x Calcular los cosenos directores y los ángulos para el vector A

Departamento. De Fı́sica y Geologı́a
—-
Universidad de Pamplona
① Calcular los cosenos directores y los ángulos para el vector ~A = 2ûx + 3ûy + 6ûx , demostrar
que:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
y calcular los ángulos α , β y γ
② Si 3ûx + 4ûy − 6ûz = (3 − α )ûx − (6 + β )ûy + (3 − γ )ûz, determine los ángulos α , β y γ
③ Evalué las siguientes expresiones
a) (ûx + ûy ) · (ûx + ûz )
b) (ûx + ûy ) × (ûx + ûz )
④ Demuestre que: (~A · ~B)2 + | ~A × ~B |2 = A2 B2
⑤ Sea el vector ~r = ~r1 +~r2 . Trace de manera geométrica esta relación, y evalúe la expresión
r2 = (~r1 +~r2 ) · (~r1 +~r2 ).
⑥ Sea ~P1 = 2,1ûx − 5,3ûy + 3,4ûz y ~P2 = 3,6ûx + 2,8ûy + 0,9ûz
Determine:
a) ~P1 + ~P2
b) ~P1 − ~P2
c) | ~P1 | y | ~P2 |
d) ~P1 × ~P2
e) El ángulo entre ~P1 y ~P2
~ = 2ûx − ûy + 3ûz
⑦ Sean ~A = 4ûx ; ~B = ûx − ûy + 2ûz ; C
Demuestre:
~ = (~A · C)
~ ~B − (~A · ~B)C
~
a) ~A × (~B × C)
~ !Explique el resultado!
b) Encuentre ~A · [~A × (~B × C)]
⑧ Tres vectores situados en el plano, tienen 6,5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo
forman un ángulo de 50o , mientras que el segundo y el tercero forman una ángulo de 75o .
Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor.
⑨ Utilizando las componentes de ~V1 y ~V2 expresadas en coordenadas esférica (Ángulos Polar y
Azimutal). Demostrar que el ángulo entre los vectores pueden encontrarse a partir de:
cos θ12 = sin θ1 sin θ2 cos(φ1 − φ2 ) + cos θ1 cos θ2
.
donde θ12 es el ángulo entre los vectores y θ1 , θ2 y φ1 , φ2 son los ángulos polares y azimutales
de cada vector.
~ = 4ûx + 4ûy + 4ûz
⑩ Dados los vectores ~A = −ûx + 3ûy + 4ûz ; ~B = 3ûx − 2ûy − 8ûz ; C
a) Determinar por calculo directo si hay alguna diferencia entre los productos
~A × (~B × C)
~ y (~A × ~B) × C.
~
~
~
~ y determinar si hay alguna diferencia.
b) Encontrar (A × ~B) · C, y ~A · (~B × C)
~ × ~A) · ~B y comparar resultado con los dos anteriores.
c) Calcular (C
❶ Dados los vectores ~A = 3ûx + 4ûy − 5ûz ; ~B = −ûx + ûy + 2ûz ;
Encontrar:
a) La magnitud y dirección de su resultante(vector suma).
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Prof. Néstor Arias Hernández.
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b) La diferencia entre ~A y ~B.
c) El ángulo entre ~A y ~B.
❷ Encuentre la resultante,según la información del gráfico.
2
B~
1
~A
0
~C
-1
-2
-3
-2
-3
-1
0
1
2
❸ Calcular |~B| y θ si al sumar todos los vectores incluyendo ~B obetenemos como resultado cero.
y
α
~A
β
~B |~A| = 5 y α = 15o
~ = 6 y β = 10o
|C|
|~D| = 7 y γ = 12o
θ
x
γ
~
C
~D
❹ Dados tres vectores,
~A = 3ûx + 2ûy − ûz ; ~B = −6ûx − 4ûy + 2ûz ; C
~ = ûx − 2ûy − ûz
Encontrar dos vectores que sean perpendiculares y dos que sean paralelos o antiparalelos.
❺ Usando estos vectores,
~A = cos θ ûx + sin θ ûy ,
~B = cos α ûx − sin α ûy ,
~ = cos α ûx + sin α ûy ,
C
probar las siguientes identidades trigonometricas.
sin(α + θ ) = sin θ cos α + cos θ sin α ,
cos(α + θ ) = cos θ cos α + sin θ sin α ,
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