Instituto de Física - Facultad de Ingeniería, 2013 Apuntes sobre Equilibrio Estático para el curso de Física 1 Este texto es un complemento de apoyo para el curso de Física 1, sobre las condiciones de equilibrio estático. Sintentiza las secciones 3-5-3, 12-4, 14-1 y 14-2 del libro Resnick-Halliday-Crane, 4ta ed. Producto vectorial El producto vectorial es una operación entre dos vectores que da como resultado otro vector. La notación indica que el vector es el producto vectorial de los vectores y . Su módulo es , siendo el ángulo entre y . La dirección de es tal que resulta perpendicular tanto a como a , y por lo tanto es normal al plano que forman estos. El sentido de es, por convención, el que se sigue de la regla de la mano derecha. En caso de que y son paralelos ( o ), su producto vectorial es nulo: . A partir de su definición se pueden deducir varias propiedades importantes del producto vectorial. Por ejemplo, al cambiar el orden de los factores del producto, el resultado se invierte: . Además es una operación lineal: si a es un escalar, se cumple . Aplicación física: Torque (Momento de Fuerza) Consideremos una fuerza aplicada en un punto P. El punto P es identificado por su vector posición, que va desde el origen del sistema de referencia hasta el punto: el vector respecto al punto O de la fuerza F (aplicada en P) mediante . Definimos el torque con El valor del torque producido por una fuerza depende del punto con respecto al cual éste se calcula, puesto que hay que tomar en cuenta el vector de posición. El torque producido por un conjunto de fuerzas es la suma (vectorial) de los torques debido a cada una de ellas. Ya sabemos que el efecto de aplicar una fuerza a un cuerpo es cambiar su velocidad. Veremos más adelante que el torque es el responsable de cambiar el estado de rotación de un cuerpo. 1 Instituto de Física - Facultad de Ingeniería, 2013 Ejemplo: hallar el torque con respecto al punto A que se ejerce al tirar de la cuerda. El torque ejercido por el peso Vamos a justificar por qué en la primera parte del curso hemos ubicado el punto de aplicación del peso de los objetos extensos (no puntuales), como bloques, pelotas, etc. en su centro geométrico (en cuerpos homogéneos el centro geométrico coincide con su centro de masa). El peso total de un objeto extenso es la suma de los pesos de todas las partículas que lo forman y dicha fuerza está aplicada en un punto, el centro de gravedad del cuerpo. El torque total producido por el peso de cada partícula del sistema es la suma de todos los torques individuales (calculados con respecto al mismo punto): Puesto que la masa es una cantidad escalar, podemos agruparla con el vector de posición en cada uno de los sumandos. Además, como el vector aceleración de la gravedad aparece en todos los términos (y suponemos que no varía con la posición, es decir, el campo gravitatorio es constante) se puede sacar como factor común y realizar primero la suma: Por último, podemos reconocer en la última relación el vector posición del centro de masa del sistema: la cantidad entre paréntesis es , donde M es la masa total del sistema. Por lo tanto, el torque ejercido por el peso sobre el sistema se puede calcular como Esta ecuación nos muestra que la suma de los torques de los pesos de cada partícula del objeto extendido, en un campo gravitatorio constante, es equivalente al torque de una única fuerza: al torque del peso total del objeto ubicado en el centro de masa del mismo. Además, nos dice que el centro de gravedad del cuerpo coincide con su centro de masa. (Esto último sólo es válido en la hipótesis que el campo gravitatorio sea constante.) 2 Instituto de Física - Facultad de Ingeniería, 2013 Propiedad: Si el torque de una suma de fuerzas es nulo con respecto a un punto, y además la suma de todas las fuerzas es cero, entonces el torque es nulo con respecto a cualquier otro punto. =0 Consideremos otro punto cualquiera del plano, P, cuyo vector posición con respecto a O es El torque de la fuerza total fuerza . con respecto al punto P, teniendo en cuenta que el punto de aplicación de la con respecto a P es ( ) se puede escribir de la siguiente manera: Condiciones de Equilibrio Estático Vimos para una partícula puntual que está en equilibrio estático si su velocidad instantánea es nula (esto se define como equilibrio traslacional). En esta parte del curso estudiaremos objetos no puntuales que además de trasladarse pueden girar. Definimos equilibrio estático de rotación si , donde es la velocidad angular instantánea. Un objeto extendido está en equilibrio estático si está en equilibrio traslacional y rotacional. En mecánica es condición necesaria y suficiente para que suceda el equilibrio estático que, estando el cuerpo en reposo, tanto las fuerzas externas como los torques externos se cancelen. Se deben cumplir las ecuaciones 3