Tubos de Paredes Gruesas Rev 001

Tubos Gruesos
Estructuras III
RESOLUCIÓN DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO PARA
TUBOS DE PAREDES GRUESAS
1.- TEORÍA DE LA ELASTICIDAD APLICADA A TUBOS DE PAREDES GRUESAS
BAJO EFECTOS DE PRESIÓN EXTERNA E INTERNA
Cuando la relación entre el radio y el espesor del tubo es mayor a 7.5 (R/t > 7.5) se
Pr
utiliza para el análisis la teoría de cilindros de paredes delgadas donde   
, en
t
cambio cuando estas relaciones son menores ya  no es más constante a lo largo del
espesor. Para este caso, analizando el equilibrio de tensiones y de fuerzas en un
elemento diferencial perteneciente a un tubo de paredes gruesas y considerando que las
deformaciones en dirección longitudinal son nulas (z = 0), se tiene
  dr
d
r
r 
r
dr
d
2
  dr

d r
dr
dr
d
2
d r 

dr r  dr d
r 
dr


 r r d

  dr
Considerando la dirección r se tiene que le equilibrio está dado por;
F 0
d


 r r d    dr d    r  r dr r  dr d
dr


d
d
 r r    dr   r r   r dr  r r dr  r dr dr
dr
dr
Eliminado los términos de segundo orden y operando se obtiene la expresión final
del equilibrio de tensiones en dirección r, siendo esta;
 r     r

0
r
r
(1.1)
En esta ecuación hay dos incógnitas. Por lo tanto hay que plantear una ecuación
de deformación para poder solucionar el problema. Considerando los desplazamientos en
dirección radial (u) podemos determinar las deformaciones radiales (r) y angulares ().
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r
d
udθ
u
u
du
dr
dr
Siendo la deformación en dirección radial expresada por;
r 
u
du
dr  u
du
dr

dr
dr
y en dirección tangencial,
 
ud u

rd r
Teniendo en cuenta que se trata de un material isotópico y homogéneo podemos
utilizar la ley de Hooke para relacionar las tensiones con las deformaciones, es decir,
E
 r     
1 2
E
     r 
 
1 2
r 
Reemplazando las expresiones para  y r, se tiene
E  du
u




r
1   2  dr
E u
du 
 




dr 
1 2  r
r 
(1.2)
Obtenidas las expresiones para las tensiones tangenciales y radiales, para un
material isotrópico y homogéneo, en función de los desplazamientos radiales, se pueden
reemplazar en la ecuación general de equilibrio de tensiones obteniéndose,
E
1 2
1 du
u u  du d 2 u  du
u
 2  2 
 2 
 2   0

r dr dr
r dr
r
r
r 
 r dr
(1.3)
que luego de algunas simplificaciones queda como,
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d 2 u 1 du u


0
dr 2 r dr r 2
o bien,
d  du u 
 0

dr  dr r 
o
d  1 d u.r  

0
dr  r dr 
La cual integrando una vez se transforma en,
1 d u.r 
 C1
r dr
 d u.r   C1.r.dr
Integrando otra vez se llega a la ecuación general de compatibilidad de
desplazamientos. Esta expresión posee dos constantes C1 y C2 que deben determinarse
analizando las condiciones de contorno,
C1 r 2
u.r 
 C2
2

u  C1 r 
C2
r
(1.4)
Reescribiendo las relaciones de las tensiones en función de los desplazamientos a
partir de la ecuación de compatibilidad se obtienen
C2
E 


1   
C
1




1
2
2
1  
r

C2
E 





 
C
1



1




1
1 2 
r2

r 
(1.5)
Para la determinación de las constantes C1 y C2 consideremos el caso general de
un tubo con un radio interior, r=a, en cuyas paredes actúa un presión interna, Pi, y un
radio exterior, r=b, sobre el cual actúa una presión externa, Pe, es decir,
r
r
r a
  Pi
r b
  Pe
Pe
Pi
ra
e
rb
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Remplazando las condiciones de borde tendremos,
r
r a
r
r b
C2


C1 1     2 1   
a


C
E 

 Pe 
C 1     22 1   
2  1
1  
b

 Pi 
E
1 2
restando ambas ecuaciones entre sí, se obtiene C2, es decir
C2 
Pe  Pi 1   a 2b 2

E a2  b2

finalmente reemplazando en cualquiera de las ecuaciones se obtiene C1, tal que,

1   a 2 Pi  b 2 Pe
C1 
E
b2  a2



Conocidas las constantes de integración en función de un estado general de cargas
se pueden expresar las tensiones radiales y tangenciales como,
1 Pi  Pe a 2 b 2
r 
 2
b2  a2
r
b2  a2
a 2 Pi  b 2 Pe 1 Pi  Pe a 2 b 2
 
