Introducción a la interpretación del área bajo las curvas en las

Introducción a la interpretación del área bajo las curvas en las gráficas
Hasta ahora hemos analizado el comportamiento del movimiento uniformemente acelerado a
través de la solución de ecuaciones cuadráticas y la correspondiente interpretación de los
parámetros involucrados en dichas ecuaciones. Sin duda alguna, la herramienta poderosa que
nos ofrecen las matemáticas con las ecuaciones es de enorme ayuda por su generalidad y gran
precisión.
Sin embargo, en algunas ocasiones se presentan situaciones que involucran MUA de los cuales contamos con una gráfica
de comportamiento v vs. t , o bien a vs. t. Y si únicamente necesitamos comparar entre sí las distancias recorridas de los
móviles o bien sus velocidades instantáneas, entonces es muy útil observar las áreas bajo la curva de sus respectivas
gráficas. ¿Suena complicado? Veamos:
En esta sección veremos que el área bajo las curvas en las gráficas puede proporcionarnos información como la distancia
recorrida, la velocidad promedio y la velocidad que tienen los móviles en un instante dado de su recorrido.
Velocidad vs tiempo
Seguramente recordarás que las gráficas v vs. t para el MUA muestran líneas rectas, pero si no recuerdas los ejemplos
consúltalos:
Las gráficas v vs. t en el MUA nos indican que la velocidad varía uniformemente. Por ello, para ciertos cálculos, podemos
obtener una velocidad promedio a partir de las velocidades inicial y final de todo el recorrido:
También podemos calcular gráficamente la velocidad promedio obteniendo el punto medio de la recta que representa el
recorrido completo, como se muestra en la gráfica de velocidad promedio.
Comentario [w1]:
Por otra parte, podemos obtener la distancia recorrida con la ayuda de alguna de las siguientes fórmulas:
La distancia recorrida de manera gráfica
Efectivamente, en un MUA podemos conocer la distancia recorrida por el móvil si en una gráfica v vs t calculamos el área
que se encuentra entre el eje horizontal y la línea que representa al movimiento, y dicha área la interpretamos como la
distancia recorrida. A este proceso se le conoce como obtener el área bajo “la curva”. Lo anterior es válido y puede
hacerse gracias a que dicha área está conformada básicamente por el producto de dos variables: la velocidad y el tiempo.
Este producto nos conduce a hallar la distancia recorrida.
Comentario [w2]: La curva
Línea que aparece en una gráfica, sin
importar si se trata de una línea recta, curva
u otra forma.
Podemos corroborar lo anterior al fijarnos en las unidades de las variables involucradas:
(unidades de la velocidad en el SI) (unidades del tiempo en el SI)
(¿falta algo antes del signo de igual?)
Comentario [w3]: SI
Sistema Internacional de unidades que
comprende a las unidades fundamentales:
metro, segundo, kilogramo, Ampere,
candela, mol, Kelvin, radián, esteroradián.
Como en todos los casos anteriores, en que se analiza un nuevo fenómeno, debemos comenzar por el caso más sencillo y
después agregar las variantes posibles. En este caso vamos a comenzar recordando el ejemplo del auto de la familia de
Vicky cuando sale de vacaciones. El auto se desplaza con MUA de acuerdo a su tabla de datos.
Consulta la tabla
Tiempo (s)
Velocidad (m/s)
0
0
1
4
2
8
3
12
Por ahora, vamos a interesarnos en el movimiento del auto en el lapso de los primeros tres segundos. Si observamos la
gráfica comprendida entre t = 0 s y t = 3 s, tendremos que el área bajo la curva será el triángulo equilátero debajo de la
recta diagonal.
Sabemos que el área de este triángulo está dada por:
Comentario [w4]:
Área del triángulo
Esto significa que la distancia recorrida por el auto de la familia de Vicky en los primeros tres segundos es de 18 m.
Queremos que observes cuidadosamente la fórmula para obtener el área del triángulo que acabamos de usar y la compares
con una de las fórmulas que tenemos para el MUA. Determina cuáles son las coincidencias entre ellas:
Corroboremos las coincidencias
Recordemos una fórmula para obtener la distancia recorrida por un móvil para el MUA:
y ahora la del área del triángulo:
= ((tiempo)(velocidad promedio)) = distancia recorrida
Las coincidencias que hay entre ellas son:
Con ambas fórmulas obtenemos una distancia recorrida.
Las dos contienen el valor promedio de la velocidad. Una la calcula como el promedio aritmético de dos
cantidades, y la otra, como el punto medio de una recta.
