactibilidad
Una fórmula P es satisfactible, si existe alguna
valoración π que verifique π(P)=1, se dice entonces
que π satisface P (π⎥= P), o que π es un modelo de P
[π ⊆ Mod(P)].
En caso contrario, se dice que P es insatisfactible.
Matemática discreta. Lógica
15
Cálculo proposicional
ejemplo
►
►
►
p
0
q
0
r q → r p ∧ (q → r)
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
Matemática discreta. Lógica
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
16
Cálculo proposicional
Tautología, contingencia,
contradicción
• Un fórmula P es una tautología si toda valoración
es modelo de ella. (Si P es tautología, entonces es
satisfactible).
• Un fórmula P es una contingencia si existen
algunas valoraciones que son modelos de P y
otras que no lo son.
• Un fórmula P es una contradicción si no tiene
modelos. (P es contradicción si y sólo si es
insatisfactible).
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo proposicional
ejemplo
p q r p ∨ (p → q) p ∧ (q → r) ¬(p ∨ (p → q))
0
0
0 0 0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
Matemática discreta. Lógica
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
tautología
contingencia
contradicción
18
Cálculo proposicional
Equivalencia lógica 1
Cuando los valores veritativos de dos fórmulas
P y Q son iguales en cualquier valoración, es
decir, ∀π π(P)=π(Q), se dice que P y Q son
lógicamente equivalentes y se denota P∼Q.
P∼Q ⇔ Mod(P) = Mod(Q).
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo proposicional
ejemplo
p→q
y
¬p ∨ q son lógicamente equivalentes
p q p → q ¬p ∨ q
0 0
1
1
0 1
1 0
1 1
1
0
1
1
0
1
p → q ∼ ¬p ∨ q
Matemática discreta. Lógica
20
Cálculo proposicional
Equivalencia lógica 2
•
•
•
•
P∼P.
Si P∼Q, entonces Q∼P.
P∼T si y sólo si ¬ P ∼⊥
P∼T si y sólo si P es
tautología.
• P→ Q ∼T si y sólo si todo
modelo de P lo es de Q.
• P↔Q ∼T si y sólo si P ∼Q.
Matemática discreta. Lógica
¬ ¬ P ∼ P.
Si P∼Q y Q∼R, entonces P∼R.
¬ T ∼⊥ y ¬ ⊥ ∼T
P∼⊥ si y sólo si P es
contradicción.
• P→ Q ∼T si y sólo si toda
valoración que no es modelo de
Q, tampoco lo es de P.
•
•
•
•
21
Cálculo proposicional
Teorema de reemplazamiento
Si P∼Q y F(P) es una fórmula que contiene a P como
subfórmula, reemplazando una o varias
apariciones de P por Q en F(P), se obtiene una
fórmula F(Q) que verifica F(P)∼F(Q).
Lo utilizaremos para simplificar fórmulas complejas.
Matemática discreta. Lógica
22
Cálculo proposicional
Leyes de equivalencia lógica 1
P∧Q ∼ Q∧P
P∨Q ∼ Q∨P
Distributiva:
P∧(Q∨R)∼(P∧Q)∨(P∧R)
P∨(Q∧R)∼(P∨Q)∧(P∨R)
De identidad: P∧T ∼P
P∨⊥ ∼P
Tercio excluso: P∨ ¬P ∼T
Contradicción: P∧ ¬P ∼ ⊥
Idempotencia: P∧P ∼ P
P∨ P ∼ P
• Conmutativa:
•
•
•
•
•
Matemática discreta. Lógica
23
Cálculo proposicional
Leyes de equivalencia lógica 2
P∧⊥ ∼ ⊥
P ∨ T ∼T
Absorción:
P∧(P∨Q) ∼ P
P∨(P∧Q) ∼ P
Asociativa:
P∧(Q∧R) ∼ (P∧Q)∧R
P∨(Q∨R) ∼ (P∨Q)∨R
¬(P∧Q) ∼ ¬P∨ ¬Q
De Morgan:
¬(P∨Q) ∼ ¬P∧ ¬Q
Relación entre conectivas: P→ Q ∼ ¬P∨Q
P↔Q ∼ (P→ Q) ∧ (Q→P)
• Acotación:
•
•
•
•
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo proposicional
Razonamiento lógico deductivo 1
• Razonamiento inductivo: se generaliza una
situación, a partir de un número relativamente
pequeño de hechos particulares u observaciones.
• Razonamiento deductivo: consiste en obtener una
conclusión a partir de ciertas sentencias ciertas.
