teoría de mecanismos práctica 7 cálculo del perfil de una leva

TEORÍA DE MECANISMOS
PRÁCTICA 7
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PRÁCTICA 7
CÁLCULO DEL PERFIL DE UNA LEVA
INTRODUCCIÓN
El desarrollo de esta práctica consistirá en el estudio de perfiles de levas sobre
una maqueta simplificada que simula el mecanismo de accionamiento de una máquina o
herramienta para mecanizar tornillos a partir de una barra hexagonal.
OBJETIVOS
Los objetivos perseguidos en la realización de la práctica son los siguientes:
ƒ Comprobar el funcionamiento de un mecanismo real materializado en una
maqueta simplificada cuyo movimiento está basado en las LEVAS como
elemento mecánico de transmisión.
ƒ Aplicación directa del estudio teórico de levas realizando un estudio
cinemático del movimiento de una leva que consistirá en el desarrollo del
diagrama de desplazamientos y trazado de su perfil teórico y real.
ƒ Estudio dinámico en levas con la obtención del ángulo de autorretención de
una de las levas que componen la maqueta.
Para ello, tras haber efectuado el estudio teórico de levas y las construcciones
gráficas para la obtención de los distintos tipos de perfiles, se procederá a efectuar una
aplicación directa donde se apreciará el cometido de este elemento mecánico que forma
un par de orden superior.
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LEVAS
Dentro del esquema general de la máquina como conjunto mecánico, las levas
pertenecen al sistema de los elementos transmisores (figura 1).
SISTEMA TRANSMISOR
SISTEMA
MOTRIZ
ƒ
ƒ
ƒ
Elementos transmisores
(LEVAS)
Elementos portantes móviles
Elementos de conexión
SISTEMA
RECEPTOR
SISTEMA DE
SUSTENTACIÓN
Figura 1. Principales sistemas de una máquina.
Una leva es un elemento mecánico que transforma el movimiento según una
cierta ley. El conjunto de transmisión está formado por dos elementos (figura 2): Leva y
palpador o seguidor (a veces existe un tercer elemento, el rodillo de contacto).
La ley de la leva puede definirse como la función que refleja la relación entre el
desplazamiento de la leva (lineal o angular) y el del palpador (lineal o angular).
Figura 2. Mecanismo leva-palpador.
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CLASIFICACIÓN DE LAS LEVAS Y PALPADORES
Clasificación según la geometría de la leva.
Figura 3. Clasificación de las levas atendiendo a la forma de estas.
a) De rotación o de disco.
d) Espacial glóbica.
b) De translación o de cuña.
e) Espacial frontal esférica.
c) Espacial cilíndrica.
f) Espacial frontal cilíndrica.
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Clasificación según la geometría del extremo del palpador.
Figura 4. Clasificación de las levas atendiendo a la forma del extremo del palpador.
a, g) Palpador de rodillo.
d) P. de cara plana inclinado.
b, j) Palpador puntual.
e) P. de cara curva simétrico.
c, h) P. plano o de cara plana recto.
f, i) P. de cara curva asimétrico.
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Clasificación según el movimiento del palpador.
ƒ
ƒ
Palpador con movimiento de translación:
o
Excéntrico (figura 2).
o
Axial (figura 3-a)
Palpador con movimiento de rotación u oscilante (figura 4-g).
Clasificación según el plano movimiento de la leva y del palpador.
ƒ
Mecanismo leva-palpador plano: Los movimientos de la leva y del palpador
se realizan en un mismo plano o en planos paralelos (figuras 3-a y 3-b).
ƒ
Mecanismo leva-palpador espacial: Los movimientos de la leva y del
palpador se realizan en planos diferentes no paralelos (figuras 3-c y 3-d).
Clasificación según el cierre del par superior.
ƒ
Enlace leva-palpador con cierre por fuerza (figura 2).