Las unidades del producto resultan ser consistentes con las unidades de medición de distancia.
A partir de la siguiente gráfica obtengamos más información.
Por ejemplo, si queremos conocer cuántos metros recorrió el automóvil de la familia de Vicky en el lapso de tiempo entre
t = 1 s y t = 3 s, basta con calcular el área bajo la curva entre esos tiempos de la gráfica:
Comentario [w5]: Como ya se
mencionó, el área del triángulo puede
tomarse como distancia recorrida, debido a
que dicha área está conformada
básicamente por el producto de dos
variables que son la velocidad y el tiempo,
y al multiplicar sus unidades (donde se
cancelan los segundos) nos damos cuenta
que el producto representa una distancia.
En este caso el área que debe obtenerse es la del trapezoide (sombreado), el cual dividimos en un triángulo más un
rectángulo, de manera que el área total es:
Área de un trapezoide = área del triángulo + área del rectángulo
Corroboremos el resultado
Para un móvil en el MUA, tenemos que, para determinar la distancia recorrida, una de las ecuaciones está dada por
,y al sustituir por los valores que se presentan en este ejemplo, tenemos que
,
con lo que podemos comprobar que el auto efectivamente recorrió 16 m entre t = 1s y t = 3s.
Ahora te toca a ti:
¿Qué distancia recorre el auto de la familia de Vicky entre t = 2s y t = 3s?
Ahora completa la siguiente tabla de valores. Cuando termines envía tus respuestas para que formen parte de tu
calificación que será asignada por tu asesor:
Te recordamos que tus respuestas deben ser numéricas.
U4.3 El auto de Vicky
Comentario [w6]:
Observa en los primeros cuatro renglones (donde los lapsos de tiempo son iguales) cómo va incrementándose, con cada
segundo que transcurre, la distancia que recorre el auto.
Puedes comparar tu tabla de resultados con la de otros ejemplos, como los que viste en esta misma unidad a partir de la
pantalla titulada: ¿Los datos serán de un MUA?
Variantes en la gráfica v vs t
Una de las variantes que se presentan para la gráfica v vs. t en el MUA es que el automóvil tenga una velocidad inicial, es
decir que al momento t = 0 s, el auto ya está moviéndose. Lo anterior se ve reflejado en la gráfica, porque la recta ya no
pasa por el origen, sino que corta al eje y precisamente en el valor de la velocidad inicial.
Comentario [w7]:
La resolución a este tipo de movimiento se hace de manera similar al ejemplo anterior, ya que en caso de emplear la
ecuación
, solamente se deben sustituir los valores de las velocidades inicial y final.
Pero en el caso de emplear el área bajo la curva, debe tenerse cuidado de que el área considerada sea como la que se
muestra en la gráfica siguiente:
La otra variante es que el automóvil se vaya frenando. Nuevamente, la ecuación no presenta modificación alguna, pero en
la gráfica sí hay un cambio.
Ahora debemos calcular el área bajo la curva que se encuentra sombreada entre los tiempos deseados (por ejemplo t1 y
t2):
Comentario [w8]:
Distancia recorrida entre t3 y t4
Si nos interesa hallar el valor de la distancia recorrida, calculando el área “bajo la curva”, entre los tiempos t3 y t4 de la
siguiente gráfica:
Debemos obtener el valor del área sombreada. En este caso, el área del triángulo será:
área del trángulo =
distancia recorrida
Si obtienes el área de dicho triángulo, vas a encontrar un área con signo negativo. La interpretación a este signo es que se
trata de una distancia recorrida en sentido contrario a la distancia que había recorrido entre los tiempos t =0 s, y t = 3s.
De modo que si nos interesa conocer la distancia a la que se encuentra un móvil al tiempo t= 4 s y cuya gráfica de
movimiento es:
debemos calcular las áreas A1 y A2 y después restarlas:
De manera que la distancia a la que se encuentra el móvil al tiempo t = 4s estará dada por A1 – A2.
Lo anterior se interpreta como que el móvil se alejaba entre los tiempos t1 y t3, pero después de t3 empezó a acercarse.
Ello provocó que se acortara la distancia entre sus posiciones inicial y final.
Aceleración vs tiempo
Ahora veremos que sucede algo parecido con las gráficas a vs. t para el MUA. Como recordarás, el MUA se caracteriza,
entre otras cosas, por tener aceleración constante (que no cambia). Por ello, en su gráfica a vs. t se muestran líneas rectas
paralelas al eje horizontal como se muestra a continuación:
Observa que en esta gráfica el área bajo la curva es un rectángulo, cuya área se conforma del producto de la aceleración
(m/s2) por el tiempo (s), por lo que las unidades serán (m/s), es decir, el área representa una velocidad.
