Compensación Selectiva de Armónicos en bucle

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Trabajo escrito para el curso: “Filtros Activos de Corrientes Armónicas”.
Autor: Ruben Chaer ( rch@todo.com.uy )
Feb. 2003, Montevideo-Uruguay.
Análisis de la publicación:
Paolo Mattavelli, “Compensación Selectiva de Armónicos en bucle-cerrado para Filtros Activos”, IIE
Trans. Ind. Applicat., vol. 37, Nº1, Jan./Feb. 2001.
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DATOS DEL CURSO, “Filtros Activos de Corrientes Armónicas”.
El curso fue dictado en el Instituto de Ingeniería Eléctrica en ocho clases, por el Prof. Adjunto
Gonzalo Casaravilla en Noviembre – Diciembre del 2002. Como trabajo final del curso los
asistentes eligieron una publicación sobre el tema entre un grupo entregado por el profesor,
debiendo analizar su contenido y escribir un trabajo al respecto.
OBJETIVO: es 1) Leer y entender la publicación seleccionada, 2) Extender la lectura
a alguna de las referencias de a publicación y 3) Realizar los comentarios y/o
criticas que surjan durante el análisis de la
publicación así como profundizar en aquellos temas que permitan una mejor comprensión del tema.
METODO: Se procedió a realizar una lectura y traducción del artículo en los momentos en que para entender algo se necesitó
ir a una referencia se hizo y los comentarios y profundizaciones se realizaron en
otro tipo de letra en este mismo documento. Así, en la lectura de este documento, lo que está con este tipo de letra
son los agregados y comentarios y lo que
está con - este otro tipo - son los tramos –
traducidos y resumidos del trabajo original.
Se agrega un apéndice con los desarrollos
de las representaciones del sistema trifásico que permiten visualizar la acción del
filtro selectivo en el espectro complejo.
I Introducción.
Los Filtros Activos de Potencia (APF) son una
herramienta poderosa para la compensación no
solo de los armónicos de corriente producidos
por cargas distorcionantes sino también para
compensar potencia reactiva y desbalances
introducidos por cargas no lineales o fluctuantes.
En el método convencional de detección de
corriente (ref 1 y 2 ) para la generación de la
referencia de corriente del filtro activo es generalmente realizada utilizando la teoría de “Potencia Instantanea” (ref. 1 ), técnicas de correlación en el dominio del tiempo (ref. 5), etc. Estas
soluciones tienen el inconveniente de (debido a
ser técnicas en el dominio del tiempo) de introducir un retardo en el APF el cual causa una
compensación incorrecta con la consecuencia de
un remanente de armónicos no deseados en la
corriente de línea. Este efecto es dramático,
especialmente cuando se utiliza la implementación puramente digital del control, porque el
desempeño alcanzable puede decrecer por debajo de los límites aceptables. (ref. 6 y 7)
Por esta razón, el control de histéresis de alto
desempeño (ref. 7 )se ha convertido en una
selección casi obligatoria para lograr una compensación armónica satisfactoria.
La referencia describe y compara tres
tipos de control de corriente para un VSI:
1) Lineal (que es analógico y consiste en
la comparación del error en corriente filtrado_PI con una triangula) El principal
inconveniente es la falta de control sobre
el contenido de los armónicos altos., 2) El
control “deadbeat” (digital, o de tiempo
muerto, es digital y calcula en el plano de
estados del VSI los tiempos de conmutación para el siguiente período. El principal
inconveniente es el retardo) y 3) El control
con banda de histéresis que en su versión
mejorada tiene la banda modulada para
obtener una frecuencia de modulación
constante. Si bien el autor dice que este
tiene la ventaja de ser rápido no parece
tener control sobre el contenido armónico
en frecuencias altas. Si bien este método
puede ser mejor que comparar con una
triangular, en cuanto al manejo del contenido armónico, tampoco es exacto en la
cancelación de los armónicos.
Además del retardo en el control de corriente,
las técnicas convencionales de detección de la
corriente de carga o de fuente (ref. 8) son métodos que pueden transformarse en inestables
cuando la corriente de carga incluye elementos
capacitivos y/o resonantes como reportan las
referencias (8 – 13). Alternativamente, la compensación basada solamente en la detección de
voltajes (ref. 10-12) no son afectadas por la
inestabilidad antes mencionada, pero su aplicación implica una mayor interacción con los
armónicos de tensión de la fuente.
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Para manejar el retardo del loop de corriente del
VSI se han propuesto diferentes compensaciones introduciendo filtros de avance de fase ya
sean filtros reales o utilizando técnicas de transformación al dominio de la frecuencia (Discrete
Fourier Transform). Todas estas compensaciones implican una feedforward por adelantado (o
compensación de un estimado) que son siempre
muy vulnerables a los cambios de parámetros y
puede transformar el sistema rápidamente en
inestable.
En este trabajo se presenta una compensacion
en loop-cerrado de armónicos seleccionados de
la corriente de línea.
Como en cualquiera de las técnicas selectivas,
se asume que la distorsión causada por las cargas varían lentamente y por lo tanto el filtro
activo se controla para realizar una compensación de armónicos, que aunque sea lenta es
precisa.
El control se logra mediante una regulación en
bucle cerrado de los armónicos de la corriente
de línea que incluye un controlador de “marco
de referencia sincrónico” (Sincronous Frame
Reference) para cada armónico, tanto para la
secuencia positiva como negativa. Se miden las
corrientes de línea en lugar de las de carga.
marco estacionario” (stationary frame controllers) equivaletes.
II Compensación Selectiva Propuesta
Se supone sistema trifásico sin neutro por lo que
las cantidades trifásicas son expresadas en el
sistema de corrdenadas alfa-beta.
Siguiendo el diagrama, las referencias de la
corriente de línea
iS* y iS* son obtenidas
multiplicando
las
tensiones
de
línea
(posiblemente filtradas) con la salida del
regulador de voltaje del link de continua.
A continuación se realiza un control selectivo
en bucle cerrado de las corrientes de líneas. La
solución propuesta pertenece a la categoría de
las llamadas “detección de corriente de fuente”.
Así,
los
errores
de
corriente
de
línea

