τ θ φ θ φ φ θ φ θ φ θ θ τ π φ π θ

APÉNDICE 1
1. Sistemas de coordenadas
El finalidad de un sistema de coordenadas es la de conseguir una adecuada descripción
de un punto, de una curva o de una superficie en el espacio. De los distintos tipos de
sistemas de coordenadas que existen, vamos a considerar tres: 1) sistema de
coordenadas rectangular o cartesiano, 2) sistema de coordenadas esféricas y 3) sistema
de coordenadas cilíndricas.
La elección más adecuada del tipo de coordenadas a utilizar depende de la naturaleza
del problema a resolver. Como criterio general diremos que “el sistema de coordenadas
debe ser elegido de tal forma que las ecuaciones matemáticas que describan el
problema a resolver, resulten lo más sencillas posible”. Naturalmente, el resultado
numérico del problema objeto de estudio debe ser independiente del sistema de
coordenadas elegido.
En determinados problemas de mecánica cuántica, a menudo se requiere evaluar
integrales de volumen sobre todo el espacio. Para ello, debemos conocer, en cada
sistema de coordenadas, el elemento de volumen dτ y los límites de integración
adecuados.
− Coordenadas cartesianas
Z
z
OP = ( x 2 + y 2 + z 2 )1 / 2
P(x,y,z)
dτ = dx dy dz
− ∞ ≤ x, y , z ≤ ∞
y
O
Y
x
X
− Coordenadas esféricas
Z
⎧ x = r senθ cos φ ⎫
y
⎬ → tgφ =
⎪
⎪ y = r senθ senφ ⎭
x
⎨
⎪
⎪⎩ z = r cosθ
P(r,θ,φ)
z
θ
r
y
O
x
r = OP = ( x 2 + y 2 + z 2 )1 / 2
φ
Y
dτ = r 2 senθ dr dθ dφ
0 ≤ r ≤ ∞, 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2π
X
1
− Coordenadas cilíndricas
Z
P(ρ, φ, z)
z
⎧ x = ρ cosφ ⎫
y
⎬ → tgφ =
⎪
⎪ y = ρ senφ ⎭
x
⎨
⎪
⎪⎩ z = z
ρ = ( x 2 + y 2 )1 / 2
O
x
y
φ
ρ
Y
dτ = ρ dρ dφ dz
0 ≤ ρ ≤ ∞ 0 ≤ φ ≤ 2π − ∞ ≤ z ≤ ∞
X
2. Números complejos
Un número complejo es aquel que contiene − 1 (o i, que es como normalmente
simbolizaremos la raíz cuadrada de -1). La forma más habitual de presentarse un
número complejo es a + bi (a es la parte real y b la imaginaria).
Si c = a + bi, el número complejo conjugado de c será c* = a – bi.
El módulo o valor absoluto del número complejo c = a + bi será
| c |= (c * c)1 / 2 = (a + bi)(a − bi ) = a 2 + b 2
(nótese que i 2 = − 1 − 1 = −1 ).
El módulo de un número complejo siempre es un número real.
Para que dos números complejos c1 = a1 + b1 i y c 2 = a 2 + b2 i
necesariamente debe cumplirse que a1 = a2 y b1 = b2.
sean iguales,
La suma (y resta) de números complejos, c1 = a1 + b1 i y c 2 = a 2 + b2 i , se define de la
siguiente forma:
c1 + c 2 = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 ) i
c1 − c 2 = (a1 − a 2 ) + (b1 − b2 ) i
Una identidad que será utilizada con cierta frecuencia es la llamada fórmula de Euler:
e iα = cos α + i senα
(A.1)
La fórmula de Euler puede ser comprobada realizando un desarrollo de Mc Laurin a
e iα , cos α y senα .
3. Operadores
Como su nombre indica, un operador es una instrucción para efectuar una operación
df ( x)
matemática sobre una función. Por ejemplo, en la expresión
, el operador es
dx
d / dx e indica que hay que efectuar la derivada respecto a x.
2
En general, los operadores serán representados con un signo de intercalación (^); así,
) )
por ejemplo, P , Q , … serán símbolos representativos de operadores. El álgebra de los
operadores constituye un conjunto de procedimientos matemáticos con los que el
estudiante de mecánica cuántica debe estar familiarizado. Por ejemplo, si
) ∂
) ∂
y Q=
,
P=
∂y
∂x
entonces
)) ∂ ∂
∂2
PQ =
=
∂x ∂y ∂x∂y
y
)) ∂ ∂
∂2
QP =
=
∂y ∂x ∂y∂x
Debe tenerse mucho cuidado con el orden en que se aplican los operadores cuando
forman parte de un producto, ya que el producto de operadores no siempre es
)
))
conmutativo. Así, en PQ primero aplica Q (es decir, derivada respecto a y) y a
)
continuación, aplica P (derivada respecto de x).
EJERCICIO
) d ) )
Sea P =
, Q = x el operador multiplicar por x y f ( x) = x 2 + 2 x + 1 . Comprueba que
dx
))
))
)) ))
PQf ( x) ≠ QPf ( x) . ¿Quién será el operador PQ − QP ?
