SOFTWARE EDUCATIVO COMO EJERCITADOR Y HERRAMIENTA

Revista Electrónica de Educación y psicología
Numero 4, Diciembre del 2006
SOFTWARE EDUCATIVO COMO EJERCITADOR Y HERRAMIENTA DIDACTICA EN
COMPARACION CON EL ABACO ABIERTO PARA AUMENTAR EL APRENDIZAJE DE
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR EN NIÑOS Y NIÑAS DE SEGUNDO DE PRIMARIA
Por
Diana Maria González Rivera
(diamis12@yahoo.com)
ABSTRACT
The purpose of this study was to carry out an investigation if the educational software Multi was but
cash than the open abacus. Himself I utilize an experimental design of two groups, experimental and
of contrast. The experimental group I use the educational software Multi for the better the learning of
multiplication tables and the group contrast the open abacus. Utilizing tests to measure the knowledge
before and after the application of didactic tools ( Pre-Test Postest ). The investigation evidenced that
it is but I cash the educational software Multi like didactic tool to help to second best's students of
primary school to improve the learning in multiplication tables.
RESUMEN
El propósito de este estudio fue investigar si el software educativo Multi era mas efectivo que el ábaco
abierto. Se utilizo un diseño experimental de dos grupos, experimental y de contraste. El grupo
experimental empleo el software educativo Multi para mejorar el aprendizaje de las tablas de
multiplicar y el grupo contraste el ábaco abierto. Utilizando pruebas para medir el conocimientos
antes y después de la aplicación de las herramientas didácticas (Pretest-Postest). La investigación
mostró que es mas efectivo el software educativo Multi como herramienta didáctica para ayudar a los
estudiantes de segundo de primaria a mejorar el aprendizaje en las tablas de multiplicar.
KEYWORDS
Tablas de multiplicar, aprendizaje, software educativo, ábaco abierto, aprendizaje a través de la
informática, herramientas didácticas.
INTRODUCCION
La informática se esta posicionando en la cotidianeidad del las personas, están haciendo parte de su
vida, y acaparan su atención dentro del contexto de una sociedad globalizada. En la educación, se
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hace necesario trasladar la realidad tecnológica que esta viviendo la humanidad de hoy al aula,
cambiando la forma tradicional de enseñar por una mas acorde a los requerimientos de la sociedad
actual, situación que se hace imprescindible de considerar para aquellos estudiantes que su única
posibilidad de acceso a la tecnología se encuentra en la escuela.
Las herramientas computacionales, proveen de entornos de trabajo que conllevan a nuevas formas de
tratar metodológicamente los contenidos seleccionados. Además, ayudan a los estudiantes a mejorar
el aprendizaje de un tema que les causa dificultad en asimilar, como son las tablas de multiplicar.
Durante años la metodología mas utilizada para el aprendizaje de las tablas de multiplicar es la
memoria. Pero los estudiantes olvidan con facilidad las tablas cuando se pasa a la división, por ello
han surgido diferentes herramientas didácticas para ayudar al aprendizaje de las tablas de multiplicar.
Algunas de ellas son el software educativo y el ábaco abierto, las cuales transforman la manera de
enseñar y de aprender.
La herramienta didáctica del ábaco abierto es la mas utilizada en algunas instituciones educativas, pero
el software educativo es una herramienta que apenas se esta implementando como estrategia para
enseñar u aprender un tema en el área de matemáticas.
Las dificultades que han surgido para utilizar este medio ha sido el poco conocimiento que tienen los
docentes sobre esta herramienta, la costumbre de enseñar dentro del aula y la falta de confianza a la
hora de utilizar esta herramienta como un medio de aprendizaje.
El estudio de esta investigación busca averiguar que tan útil son estas herramientas al ayudar al
estudiante en temas que son difíciles de enfrentar, comprender y manejar. Y cual de las dos
herramientas es más efectiva para ayudar al estudiante en el aprendizaje de un tema. De allí surgió el
interés de esta propuesta de investigación que consiste en experimentar si el software educativo es más
efectivo que el ábaco abierto como herramientas didácticas en el aumento del aprendizaje de las tablas
de multiplicar en estudiantes de segundo de primaria del Centro Educativo Canceles.
No se encontraron investigaciones referentes a este estudio, pero se encontraron unas similares, ya
que se han realizado estudios de la informática en la educación matemática pero referentes a la
multiplicación simple o multiplicación en general pero no enfocado a las tablas de multiplicar, además
generalmente son comparados con las clases tradicionales.
Para llevar a cabo esta investigación, se partió de un diseño experimental, seleccionando una muestra
intencional de dos grupos, un grupo experimental y otro de contraste. Luego se realizo un pretest
donde se averiguo los conocimientos que tenían los niños y niñas en multiplicación. Después se aplico
las herramientas didacticas, en el grupo experimental el software educativo Multi y en el grupo
contraste el ábaco abierto. Por ultimo se realizo un postest para averiguar el avance que habían tenido
los estudiantes en el aprendizaje de las tablas de multiplicar con la ayuda de estas herramientas.
Los datos obtenidos mediante las pruebas del pretest y del postest fueron analizados y representados
mediante gráficos y por medio del estadístico de proporciones Z. Como complemento del análisis se
realizaron entrevistas.
Los datos obtenidos mediante las pruebas del pretest y del postest fueron analizados y representados
mediante gráficos y por medio del estadístico de proporciones Z. Como complemento del análisis se
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realizaron entrevistas y observaciones en la clase de matemáticas. A partir de esto se realizaron
conclusiones y recomendaciones en relación a la investigación ejecutada.
Lo que pretende esta investigación es generar una reflexión a los docentes sobre la importancia de la
utilización de las herramientas didácticas en la enseñanza y aprendizaje de las tablas de multiplicar.
FORMULACION DEL PROBLEMA
¿La utilización del software educativo Multi como ejercitador y herramienta didáctica es más efectiva
que el ábaco abierto para aumentar el aprendizaje de las tablas de las tablas de multiplicar en niños y
niñas de segundo de primaria del Centro Educativo Canceles?
OBJETIVOS
El objetivo general de este trabajo fue evaluar la efectividad del software educativo Multi en el
aumento del aprendizaje de las tablas de multiplicar como ejercitador y herramienta didáctica en niños
y niñas de segundo de primaria.
MARCO TEORICO
LA MULTIPLICACIÓN
La multiplicación es una operación aritmética que se puede explicar como una manera de sumar
números idénticos, es decir, un numero se suma consigo mismo varias veces (suma repetida). Por
ejemplo la expresión 3 × 4 significa que 3 se ha de sumar consigo mismo 4 veces1.
3×4
4 significa el numero de veces que se repite el numero 3
3 + 3 + 3 + 3 = 12
Las Tablas de Multiplicar: La aritmética tiene procedimientos para simplificar operaciones, y las
tablas de multiplicar es una de ellas.
Las tablas de multiplicar consisten en adicionar reiterativamente cada dígito en orden progresivo
ascendente de cero a diez veces consigo mismo, y se interpretan como una adición reiterativa de un
número (multiplicando), tantas veces como lo indique otro (multiplicador) para obtener un resultado
(producto). Por ejemplo: Con la tabla del 3
3×1=3
ENCICLOPEDIA ENCARTA. Aritmetica. [programa de computador en disco]. Microsoft Encarta Program
Manager. Microsoft Corporation. Estados Unidos. 2004. Version 14.0.00603
1
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3×2=6
3×3=9
3×4=12
3×5=15
3×6=18
3×7=21
3×8=24
3×9=27
3×10=30
EL APRENDIZAJE DE LAS TABLAS DE MULTIPLICAR
El aprendizaje de las tablas de multiplicar es un hito para todos los estudiantes de la escuela. ¿Cómo
enseñar las tablas de multiplicar y qué recursos utilizar para facilitar su aprendizaje?, son interrogantes
que el docente se plantea en su práctica diaria.
Tradicionalmente las tablas de multiplicar se han enseñado de modo memorístico, aunque con la
revolución de las matemáticas modernas se están implementando nuevos métodos de enseñanza para
el aprendizaje de éstas.
a. El aprendizaje memorístico de las tablas de multiplicar
El aprendizaje es un proceso por el cual adquirimos información que se traduce en conocimiento. La
memoria es la retención o almacenamiento de la información.
Hay muchos educadores, investigadores y otros que defienden el uso de la memoria como medio de
aprendizaje, ya que según ellos, la educación de tiempos pasados fue mejor, a pesar de que ha sido
caracterizada como rígida, oscura, indiferente a las individualidades y a los aspectos emocionales de
los niños y niñas. Pero era una época donde se ejercitaba la memoria por medio de repetición de
fechas, poesías, tablas de multiplicar, nombres de capitales, entre otras.
En las aulas actuales la metodología es hacer lo opuesto a lo de antes. Los niños y niñas descubren, no
repiten, tienen que pensar y ser creativos, por tanto, evitan la memorización y la reemplazan por la
construcción. Si se encuentran con 2×3, por sus conocimientos previos de matemática saben que 2×3
es tres veces 2, por tanto los estudiantes suman 2+2+2. Es importante que comprendan la relación
entre suma y multiplicación, pero los autores explican que es necesario que sepan que 6×8 es 48, sin
tener que sumar 8 veces 6, es decir, memorizar las tablas con las que trabajan.
Las explicaciones que hacen los que defienden la importancia de aprender las tablas de multiplicar de
memoria es porque la memoria humana es limitada; esto quiere decir que cuando se tiene que resolver
un problema, y hay necesidad de pensar, se necesitan de recursos cognitivos libres (memoria libre)
para poder hacerlo. Pero si esos recursos están ocupados “construyendo” las tablas, el proceso se
dificulta. Hay operaciones en las matemáticas que tienen que ser aprendidas de memoria para
favorecer que otras puedan ser construidas y comprendidas2.
2
PARDO, Robert. Aprendizaje humano. De tablas y Modas. En: Blogger [online] Chile. Agosto 28 del 2005
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El aprendizaje por memorización distingue dos tipos de memoria: memoria a corto plazo y memoria a
largo plazo.
Cuando el estudiante recibe una información, ésta se almacena automáticamente en la memoria a corto
plazo donde se mantiene por unos segundos, si no se presta atención al cabo de 30 segundos se pierde.
La memoria a corto plazo tiene una capacidad limitada tanto en volumen de almacenamiento como en
tiempo de permanencia. La información se puede mantener en esta memoria mediante la repetición.
Cuando se presta atención a la información recibida y la analiza, comprende, la relaciona con otras
ideas, pasa de la memoria a corto plazo a la memoria a largo plazo.
Las dificultades que han tenido los estudiantes en el aprendizaje memorístico de las tablas de
multiplicar, según el matemático y neuropsicólogo Stanislas Dehaene se llegan a explicar por razones
biológicas en su libro El Sentido Numerico: como la mente crea las matematicas . Dehaene descubrió
que ciertas facultades numéricas se hallan genéticamente grabados en nuestro cerebro que al igual que
nuestra capacidad para distinguir colores son el resultado de un proceso evolutivo de adaptación por
selección natural.
Estos son los primeros pasos en la construcción de un órgano cerebral, ubicado en el lóbulo parietal
inferior del cerebro, que Dehaene llama acumulador numérico se construye desde que los humanos son
bebes; esto significa la naturaleza analógica y no digital de la representación numérica primitiva que se
encuentra en los cerebros de los seres humanos.
A partir del análisis de numerosos experimentos conducidos en animales, niños y adultos, Dehaene
hace surgir la semblanza del órgano en el cerebro que se especializa en el procesamiento numérico
intuitivo:
1. Sus características los conectan inequívocamente con las habilidades protonuméricas que se
encuentran en los animales y en los niños y niñas.
2. Sirve de soporte para la representación numérica simbólica. Cada vez que al cerebro adulto se
le presenta un numeral, rápidamente lo convierte en una magnitud analógica interna que
preserva las relaciones de proximidad entre cantidades.
3. Puede codificar conjuntos cuya cantidad no exceda 3.
4. Tienden a confundir números en la medida en que se hagan más grandes y cercanos.
5. Asocian cantidades numéricas con un mapa espacial.
Las implicaciones pedagógicas de estos descubrimientos son muy importantes porque ponen en
evidencia la existencia de un mecanismo bidireccional en el aprendizaje de las matemáticas que se
mueve entre los niveles de la mente consciente e inconsciente. Al nivel de la mente consciente el niño
y niña codifica los conceptos aritméticos a través del uso del lenguaje simbólico y la memorización de