ƒ
Enlace leva-palpador con cierre por forma (figura 3-c).
TERMINOLOGÍA
En la Figura 5 se muestra una transmisión con un mecanismo de leva plano con
palpador de rodillo. La terminología asociada al mismo, es la siguiente:
Circunferencia base: Es la circunferencia más pequeña, de radio R
b
, que puede
trazarse con centro en el eje de rotación de la leva y tangente a la superficie física de
ésta. En el caso de un palpador de rodillo es más pequeña que la circunferencia
primaria, siendo la diferencia el radio del rodillo R r .
Circunferencia primaria: Es la circunferencia más pequeña, de radio R p ,que se puede
trazar con centro en el eje de rotación de la leva y tangente a la curva de paso. Esta sólo
se aplica en el caso de palpadores circulares o curvos.
Curva de paso: Es la trayectoria que describe el centro del rodillo en la referencia
solidaria a la leva, al completarse una vuelta de esta. Corresponde a la curva offset
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(perfil teórico de la leva), separada una distancia igual al radio del rodillo R r del perfil
real de la leva. En el caso de un palpador puntual (R r = 0), el perfil teórico coincide con
el perfil real de la leva.
Punto de trazo: Es un punto del palpador que al realizar la inversión cinemática
describe la trayectoria que constituye el perfil de la leva (cuando el palpador es puntual)
o la curva offset al perfil (curva de paso o perfil teórico de la leva) cuando el palpador
es circular.
Ángulo de presión: Es el ángulo φ entre la normal común a los perfiles de la leva y del
palpador en el punto geométrico de contacto y la dirección de la velocidad de dicho
punto del palpador. Si el palpador es de rodillo debe considerarse la dirección de la
velocidad de su centro.
Excentricidad: Es la distancia ε entre el eje a lo largo del cual se traslada el palpador y
el centro de rotación de la leva. Su valor puede ser nulo (ε = 0, palpador axial o
alineado). Sólo está presente en palpadores con movimiento de traslación.
Figura 5. Terminología de los mecanismos de leva-palpador.
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ESTUDIO CINEMÁTICO
Diagramas de desplazamientos.
El movimiento del palpador o rodillo, al recorrer una trayectoria obligada, es
prefijado por el tipo de perfil de la leva que se adopte, es decir, la ley del movimiento
viene dada por el perfil de la leva.
Al representar la ley de desplazamiento gráficamente (Figura 6) en un sistema de
coordenadas, colocando la variable independiente en el eje de las abscisas y la variable
dependiente en el eje de las ordenadas, se obtiene el diagrama de desplazamiento.
En el diagrama de desplazamientos, se representan el desplazamiento angular o
lineal del palpador (eje de ordenadas) en función del desplazamiento angular o lineal de
la leva (eje de abscisas).
A partir del diagrama de desplazamientos, se determina el perfil de la leva:
•
Teórico.
•
Real (Considerando el radio del rodillo).
Figura 6. Diagrama de desplazamientos de una leva de rotación y palpador de translación.
Curvas de acuerdo.
En el diagrama de desplazamientos deben trazarse curvas de acuerdo entre los
recorridos efectuados durante los períodos de subida, detención y retorno (Figura 6).
Las curvas de acuerdo seguirán una trayectoria determinada según el movimiento de
que se trate (dependiendo de la velocidad de giro de la leva).
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Figura 7. Curva descrita por el palpador durante un movimiento uniforme.
MOVIMIENTO UNIFORME: Si se pretende que la elevación del palpador provocada
por el giro α1 de la leva, se efectúe con movimiento uniforme (velocidad constante),
este tramo de perfil de leva, tendrá que venir representado en el diagrama por una recta.
El inconveniente de los choques de la transmisión entre tramos contiguos se puede
subsanar suavizando dichas uniones por medio de una línea recta modificada (figura 7),
suavizando el desplazamiento por medio de un acuerdo de radio R. Velocidad de giro de
la leva, aproximadamente, 1000 rpm.