• Un argumento es un conjunto de proposiciones en
las que hay una, la conclusión Q, que se justifica a
partir de las otras, las premisas {Pi}.
Matemática discreta. Lógica
25
Cálculo proposicional
Razonamiento lógico deductivo 2
Dado un conjunto de fórmulas {Pi}
• π es un modelo de {Pi} si π(Pi)=1 ∀i.
• {Pi}es satisfactible si ∃ π que sea modelo de {Pi}. En
caso contrario, es insatisfactible.
• Si A∼B, {Pi, A} y {Pi, B} tienen los mismos modelos.
Matemática discreta. Lógica
26
Cálculo proposicional
ejemplo
{q→r, p→(r∨q)} y {¬p∨q∨r, ¬q∨r} tienen los mismos modelos.
p q
r
q→r p→(r∨q)
p
q
r
¬p∨q∨r
¬q∨r
► 0 0 0
1
1
► 0
0 0
1
1
► 0 0 1
1
1
► 0
0 1
1
1
0 1 0
0
1
0
1 0
1
0
► 0 1 1
1
1
► 0
1 1
1
1
1 0 0
1
0
1
0 0
0
1
► 1 0 1
1
1
► 1
0 1
1
1
1 1 0
0
1
1
1 0
1
0
► 1 1 1
1
1
► 1
1 1
1
1
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo proposicional
Razonamiento lógico 3
• Q es consecuencia lógica de {Pi}, {Pi}⎥= Q, si todo
modelo de {Pi}, lo es también de Q.
• Decir que una consecuencia lógica es válida, {Pi}⎥= Q,
es lo mismo que P1∧P2∧..∧Pn→Q es una tautología, o
que {Pi, ¬Q} es insatisfactible.
• Para probar la validez de un argumento se pueden
utilizar tablas de verdad, leyes de equivalencia lógica o
reglas de inferencia.
Matemática discreta. Lógica
28
Cálculo proposicional
ejemplo
Consecuencia lógica válida,
razonamiento correcto:
{p→q, p}⎥= q
premisas
Consecuencia lógica no válida,
razonamiento incorrecto:
{p→q, ¬p}⎥≠ ¬q
premisas
conclusión
conclusión
p→q
¬p
¬q
►0 0
1
1
1
1
►0 1
1
1
0
1
0
1 0
0
0
1
1
1
1 1
1
0
0
p q
p→q
p
q
p q
0 0
1
0
0
0 1
1
0
1 0
0
►1 1
1
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo proposicional
Reglas de inferencia
•
•
•
•
•
Modus ponens:{P→Q,P}⎥= Q
Modus tolens:{P→Q, ¬Q}⎥= ¬P
Silogismo: {P→Q,Q→R}⎥= P→R
Silogismo disyuntivo: {P∨Q, ¬Q}⎥= P
Simplificación: {P∧Q}⎥= P
{P}⎥= P∨Q
{P,Q}⎥= P∧Q
• Regla de la cadena: si {Pi}⎥= Q1 y {Pi ,Q1}⎥= Q son
válidas, también lo es {Pi}⎥= Q
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo de predicados
Cálculo de predicados
• Introduce los elementos necesarios para manejar
razonamientos en los que intervienen propiedades de
individuos y relacione entre ellos. Estas relaciones son
los predicados que pueden ser verdaderos o falsos en
función de sus argumentos.
• Alfabeto AΣ.
• Términos y fórmulas LΣ .
Matemática discreta. Lógica
31
Cálculo de predicados
Alfabeto 1
• símbolos de constante: C={c, t, ...}∈AΣ
• símbolos de predicado: P={P, Q, ...}∈AΣ
– de aridad 1: propiedad de un individuo.
Px
“ x es par”
P4
“4 es par”
– de aridad 2: relación entre individuos.
Pxy “x es más alto que y”
P Ana Juan “Ana es más alta que Juan”.
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo de predicados
Alfabeto 2
• constantes lógicas: {⊥ ,Τ}∈AΣ
• conectivas: {¬, ∧ ,∨ , →, ↔}∈AΣ
• cuantificadores: {∀, ∃}∈AΣ.
– Se usan acompañados de variables y con ellos se
cierran los enunciados.
– El radio de acción de la cuantificación K en KxF es F.
– Tienen más prioridad que cualquier conectiva.
• símbolos auxiliares: {'(', ')'}∈AΣ
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo de predicados
Alfabeto 3
• variables: V={x, y, z, ...}∈AΣ
– Representan individuos anónimos, generales.