algoritmos numéricos. Existe un substrato, ubicado en la profundidad de la mente inconsciente, en
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donde se encuentran representadas las facultades protonuméricas. Este acumulador numérico
primitivo soporta la adquisición de las primeras nociones numéricas elementales. Permite que su
asimilación se realice con naturalidad, al tiempo que los nuevos conceptos se van filtrando desde la
mente consciente hacia el subconsciente. Una vez que estos conocimientos son codificados en el
ámbito intuitivo pueden servir a su vez de apoyo para la adquisición de otros conceptos, en un proceso
dinámico, complejo y estimulante que permite la adquisición progresiva de los conocimientos
matemáticos.
La educación que comúnmente reciben los niños y niñas en la escuela, es donde se hace demasiado
énfasis en los conceptos abstractos y la memorización de tablas y algoritmos numéricos, se pierde la
continuidad de este proceso. Se estanca el desarrollo del substrato numérico instintivo y con ello se
derrumba el soporte intuitivo para la adquisición de los nuevos conceptos. Esto trae consigo la pérdida
de motivación por parte de los estudiantes, al hacerse cada vez más difícil la memorización de los
conocimientos. A partir de aquí el fracaso en el aprendizaje de las matemáticas está asegurado según
Dehaene.
Dehaene expresa su adherencia a este punto de vista y aboga por la necesidad de propiciar un tipo de
enseñanza que busque generar una respuesta profunda en el niño y niña, que le permita tomar contacto
con sus recursos intuitivos. Propone que se debe tratar de fundamentar los conocimientos matemáticos
en situaciones concretas, con la ayuda de recursos gráficos y geométricos, en vez del uso exagerado de
conceptos abstractos, con el fin de ayudar a los estudiantes de las escuelas a que construyan un
repertorio rico de modelos mentales en matemáticas.
Según las investigaciones realizadas por Dehaene, el contraste entre el aprendizaje de la lengua
materna y el de la aritmética es notorio. Explica en el caso de la multiplicación que el cerebro no esta
diseñado para multiplicar, mientras que en la lengua materna, este puede aprender decenas de nuevas
palabras por día, permitiendo así comunicarse los unos con los otros.
Dehaene ha demostrado que el cerebro del niño y niña genera procedimientos intuitivos para hacer
cálculos sencillos, como 2+4. Es decir, parte de la unidad hasta llegar al 2 (el primer sumando) y luego
siguen tantos pasos como corresponden al segundo sumando (4). Esto le lleva al niño y niña tiempo y
máxima concentración. Con la práctica cambia de estrategia y comienza a contar a partir de 2.
Finalmente, el cálculo se automatiza de tal modo que cuando se presentan los números 2+4 el cerebro
registra inmediatamente la suma y por eso no necesitan más adelante contar. Pero para los niños y
niñas el procedimiento se complica cuando calculan cifras mayores, pues se llevan más tiempo sumar
7+8 que 2+4.
Cuando se memorizan las tablas de multiplicar, éstas se acumulan en la memoria, la cual no funciona
como una calculadora sino por asociación. En la vida cotidiana permite recordar un tema a partir de
una analogía, pero puede surgir complicaciones a la hora de recordar operaciones matemáticas, es
decir el cálculo. Por ejemplo:
Es frecuente que la operación 8×7 se remita automáticamente por asociación, a otras parecidas, como
8+7 o 8×6. Pero para calcular 3×7, el cerebro necesita menos tiempo. Un cerebro lee en su memoria
con mayor facilidad la palabra veintiuno que cincuenta y seis, números que aprenden los niños y niñas
en los primeros grados, pero un joven adulto, en promedio da un resultado errado cada cuatro
tentativas de enfrentar una multiplicación sencilla; la memoria asociativa juega en contra. Por eso se
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ha construido ábacos y calculadoras, que ayudan a pasar de los aspectos mecánicos del cálculo a un
significado más concreto.
Por lo tanto, para memorizar las tablas de multiplicar, es importante que los niños y niñas entiendan su
funcionamiento, de un modo que entiendan el porqué de las tablas3. Y para poder realizar esto los
docentes deben entender el cómo los niños y niñas aprenden un concepto o tema.
Gabriela Fairstein y Silvana Gyssels en su libro “Cómo se aprende”4 realizaron un acercamiento a las
explicaciones teóricas de aprendizaje destinado a los docentes y educadores de diversas áreas y
niveles, donde abordaban el aprendizaje en un sentido amplio. En este libro, las autoras pretendieron
explicar el aprendizaje como proceso, más que exponer unas teorías. Las autoras se basaron
principalmente en las teorías de Piaget, Bruner y Vygosky, ofreciendo así una explicación integral.
Fairstein y Gyssels exponen que la concepción que tiene el docente sobre que el aprendizaje consiste
en observar y repetir, teoría que no es del todo cierta. Hay estudiantes que no aprenden por mucho que
se les muestre cómo es. Eso es lo que pasa con las tablas de multiplicar y el problema que está
generando en muchos docentes la enseñanza de éstas, por mucho que se las muestren o repiten a los
niños o niñas, éstos no llegan a aprenderlas.
El aprendizaje humano de conocimientos y razonamientos es un proceso interno, que no se realiza por
observación y repetición. Es un proceso interno que no se realiza en forma inmediata; pues aprender
conocimientos y formas de razonamiento implica modificar conocimientos y formas de razonamientos
anteriores. Esto lleva tiempo y es difícil de lograr no solo porque es complejo, sino porque implica
desprenderse de los conocimientos y formas de razonamientos anteriores.
Fairstein y Gyssels nombran varios tipos de aprendizajes:
a. Aprendizajes no intencionales: Son aquellos de los que no se puede decir cuándo ni cómo se
aprendieron, y que no implico esfuerzo, aprendizajes que se dan sin que la persona se de
cuenta.
b. Aprendizajes intencionales: La persona tiene conciencia, voluntad y se da cuenta de que está
aprendiendo.
c. Aprendizajes en contextos informales: Se realiza en forma semejante a los aprendizajes no
intencionales; no cuesta mucho y aunque cuesta es interesante. No necesita de estimulación, la
disposición para aprender se activa espontáneamente.
d. Aprendizajes en contextos institucionales: No están guiados por el interés de los estudiantes.
Por eso necesita estimulación del aprendizaje.
El aprendizaje en el que se enfoca el educador es el aprendizaje intencional. Pero es necesario que el
aprendizaje no se adquiera, sino que se produzca un cambio.
DEHAENE, Stanislas. The number sense: how the mind creates mathematics. Citado por PADRON, Victor. El
sentido numerico: cómo la mente crea las matemáticas, por Stanislas Dehaene. Boletín de la Asociación
Matemática Venezolana. Venezuela. Vol IX. No 1.( 2002). pag 97 -103
3
FAIRSTEIN, Gabriela. GYSSELS, Silvana. Cómo se aprende. Federación Internacional Fe y Alegría. Caracas,
Venezuela. 2003. 81 p.
4
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Aprender consiste en cambiar el conocimiento anterior por un nuevo conocimiento porque:
1. Nunca se aprende a partir de cero sino que sobre cualquier tema de aprendizaje las personas
siempre poseen un conocimiento previo, ya sea porque sabe algo o bien puede pensarlo o
deducirlo.
2. Lo anterior implica que todo aprendizaje, para poder ser incorporado, necesita interactuar con
el conocimiento previo sobre el tema, que ya posee la persona.
3. De manera que, al aprender, nadie incorpora el conocimiento nuevo tal y como se está
presentando. El resultado del aprendizaje de cada persona nunca es igual al conocimiento
presentado.
Teniendo encuenta lo anterior en el aprendizaje intervienen 4 elementos:
1. Conocimiento previo: Son los conocimientos que ya posee la persona. Está en el interior de la
mente y es producto de sus experiencias previas. A veces no se tiene conciencia de que se sabe
algo sobre algún tema hasta que se interroga a la persona sobre ese tema. Los conocimientos
previos son un elemento central en el proceso de aprendizaje porque son los que dan
significado a cualquier nuevo conocimiento, de manera que tienen un papel activo en el
proceso de aprendizaje. Estos están organizados en forma de estructura cognitiva,
entendiéndose la estructura cognitiva como un conjunto de conocimientos ya adquiridos que se
encuentran interrelacionados entre sí. Estas son las que permiten o no dar sentido a cualquier
nuevo conocimiento. Todo nuevo conocimiento, para ser incorporado, necesita encontrar un
lugar en esa estructura previa, es decir, el nuevo conocimiento tiene que tener algún punto de
relación o conexión con los conocimientos anteriores porque las estructuras cognitivas son
producto de la historia de los aprendizajes de cada persona. Es decir, las estructuras que posee
una persona en un momento dado dependen de los conocimientos que ha ido adquiriendo en el
pasado y también las estructuras pueden actuar como facilitadotas u obstaculizadoras en el
aprendizaje.
2. Conocimiento nuevo: Es el conocimiento que la persona pretende aprender. Es un
conocimiento nuevo sobre el mismo tema de aprendizaje. Cuando se aprende, lo nuevo no se
superpone, ni se coloca encima de lo anterior, sino que hay una interacción entre ambos. El
aprendizaje se produce como resultado de una interacción entre lo que ya se sabe y el
conocimiento nuevo. La interacción es el proceso mediante el cual dos elementos entran en
relación y los dos se modifican. Es un proceso de ida y vuelta, en el cual cada uno de los
elementos modifica al otro y es modificado por el otro. Ante cada nuevo tema de aprendizaje,
la persona no incorpora el conocimiento como se lo están presentando, es decir, no se aprende
por repetición. Por el contrario, todo conocimiento nuevo sobre un tema de aprendizaje para
poder ser incorporado, necesita interactuar con el conocimiento previo del aprendizaje sobre
ese tema.
3. Cambio cognitivo: Es un mecanismo interno porque sucede dentro de la mente de la persona.
Consiste en que el conocimiento previo debe dejar lugar al resultado de aprendizaje. Este
proceso es resultado de la interacción, ya que no ocurre automáticamente de un momento a
otro. El cambio cognitivo es gradual, además no siempre es un acto conciente para el
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estudiante. Dependiendo de los conocimientos previos que tiene la persona se producen tres
tipos de cambio:5
a. Cambio cognitivo por sustitución: cuando los conocimientos previos son erróneos, el
cambio consistirá en una gradual sustitución del antiguo saber por uno nuevo.
b. Cambio cognitivo por enriquecimiento: cuando los conocimientos previos pueden ser
correctos pero incompletos, el cambio cognitivo consistirá en enriquecer y ampliar y
completar gradualmente los saberes anteriores.
c. Cambio cognitivo por reorganización: cuando las personas poseen conocimientos
previos que les permiten deducir nuevos saberes; el cambio consiste en que los
conocimientos previos se reorganizan y reestructuran para dar lugar al nuevo
conocimiento.
Para que haya cambio cognitivo el aprendiz tiene que notar que sus conocimientos anteriores
son insuficientes. Este cambio parte de una necesidad interna de cambio. La necesidad interna
de cambio parte de aplicar los conocimientos previos. Cuando la persona siente que sus
conocimientos previos son insuficientes se produce un desequilibrio cognitivo. Este
desequilibrio genera una necesidad interna para volver al equilibrio. La necesidad de reequilibración conduce al aprendiz a cambiar su comprensión actual, es decir, a cambiar sus
conocimientos anteriores. Es entonces cuando puede recurrir al conocimiento nuevo externo
para producir este cambio por sustitución, enriquecimiento o reorganización. Para que haya
aprendizaje la persona debe poner en juego, si sus conocimientos son insuficientes y
cambiarlos por un nuevo aprendizaje.
La única forma en que los conocimientos previos se modifiquen es utilizándolos en una
actividad o tarea.
4. Resultado del aprendizaje: Conocimiento que realmente se ha aprendido. No es igual al que
estaba en la mente pero tampoco es igual al conocimiento nuevo externo. Se trata de un nuevo
conocimiento más abarcador y más explicativo que el anterior.
El aprendizaje es un proceso interno, por lo tanto, no se puede observar. El estudiante demuestra
cuando aprende a través de sus conductas, éstas si se pueden observar. Pero, el aprendizaje es un
proceso interno que no puede ser programado desde afuera para ayudar a los estudiantes a comprender
y aprender un tema. Lo que sí se puede hacer es estimularlo disponiendo las condiciones externas
esenciales para que este proceso se produzca.
MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS
Los materiales y recursos didácticos son aquellos medios que auxilian la labor de instrucción y sirven
para facilitar la comprensión de conceptos durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. Permiten:



5
Presentar los temas o conceptos de un tema de una manera objetiva, clara y accesible.
Proporcionar al niño y niña medios variados de aprendizaje.
Estimular el interés y la motivación de los estudiantes.
Ibid, p 41
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Algunos docentes piensan que no tiene importancia el material o recursos que se escojan, pues lo
importante es dar la clase. Pero es fundamental elegir adecuadamente los recursos y materiales
didácticos porque constituyen herramientas fundamentales para el desarrollo y enriquecimiento del
proceso de enseñanza- aprendizaje en los estudiantes.
Los recursos y materiales didácticos ayudan a mejorar la clase o les pueden servir de apoyo en su
labor docente.
Hoy en día el docente tiene muchos recursos a su alcance para lograr una formación de calidad de sus
estudiantes. Cuenta con:
a. Recursos personales: formados por todos aquellos profesionales que pueden ayudar en
muchos aspectos a que los estudiantes aprendan multitud de conocimientos.
b. Recursos materiales: estos se dividen en recursos:
 Impresos: libros de texto, libros de consulta, el periódico, revistas, entre otros.
 Audiovisuales: documentales, películas, televisión, música, el retroproyector
de diapositivas entre otros.
 Concretos: son los objetos que son manipulables por los estudiantes como el
ábaco, los cubos lógicos, entre otros.
 Informáticos: a través de ella el estudiante puede ver el mercado laborar y la
realidad del mundo (Internet). Además y debido que en la actualidad la
informática ha sido introducida en la mayoría de puestos de trabajo, el sistema
educativo no puede quedar impasible ante estos avances y debe contemplarse
el uso y manejo de la misma por el estudiante y los docentes. La informática
es una herramienta importante porque con ella es muy fácil proyectar a los
estudiantes, imágenes, esquemas o resúmenes de aquello que se quiera
explicar. Además, también se convierte en una herramienta manipulable,
donde los niños y niñas pueden ejercitar los conocimientos a los cuales se
están enfrentando.
Una persona puede realizar, con ayuda, aquello que en el futuro va a poder realizar sin ayuda.
El cambio cognitivo siempre es gradual por lo tanto la ayuda debe ir ajustándose y adecuándose a lo
que el estudiante va logrando resolver.
La ayuda para Bruner,6 es la metáfora del andamio para explicar cómo se puede ayudar a otro en su
aprendizaje y ha utilizado el término andamiaje para referirse a esas herramientas, planeaciones o
ambientes que diseña el docente para apoyar y auxiliar el desarrollo de aprendizaje de los niños y
niñas. Las actividades de aprendizaje funcionan como andamiajes para los aprendices.
El andamiaje sirve para sostener el aprendizaje del otro cuando todavía es muy reciente, sirve para que
éste se apoye en él durante su aprendizaje. No es necesariamente una ayuda, sino un apoyo. Es el
aprendiz quien desarrolla su actividad de aprendizaje, las herramientas didácticas y materiales le
brindan apoyos para que vaya avanzando.
6
Fairstein y Gyssels, Op. Cit, p.64
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En un edificio en construcción, el andamio puede llevarse hasta el piso en que se necesita, y cuando
termina la obra, el andamio se retira. En la construcción del conocimiento, el andamiaje tiene estas
características:

Brinda apoyo al aprendiz según el nivel en que se encuentra: No todos los aprendices necesitan los
mismos apoyos. De modo que el andamiaje tiene que permitir que el apoyo se ajuste a las
dificultades de cada uno. Cada uno recurre a los apoyos en la medida que lo necesita.