Figura 8. Curva descrita por el palpador durante un movimiento uniformemente acelerado.
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO: La curva que produce un
movimiento parabólico del palpador, y que lo caracteriza por su aceleración constante,
se obtiene por el procedimiento geométrico siguiente: se divide el segmento total de
elevación del palpador en un número igual de partes igual al que ha dividido el eje de
abscisas. Si, por ejemplo, el número de divisiones es seis, en abscisas, el segmento total
en ordenadas de elevación del palpador, se dividirá también en seis segmentos, dando a
cada uno de éstos una longitud proporcional a los números 1, 3, 5, 5, 3, 1. Por estos
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puntos se trazarán rectas horizontales, que cortarán a las correspondientes verticales por
1, 2, 3, 4, 5 en puntos, que unidos darán la curva de perfil parabólico (Figura 8).
Velocidad de giro de la leva, entre 1000 y 6000 rpm.
Figura 9. Curva descrita por el palpador durante un movimiento armónico simple.
MOVIMIENTO ARMONICO: Para conseguir un movimiento armónico simple del
palpador, se hará la siguiente construcción de perfil: tomando la elevación del palpador,
como diámetro, se trazará una semicircunferencia, dividiéndola en un número de partes
igual, al que se ha dividido el eje de abscisas del diagrama, obteniendo así una serie de
puntos a partir de los que se trazarán rectas horizontales, que cortarán a las
correspondientes verticales trazadas por los puntos del eje de abscisas, en puntos de la
curva del diagrama de desplazamientos (Figura 9). La velocidad de giro de la leva
puede ser mayor de 1000 rpm.
Figura 10. Curva descrita por el palpador durante un movimiento cicloidal.
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MOVIMIENTO CICLOIDAL: Se puede conseguir un movimiento cicloidal del
palpador generando una trayectoria similar a la descrita por un fasor complejo rodante,
de radio r = L/2π , donde L es la elevación requerida (Figura 10). Para construir la curva
de desplazamiento, se divide la ordenada cero en el mismo número de partes iguales que
la abscisa. Sea P el punto generador, coincidente con el punto O, en el inicio. Entonces,
cuando el círculo generador ruede verticalmente hacia arriba, a la tangencia con la
ordenada, por ejemplo en el punto 2, se traza una línea horizontal por el punto P, en la
ordenada correspondiente al punto 2. Permite una velocidad de giro de la leva más que
en los casos anteriores.
ESTUDIO COMPARATIVO DE LOS DISTINTOS MOVIMIENTOS
En primer lugar, es necesario hacer constar que, aunque al diseñar un mecanismo
de levas es preciso estudiar con detenimiento los distintos diagramas de las funciones de
desplazamiento, velocidad, aceleración y choque, que originen los perfiles estudiados,
se puede, no obstante, hacer una distinción previa entre mecanismos de alta y baja
velocidad ya que en los primeros, es fundamental el estudio de aceleraciones y choques,
por la posibilidad de rotura por fatiga, mientras que los proyectados para funcionar a
bajas velocidades solamente suele interesar el análisis de desplazamientos y
velocidades.
Las conclusiones finales, tras el estudio de las ecuaciones analíticas que definen
el movimiento, para cada uno de los tipos especificados, son las siguientes:
ƒ
Mecanismos de levas, diseñados para funcionar a baja velocidad, la curva de
acuerdo entre los tramos horizontales, correspondientes a los periodos de
reposo del palpador, debe adoptar un perfil uniforme y parabólico.
ƒ
Mecanismos de levas, diseñados para altas velocidades de funcionamiento, el
perfil más indicado será cicloidal, debido a que la sobreaceleración de primer
orden (choque), alcanza valores finitos, como puede observarse y
consiguiéndose, bajar el nivel de ruidos y prolongar la duración del
mecanismo.