Comentario [w9]: Unos ejemplos de
este caso pueden ser una piedra en un tiro
vertical o bien cuando se lanza una pelota
atada a una liga, a su vez atada a nuestra
mano. En ambos casos, primero se aleja el
móvil (piedra o pelota) y después de
frenarse completamente, por efecto de
una fuerza constante (la de la liga o la de la
gravedad), empieza a acercarse.
Comentario [w10]:
Dado que en el MUA la aceleración es constante, entonces la velocidad cambia uniformemente. Por ello podemos emplear
otra de las fórmulas para el movimiento acelerado, y realizando el despeje correspondiente podemos encontrar el valor de
la velocidad en determinado instante (velocidad instantánea). De este modo, partimos de:
Comentario [w11]: Cambiar
uniformemente significa que la velocidad
puede aumentar o disminuir (frenado) de
forma lineal (gradual).
,
y si la velocidad inicial es cero, entonces la fórmula anterior se reduce a:
,
de donde, al despejar a vf , obtenemos que:
vf =at.
Si recordamos el ejemplo del auto de la familia de Vicky, cuya velocidad inicial es 0 m/s y aceleración de 4 m/s2,
podemos, mediante la ecuación anterior, averiguar cuál es la velocidad del auto en cualquier momento:
Por ejemplo, al tiempo t = 2 s, la velocidad del auto de Vicky es
.
Es decir que entre los tiempos t = 0 s y t = 2 s, la velocidad del automóvil se ha incrementado en 8 m/s.
Pero, como ya hemos visto anteriormente, también podemos averiguar el valor de algunas variables mediante el cálculo
del área bajo la curva.
Calculemos el área bajo la curva
Para el ejemplo del auto de la familia de Vicky, la gráfica a vs. t se ve como sigue:
Podemos corroborar el incremento de la velocidad al tiempo t = 2 s de la siguiente manera:
Tenemos que calcular el área bajo la curva (naranja), y como nos interesa hallar el valor de la velocidad en el momento en
que t = 2 s, calculamos el área del rectángulo sombreado.
Como sabemos, el área del rectángulo esta dado por:
área del rectángulo =
, lo cual confirma lo que habíamos obtenido
Ahora completa la siguiente tabla de valores. Te recordamos que esta evaluación no forma parte de tu calificación.
U4.4 ¿Cuál será la velocidad?
Observa cómo se va incrementando la velocidad en 4 m/s por cada segundo que transcurre.
Comentario [w12]: En este caso, que
la velocidad inicial es 0 m/s, tenemos que
el incremento de la velocidad coincide con
el valor de la velocidad instantánea.
Compara tu tabla de resultados con la de otros ejemplos, como los que viste en esta misma unidad a partir de la pantalla
titulada
¿Los datos serán de un MUA?
La aceleración negativa
Para el caso en el que la aceleración es negativa (frenado del móvil), tenemos que la gráfica se ve como una línea recta
paralela y debajo del eje horizontal:
Como antes, para calcular el cambio que ha sufrido la velocidad entre dos tiempos (por ejemplo entre t=2 s y t=4 s),
debemos calcular el área del rectángulo que se encuentra en ese rango.
Y el área de ese rectángulo está dado por:
área del rectángulo =
,
lo cual significa que entre los tiempos t = 2 s y t = 4 s, la magnitud de la velocidad ha sufrido una disminución en 6 m/s.
Completa la siguiente tabla de valores de la magnitud de la velocidad del móvil. Al terminar envía tus respuestas para que
formen parte de tu calificación que será asignada por tu asesor:
Te recordamos que tus respuestas deben ser numéricas.
U4.5 ¿Sabes cuál es el cambio de velocidad?
Comentario [w13]:
El final del viaje
El curso ha llegado a su fin. En este viaje por el Álgebra y la Física hemos recorrido juntos un sinnúmero de experiencias
en las que estas dos ramas del conocimiento se toman de la mano para explicar varios fenómenos que nos acompañan día
a día, así como otras muchas situaciones cotidianas en las que los modelos matemáticos nos han ayudado a organizarlas y
entenderlas mejor.
Vivimos día a día el movimiento, así como las fuerzas que lo impulsan, presentes en particular, en la caída de los cuerpos
provocada por ley de la gravedad. Con el estudio de estos fundamentos de la Mecánica de Newton, esperamos que
comprendas más el mundo que nos rodea, a pesar de todos los secretos que aún encierra.