El apoyo tiene un carácter transitorio: el aprendiz va abandonando los apoyos a medida que
progresa en el aprendizaje. Al finalizar el proceso, el andamiaje ya no hace falta.
La ayuda no entorpece el proceso de aprendizaje, sino que brinda seguridad y estimula al aprendiz.
Pero ésta debe consistir en estimular al estudiante a que sea él quien realice la tarea, y no en realizar la
actividad por él.
El propósito último de la ayuda es dejar de ser necesaria, pues el objetivo de toda enseñanza debe ser
lograr que las personas aprendan a aprender.
El papel o el rol del docente es incidir sobre el aprendizaje del otro, produciendo un encuentro entre
ambos. El docente es quien debe ir hacia donde está el estudiante, y no el estudiante quien debe ir
hacia donde está el educador. Es el educador el que tiene la responsabilidad por el aprendizaje del
estudiante y por eso tiene que ir a su encuentro.
RECURSOS DIDÁCTICOS
MULTIPLICAR
PARA
EL
APRENDIZAJE
DE
LAS
TABLAS
DE
Tabla pitagórica: Las tablas de multiplicar se asocian con la tabla pitagórica de multiplicar, que en los
planes, programas y libros de texto de educación primaria se le designa como: “Cuadro de
multiplicaciones”.
En la tabla pitagórica se encuentran los 12 primeros números cardinales en forma horizontal y vertical.
Cada columna se llena con una secuencia ascendente del número que la encabeza, empezando por el 0
y aumentando según el número. Por ejemplo en la columna 5, se aumenta de 5 en 5. Cada columna y
fila de un número coinciden en los productos.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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0
0
0
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0
0
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0
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1
2
3
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6
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0
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16
18
20
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0
3
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9
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18
21
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30
4
0
4
8
12
16
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36
40
5
0
5
10
15
20
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30
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45
50
6
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7
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80
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50
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0
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36
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60
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72
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88
96
99 110 121 132
108 120 132 144
Ábaco: Es un instrumento de cálculo antiguo que los egipcios, romanos, hebreos, griegos e hindúes
utilizaron en épocas remotas. Sin embargo, en la actualidad se usa para reforzar el aprendizaje y la
comprensión de algoritmos básicos y para realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y
división. Es un instrumento donde el estudiante pueda dominar una operación aritmética, sin basarse
solo en el resultado sino en el proceso que conlleva realizar las operaciones.
Existen varios tipos de ábaco como el ábaco chino, el japonés y el abierto. En las instituciones
educativas utilizan el ábaco abierto.
Ábaco abierto: Está conformado por una base rectangular en madera con seis orificios profundos en
una de sus caras, además cuenta con seis barras en madera que miden aproximadamente 22 cm, las
cuales se pueden insertar en los orificios, cada una acompañada por 10 cuentas que se pueden colocar
o quitar dependiendo de la cifra que se desee representar.
Informática: software educativo como recurso didáctico
La informática se ha incorporado para los estudiantes y docentes con la finalidad de apoyar y mejorar
los procesos de la enseñanza estimulando varios sentidos del sujeto que posibilite el aprendizaje.
Nunca se sustituirá la labor del docente porque la informática es una herramienta con la cual se puede
operar el proceso educativo pero el diseño previo, la planificación y la estrategia a utilizar estará a
cargo del docente. En ese proceso en donde se conjuga la acción docente, la estrategia didáctica y la
informática trae consigo un aprendizaje más rico y variado estimulando nuevas habilidades del
pensamiento y la acción como la capacidad de descubrir por si mismo los conocimientos; se retoman
valores poco usados como la cooperación y la colaboración; contribuyendo además la evolución de la
ciencia y la tecnología. Es decir, se fortalece el hecho educativo7.
El software educativo es uno de los elementos que constituye la informática. El software educativo
son programas para la computadora elaborados con fines didácticos. Este sirve para:


7
Guiar al estudiantes en su proceso de aprendizaje: Al igual que los textos educativos, pero con
la ventaja interactividad y multimedia.
Motiva al estudiante: los niños y niñas encuentran en la computadora un elemento atractivo.
Esto puede ser aprovechado por los docentes para estimular a los estudiantes el interés por una
materia determinada.
Martínez Dunstan, Sergio. El impacto de la informática en la educación. [online] En: ciberhábitat. Junio del 2006.
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
Evaluar: algunos productos del software educativo ofrecen capacidad de evaluar, ya sea para
reforzar el conocimiento del el niño y niña o para evaluar su desempeño académico.
A pesar de que el software educativa tiene un potencial muy alto como herramienta didáctica, se
contraponen diversos factores que han permitido que esta tecnología no este implementada en todas
las instituciones educativas:
 Subdesarrollo económico: las dificultades económicas que padece la comunidad
latinoamericana en comparación con los países primermundistas. Aunque el ministerio de
educación de Colombia esta implementando programas como computadores para educar para
solucionar este problema.
 Subvaloración de la tecnología educativa: la tecnología educativa todavía es vista por muchos
docentes como algo no importante.
 Insatisfacción por la oferta de recursos existentes: al igual que existen software de excelente
calidad también existen software de mala calidad.
 Temor a desplazar el papel del docente: Algunos docentes no utilizan el computador como
herramienta por tener ideas y conceptos erróneos sobre la utilización de este medio, como el
utilizar esta herramienta como apoyo en la enseñanza de un tema. El papel del docente es
irremplazable para un aprendizaje óptimo8.
Para emplear el software educativo se debe tener encuenta los diferentes tipos,
clasificados por Begoña Gross en su libro Diseños y programas educativos9 de software:
1. Tutorial: tienen por objeto enseñar un determinado contenido. Son programas de tipo
didáctico, cuya finalidad es que por medio de la interacción con el programa, el estudiante
llegue al conocimiento de una determinada temática. En estos programas lo importante es la
organización del conocimiento y las estrategias de enseñanza que adopta el programa para
conseguir el aprendizaje del niño y niña.
2. Practica y ejercitación: se caracterizan por proporcionar al estudiante la oportunidad de
ejercitarse en una determinada tarea una vez obtenidos los conocimientos necesarios para el
dominio de la misma. Este tipo de programas son comunes en áreas como matemáticas, física,
química e idiomas. El objetivo de estos programas no es enseñar, sino de practicar y ejercitar,
como su nombre lo dice, un tema determinado. El objetivo principal es de facilitar el
entretenimiento en tareas que suelen ser repetitivas.
3. Simulación: tiene por objeto proporcionar un entorno de aprendizaje abierto basado en
modelos reales. Estos programas permiten al usuario experimentar y contrastar diversas
hipótesis. En todo programa de simulación existe un modelo implícito que sirve de base para
manejar la información. Algunos programas de simulación han adoptado el formato de juego.
Estos programas tienen un alto nivel de interactividad ya que el funcionamiento depende de las
decisiones del niño y niña.
Se encuentran varios tipos de software educativo, entre ellos estan:
 Software Comercial: como su nombre lo indica, su fin es comercializar, es decir, las
compañías que lo producen cobran dinero por el producto, su distribución o soporte. Este
8
SANCHEZ SILVA, Héctor. Software educativo: hechos, retos y futuro [online] En: Vermic. México. 2002
GROSS, Begoña. Diseños y programas educativos. Pautas pedagógicas para la elaboración del software. Editorial Ariel
S.A. Barcelona, España. 1997. Pág. 16-20
9
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dinero generalmente es usado para pagar las licencias de ciertos programas o para el salario
de las personas que contribuyeron a crear ese software.

Software propietario: llamando también software no libre y privado. Son los programas en
el que las personas tienen limitadas posibilidades de usarlo, modificarlo o redistribuirlo.
Este software posee los derechos de autor donde el acceso al código de fuente es una
condición previa.

Software libre: es el software que una vez obtenido puede ser usado, copiado, estudiado,
modificado y redistribuirlo libremente. Este software suele estar disponible gratuitamente
en Internet o a precio del coste de la distribución a través de otros medios; sin embargo no
es obligatorio que sea así y, aunque conserve su carácter de libre, puede ser vendido
comercialmente.
Freeware: Es el software de computador que se distribuye sin cargo. Es decir software
gratuito que esta disponible en Internet. A veces se incluye el código de fuente pero no es
usual. Sin embargo este tipo de software no es libre porque no permite modificaciones. El
software freeware incluye una licencia de uso que permite su redistribución pero con
algunas restricciones, como no modificar la aplicación, ni venderla y dar cuenta de su
autor. Algunas personas liberan versiones freeware de sus productos para obtener un
número de seguidores que puedan estar dispuestos a pagar por una versión más completa
del programa. Otros lo hacen porque no consideran que ese programa pueda generar una
ganancia económica o porque creen en el valor de ofrecer el programa gratis.
Shareware: software para poder evaluar de forma gratuita pero por un tiempo, con uso y
características limitadas. Para adquirir una licencia de software que permita el uso del
software de manera completa se requiere de un pago económico10.