En la figura 11 se ofrece el estudio comparativo, para diferentes características
en velocidad, de los comportamientos en aceleración y choque o sobreaceleración.
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Figura 11. Estudio comparativo de los diferentes tipos de movimientos.
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ESTUDIO DINÁMICO.
Condición de autorretención.
La condición de autorretención determina el valor máximo de α (ángulo de
presión, variable en cada instante) para que la leva no se autorretenga.
El citado ángulo está formado por la resultante de la fuerza debida al resorte,
más la de inercia de la varilla, oponiéndose ambas al movimiento de ésta, con la fuerza
que define la acción de la leva sobre la varilla.
El valor máximo de dicho ángulo (figura 12) se obtiene mediante un balance de
fuerzas sobre la varilla portadora del rodillo palpador, resultando la expresión:
tg α lim =
a
µ ⋅( 2⋅ x + a − 2⋅ µ ⋅ b )
Siendo:
ƒ αlim Î Angulo máximo de autorretención
ƒ a
Î Altura de la guía
ƒ µ
Î Coeficiente de rozamiento
ƒ 2 b Î Ancho de la varilla
ƒ x Î Distancia variable del punto a la
guía, de modo que para obtener el valor del
α máximo, habrá que sustituir aquí el valor
del x mínimo.
La fórmula anterior se puede simplificar a:
tg α lim =
1
µ ⋅ (1 + 2 ⋅ x / a )
Figura 12. Parámetros de una leva
de rotación con seguidor lineal de
rodillo.
Considerando un rozamiento pequeño (µ << 1) y que el término (2 ·µ2 ·b) se
aproxima a cero, donde a y µ son fijos y x debe ser mínimo.
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APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS LEVAS
Árbol de levas para accionamiento de
válvulas en automoción.
En la figura 13 se muestran las
partes de un accionamiento, con un árbol
de levas de las válvulas de admisión y
escape de un motor como los usados en
automoción. La leva es la encargada de
abrir y cerrar las válvulas de admisión y
escape, durante el ciclo térmico del motor
del automóvil.
Figura 13. Accionamiento de las válvulas
de admisión y escape con el árbol de levas.
Guiado de avance en sistemas máquina
herramienta para destalonar fresas.
Para quitar material en el dorso y
los lados de las fresas donde se quiera un
perfil constante de corte, se emplea un
torno como el de la figura 14, donde el
carro transversal ha sido sustituido por el
dispositivo que se muestra en la maqueta.
La leva hace avanzar radialmente la
herramienta según una cierta progresión
para hacerla retroceder bruscamente hasta
su posición inicial.
Figura 14. Máquina herramienta de
destalonar fresas.
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EQUIPO Y MATERIAL NECESARIO
Para la realización correcta de la práctica es necesario el siguiente equipo:
ƒ
Maqueta representativa de un mecanismo de accionamiento de una máquina
herramienta, para mecanizar tornillos a partir de una barra hexagonal.
ƒ
Instrumentos de cálculo y dibujo.
DESCRIPCIÓN DEL MECANISMO.
Se parte de una maqueta (figura 15) que simula el mecanismo de accionamiento
de una máquina herramienta para mecanizar tornillos a partir de una barra hexagonal, en
la que se ha prescindido del sistema de alimentación de la barra-pieza, así como del
movimiento relativo de rotación pieza-herramienta.
Figura 15. Reproducción a escala de una máquina de generar tornillos.
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Un eje motor (simulado por la manivela de entrada), acciona simultáneamente
cada una de las cuatro levas (tres planas y una cilíndrica) cuya misión se explicará a
continuación.
Las operaciones a realizar para la realización del tornillo son tres: cilindrar (en
dos pasos), roscar y cortar (figura 16).
Figura 16. Herramientas de cilindrado, corte y roscado y dimensiones del tornillo.