Solución
))
))
)
)
PQf ( x) = PQ( x 2 + 2 x + 1) = P{x( x 2 + 2 x + 1)} = P{x 3 + 2 x 2 + x) = 3x 2 + 4 x + 1
))
))
)
QPf ( x) = QP ( x 2 + 2 x + 1) = Q(2 x + 2) = x(2 x + 2) = 2 x 2 + 2 x
))
))
Por tanto, PQf ( x) ≠ QPf ( x) .
) ) ))
Veamos quien es el operador PQ − QP .
))
)) ))
))
( PQ − QP ) f ( x) = PQf ( x) − QPf ( x)
)
)
= P ( xf ( x)) − Qf ′( x) = f ( x) + xf ′( x) − xf ′( x) = f ( x) →
)) ))
)) )) )
( PQ − QP) f ( x) = f ( x) → PQ − QP = 1 (operador unidad)
)
) )
)
El conmutador de dos operadores P y Q se representa por [ P, Q] y se define como
) )
)) ))
[ P, Q] = PQ − QP
(A.2)
)
) )
)) ))
)
Si [ P, Q] = 0 , los operadores P y Q conmutan, es decir PQ = QP ; en cambio, si se
) )
)) ))
tiene [ P, Q] ≠ 0 , los operadores no conmutan ( PQ ≠ QP ).
Un operador puede ser un vector o incluso un complejo. Como ejemplo de operador
vectorial tenemos el operador “nabla” (que simbolizamos por ∇ ):
3
∂
∂
∂
+ j +k
(A.3)
∂x
∂y
∂z
El operador ∇ da lugar a tres operadores distintos según el tipo de función sobre la que
actúe y la forma en que lo haga. Así, podemos tener:
∇=i
− Operador gradiente. Cuando ∇ actúa sobre una función escalar f(x,y,z)
∇f ( x , y , z ) = i
∂f ( x, y, z )
∂f ( x, y, z )
∂f ( x, y, z )
+j
+k
∂x
∂y
∂z
(A.4)
Como puede observarse, el gradiente de un escalar da como resultado un vector.
− Operador divergencia. Hablamos de operador divergencia cuando ∇ actúa sobre una
r
función vectorial, f ( x, y, z ) , a modo de producto escalar.
r
ec. (A.3)
∇ f ( x, y, z ) = ∇( f x (x,y,z) i + f y (x,y,z) j + f z (x,y,z) k ) ⎯⎯ ⎯
⎯→
r
∂f ( x, y, z ) ∂f y ( x, y, z ) ∂f z ( x, y, z )
+
∇ f ( x, y , z ) = x
+
∂y
∂x
∂z
(A.5)
La divergencia de un vector, según vemos en la ecuación (A.5), da un escalar.
− Operador rotacional. Hablamos de operador rotacional cuando ∇ actúa sobre una
r
función vectorial, f ( x, y, z ) , a modo de producto vectorial. El resultado, al igual que en
el caso del gradiente, es un vector.
i
j
k
r
∂f ⎞ ⎛ ∂f
⎛ ∂f
∂f ⎞
∂f ⎞ ⎛ ∂f
∇ × f = ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z = ⎜⎜ z − y ⎟⎟ i − ⎜ z − x ⎟ j + ⎜⎜ y − x ⎟⎟ k
⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠
fx
fy
fz
(A.6)
Un operador de interés especial en mecánica cuántica es el operador laplaciano (puede
considerarse como el operador nabla multiplicado escalarmente por sí mismo,
∇ 2 = ∇∇ ):
∂2
∂2
∂2
(A.7)
∇2 = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
Como veremos más adelante, el operador laplaciano está relacionado con la energía
cinética.
Para determinados problemas de mecánica cuántica, las coordenadas esféricas serán
más apropiadas que las cartesianas. Por tanto, necesitaremos expresar el operador
laplaciano en coordenadas esféricas (r , θ , φ ) :
∇2 =
∂ ⎛
∂ ⎞
∂2
1 ∂⎛ 2 ∂ ⎞
1
1
+
+
r
sen
θ
⎜
⎟
⎜
⎟
∂θ ⎠ r 2 sen 2θ ∂φ 2
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 senθ ∂θ ⎝
Asimismo, en coordenadas cilíndricas el operador laplaciano resulta
4
(A.8)
∇2 =
1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2
∂2
⎜⎜ ρ
⎟⎟ + 2 2 + 2
∂z
ρ ∂ρ ⎝ ∂ρ ⎠ ρ ∂φ
(A.9)
)
)
Si un operador P es complejo, el operador complejo conjugado P* se obtiene sin más
)
d
que reemplazar i por –i. Por ejemplo, si P = i , su complejo conjugado será
dx
)*
d
P = −i .
dx
)
En mecánica cuántica únicamente utilizaremos operadores lineales. Un operador P se
dice que es lineal si cumple:
)
)
)
P (λf + μg ) = λ Pf + μ Pg
(A.10)
siendo λ y μ dos constantes.
5