No se puede aplicar un software educativo en un grupo determinado sin antes ser evaluado por el
docente. Es necesario tener encuenta con que fin, en que área y en que tema va a ser utilizado, ya que,
como se menciono anteriormente, hay variedad de software y no todos son aptos para la enseñanza y
aprendizaje de un tema.
Los criterios que se manejan en la evaluación de un software son:
1. Adecuación al público al que se dirige: dependiendo del grupo al que se dirige se evalúa la
adecuación de la información, lenguaje utilizado y diseño grafico de las pantallas.
Para determinar el nivel de adecuación de un software es necesario fijarse en algunos
indicadores:



10
Los contenidos deben ser pertinentes de acuerdo al grupo en que se va aplicar el software.
La información debe estar organizada de manera que el estudiante pueda comprenderla.
La cantidad de información debe ser apropiada al tipo de nivel en que se encuentra el niño
o niña.
WIKIPEDIA . Enciclopedia libre [online] Latinoamérica. Noviembre del 2006
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
El lenguaje utilizado, la forma como están presentados los contenidos y el sistema de
navegación, permiten que la información sea accesible al tipo de grupo enunciado.
2. Aprovechamiento del medio: a partir de este criterio se evalúa que tanto se aprovecha el
potencial del medio para enriquecer la forma como se aborda un tema o un contenido
específico. En este criterio se evalúan dos aspectos:

La concepción que se tiene de la computadora como herramienta y de las funciones que
puede cumplir como tal.

La inversión económica que requiere incorporar el uso de software educativo en la escuela.
3. Calidad de la información: si es apropiada de acuerdo con los objetivos del programa. En el
proceso de aprendizaje involucra los conocimientos previos, los contenidos y la actividad en si
deben estar adecuados y contextualizados a partir de los conocimientos previos y los intereses
del estudiante al que se dirige el software. Esto significa que no deben ser ni tan fáciles que no
representen un reto, ni tan difíciles que resulten ajenos y produzcan una perdida del interés por
parte del niño y niña.
4. Permite la interacción: interacción es el grado de acción que propicia en el estudiante,
favoreciendo la toma de decisiones, la reflexión y la construcción de conocimientos.
Asimismo, el termino acción no hace referencia a un trabajo manual o físico sino a un trabajo
intelectual por parte del usuario.
5. Aprovechamiento del medio desde el punto de vista didáctico: para identificar si un software
esta explotando adecuadamente los recursos que ofrece la computadora, el docente debe
plantearse las siguientes preguntas:

¿Qué diferencias concretas hay entre este recurso y otras herramientas de la escuela
tradicional en relación con la enseñanza del contenido en cuestión?

¿Qué aporta este software como recurso didáctico que no se puede suplir con otras
herramientas?

¿Se justifica utilizar dicho software para trabajar ese contenido en sustitución o además de
otras herramientas más accesibles y menos costosas?
Justificación del tipo manejada en relación con el objetivo que se propone (expositiva, tutorial,
simulador, ejercitador, juego, entre otros): dependiendo de los contenidos concretos y de los
objetivos propuestos, se puede analizar si el tipo de software es adecuado para trabajar dichos
contenidos, de manera que, al aplicar este criterio necesariamente el docente se remite al
objetivo que se propone el software.
Para analizar este aspecto es útil partir de las siguientes preguntas:

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¿El tipo de software manejado es apropiado para lograr los objetivos expuestos en el
programa?
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Si la respuesta es afirmativa preguntarse también:

¿La forma como esta manejado el tipo de software realmente puede conducir al logro de los
objetivos expuestos11?
Para completar la evaluación se realiza una ficha donde se tendrá en cuenta otros aspectos que son
importantes en la evaluación para así concluir si el programa es adecuado para el área y tema que se va
a enseñar. (VER ANEXO 1)
ESTANDARES DE SEGUNDO DE PRIMARIA
A la hora de enseñar las tablas de multiplicar también se tienen que tener encuenta los temas que el
Ministerio de Educación propone para la enseñanza de las matemáticas en el año escolar. En los
estándares se evidencia los conocimientos previos que los niños y niñas tienen que tener para llegar a
la multiplicación.
Los estándares se definen como criterios claros y públicos que permiten conocer cual es la enseñanza
que debe recibir los estudiantes. Son el punto de referencia de lo que un estudiante puede estar en
capacidad de saber y saber hacer, en determinada área y nivel.
MARCO LEGAL
En la ley general de educación de 1994 se exponen unos artículos que las instituciones tienen que
tener en cuenta a la hora de formar al estudiante.
En el Articulo 5: Fines de la Educación incluye en la formación integral del estudiante la tecnología,
ya que el niño o niña debe ser formado según el desarrollo que vaya adquiriendo el país.
De conformidad con el artículo 67 de la Constitución Política, la educación se desarrollará atendiendo
a los siguientes fines:
1. El pleno desarrollo de la personalidad sin más limitaciones que las que le imponen los derechos
de los demás y el orden jurídico, dentro de un proceso de formación integral, física, psíquica,
intelectual, moral, espiritual, social, afectiva, ética, cívica y demás valores humanos.
2. La adquisición y generación de los conocimientos científicos y técnicos más avanzados,
humanísticos, históricos, sociales, geográficos y estéticos, mediante la apropiación de hábitos
intelectuales adecuados para el desarrollo del saber;
3. La formación en la práctica del trabajo, mediante los conocimientos técnicos y habilidades, así
como en la valoración del mismo como fundamento del desarrollo individual y social;
4. La promoción de la persona y en la sociedad de la capacidad para crear, investigar, adoptar la
tecnología que se requiere en los procesos de desarrollo del país y le permita al educando
ingresar al sector productivo.
11
GONZALEZ ALARCON, Gabriela. ¿Qué observar cuando se evalúa software? Una propuesta para la evaluación
didáctica del software educativo. En: Universidad Autónoma de México. 2002
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En el artículo 20 se exponen los objetivos de la educación básica. Donde en uno de sus puntos expone
que es necesario propiciar una formación general mediante el acceso, de manera crítica y creativa, al
conocimiento científico, tecnológico, artístico y humanístico y de sus relaciones con la vida social y
con la naturaleza, de manera tal que prepare al educando para los niveles superiores del proceso
educativo y para su vinculación con la sociedad y el trabajo12.
En el artículo expone que es necesario formar al estudiante para su futuro teniendo encuenta las
herramientas que se están utilizando hoy en día para su desarrollo, actualizando sus conocimientos
para la vida laboral.
Por ello el Ministerio de educación junto con otras entidades como la Presidencia de la Republica, el
Ministerio de Comunicaciones, el SENA y la gobernación de Canada, país donde se ha desarrollado
exitosamente el progrma Computers for Schools, asesora a Colombia en la implementación de el
programa Computadores para educar, el objetivo es brindar acceso a las tecnología de información y
comunicación a instituciones educativas publicas del país, mediante el recondicionamiento de equipos
donados por empresas privada y entidades oficiales para promover el uso y aprovechamiento de la
informática. El programa fue aprobado por el Consejo Nacional de Política Económica y Social del
país, mediante el documento CONPES 3063 del 23 de diciembre de 1999. El lanzamiento fue
realizado por el Presidente de la Republica Andrés Pastrana Arango. El siguiente gráfico ilustra la
operación general del programa:
DISEÑO METODOLOGICO
Se utilizo el diseño experimental de dos grupos a través de una analisis de diferencias obtenidas de
mediciones tipo pretest y postest a un grupo experimental (intervención con el software educativo
Multi) y grupo contraste (intervención con el ábaco abierto).
POBLACIÓN Y MUESTRA: conformada por 30 estudiantes de segundo de primaria del Instituto
Docente Canceles de la ciudad de Pereira en el departamento de Risaralda. Este grupo consta de 18
niños y 12 niñas de estrato bajo, con edad promedio de 8 a 13 años. Algunos niños y niñas trabajan o
12
MINISTERIO DE EDUCACION NACIONAL. Ley General de Educación. 1994.
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realizan labores domésticas por lo que se evidencia frecuente inasistencia al aula de clase. Otra causa
de su ausencia es la falta de salud que tienen estos estudiantes, ya sea por motivo de gripa, dengues
(las más comunes), entre otras enfermedades. Por lo tanto a la hora de seleccionar la muestra se ha
tenido en cuenta las causas anteriores, por lo tanto se escogen ocho niños y niñas por cada grupo, se
promedia la ausencia de dos estudiantes por cada grupo, en caso de que falten durante la aplicación del
pretest y el postest.
La muestra ha sido seleccionada en forma intencional y subdividida en tres subgrupos de ocho
estudiantes (grupo prueba piloto, grupo experimental y grupo contraste)
FORMULACIÓN DE LA HIPÓTESIS
Hipótesis de investigación:
Hi: La utilización del software educativo Multi como ejercitador y herramienta didáctica es más
efectivo que el ábaco abierto, como apoyo para aumentar el aprendizaje de las tablas de multiplicar, en
niños y niñas de segundo de primara del Centro Docente Canceles.
Hipotesis Nula
Ho: No es más efectivo la utilización del software educativo Multi como ejercitador y herramienta
didáctica que el ábaco abierto como apoyo para aumentar el aprendizaje de las tablas de multiplicar en
niños y niñas de segundo de primaria de Centro Docente Canceles.
Variables y su definición
Una variable es una propiedad que puede variar y cuya variación es susceptible de medirse u
observarse. La variable se aplica a un grupo de personas u objetos, los cuales adquieren diversos
valores o manifestaciones respecto a la variable.
Cuadro 2: Definición conceptual de las variables de estudio.
VARIABLE
TIPO
Herramientas didácticas
Independiente
Rendimiento
en
el
aprendizaje de las tablas de
multiplicar.
Dependiente
VARIABLE
Herramientas didácticas
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DEFINICION
CONCEPTUAL
-Software educativo Multi
-Ábaco abierto
Contexto de aprendizaje
desarrollado con el apoyo
de
las
herramientas
software educativo Multi y
ábaco abierto.
Resultado
promedio
obtenido en la aplicación
de pretest y postest.
DEFINICION OPERACIONAL
-Software educativo Multi: uso de la
herramienta para desarrollar ejercicios
referentes a la multiplicación.
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-Ábaco abierto: herramienta utilizada para
realizar
cálculos
sobre
suma
y
multiplicación.
Rendimiento en el aprendizaje de las Nivel de logro de respuestas correctas e
tablas de multiplicar.
incorrectas obtenidas en la aplicación de
instrumentos pretest-postest.
INSTRUMENTOS UTILIZADOS PARA RECOLECTAR LA INFORMACIÓN
Pretest y Postest
Para evaluar el rendimiento del aprendizaje de las tablas de multiplicar antes y después de la
intervención del grupo experimental y el grupo contraste, se aplica y diseña un instrumento pretest,
que pretende medir el nivel de desempeño de los conocimientos previos adquiridos en el transcurso del
año referente a la multiplicación de los estudiantes de los dos anteriores grupos; y el postest, que mide
el nivel de desempeño en conocimientos de multiplicación y las tablas de multiplicar del grupo
experimental y de contraste después de la aplicación de las herramientas didácticas.
Descripción de los instrumentos
Los instrumentos estaban constituidos por dibujos y ejemplos de los ejercicios que los estudiantes
debieron realizar. Se organizaron por medio de ejercicios para medir los niveles de desempeño de los
estudiantes en el área de matemáticas.
El instrumento se diseño teniendo en cuenta la teoría de las autoras Gabriela Fairstein y Silvana
Gyssels.
Por lo tanto se tuvieron en cuenta ejercicios donde se exponen los conocimientos previos de los niños
y niñas, y la interacción entre los conocimientos previos (suma) y los nuevos (multiplicación), para
determinar en qué nivel se encuentraban (pretest) y observar el progreso de los estudiantes al utilizar
las herramientas didácticas (postest).
Las características de los instrumentos fueron:



Evaluar la apropiación y manejo de conocimientos y habilidades en suma, identificación de
conjuntos y procesos de la multiplicación.
Tiene un sentido integrador, pues exige que los estudiantes pongan en juego sus
aprendizajes adquiridos en matemáticas (conocimientos previos).
Evaluar el nivel de aprendizaje de los estudiantes en el pretest y postest.
DESCRIPCIÓN DE LAS HERRAMIENTAS DIDACTICAS
Software educativo Multi
El software educativo Multi es de tipo ejercitador y software freware, es decir que puede ser
descargado gratis por Internet. Este programa fue diseñado por un grupo de programadores y
pedagogos llamados Santos Software destinado a edades de 7 a 14 años13.
13
PEREIRA, Santos Figueroa. MULTI. Santos software. http://www.donsantos.com/multi.htm
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Multi es un programa para educación primaria, donde se trabaja todos los aspectos de la
multiplicación.
Este mismo programa tienen otra versión comercial en el que incluye opciones como:






Términos por diez, veinte, treinta, entre otros.
Multiplicación por varias cifras.
Fracciones.
Números decimales
Series
Problemas
Los requerimientos que se necesitan para utilizar este software en el sistema son:





PC compatible 486
8 Mb de RAM
15 Mb de espacio en disco duro
Tarjeta VGA de 256 colores
Windows 95, 98 o superior
Ábaco abierto: ocho abacos abiertos construidos por la investigadora en madera y cuencas de collares
y aretes fueron utilizados como aros.
PROCEDIMIENTO
Los siguientes puntos fueron los momentos que se llevaron a cabo para cumplir con los objetivos del
estudio:
1. Entrevista con la docente y directora del Centro Docente Canceles: (Ver anexo 5)
la docente expresa su preocupación por las dificultades que tiene con el grupo en el
aprendizaje de la multiplicación y los retrocesos para avanzar en el área de
matemáticas. Esta entrevista se realizo con el fin de tener una visión general sobre el
los avances y dificultades que tenía la docente en la enseñanza y aprendizaje de la
multiplicación en los estudiantes de segundo de primaria.
2. Aplicación del instrumento piloto pretest: a los estudiantes que cursan segundo de
primaria para averiguar los conocimientos previos, dificultades y destrezas que tienen
los niños y niñas en multiplicación. Y adecuar el instrumento en el nivel en que se
encuentraban.
3. Prueba piloto: A partir de los resultados del instrumento piloto pretest, se aplicó el
software educativo Multi a un grupo de ocho niños y niñas durante tres días, allí
observo el tiempo que requería el niño y niña para realizar los ejercicios planteados,
utilizados en el software (máximo dos horas, mínimo una hora). Así mismo, se
realizaron observaciones en la clase de matemáticas para conocer las actividades que
realizaba la docente en la enseñanza de la multiplicación y el cómo los estudiantes
asimilaban y enfrentaban estas actividades. Todo lo anterior fue necesario para obtener
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los resultados y a partir de ellos, diseñar las planeaciones y las estrategias
(herramientas) didácticas que se iban a implementar en la enseñanza y aprendizaje de la
multiplicación, al mismo tiempo que identificar los temas que los niños y niñas habían
visto pero que todavía no manejaban (como es el caso de la suma), con el propósito de
reforzar a través de actividades y herramientas didácticas el conocimiento a
potencializar.
En la prueba piloto se tuvo la oportunidad de conocer a los estudiantes con bajo
rendimiento y con alto rendimiento, observando sus conductas y el modo en que
interactuaban y realizaban las actividades propuestas por la docente.
Las observaciones se realizaron con el método de toma de notas, a partir de las cuales
se seleccionaron algunos ejercicios para ingresarlos en el instrumento y tenerlos en
cuenta en las estrategias de enseñanza y aprendizaje con las herramientas didácticas
anexadas en las planeaciones pedagógicas.
Por último, se realizó la prueba piloto con el ábaco, que tenía como objetivo averiguar
el conocimiento que tenían los estudiantes con respecto al uso del ábaco en el aula de
clase; para ello se hizo una serie de ejercicios con base en una de las operaciones
básicas (suma) y la posición notacional.
4. Aplicación del instrumento piloto postest: en donde se evidenciaba el avance de los
estudiantes en la aplicación del software y se averiguaba las dificultades que tenían los
niños y niñas al enfrentarse con este tipo de evaluación.
5. Primeras Entrevistas con algunos estudiantes de la prueba piloto, del grupo
experimental y de contraste antes de la aplicación, con el fin de averiguar las
dificultades que tuvieron con el software educativo y con el instrumento piloto y así
especificar cuál era la herramienta que se necesitaba utilizar con el grupo constaste.
(ver anexo 5)
6. Aplicación del pretest: este pretest se hizo con el fin de averiguar la equivalencia de
los dos grupos, experimental y de contraste. También para compararlo con el postest
para evidenciar el avance en los dos grupos con la aplicación de las herramientas
didácticas. Este pretest se aplicó después de la prueba piloto.
7. Aplicación de las herramientas didácticas software educativo Multi y el ábaco
abierto: A partir de las observaciones realizadas en la clase de matemáticas se
diseñaron las estrategias de intervención en la enseñanza y aprendizaje de la
multiplicación a través de las planeaciones pedagógicas. (Ver anexos 7 Y 8).
8. Aplicación del postest: después de finalizar las sesiones se realizó el postest para
evaluar si había aumentado el conocimiento de los niños y niñas sobre la multiplicación
con las herramientas didácticas.
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9.
Entrevistas al grupo contraste y al grupo experimental después de la aplicación
(ver anexos 5): con el fin de averiguar las facilidades y dificultades que tuvieron con el
software educativo y el ábaco.
10. Veinte días después de la aplicación se observó las notas del grupo para averiguar sus
avances.
PRESENTACION DE LA INFORMACIÓN Y ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS
RESULTADOS
A continuación se presenta una tabla con datos de identificación de la muestra, resultados académicos
logrados en el segundo y último periodo del año escolar y el resumen de los resultados obtenidos por
el grupo experimental y de contraste en la aplicación del instrumento: Pretest y Postest
GRUPO EXPERIMENTAL
Cuadro 8: Datos del grupo experimental
N
o
NOMBRE
NOTA DE
MATEMATICAS
DEL SEGUNDO
PERIODO
ACADEMICO
Julio/06
PRETEST
CORRECT
AS
PRETEST
INCORREC
TAS
POSTEST
CORRECT
AS
POSTEST
INCORRECT
AS
1
Juan
Manuel
Hernández Correa
Julián
Andrés
Alzate Díaz
Jessica Alejandra
Zapata Ocampo
Darlien
Yisel
Puerta Morales
Víctor Hugo Pino
Reyes
Laura
Vanesa
Cardona
S
6
27
19
14
NOTA DE
MATEMATICA
S
ULTIMO
PERIODO
ACADEMICAC
O
Nov/06
E
B
16
17
20
13
E
B
11
22
13
20
S
A+
20
13
30
3
E
A
9
24
16
17
B
I
11
22
18
15
I
2
3
4
5
6
GRUPO CONTRASTE
Cuadro 9: datos del grupo contraste
No
1
2
3
4
5
6
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NOMBRE
José Gregorio
López Holguín
Tatiana Galeano
Bolivar
Guillermo
Moreno
Blandon
Jessica Lorena
Bentancur
Ladino
Brayan Stiven
Rodríguez
Cardona
Miguel Angel
Grajales Cano
NOTA DE
MATEMATICAS
DEL SEGUNDO
PERIODO
ACADEMICO
JULIO/06
E
PRETEST
CORRECTAS
PRETEST
INCORRECTAS
POSTEST
CORRECTAS
POSTEST
INCORRECTAS
NOTA DE
MATEMATICAS
ULTIMO PERIODO
ACADEMICACO
NOV/06
25
8
27
5
B
B
12
21
18
15
S
B
21
12
26
7
E
A
7
26
11
22
I
A
4
29
16
17
A
A-
5
28
6
27
B
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RESULTADOS Y ANALISIS COMPARATIVO ENTRE EL GRUPO EXPERIMENTAL Y DE
CONTRASTE
Las siguientes gráficas muestran los resultados de la aplicación del pretest del grupo experimental y de
contraste.
COMPARACIÓN PRETEST ENTRE GRUPO
EXPERIMENTAL Y CONTRASTE
GRÁFICO 1
50%
50%
Pretestexperimental
Pretestcontraste
En la gráfico 1 se observa la equivalencia entre el grupo experimental y el grupo contraste,
estableciendo para cada grupo el 50% de los resultados del pretest.
La siguiente gráfica muestra los resultados de la aplicación del postest de los dos grupos:
COMPARACIÓN POSTEST ENTRE GRUPO
EXPERIMENTAL Y CONTRASTE
GRÁFICO 2
47%
53%
Postestexperimental
Postestcontraste
En esta gráfica se observa que el grupo experimental al cual se le aplicó el software educativo Multi,
tuvo un avance del 6% en comparación con el grupo contraste. Teniendo en cuenta estos resultados, se
acepta la hipótesis de trabajo y se rechaza la nula, es decir que el software educativo es más efectivo
como herramienta didáctica que el ábaco abierto en el aumento del aprendizaje de las tablas de
multiplicar.
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COMPARACIÓN DE PRETEST Y POSTEST DEL
GRUPO EXPERIMENTAL
GRÁFICO 3
39%
