Lección 14. Hipótesis y fórmulas de Dupuit. Validez de las fórmulas

Lección 14. Hipótesis y fórmulas de Dupuit. Validez de las fórmulas de Dupuit:
radio de acción. Aplicación de las fórmulas de Dupuit en acuíferos libres y confinados.
Caudal específico.
Coeficiente de almacenamiento
Se define como la cantidad de agua que cede o libera un prisma de acuífero de base cuadrada
unitaria cuando se deprime el nivel piezométrico una unidad.
Es adimensional.
Esta agua proviene de la desaturación en el caso de acuíferos libres y de la variación de la
compresibilidad del agua y del esqueleto intergranular en los acuíferos confinados.
Radio de influencia y descensos
Radio de influencia o radio de acción es la distancia hasta la que el bombeo en un cierto pozo
afecta a la posición del nivel piezométrico.
R = Radio de influencia
Nivel estático
S = descenso dinámico
Nivel dinámico
Fórmulas de Dupuit
Si asumimos que:
• El régimen es permanente
• Las equipotenciales son verticales (flujo horizontal)
• La ley de Darcy es aplicable (régimen laminar)
• El agua y la roca son incompresibles
• La componente vertical de la velocidad es despreciable respecto a la horizontal
• La extracción provoca un radio de acción constante
•
El medio es homogéneo e isótropo
A
dy/d
x
y
h
O
x
R
H
Sección
Gradiente
A=ly
dy/dx
Q = K l y dy/dx
Q dx = K l y dy
Q dx = K l y dy
2
Qx=Kl½y +C
Para x = 0 → y = h
2
0=Kl½h +C
2
→
2
C=-Klh /2
2
Q x = y (K l/2) – h (K l/2)
2
2
Q x = K l/2 (y – h )
Q = K l / 2 x (y2 –h2)
Cuando x = R → y = H
2
2
Q R = K l/2 (H – h )
2
2
Q = K l /2 R (H – h )
2
2
Q = ½ K l/x (y – h )
2
2
Q = ½ K l /R (H – h )
2
2
2
y = x/R (H – h ) + h
2
que es la ecuación de la parábola de Dupuit
En tres dimensiones, suponemos un pozo de radio r en una isla circular de radio R:
R
np
r
R
y
h
H
x
Supongamos un cilindro de radio x alrededor del pozo. La superficie de flujo del agua hacia el
pozo es A = 2 π r y
Aplicando la ley de Darcy:
Q = K 2πx y dy/dx
Q dx = K 2πx y dy
Q dx = K 2πx y dy
Q/x dx = 2π K y dy
2
Q ln x = 2πK ½ y2 + C →
Q ln x = πKy + C
Cuando x = R → y = h
2
2
Q ln r = πKh + C →
C = Q ln r – πKh
2
2
Q ln x = pKy + Q ln r – pKh
2
2
Q ln x/r = pK (y – h )
Cuando x = R → y = H
2
2
Q ln R/r = πK (H – h )
2
2
Q = πK (H – h ) / ln R/r
2
2
Q = πK (y – h ) / ln x/r)
2
2
Q = πK (H – h ) / ln R/r
2
2
2
y = (H – h ) ln x/r / ln R/r + h
2
que es la curva de Dupuit, que define el conoide de depresión.
CAUDAL ESPECIFICO (qe)
Es el caudal por unidad de descenso, expresado en litros/segundo/metro.
Según Dupuit:
2 2
2
2
Q = Kπ (H -h ) / ln R/r = 1,366 K (H – h ) / lg R/r
2
2
Si expresamos (H – h ) = (H + h) (H – h)
H–h=s yh=H–s
2
2
H – h = (H + H – s) s = (2H – s) s
Luego:
Q = Kπ / ln R/r (2H – s) s
2
Q = s Kπ2H / ln R/r – s Kπ / ln R/r
En un cierto pozo: K = cte, R = cte, r = cte
Luego:
Q = cte 2Hs – cte s2
que es la ecuación de una curva:
Q
Caudal crítico
s