 2
b2  a2
r
b2  a2
a 2 Pi  b 2 Pe
(1.6)
r=0 por axisimetría
Esta expresión corresponde a un caso general de carga y para el caso particular de
un material isotrópico y homogéneo, es decir que cumple con la ley de Hooke.
Las constantes también pueden ser reemplazadas en la ecuación de compatibilidad
de desplazamiento obteniéndose,
1  a 2 Pi  b2 Pe
1   a 2b2 Pi  Pe  1
u
 2
r 


E
b  a2
E
b2  a 2
r




(1.7)
Siendo ésta, la ecuación de desplazamientos correspondiente a un estado general
de cargas.
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1.2.- Casos particulares
Se pueden considerar distintos casos particulares a modo de ejemplo, tales que;
a) Pe  0 (Solo presión interna)
a 2 Pi  b 2 
1  
r  2
2 
b  a  r 2 
a 2 Pi  b 2 
1  
  2
2 
b  a  r 2 
Pi
Analizando los casos extremos de tensiones se tiene que,
a2  b2
Para r = a r = -Pi, entonces,    Pi  2
es máxima
b  a2
2  a2
   Pi  2
Para r = b r = 0, entonces,
es mínima
b  a2
Analizando estas condiciones limites se puede ver que si el radio exterior es mucho
mayor que el interior (b >> a), la tensión tangencial tiende al valor de la presión interna
(  Pi). Por lo tanto el valor límite de la tensión tangencial,  en r=a será la Pi.
Estudiando las relaciones de tensiones máximas y mínimas se obtiene una relación
entre ellas que es relación de las dimensiones del tubo, es decir,
 max a 2  b 2 1  b 2 

  1  2 
 min
2  a 
2  a2
Para una relación radios tal que el radio exterior sea el doble del radio interior
(b/a = 2), se tiene una relación de tensiones
max
 2 ,5 , lo cual significa que en el interior
min
hay una tensión superior al doble de la existente en el exterior del tubo. Esto permite
inferir el mal aprovechamiento del material pues hay existe un gran gradiente de
tensiones.
Tomando una relación
ba
 15 se tiene b/a = 8/7, se tiene una tensión
ba
tangencial máxima para un tubo de paredes delgadas de max = Pi 7,53. Siendo, en
cambio, el correspondiente a un tubo de paredes delgadas, para la misma relación, de
 
P  R Pi  a

 7  Pi .
t
ba
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La distribución de tensiones radiales y tangenciales para un tubo de paredes
gruesas sometido solamente a una presión interna se observa en el gráfico siguiente,
Pe=0
Pi=1000
ra=2
rb=5
b) Pi = 0 (Solo presión externa)
r  
B 2 Pe  a 2 
1  
b 2  a 2  r 2 
Pe
b 2 Pe  a 2 
1  
   2
b  a 2  r 2 
Siendo
 r r a  0
 r r b   Pe
  r a
2b 2 Pe
 máximo  - 2
b  a2
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La distribución de tensiones radiales y tangenciales para un tubo de paredes
gruesas sometido solamente a una presión externa se observa en el gráfico siguiente,
Pe=100
0
Pi=0
ra=2
rb=5
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1.3.- Dimensionamiento de un tubo de paredes gruesas.
Consideremos el caso particular donde solo existen presiones internas (Pe=0). Las
tensiones radiales y tangenciales son tensiones principales, por lo tanto no existen
tensiones de corte, esto se debe a que mientras que el tubo este solo sometido a
presiones, ya sean internas o externas, estamos ante un caso de simetría de carga y
geometría denominado axisimétrico. Para el dimensionado se utilizaran hipótesis de
rotura tales como la de Guest, Hubert-Mises-Hencky (H-M-H o Von Mises), etc.
Por ejemplo utilizando la hipótesis de Guest
 max 
  2
1
2

0
2

adm
2
donde 1 y 2 son tensiones principales.
Para el análisis de tubos de paredes gruesas se tiene que  > r por lo tanto las
tensiones principales serán,  = 1 y r = 2. Entonces reemplazando se obtiene
 Pi  a 2  b 2  b 2  a 2 
 adm     r 1  a 2  b 2