      j 
son primero convertidos en
las cantidades correspondientes en los diferentes
marcos de referencias sincrónico con cada
armónico seleccionado para cada una de las
secuencias. La transformación para la secuencia
positiva del armónic k es dkq+ y consiste en
jk
multipicar por e . Simétricamente la
transformación al marco sincrónico con la
secuencia negativa del armónico k la llamamos
La solución propuesta, que es particularmente
adecuada para su implementación digital tiene
las siguientes ventajas:
 El control selectivo de armónicos permite
reducir los requerimientos de los filtros tanto en los valores de tensión y corriente máximos como en el ancho de banda requerido.
 El control no es sensitivo al retardo del
loop de corriente del VSI. Cada armónico
de los seleccionados puede ser eliminado
completamente por la acción del bucle cerrado de corriente del controlador. La misma realimentación hace que el controlador
sea insensible a desajuste en los parámetros.
 Oscilaciones e iteraciones que puede ocurrir entre el filtro activo y la carga debido a
la presencia de condensadores o elementos
resonantes en la impedancia de carga son
minimizadas.
dkq- y consiste en multiplicar por e
En la implementación práctica digital usando un
DSP, la complejidad tradicional asociada a los
controladores de “marco de referencia sincrónico” ha sido evitada usando “controladores de
velocidad angular
 jk
.
Vale la pena hacer notar que si
consideramos el desarrollo de Fourier de
de una señal periodica, x(t) se puede
expresar
dicha
señal
como:
x t  
k  
 C x   e
k  
frecuencia
períodica
1
Ck ( x ) 
T
j 2kf0t
k
donde
fundamental
y
las
g T
 x (t )  e
 jk 2f 0t
de
f0
es la
la señal
constantes
 dt son
tg
números complejos (son los coeficientes
de la serie de fourier). Si pensamos en
cada termino de la sumatoria como el
complejo Ck girando a velocidad angular
k 2f 0 .
Podemos pensar en x(t) como un
complejo formado por la suma de todos
esos vectores giratorios. Ahora si hacemos
un cambio de coordenadas que consista
en girar los ejes del plano complejo a una
referencial, el
nadas
n2f 0 , en el nuevo
complejo x tendrá coorde-
x  e  jn2f0t
, es decir se verá como
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girado en sentido contrario al que avanzaron los ejes de coordenadas.
Pues bien, si tomamos el desarrollo de
x(t) y le aplicamos el cambio de coordenadas (multiplicando por e
mos:
x t   e  jn2f0t 
k  
 C x   e
k  
 C x   e
k  
j 2kf0t
k
k  