– Una variable está ligada si está en el radio de acción
de algún cuantificador, Kx F[x], y está libre en otro
caso.
– Una fórmula está abierta si tiene variables libres. Si
no tiene variables libres está cerrada.
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo de predicados
ejemplo
∀x ∃y (Mx ∨ Q(x,y))
Fórmula cerrada.
La variable y está ligada por el cuantificador existencial y
la variable x por el cuantificador universal.
F≡ ∀x (Mx ∨ Q(x,y))
Fórmula abierta.
La variable y está libre [y∈lib(F)] y la variable x está
ligada por el cuantificador universal.
Matemática discreta. Lógica
35
Cálculo de predicados
Fórmulas y términos
• Términos: T=C∪V∈AΣ.
• Fórmulas: palabra formada a partir del
alfabeto aplicando las reglas:
LΣ conjunto de fórmulas del alfabeto AΣ.
F, F1, F2∈ LΣ x∈lib(F1)
t1,..., tn∈T
F::=⊥| Τ|P(t1,...,tn) |(F1#F2), #∈{∧ ,∨ , →, ↔}
|¬F1 | (∃x F1) | (∀x F1).
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo de predicados
Semántica del cálculo de
predicados
• Un dominio o universo de discurso es un
conjunto formado por personas, ideas,
símbolos, datos, o cualquier otra opción que
afecte al argumento lógico que se está
considerando.
• A los elementos del dominio se les llama
individuos. Las constantes identifican de
modo único a individuos particulares.
Matemática discreta. Lógica
37
Cálculo de predicados
Interpretación
I={D, ci , Pi}
• Dominio D≠∅.
• A cada símbolo de constante c se le asigna
un elemento del dominio D: c
• A cada símbolo de predicado P de aridad n se
le asigna una función booleana P:Dn→{0,1}.
Dn ={(x1 ,...,xn) / xi ∈ D}
Matemática discreta. Lógica
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ejemplo
I={N, c0, c2, c3, c5, P, Q, R, S, }
c0 ≡ 0 c3≡3 P(x,y) ≡ y=x+1 Q(x,y,z) ≡ z=x+y
c2 ≡2 c5≡5 R(x,y,z) ≡ z=xy S(x,y) ≡ x ≥ y
• ∃x R(x,x,y)
“y es un cuadrado perfecto”.
• ∀x ∃y P(x,y)
“todo natural tiene un sucesor”.
“todos los naturales son mayores o
• ∀x S(x,c0)
iguales que 0”.
• Q(c2,c3,c5)
“5=2+3”
Matemática discreta. Lógica
39
Cálculo de predicados
Valores veritativos
π(T)=1
π(⊥)=0
π(¬F)=f¬(F)
π(F1#F2)= f# (π(F1), π(F2)) #∈{∧ ,∨ , →, ↔}
π(P(t1,...,tn))= P(t1,..., tn)
π(∃x F)=1 si ∃ c∈D / π(F[x/c])=1
π(∀x F)=1 si ∀ c∈D / π(F[x/c])=1
Matemática discreta. Lógica
40
Cálculo de predicados
Satisfactibilidad
Una fórmula F es satisfactible, si existe alguna
interpretación I en la que el valor veritativo de F
sea 1. Se dice que I es un modelo de F (I⎥= F).
En caso contrario, se dice que F es insatisfactible.
Matemática discreta. Lógica
41
Cálculo de predicados
Equivalencia lógica
Cuando los valores veritativos de dos
fórmulas F1 y F2 son iguales en cualquier
interpretación, se dice que F1 y F2 son
lógicamente equivalentes y se denota
F1∼F2
F1∼F2 ⇔ Mod(F1) = Mod(F2).
Matemática discreta. Lógica
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Cálculo de predicados
Leyes de equivalencia lógica 1
•
•
•
•
•
•
•
∀x F[x] ∼ ∀y F[y]
∃x F[x] ∼ ∃y F[y]
¬∀x F[x] ∼ ∃x ¬F[x]
¬ ∃ x F[x] ∼ ∀x ¬F[x]
∀x F[x] ∧ ∀x G[x] ∼ ∀x [F[x] ∧ G[x]]
∃ x F[x] ∨ ∃ x G[x] ∼ ∃ x [F[x] ∨ G[x]]
Las de la lógica de proposiciones si no
interfieren los cuantificadores.
Matemática discreta. Lógica
43
Cálculo proposicional
Tautología, contradicción
• Un fórmula F es una tautología si cualquier
interpretación es modelo de ella.
• Un fórmula F es una contradicción si no
tiene modelos
Matemática discreta. Lógica
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