PRETEST
POSTEST
61%
En el gráfico 3 se observa un incremento del 22% en el postest, a diferencia del pretest, lo que indica
que mejoró el aprendizaje de la multiplicación y las tablas de multiplicar, en los estudiantes que
utilizaron el software educativo Multi.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS PRETEST Y
POSTEST DEL GRUPO CONTRASTE DEL GRUPO
CONTRASTE GRÁFICO 4
42%
PRETEST
POSTEST
58%
En la gráfica 4, se demuestra una diferencia del 16% entre el pretest y el postest, queriendo decir con
esto que el uso del ábaco abierto aumenta el aprendizaje de la multiplicación y las tablas de multiplicar
en niños y niñas de segundo de primaria.
RENDIMIENTO ACADÉMICO DE LOS ESTUDIANTES EN EL ÁREA DE LAS
MATEMÁTICAS EN EL SEGUNDO Y ÚLTIMO PERIODO ESCOLAR
GRUPO EXPERIMENTAL
GRÁFICO 5
45%
55%
Notas segundo periodo
Notas ultimo periodo
En el gráfico 5, se expone el rendimiento académico de los estudiantes del segundo y último periodo
escolar, en el que se evidencia que mejoró el desempeño de los estudiantes del grupo experimental en
el área de matemáticas, después de la aplicación del software educativo Multi. Además del buen
rendimiento académico, los estudiantes manifestaron una permanencia conceptual de algunas
operaciones aritméticas (suma y multiplicación), después de la aplicación de la herramienta didáctica.
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RENDIMIENTO ACADÉMICO DE LOS ESTUDIANTES EN EL ÁREA DE LAS
MATEMÁTICAS EN EL SEGUNDO Y ÚLTIMO PERIODO ESCOLAR
GRUPO CONTRASTE
GRÁFICO 6
40%
60%
Notas segundo periodo
Notas ultimo periodo
El gráfico 6, se evidencia una disminución en el rendimiento académico de los estudiantes en el área
de matemáticas, en el último periodo escolar. Esto demuestra que con la herramienta del ábaco abierto
no permanecen los conceptos de multiplicación y suma, ya que la diferencia que se presenta es del
20%.
ESTADÍSTICO DE PROPORCIONES Z
El estadístico de proporciones Z, pretende hallar la diferencia entre los grupos experimental y de
contraste en el pretest y postest de cada uno de ellos, con el fin de analizar si hay o no diferencia
significativa entre ambos.
Según Sampieri14, la diferencia es significativa entre dos grupos cuando Z es mayor a 1.96.
Cuando es menor a 1.96 la diferencia no es significativa.
La Z de proporciones aplicada al pretest del grupo experimental y de contraste, dio como resultado
0.20, lo que indica que la diferencia no es significativa.
En el postest, se aplicó la Z de proporciones al grupo experimental y de contraste, y dio como
resultado 0.002. Esto significa que la diferencia entre los dos grupos no es significativa.
Con lo anterior se evidencia que no hubo una diferencia significativa entre el software educativo
Multi y el ábaco abierto en el grupo experimental y de contraste.
ALGUNOS CASOS
1. Jessica Alejandra Zapata Ocampo
HERNANDEZ SAMPIERI, Roberto. FERNÁNDEZ COLLADO, Carlos. BAPTISTA LUCIO, Pilar.
Metodología de la investigación. Mc Graw – Hill. México D.F, 1998.
14
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En el segundo periodo académico obtuvo una nota de B (Bueno). En los resultados del pretest
obtuvo 11 correctas de 33 ejercicios. Se observó dificultades especialmente en la sección de suma
y multiplicación, en este nivel no avanzó. Por lo tanto se regresó varias veces al nivel de doble y
triple para realizar ejercicios de suma por medio de los gráficos, después de dos sesiones, volvió a
suma y multiplicación y avanzó a los niveles siguientes. En el postest contesto 13 ejercicios
correctos de 33. Se observaron avances en la nota del último periodo académico, con una nota de
sobresaliente (S)
En el siguiente gráfico se observa la nota académica, comparada con el pretest y el postest:
CASO DE LA ESTUDIANTE JESSICA
ALEJANDRA ZAPATA
GRÁFICO 9
Nota segundo
periodo
29%
Nota ultimo
periodo
36%
Postest
19%
Pretest
16%
En este gráfico de porcentajes se observa que el
mayor porcentaje es la nota del último periodo
con un 39%, le sigue la nota académica del
segundo periodo con un 29%, luego el postest con
un 19% y el pretest con un 16%. Entre el pretest
y el postest se avanzó un 3%. Y el porcentaje de
la última nota académica muestra que Jessica
mejoró en el área de matemáticas después de la
aplicación del software educativo.
En este caso se manifestó en Jessica un avance al
reforzar sus conocimientos previos en suma para que pudiera entender y aprender la multiplicación.
Las autoras Faristein y Gyssels en su teoría le dan gran importancia a reforzar los conocimientos
previos, para cuando lleguen los nuevos, no halla choques cognitivos que dificulten el aprendizaje del
estudiante. Y los cuatro elementos que proponen las autoras en la intervención del aprendizaje se
observaron en Jessica.
Los conocimientos previos que es el primer elemento, se observo que el principal en la multiplicación
es la suma, el nuevo conocimiento tiene que tener algún punto de relación o conexión con los
conocimientos previos, y la multiplicación es una suma sucesiva de un número. Por lo tanto Jessica
ejercito la suma por medio de los ejercicios que proponía el software.
Los conocimiento nuevos que Jessica pretendía aprender era las tablas de multiplicar. Se observo que
hubo una interacción entre ambos conocimientos, Jessica relaciono e interactuó la suma con la
multiplicación. Y estos se modificaron entre si. Se observo que Jessica no incorporo el conocimiento
como se lo estaba presentando el software, sino que fue un proceso de varias secciones donde fue
incorporando las tablas de multiplicar por medio de la ejercitación, haciendo que Jessica pusiera sus
habilidades cognitivas para entender el proceso y así incorporarlo. En este caso se evidencia
claramente que las tablas de multiplicar se pueden aprender de otra manera, donde el estudiante pueda
poner en juego sus habilidades cognitivas, sin necesidad de aprenderlas repetitivamente.
El cambio cognitivo que se evidencio en Jessica fue el de reorganización, ya que los conocimientos
previos que poseía le permitieron deducir los saberes nuevos. Sus conocimientos previos se
reorganizaron y reestructuraron para entender y dar lugar al nuevo conocimiento. Jessica noto que sus
conocimientos anteriores eran insuficientes, ya que no avanzaba en los niveles. Esto le produjo un
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desequilibrio cognitivo, por lo tanto tuvo la necesidad de re-equilibrar sus conocimientos cambiando
su comprensión.
El resultado del aprendizaje es un conocimiento que no es igual al nuevo, ya que es un conocimiento
mas explicativo, donde Jessica al responder el resultado de una tabla de multiplicar, sabe de donde
surge y cual es el procesos que se lleva para llegar a ella.
CONCLUSIONES
Se observo que en el software educativo, los niños y niñas del grupo experimental manejaron los
cuatro elementos de intervención del aprendizaje propuesto en la teoría de Fairstein y Gyssels
Conocimientos previos
Conocimientos Nuevos
Cambio cognitivo
Resultado de aprendizaje
El software educativo hace que los estudiantes manejen por obligación estos cuatro elementos,
generando en ellos conflictos y colocando distintas habilidades cognitivas para resolver un problema.
Esto genera en ellos un auto aprendizaje, haciendo que el papel del profesor sea más de guía que de
interventor de su aprendizaje, generando en ellos la habilidad de descubrir su aprendizaje. Por lo
tanto, los niños y niñas aprendieron las tablas de multiplicar de diferente manera, ya que cada uno
tiene una historia diferente de aprendizaje, una historia diferente en conocimientos previos y maneras
diferentes de descubrir los nuevos.
El papel del docente al utilizar la herramienta didactica del software educativo es el de cuestionar al
estudiante, ayudándolo a descubrir que errores tiene o surgen en el, al descubrirlo el niño y niña se
motivaba en corregirlo. Para poder asi avanzar a los niveles siguientes. Se observo que el software
educativo Multi, los estudiantes lo manejaron como un juego, de ganar o perder. La mayoria de los
niños y niñas no querian perder, por lo tanto buscaban estrategias diferentes para poder finalizar un
nivel y llegar a otro. Esto favorecio el aprendizaje de las tablas de multiplicar en los estudiantes, ya
que la mayoria tenian dificultad en suma, por lo tanto, al no pasar de nivel, tuvieron que buscar
estrategias para aprender a sumar y asi poder ganar los niveles. Al repetir constantemente los
ejercicios en suma estos poco a poco se volvieron competentes para manipular esta operación. Se
evidencio en el software educativo que al poner metas a los estudiantes, estos se motivan para resolver
por si solos alguna falencia que tengan con un ejercicio para poder ganar o avanzar los niveles.
En el software educativo Multi se evidencio que los conocimientos previos de un estudiante son