   Pi  2
 Pi    

2
2
2  b  a2
b2  a2
 2 

 adm
Pi  b 2
b 2  a 2 2  Pi
 2


2
 adm
b  a2
b2
2  Pi
a2

1

 adm
b2
Nos queda entonces que :
b
a
2  Pi
1
adm
Analizando esta última expresión, se puede ver que si Pi = adm / 2 el espesor, b,
tiende a infinito (b = ). Esto se debe a que si Pe = 0 y b >> a y mirando el análisis de
tensiones en un elemento de la sección que por Guess, adm = 2 Pi
Pi = 
Pi = r
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Ahora en cambio, considerando la hipótesis de Hubert-Mises-Hencky, la fluencia se
alcanza cuando la energía interna de distorsión alcanza un cierto valor, que en el caso de
tensiones principales se da cuando,
12   2 2  1   2   0 2   adm 2
 r      r      adm
2
2
2
2

a2  b2 
a2  b2
2
 Pi 
  Pi 2  Pi 2 
  adm
2
2 
2
2

b a 
b a

Analizando esta expresión se obtiene que el límite de Pi es Piadm = 0,577 adm.
Comparándola con la obtenido por Guess (Piadm = 0,5 adm) se puede ver que la utilización
de esta teoría de rotura implica un análisis conservativo del problema.
1.4.- Tubos compuestos - Zunchado de Tubos - Interferencia mecánica
El ensamblaje a través de interferencia es usado generalmente para transmitir
cargas a través de uniones de ejes, cañones de gran potencia o para contener elevadas
presiones internas optimizando el material en cuestión. Para el estudio de una
interferencia mecánica hay que tener en cuenta que la tensión máxima en las interfaces
no excedan los valores máximos permitidos especificados para cada una de los
materiales elegidos y evitar el deslizamiento de los componentes. Analizando una sección
donde se pretende realizar una interferencia mecánica (zunchado), se tiene,
r b
u2
r b
u1
1
c
c
b

a
a
2
1
2
Siendo la interferencia mecánica, , la encargada de producir un desplazamiento
(contracción en 2 y expansión en 1) de las superficies en contacto. Es decir,
r b
r b
  u1  u 2
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Estos desplazamientos son generados a través de dilataciones y contracciones que
producen una presión en la interfaz, llamada presión de zunchado, de magnitud suficiente
para producir los desplazamientos en las caras de contacto para acomodar la
interferencia dada.
Para la determinación de la presión nominal de zunchado se considera que los
espesores en dirección radial de las piezas es constante, entonces retomando el análisis
planteado anteriormente considerando la presión actuante como la presión de zunchado,
Pz. Considerando la pieza exterior, 1, los desplazamientos quedan definidos como;
r b
bP
 z
E1
 c2  b2



 2

2
c  b

r b
bP
 z
E2
b2  a 2



 2

2
b  a

u1
y para el tubo interior, 2,
u2
Reemplazando en la condición de interferencia planteada anteriormente, se tiene
que,

b Pz
E1
 c 2  b2
 b Pz
 c2  b2     E


2
 b2  a 2

 b2  a 2  


que reagrupando y considerando que ambos tubos son del mismo material (E1 = E2 = E),
queda como,
b Pz  2 b 2 c 2  a 2  

E  c 2  b 2 b 2  a 2 
de la cual se puede obtener la presión de zunchado, como,
E   c 2  b 2 b 2  a 2 
Pz 
b  2 b 2 c 2  a 2  
Analizando las tensiones generadas solo por el zunchado se puede inferir que las
mismas se comportan como tensiones residuales beneficiosas para muchos estados de
carga como para el caso de tener elevadas presiones en el tubo interior. La distribución
de tensiones solo para el efecto de zunchado,
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Pe=0
Pi=0
Pz=924
ra=3
rb=4
rc=5
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Tubo Interior 2

Tubo Exterior 1
r
Pe=0
Pi=0
Pz=924
ra=3
rb=4
rc=5
r
Tubo Exterior 1
Tubo Interior 2
r
Ahora bien considerando una presión interna elevada podemos ver como las
tensiones máximas disminuyen a costa de las tensiones residuales existentes, es decir,
de esta forma los materiales utilizados experimentan menor tensión nominal permitiendo
trabajar con mayor margen de seguridad o hasta pueden ser prohibitivas para el caso de
una sola pieza. Considerando una presión interna Pi = 10000 para el caso anterior de
zunchado, se tiene,
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r (debido a la interferencia)
r
r (tubo compuesto)
r (tubo único)
Tubo Interior 2
Tubo Exterior 1
Pe=0
Pi=10000
Pz=924
ra=3
rb=4
rc=5
r
 (tubo unico)
 (tubo compuesto)