La intervención de cada uno de los útiles, que efectúan las operaciones de
cilindrar, roscar y cortar, viene posibilitada por la actuación de la leva correspondiente,
donde cada leva ha sido colocada debidamente para intervenir según una determinada
secuencia y cuyo perfil ha sido determinado para cumplir su función.
Las funciones de cilindrar, roscar y cortar serán guiadas por levas planas,
mientras que el posicionamiento de la barra vendrá determinado por una leva espacial
cilíndrica.
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Las distintas fases del proceso de fabricación del tornillo vienen condicionadas
por los desplazamientos de los palpadores sobre las levas lo que conlleva una cuidada
secuenciación (figura 17).
Las fases, durante un ciclo completo, son las siguientes:
0–1
Acercamiento de la herramienta a cilindrar
1–5
Primer paso del cilindrado
5 – 5½
Separación de la herramienta a cilindrar.
5½ - 6
Colocación de la pieza
6 – 6½
Acercamiento de la herramienta a cilindrar
6½ - 10½
Segundo paso de cilindro
10½ - 11
Separación herramienta a cilindrar
11 – 11½
Acercamiento de la herramienta de roscar y colocación de la pieza
11½ - 15½
Roscado
15½ - 16
Separación de la herramienta de roscado
16 – 16½
Acercamiento de la herramienta de cortar y colocación de pieza
16½ - 20½
Cortar
20½ - 21½
Separación de la herramienta de cortar
21½ - 22½
Colocación de la pieza
22½ - 24
Previsto para el avance de la pieza
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Figura 17. Curvas de desplazamientos de las cuatro levas.
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MÉTODO OPERATIVO
Para la correcta realización de la práctica, se deben desarrollar los siguientes
puntos:
1. Comprobar detenidamente sobre la maqueta las distintas fases de
fabricación de tornillos a partir de una barra hexagonal, que fueron
ampliamente explicadas en el apartado referente a los objetivos de la
práctica, y que se resumen en:
ƒ
Cilindrado en dos pasos (leva verde)
ƒ
Roscado (leva azul)
ƒ
Cortar (leva roja)
ƒ
Acercamiento de la pieza (leva cilíndrica)
2. Dibujar el diagrama de desplazamientos en la leva de cilindrar (verde), a
partir de los puntos más representativos, considerando que el seguidor
efectúa un movimiento de aceleración constante
3. A partir del diagrama anterior, determinar gráficamente el perfil teórico y
real de dicha leva
4. Calcular el máximo ángulo de presión en la leva de roscar (azul),
utilizando la fórmula especificada en el apartado referente al estudio
dinámico de levas
ELABORACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
La obtención de los resultados correspondientes a los enunciados anteriores se
llevará a cabo del siguiente modo:
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1. Para comprobar las fases del proceso de fabricación se deberá accionar el
mecanismo mediante una manivela situada en la maqueta que lleva
incorporada una aguja indicadora del número de grados girada por ésta,
que al ser solidaria con el eje rígidamente unido a las distintas levas que
consta el mecanismo nos dará valores necesarios para la construcción del
diagrama de desplazamientos y del perfil de la leva.
2. La realización del diagrama de desplazamientos se realizará tomando
como valores de giro αp de la varilla seguidora los correspondientes a
giros de la leva (φ) de 15º en 15º, que se medirán en el disco graduado,
tomando además aquellos otros puntos del perfil que sean significativos
aunque no coincidan específicamente con la división anterior.
Los valores de αp se calculan mediante un método aproximado, basado
en el teorema del coseno, aplicado al triángulo formado por la varilla
rígidamente unida al eje, portadora de la herramienta de cilindrar, y el
lado de longitud constante cuyos extremos son el apoyo de la herramienta
y el centro del eje anterior. De este modo, los puntos representativos se
obtendrán fácilmente, construyendo la tabla de resultados que se muestra
en la siguiente página, donde:
ƒ
L0 (mm): Longitud inicial de la varilla portadora de la
herramienta de cilindrar (leva verde), desde el apoyo de la misma
al extremo de la herramienta, entendiendo por inicial la medida
cuando la aguja marque 0º en el disco graduado.