indispensables en el aprendizaje de un nuevo tema. Ya que al reforzarlos, corregirlos o mejorarlos. Al
ejercitar los conocimientos previos y hacer que los estudiantes los entiendan y los manipulen, los niños
y niñas podrán introducir los nuevos conocimientos, interactuando los conocimientos previos y los
nuevos, resultando así un nuevo aprendizaje, ya que en el área de matemáticas hay constante enlace
entre las operaciones aritméticas básicas y las operaciones como la multiplicación. Si se logran buenos
cimientos en las operaciones básicos de suma, resta habrán avances en enseñanza de temas venideros.
El software educativo Multi aumento mucho mas el aprendizaje de las tablas de multiplicar en niños y
niñas de segundo de primaria, comparado con el ábaco abierto.
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El ábaco abierto también aumento el aprendizaje de las tablas de multiplicar en los estudiantes, pero se
evidencio que esta herramienta por si sola, no ayuda a entender plenamente el proceso de la
multiplicación, se necesitaban de otras estrategias combinadas con esta herramienta para que los
resultados de aprendizaje fueran satisfactorios. En el ábaco abierto también involucraron los cuatro
elementos, pero cuando llegan al desequilibrio, les es mas difícil a los estudiantes resolver los
inconvenientes por si solos, por lo tanto necesitaban de constante apoyo. Con esta herramienta se
evidencio el docente debe involucrarse mucho mas pero no como guía sino como apoyo en el
aprendizaje del niño o niña. Según la teoría de Fairstein y Gyssels, el apoyo es necesario en el
aprendizaje del estudiante, ya sea del docente o una herramienta didáctica, en este caso se necesitó de
las dos.
También se observo que el avance en el aprendizaje de las tablas de multiplicar es mas lento con la
herramienta del ábaco abierto comparado con el software educativo Multi, ya que los avances que
mostraban los niños y niñas en los resultados eran parejos en el pretest y postest, comparado con el
software educativo donde la diferencia entre el pretest y el postest eran elevados en la mayoría de los
niños y niñas, mientras que en el ábaco abierto la diferencia de avance notable fue de dos estudiantes.
Se observo en las dos herramientas didácticas que los niños y niñas de con notas académicas bajas,
mostraron mayor desempeño y avance en el aprendizaje de las tablas de multiplicar que los niños y
niñas notas académicas altas.
Se concluye que las herramientas didácticas motivan el aprendizaje del estudiante, mejorando el
ambiente de trabajo y haciendo el aprendizaje de las tablas de multiplicar un aprendizaje más dinámico
y menos rutinario, llamando la atención y el interés del niño y niña.
Tanto en el software educativo y el ábaco abierto maneja el aprendizaje por memorización a largo
plazo, ya que es un proceso donde el niño y niña debían entender, analizar y comprender el proceso de
la multiplicación para incorporar las tablas de multiplicar en su memoria. La diferencia entre las dos
herramientas es que permanece la memoria a largo plazo con el software educativo Multi que con el
abaco abierto, ya que con los resultados de la ultima nota académica, el grupo contraste bajo su
rendimiento academico comparado en el grupo experimental, hasta los estudiantes con buenas notas
académicas del segundo periodo, bajaron su nivel en el área de matemáticas, a pesar de que en el
ábaco abierto el docente jugo mas el rol de participante en el aprendizaje del estudiante que en el
software educativo y se implementaron estrategias y manipulación concreta en el aprendizaje de las
tablas de multiplicar. Por lo tanto en este estudio se concluye que al hacer del estudiante protagonista
de su propio aprendizaje, este descubre sus falencias y las corrige por si mismo, por medio de
diferentes actividades, mejora el aprendizaje de las tablas de multiplicar. El software educativo enseña
al estudiante a ser protagonista, haciendo del papel del docente un guía.
A pesar de lo anterior, en la prueba Z la diferencia entre las dos herramientas didacticas no es
significativa. Con las dos herramientas el niño o niña puede llegar aprender, la diferencia es que el
proceso de aprendizaje con la herramienta del ábaco abierto es mas lento con el software educativo.
Las herramientas didácticas mejoraron el análisis y la observación en los estudiantes de segundo de
primaria. Ya que los estudiantes no solo aprendieron las tablas de multiplicar, sino que mejoraron su
desempeño en suma, interpretación de conjuntos y en resolución de problemas. Esto fue debido a que
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las herramientas didácticas les enseña a los estudiantes a analizar los problemas que se les presentaban
(desequilibrio) y buscar soluciones para enfrentarlas y llegar así al resultado (equilibrio)).
Pero a la hora de utilizar los ejercicios por medio de evaluaciones o en papel y lápiz, los niños y niñas
bajan su desempeño. Por lo tanto algunos estudiantes a la hora de realizar actividades con el ábaco
abierto y con el software educativo, mejorar su desempeño. Esto se evidencio en algunos casos como
Laura en el grupo experimental, que en la aplicación del pretest y postet se observo el avance pero en
las notas académicas su desempeño académico de bajo rendimiento.
También se evidencio los estudiantes tienen mayor facilidad en aprenderse las tablas con números
bajos que con números altos, tenían mayor facilidad en aprenderse las tablas del dos y tres que las
tablas del nueve y del ocho. Como lo evidencia Stanislas Dehaene en su libro el sentido numérico.
Teniendo encuenta las conclusiones anteriores y el análisis de resultados se concluye que el software
educativo Multi es más efectivo como herramienta didáctica que el ábaco abierto para el aprendizaje
de las tablas de multiplicar en estudiantes de segundo de primaria del Centro Educativo Canceles de la
ciudad de Pereira.
RECOMENDACIONES PEDAGOGICAS
Los docentes deben estar en una continua actualización para poder estar en el nivel en que se
encuentran los estudiantes. No es lo mismo enseñar a los niños y niñas de hace veinte años a los niños
de hoy. Los tiempos pasan y los recursos se van actualizando. Además de que cada vez salen
herramienta utiles para mejorar el aprendizaje en un área especifica.
Se recomienda que al utilizar el software educativo, el docente realice antes una evaluación de dicho
software, ya que en el mercado y en internet se encuentra gran variedad de programas en los cuales
algunos pueden ser de gran utilidad mientras que otros no. El éxito del aprendizaje de un tema por
medio del software educativo depende de los objetivos y metas que se proponga el educador, además
de una selección adecuada de dicho software.
Respecto a la enseñanza por medio de la herramienta didactica del ábaco abierto, se recomienda
trabajarla en modo grupal, además de integrar otras estrategias de enseñanza para que el aprendizaje
efectivo y dinámico. El aprendizaje por medio de esta herramienta necesita que el docente disponga
de tiempo, paciencia y de constancia. Generando en sus estudiantes motivación para aprender por
medio de esta herramienta.
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ANEXOS
INSTRUMENTO PRETEST-POSTEST
Nombre Completo:
Edad:
Grupo:
Grado:
a. ¿Cuántos hay en total? Suma y multiplica.
Cuenta los objetos que contienen cada conjunto; escríbelo y súmalo. Luego pon en forma de
multiplicación la suma.
Observa el ejemplo:
8 + 8 + 8 = 24
3 veces 8 es igual a 24
3 × 8 = 24
1)
2)
______ + ______ = ________
_______ veces ____ es igual a ________
3)
_______ × _______=________
4)
_______+ ________ + ________= ___________
5)
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______ veces ____ es igual a ______
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6)
7)
_______×________=_______
______+ ______+ ______+ ______+ _____= _______
8)
______ veces ____ es igual a ______
9)
_______×________=_________
LAS
TABLAS
DE
MULTIPLICAR
Escribe el resultado de cada
multiplicación.
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10)
5 × 8 = _____
22)
9 × 7 = _____
11)
3 × 9 = _____
23)
4 × 6 = _____
12)
6 × 2 = _____
24)
2 × 2 = _____
13)
8 × 1= ______
25)
8 × 9 = _____
14)
2 × 6= ______
26)
4 × 3 = _____
15)
7 × 9 = _____
27)
9 × 1 = _____
16)
9 × 5 = _____
28)
3 × 10 = ______
17)
5 × 10 = _____
29)
5 × 2 = _____
18)
8 × 3 = _____
30)
7 × 5 = _____
19)
2 × 7 = ______
31)
4 × 4 = _____
20)
6 × 4 = ______
32)
6 × 8 = ______
21)
10 × 8= ______
33)
1 × 3= ______
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SOBRE LA AUTORA
Diana Maria Gonzalez Rivera (diamis12@yahoo.com). Licenciada en Pedagogía infantil. Tesis de
pregrado.
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