 jn 2f 0t
) tene-
 e  jn2f0t
k
 jn 2f t
0
por e
actúa como selector de la
componente armónica n de la señal x(t).
Observando la forma de la expresión:
x t   e

k  
 C x   e
k
k  

k  
 C x   e
k  
j 2kf0t
e
 jn 2f 0t
j 2 ( k n ) f 0t
k
hacemos notar que en lo que se refiere al
espectro de barras de x(t) el cambio de
referencial es un desplazamiento del espectro, que lleva a que el que antes era
la barra del armónico n sea ahora la barra
del armónico de contínua.
En este sentido, la bondad de la selectividad depende de la capacidad de corte del
filtro pasabajas que se aplique.

Una vez multiplicado el error en corriente
 
 jk 2f t
0
por los correspondientes e
para cada
armónico n que se desea compensar, se obtienen

jk 2f t
0
inversa a la antes realizada e
(si es necesario se agrega un ángulo en esta transformación para compensar el retardo introducido en
todo el bucle) luego son sumados los valores
para formar las referencias de corrientes para el
bucle de control de corriente del VSI.
El bucle de control- directo de corriente sobre el
VSI se dejó fuera del controlador selectivo para
asegurar una protección contra sobrecorrientes
del inversor.
j 2 ( k n ) f 0t
De esta expresión podemos visualizar x(t)
en el nuevo referencial como un número
complejo formado por vectores (los Ck)
que giran a velocidades angulares menores que en el referencial original (el módulo de la velocidad angular es menor para
los valores de k positivos y mayor para los
valores de k negativos. La velocidad angular considerada con signo es menor para
ambos signos de k ). En particular el término correspondiente a k=n se detiene y
no está girando.
Es en este sentido que la multiplicación
 jn 2f 0t
multiplicando cada uno por la transformación

 k     e jk 2ftestos
Se hace notar que si bien el algoritmo propuesto
es adecuado para cargas que no fluctúan rápidamente. Su aplicación puede ser extendida a
cargas de fluctuación rápida utilizando una
realimentación adicional del estilo convencional
sobre la corriente de carga.
Esta aproximación permite que la realimentación convencional actúe rápidamente y que la
compensación selectiva se encargue de anular
los remanentes en los armónicos en el estado
estacionario. La realimentación convencional no
es tan selectiva en los armónicos e introduce
una mayor iteración del controlador con la dinámica de la carga.
La compensación de ambas secuencias (positiva
y negativa) de la componente armónica k con el
mismo regulador Reg_k permite una simplificación de la cadena pasaje a marco sincronizado +
filtro Reg_k + pasaje al referencial inicial cuando se consideran en conjunto las dos secuencias
del mismo armónico. Esto tiene un ahorro en la
cantidad de operaciones a ejecutar en el DSP.
III CRITERIO DE DISEÑO.
A.
Criterio de diseño de los parámetros del
regulador.
Se pueden utilizar diferentes estructuras de
controladores. Un tipo simple pero eficiente de
controlador es un integrador simple con ganancia finita.
Rgk s  
K Ik  Tk
1  s  Tk
0
los correspondientes