ƒ
Li (mm): Valores sucesivos de la distancia desde es apoyo al
extremo de la varilla, para las distintas posiciones angulares de la
leva, es decir para los distintos valores de φ.
ƒ
R (mm): Longitud de la varilla solidaria al eje (se supone
constante para todas las posiciones de leva).
Nº de
medida
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
φ (º)
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L0 (mm)
Li (mm)
αp(rad) = (Li − L0) / R
αp (º)
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3. La determinación gráfica del perfil se lleva a cabo con el proceso dibujo
siguiente:
ƒ
Trazar una circunferencia de radio OpOl (Distancia del centro de la
leva al punto de apoyo de la varilla que porta el rodillo seguidor) y
situar el seguidor en uno de los puntos de la circunferencia.
ƒ
Trazar una circunferencia con el radio básico del perfil teórico de la
leva .
ƒ
Dividir la circunferencia en un número de partes graduadas igual al
número al elegido.
ƒ
Trazar la varilla L desde Op a la circunferencia básica.
ƒ
Con centro en Op y radio L, trazar un arco y situar en él los ángulos
αp calculados.
ƒ
Llevar circunferencias con centro en Ol desde cada uno de los
ángulos αp del arco interior y obligar a la varilla “L” a ir siguiendo a
la leva, en cada uno de los sectores en se que se dividió la
circunferencia, señalando esos puntos como los significativos del
perfil teórico de la leva.
ƒ
El perfil real se obtiene restándole al anterior el radio del rodillo.
4. Aplicación directa de la fórmula siguiente a la leva de roscar (leva azul):
tg α lim =
1
µ ⋅ (1 + 2 ⋅ x / a )
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EJEMPLO
Determinar el perfil teórico y real de una leva de rotación con guía circular, cuyo
seguidor de rodillo adquiere un movimiento uniforme acelerado. Tomar, como mínimo,
12 puntos de precisión equidistantes.
En la rotación de la leva:
ƒ
De 0º a 120º, la varilla gira 15º elevándose
ƒ
De 120º a 180º, la varilla permanece en reposo
ƒ
De 180º a 270º, gira otros 15º elevándose
ƒ
De 270º a 360º, desciende 30º hasta la posición inicial.
ƒ
Distancia entre centros de rotación de leva y varilla: 80 mm.
ƒ
Longitud de varilla: 60 mm.
ƒ
Radio circunferencia básica del perfil teórico: 34 mm
ƒ
Radio rodillo: 3 mm.
Datos:
Figura 18. Diagrama de desplazamientos (ley de la leva).
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Figura 19. Perfil teórico y real de la leva.
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CUESTIONES
1.-
Comprobar detenidamente sobre la maqueta las distintas fases de fabricación de
tornillos a partir de una barra hexagonal, que fueron ampliamente explicadas en el
apartado referente a los objetivos de la práctica, y que se resumen en:
ƒ
Cilindrado en dos pasos (leva verde)
ƒ
Roscado (leva azul)
ƒ
Cortar (leva roja)
ƒ
Acercamiento de la pieza (leva cilíndrica)
2.-
Dibujar el diagrama de desplazamientos en la leva de cilindrar (verde), a partir de los
puntos más representativos, considerando que el seguidor efectúa un movimiento de
aceleración constante (analizar primero el ejemplo de las páginas 22 y 23).
3.-
A partir del diagrama anterior, determinar gráficamente el perfil teórico y real de dicha
leva.
4.-
Calcular el ángulo de autorretención en la leva de roscar (azul), utilizando la fórmula
especificada en el apartado referente al estudio dinámico de levas y sabiendo que el
coeficiente de rozamiento es µ = 0,4.