 (debido a la interferencia)
Tubo Interior 2
Tubo Exterior 1
r
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1.5.- Ejemplo
Otra aplicación de los fenómenos producidos por la interferencia mecánica es, por
ejemplo, la determinación de la fuerza necesaria de aplicar para la extracción de
componentes introducidos en placas u otras piezas a través de grandes presiones (bujes,
poleas, etc), las cuales producen deformaciones permanentes en la zona de contacto
sobrellevando la interferencia y dejando tensiones remanente elevadas. Tomando por
ejemplo el caso de una barra de acero que fue introducida en una placa del mismo
material a través de una elevada presión, ahora bien, se pretende determinar la fuerza
necesaria que habría que aplicar sobre ella para extraerla de la placa. Considerando el
caso donde la interferencia diametral, =2, de 0.03 mm y el coeficiente de roce estático
entre los materiales de s=0.25, y teniendo la siguiente configuración,
Pe
E = 2.1 106 Kg/cm2
s = 100
mm
e = 100 mm
 = 0.015 mm
D = 60 mm
Podemos computar la fuerza de extracción, Pe, como,
Pe   N ,
donde N es la fuerza normal existente en el área de contacto, es decir, N  Pz Ac , donde
Pz es la presión de zunchado y Ac es el área de contacto.
Entonces considerando las ecuaciones planteadas anteriormente para el caso de
interferencia mecánica aplicada a tubos compuestos, tenemos que,


E  c2  b2 b2  a2
Pz 
b
2 b2 c2  a2



Para nuestro caso particular se ve que al ser maciza la barra central es equivalente
a decir que a = 0 y por ser la placa de dimensiones mucho más grandes que el agujero
podemos suponer que c  . Por lo tanto esta expresión se reduce a,


E  c2  b2 b2
Pz 
b
2b2 c2
Pz 
1
2
E   c2 b2 



b  c 2 c 2 
1
2
operando,
E
1  0  12 E 
b
b
la cual nos da una presión de zunchado de 500 Kg/cm2 (Pz = 500 Kg/cm2)
Siendo el área de contacto Ac   D e = 18849.55 mm2 = 188.49 cm2, la fuerza de
extracción necesaria será Pe =  Pz A = 23561.95 Kg.
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2.- TEORÍA DE LA ELASTICIDAD APLICADA A DISCOS DE ROTACIÓN
Se verá en este caso las tensiones originadas en un disco circular animado por una
rotación alrededor de su eje de simetría.
Realizamos el equilibrio de fuerzas de igual forma que en el punto 1.-, agregando
las fuerzas de masa producidas por la aceleración centrífuga.

d
r
  dr
r 
r
dr

d r
dr
dr
 r r d
dF
d r 

dr r  dr d
r 
dr


  dr
Donde γ es el peso específico del material del disco y w es su velocidad angular
Considerando la dirección r se tiene que le equilibrio está dado por;
simplificando
(2.1)
sustituyendo en esta última ecuación las expresiones de las tensiones en función del
desplazamiento u (ecuaciones 1.2) y simplificando, se tiene:
(2.2)
donde
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integrando dos veces la ecuación 2.2.
(2.3)
Para la determinación de las constantes C1 y C2 consideremos el caso general de
un disco con un radio interior, r=a y un radio exterior, r=b sin fuerzas actuando en sus
paredes, es decir,
r
r a
r
r b
0
0
ra
rb
Reemplazando la expresión 2.3 en las ecuaciones 1.2
(2.4)
y aplicando las condiciones de borde dadas, se obtienen las constantes C1 y C2:
Reemplazando estas constantes en las ecuaciones 2.3 y 2.4 se obtienen las ecuaciones
generales del desplazamiento u y las tensiones  y r:
(2.5)
(2.6)
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(2.7)
Se observa de la ecuación 2.6 que
 r r a  0
 r r b  0
teniendo un valor máximo
y de la ecuación 2.7 se obtiene el máximo
Llamando a
= A, graficamos las ambas tensiones para un disco con
radio interior a = 2 y exterior b = 6
/A
r
2.2.- Casos Particulares
En el caso de un disco sólido, a = 0, resulta de las ecuaciones 2.6 y 2.7:
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/A
r
Si suponemos un disco con un agujero muy pequeño (a = 0,01) el cual podríamos
considerarlo como un defecto en un disco sólido, 1
/A
r
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Se observa que la tensión  se duplica en relación al caso del disco sólido,
debiéndose considerar esta concentración de tensiones ante la posibilidad de
imperfecciones o defectos en los materiales usados.
2.3.- Dimensionamiento de un Disco de rotación.
Para el disco con agujero central, la máxima solicitación
interno y al ser r nula, todos los criterios de rotura conducen a:
,
se dá en el radio
max ≤ adm
Para un disco lleno ambas tensiones son máximas en el centro del disco. Aplicando
Hubert-Mises-Hencky:
Y como ambas son iguales en valor y signo:
max ≤ adm
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