valores  k son entonces filtrados por los respectivos reguladores Reg_k que debieran asegu
rar que en estado estacionario el  k correspondiente debe ser nulo. La salida de estos reguladores es llevada al marco de referencia original
Al sumar la salida de todos los reguladores (con
las transformaciones de marco correspondiente)
tenemos un filtro con picos de ganancia en las
frecuencias correspondientes a los errores que
queremos atenuar. Cuanto más angosto sean los
filtros Rgk(s), más pronunciados serán los picos
del filtro resultante y en consecuencia mayor
será la selectividad del control.
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Si el filtro Regk fuese una ventana que deja
pasar solamente el valor de continua, el filtro
resultante de la suma de todos los filtros es un
peine que deja pasar solamente las componentes
del error en corriente que se desea atenuar.
Dando una ganancia suficientemente elevada a
esos picos se logra que el error sea despreciable.
La presencia de filtros angostos vuelve sensitivo
el mecanismo a las fluctuaciones de la frecuencia de la fuente.
Aquí vale la pregunta de porqué no diseñar directamente un filtro digital en lugar
de digitalizar un diseño analógico. Por
ejemplo si se utilizara como filtro la media
móvil de las muestras correspondientes a
un período se tendría un filtro con ganancia en continua y un cero en cada armónico lo que hace que al aplicar las tranformaciones y desplazar los filtros múltiplos
entero de la fundamental y luego sumar,
el único valor que no es nulo en la frecuencia de cada componente es el del
filtro que se supone debe seleccionar dicha armónica. De esta forma se logra en
estado estacionario imponer un CERO en
las frecuencias sobre las que no se quiere
actuar y darle la ganancia que se necesite
a aquellas sobre las que sí se desea actuar.
Quizás la razón de esa implementación
que también importa que en las frecuencias interarmónicas la ganancia se nula,
por tanto habría que comparar no solo lo
que pasas en las frecuencias múltiplos de
red sino.
B.
La estrategia propuesta no tiene el error
introducido por el retardo del VSI porque
se compensa el retardo del VSI en la etapa final del regulador selectivo. Me parece
que hay que relativizar estos resultados
dado que el retardo en el VSI está dado
en la práctica por la frecuencia máxima de
conmutación de las llaves de frecuencia.
En el método propuesto esto queda oculto
dado que se dice que se compensa el retardo en la etapa final del regulador selectivo. En la práctica me parece que esta
compensación tendrá el efecto de exigir
tiempos entre conmutaciones de las llaves
del inversor que no son posibles y prevalecerá la protección de las llaves.
D.
Equivalencia en el marco estacionario de
referencia.
Si se hacen las cuentas suponiendo igual tratamiento de las secuencias positivas y negativos
(igual regulador) y si el regulador elegido es:
Rgk s  
K Ik  Tk
1  s  Tk
Haciendo cuentas y discretizando (usando FirstOrder-Hold
)
llega
a:
bok  b1k  z 1  b2k  z 2
RgkAC z  
1  a1k  z 1  a2k  z 2
Interacción con la red de alimentación
La velocidad de respuesta de la estrategia de
compensación propuesta está relacionada no
solo con el comportamiento variante en el tiempo de las cargas distosionantes sino también con
la presencia de capacitores y elementos resonantes en la carga compensada. Recordamos que
(ref. 8 – 13) de hecho que los métodos convencionales de detección de la corriente de carga o
de fuente son propensos a dar una operación
inestable en presencia de elementos capacitivos
o resonantes en la carga, incluso aunque estos
elementos sean muy pequeños. En la estrategia
de control propuesta en este trabajo, esas iteraciones con la carga pueden ser reducidas a expensas de disminuir la velocidad de respuesta
del control.
C.
Aquí el autor muestra la respuesta en frecuencia
de un loop de control de corriente que consiste
en seguir una referencia pero con un retardo y la
respuesta en frecuencia de la estrategia propuesta.
Comparación con el método de detección
de corriente de carga.
IV RESULTADOS EXPERIMENTALES.
El autor presenta los resultados de aplicar la
estrategia de control propuesta con un inversor
manejado con loop de corriente del tipo de
“tiempo-muerto”. Los resultados mostrados no
son claramente excelentes.
V CONCLUSIONES.
El autor resalta en las conclusiones la bondad
del método en cuanto la posibilidad de la eliminación completa en estado estacionario de
armónicos seleccionados, así como la robustez
frente a las frecuencias de resonancias del sistema (dada la selectividad del filtro podemos
cortar antes que las frecuencias en cuestión).
También destaca que se puede evitar la complejidad de las tranformaciones a marcos sincrónicos de referencia mediante el cálculo del filtro
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digital equivalente en el caso en que se traten
por igual las secuencias positiva y negativa.
Referencias consultadas:
[7] S. Buso, L. Malesani, and P. Mattavelli, “Comparison of current control
techniques for active filter applications,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol.
45, pp. 722–729, Oct. 1998.
[8] H. Akagi, “New trends in active filters for power conditioning,” IEEE
Trans. Ind. Applicat., vol. 32, pp.
1312–1332, Nov./Dec. 1996.
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(APENDICE) REPRESENTACIONES DE UN SISTEMA TRIFASICO.
PASAJE DE 3 A 2 COORDENADAS, DIRECTO+INVERSO+HOMOPOLAR
y ESPECTRO COMPLEJO.
Ruben Chaer. Feb. 2003.
Aquí analizo la representación del sistema trifásico por un vector de dos coordenadas (o por
un número complejo). Esta representación es
de gran utilidad para entender el funcionamiento del filtro selectivo y por eso la agrego aquí.
Posiblemente para muchos esto sea innecesario, pero a mi me fue muy útil para visualizar el
funcionamiento del filtro y entender cómo es
selectivo en los armónicos y en las secuencias
(positiva o negativa) del sistema.
Supondremos todas las señales periódicas con
período T.
Cuando hablemos de serie de Fourier nos estaremos refiriendo a la serie exponencial con las
siguientes definiciones para los coeficientes de
la serie:
1
Ck ( x ) 
T
g T
 x (t )  e
 jk 2f 0t
 dt
tg
y la serie de Fourier correspondiente es:
x t  
k  
 C x   e
k  
j 2kf0t
k
Pasaje de 3 a 2 cordenadas. Vector Esapacial.
Llamemos
 e
2
j
3