Junto con los conocimientos de Álgebra y Física que has adquirido, hemos querido proporcionarte un beneficio adicional.
Se trata de estrategias, formas de trabajo e ideas que han utilizado grandes hombres al construir el conocimiento, ya que
son elementos invaluables que trascienden las fórmulas o los algoritmos que has trabajado.
Quizás te olvides de las fórmulas, pero sabes que existen, cómo se usan y la ventaja que representan. Así, podrás recurrir a
un libro para recordarlas y trabajar con ellas cuando así lo requieras. Posiblemente, con el paso del tiempo, no retengas en
tu memoria cómo se transforma una ecuación en otra, pero esperamos que hayas incorporado a tu bagaje cultural la
estrategia que consiste en transformar una situación nueva o difícil en otra conocida o más sencilla. Esta valiosa
sugerencia no sólo es útil cuando estudias, sino también cuando en tu vida te enfrentes a algo nuevo, si puedes identificar
cómo lo relacionas con lo que ya conoces.
El final del viaje
En el curso, a través de las funciones lineales y cuadráticas has estudiado cómo medir el cambio cuando has establecido
una relación entre dos variables. Esta idea, en la que comparas la diferencia entre dos valores de cada una de ellas, es
sustancial, no sólo para estudiar el movimiento y la velocidad, sino también para todo aquello que crece, se modifica o se
transforma. En nuestro entorno, casi todo está en constante cambio. Analizar cómo se da y qué comportamiento tiene es
una de las grandes ideas utilizadas por el hombre para develar las leyes que rigen la naturaleza, la descripción del
comportamiento de las poblaciones, las variables que intervienen en la Economía, las características que tendrá en un
futuro un determinado sistema ecológico, etcétera.
Una herramienta más que esperamos te lleves en la maleta al viajar por otras asignaturas y que además apliques en tu vida
cotidiana, es la de construir modelos matemáticos, entre los que sobresalen las funciones y las ecuaciones. Ellas te ayudan
a organizar, sistematizar, analizar y manejar la información relativa a una situación específica desde diversas perspectivas:
tablas que vinculan la forma en que van cambiando dos variables, gráficas que te permiten tener una visión global de su
comportamiento y expresiones algebraicas que te permiten acceder a un valor que desconoces a partir de otros conocidos,
por lo que son un instrumento invaluable para predecir.
En todo ello has desarrollado, quizás sin darte cuenta, una serie de habilidades intelectuales entre las que encontramos
establecer relaciones, encontrar patrones de comportamiento, distinguir información relevante de la que no lo es,
interpretar gráficas, conjugar diversos recursos, etc. Además, has incrementado tus capacidades de observación, análisis,
interpretación, deducción e inferencia. Esperamos que estés contento y satisfecho.
Al terminar de leer las líneas de este epílogo, dejas atrás tsunamis, largas cabelleras, deudas de computadoras, paseos por
el Balsas, carreras de 400 metros, piñatas y posadas, llaveros que se lanzan, azulejos para el baño, papalotes que vuelan
por los aires, triciclos de los niños, ciclistas que aceleran y tantas otras actividades que hemos compartido. Esperamos que
todas ellas te hayan resultado agradables pero más que nada que te hayan ayudado a “aprender a aprender” y a
enriquecerte como persona.
Evaluación de la unidad
Antes de que hagas la evaluación de esta unidad te pedimos que selecciones el botón “Cuestionario”, y nos des tu opinión
sobre los distintos elementos del curso. También te recordamos que debes consultar en el calendario, la fecha y la hora en
que debes asistir a la sede en que estás inscrito, para presentar el examen final de acreditación. Deseamos que te
mantengas con entusiasmo y empeño en el Bachillerato a Distancia.
Cuestionario
¿Cuánto has aprendido?
Contenidos disciplinarios
Álgebra y principios de física
Aritmética y álgebra
Revisión de radicación y notación
científica, exponentes. Operaciones
básicas con polinomios, factorización.
Fracciones algebraicas.
Función lineal y proporcionalidad,
ecuaciones de primer grado. Sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas
(métodos algebraicos). Función
cuadrática y ecuaciones de 2° grado.
Geometría y trigonometría
Interpretación geométrica de
las funciones y soluciones a
ecuaciones cuadráticas y
lineales.
Física
Leyes de Newton, principios
de conservación de la masa,
energía y del ímpetu. Plano
inclinado y caída libre.
Referentes del entorno.