1
3
 j
2
2
.
Es sencillo demostrar que:



 2   1
1   0   3   k3
  n   n 
*
Dadas las tres funciones a(t), b(t) y c(t) correspondientes a las tres fases de un sistema
trifásico, definimos la función compleja x(t)
como la combinación lineal:
x(t )  a(t )    b(t )   1  c(t )
x(t )  (t )  j (t )
La función x(t) así definida tiene propiedades
que permiten una visulización de conjunto del
sistema trifásico y es comúnmente denominada
“Vector Espacial”.
Para que el pasaje de tres (a,b,c) a dos coordenadas (x) sea invertible hay que agregar
información para eso definimos una función
adicional z(t) definida como la suma de a, b y c.
z(t )  a(t )  b(t )  c(t )
Es posible despejar a(t), b(t) y c(t) en función
de x(t) y z(t) operando sobre las definiciones
anteriores. [NOTA: Si se observa la parte real e
imaginaria de x(t) y la función z(t) se verá que
corresponden con la transformación de Clarke]
Para pasar de 2 a 3 se observa que:
( x(t ))*  a(t )   1  b(t )    c(t )
lo que permite escribir la siguiente ecuación
matricial:
1
 x  1    a 
 x *   1  1     b 
  
  

1   c 
 z  1 1
y su inversa:
1 1  x 
a 
1
 b   1  1  1   x * 
  3
  
 c 
   1 1  z 
Secuencia Positiva, Negativa y Homopolar.
Primero vamos a mostrar que es posible encontrar tres funciones reales d(t), i(t) y h(t) tal que
se puede escribir:
Cn a   1
C b     sign ( n )
 n  
 Cn c    sign ( n )
1 Cn d 
1   Cn i  
 

1  Cn h 
1

  sign ( n )
sign ( n )
El sistema es invertible lo que nos da una forma
de cálculo de (dih) en función de (abc):
1  sign ( n )
Cn d 
 C i    1 1   sign ( n )
 n  3
1
1
 Cn h 

  sign ( n )  Cn a 

 sign ( n )   Cn b 
1


  Cn c 

Se observa que dado que (abc) son reales, se
cumple:
*
C n a  Cn a  
C b   C b* 
 n   n * 
C n c  Cn c  
esto junto a que:
 sign (  n )    sign ( n )  ( sign ( n ) )*
 sign (  n )   (  sign ( n ))  (  sign ( n ) )*
nos permite demostrar que:
C n d  C n d 
 C i     C i  
 n   n 
 C n h   C n h 
*
Esto implica que las funciones (dih) son calculables como funciones reales en el dominio del
tiempo.
El significado de (dih) es que mirando cada
componente armónica por separado en el tiempo, la componente directa (d(t) ) es una función que aporta a todas las fases de forma tal
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que en b(t) aparece con un retraso respecto de
a(t) de 1/3 del período de esa armónica (T/n) y
c(t) aparece con un retraso de 2/3 (T/n) (o en
adelanto 1/3 (T/n) ) respecto de a(t). Los aportes de i(t) son similares pero con el orden de
los retrasos invertidos. Es como la componente
(mirada en un diagrama fasorial) gira en sentido inverso. La componente de h(t) como vemos
aporta a todas las fases por igual.
[NOTA: Lo anterior no es ni más ni menos que
la aplicación de la descomposición de Fortescue
de un sistema trifásico de fasores en sus componentes directa, inversa y homopolar. El
signo(n) aparece por estar aplicada la descomposición a los coeficientes de la serie exponencial de Fourier en lugar de a los fasores].
Para apreciar esto presentamos los siguientes
ejemplos:
Ejemplo1 (directa)
 2 
d t   cos n 
 t ; i (t )  0; h(t )  0
 T 

 2 
 a (t )  cos n  T  t 



2




 b(t )  cos n 
 (t  3Tn ) 
T



c(t )  cos n  2  (t  T ) 

3n 

 T

Ejemplo2 (inversa)
A su vez, los coeficientes de a, b y c en función
de las funciones de secuencia se pueden escribir como:
C n a   1
C b     sign ( n )
 n  
sign ( n )
 C n c   
1

  sign ( n )
sign ( n )
Sustituyendo para calcular Cn(x) tenemos:


1        
 C i  
1      C h 
Dado que 1       0 , los coeficientes
Cn  x   1      sign ( n )   1   sign ( n )  Cn d  
1
sign ( n )
n
n
1
de la homopolar no aparecen en el espectro
complejo.
Ya podemos apreciar una propiedad del
espectro complejo y es que NO TIENE
INFORMACION sobre la homopolar.
Si n > 0 tenemos:

1      
1

1

 2 
 a (t )  cos n  T  t 




 2

 b(t )  cos n 
 (t  3Tn ) 
 T


2


c(t )  cos n 
 (t  3Tn ) 


T


En forma similar, si n < 0
Ejemplo3 (homopolar)
Cn x   3  Cn d  ; si n  0
Cn x   3  Cn i ; si n  0
Espectro Complejo.
Dada la definición de x(t) podemos escribir los
coeficientes de su serie de Fourier como:
Cn x   Cn a     Cn b   1  Cn c

 C i 
Cn x   1     1   1    Cn d  
 2 
d t   0; i (t )  cos n 
 t ; h(t )  0
 T 

 2 
a (t )  cos n  T  t 




 2 
 b(t )  cos n 
t
 T 

 c(t )  cos n  2  t 



 T 
 sign ( n )
1
y operando:
 2 
d t   0; i (t )  0; h(t )  cos n 
t
 T 
1 C n d 
1   C n i  
 

1  C n h 
n
Cn x   3  Cn d 

1    

   C i 
Cn x   1       1   1  Cn d  
1
  1
n
y operando:
Cn x   3  Cn i 
Resumiendo:
Como demostramos que las funciones d(t)
e i(t) son reales, basta con tener medio
espectro para saber calcularlas así que el
espectro de x(t) las determina completamente. La parte correspondiente a frecuencias positivas del espectro es la parte
correspondientes a frecuencias positivas
del espectro de d(t) multiplicado por 3
mientras que la parte de frecuencias negativas del espectro de x(t) es la parte de
frecuencias negativas de i(t) multiplicada
por 3.
Esta conclusión nos permitirá operar independientemente sobre las barras del espectro de x(t) sabiendo que estamos operando sobre las correspondientes armónicas de d(t) e i(t).
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Para completar la información necesaria para
pasar de 3 a 2 coordenadas nos falta z(t).
Aplicando la definición tenemos:
Cn z   Cn a   Cn b  Cn c
que sustituyendo por las expresiones en (dih)
tenemos:


1    
 C i  
1      C h 
C n z   1    sign ( n )   sign ( n )  C n d  
 sign ( n )
sign ( n )
n
1
n
Sin importar el signo, los paréntesis que multiplican los coeficientes de d e i son nulos, quedando:
Cn z   3  Cn h
Retardo en el tiempo.
x(t )  Ck x 
x(t   )  Ck x   e
j
k 2

T
Si se nos ocurre hacer un retado dependiente
de la componente, se debe cumplir:
(  k ) 2
  j k 2  k  *
j
 k  

 k     k    e T   e T



para asegurar la antisimetría del espectro y por
consiguiente que la nueva señal del tiempo es
real.
Ejemplo, retardo de 1/3 del período de cada
armónica. El período de la componente armónica (k) es (kT). Para retrasar solamente la componente de la armónica (k) en 1/3 de su período habrá que modificar solamente sus coeficientes de acuerdo con la fórmula anterior con
el siguiente retardo:
1 T
3 k
 
, dónde hemos tomado el módulo de
k para que la definición sea válida para (-k y k).
Sustituyendo en la fórmula del retardo, tenemos:
x k (t   )  C k  x   e
C k x   e
Siendo
j
e
2 k

3 k
el
j
k 2 1 T
 
T 3 k
2 k
j 
3 k
coeficiente
  sign k 

 C k x     sign k 
de
retardo: