Tema 4 Aplicaciones lineales. Definición 4.1 – Sea f : V −→ W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W . Se dice que f es una aplicación lineal si: a) f (u + v) = f (u) + f (v); ∀u, v ∈ V , b) f (ku) = kf (u); ∀u ∈ V y ∀k ∈ IR. Estas dos propiedades se pueden reunir en: f (ku + lv) = kf (u) + lf (v); ∀u, v ∈ V, ∀k, l ∈ IR. En general, se tiene que: f (k1 u1 + k2 u2 + · · · + kr ur ) = k1 f (u1 ) + k2 f (u2 ) + · · · + kr f (ur ) ∀u1 , u2 . . . . , ur ∈ V, ∀k1 , k2 , . . . , kr ∈ IR Si una aplicación f : V −→ W es lineal y biyectiva, se dice que f es un isomorfismo entre los espacios V y W . Si V = W , entonces la aplicación lineal f : V −→ V recibe el nombre de operador lineal o endomorfismo. Y si f es además biyectiva se dice que f es un automorfismo. 4.1 Propiedades de las aplicaciones lineales. Núcleo e imagen. Proposición 4.2 – Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces: a) f (0 V ) = 0 W ; b) f (−v) = −f (v); 0 V , 0 W son los ceros de V y W . ∀v ∈ V . Definición 4.3 – Dada una aplicación lineal f : V −→ W , se define el núcleo de f , que se denota por ker(f ) ó ker f , como el conjunto: ker f = {v ∈ V : f (v) = 0} y se define la imagen de f , que se denota por img(f ) ó img f , como el conjunto img f = {w ∈ W : ∃v ∈ V tal que f (v) = w} Es sencillo probar que ker f es un subespacio vectorial de V e img f es subespacio vectorial de W . Definición 4.4 – Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces la dimensión del núcleo se denomina la nulidad de f y la dimensión de la imagen de f se denomina el rango de f . Álgebra Lineal. 48 4.1 Propiedades de las aplicaciones lineales. Núcleo e imagen. Si f : V −→ W es una aplicación lineal y B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V , la aplicación lineal queda perfectamente determinada si conocemos las imágenes por f de los vectores de la base B , ya que para todo v ∈ V existen k1 , k2 , . . . , kn ∈ IR únicos, tales que v = k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn , con lo que f (v) = f (k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn ) = k1 f (v1 ) + k2 f (v2 ) + · · · + kn f (vn ) Nótese, que de ésto se deduce que img f = lin{f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn )} Teorema de la dimensión 4.5 – Si f : V −→ W es una aplicación lineal, con V un espacio vectorial de dimensión n, entonces: dim(ker f ) + dim(img f ) = n = dim(V ) Demostración: Si la dim(ker f ) = n, entonces ker f = V , y f (v) = 0 ∀v ∈ V , luego img f = {0} que tiene dimensión cero, por lo que se cumple dim(ker f ) + dim(img f ) = dim V (n + 0 = n) Si la dim(ker f ) = r < n, sea Bker = {u1 , . . . , ur } una base del ker f . Por la Proposición 3.11, ésta base puede completarse hasta una base de V , BV = {u1 , . . . , ur , vr+1 , . . . , vn }, y el conjunto imagen será por tanto img f = lin{f (u1 ), . . . , f (ur ), f (vr+1 ), . . . , f (vn )} = lin{0, . . . , 0, f (vr+1 ), . . . , f (vn )} = lin{f (vr+1 ), . . . , f (vn )} Si probamos que el conjunto formado por esos n − r vectores es linealmente independiente, será una base de la img f y habremos probado que dim(ker f ) + dim(img f ) = dim V ; (r + n−r = n) como querı́amos. Probar la cuestión pendiente es sencillo, sean λr+1 , . . . , λn tales que λr+1 f (vr+1 ) + · · · + λn f (vn ) = 0, y por ser f una aplicación lineal f (λr+1 vr+1 + · · · + λn vn ) = 0 por lo que el vector λr+1 vr+1 + · · · + λn vn ∈ ker f Ahora bien, como Bker es una base del ker f , se tiene que λr+1 vr+1 + · · · + λn vn = µ1 u1 + · · · + µr ur para ciertos µ1 , . . . , µr . Luego −µ1 u1 − · · · − µr ur + λr+1 vr+1 + · · · + λn vn = 0 y −µ1 = · · · = −µr = λr+1 = · · · = λn = 0 por formar esos vectores una base de V . En particular, con λr+1 = · · · = λn = 0 se prueba que el conjunto {f (vr+1 ), . . . , f (vn )} es un conjunto linealmente independiente de vectores, que por ser también generador de la img f es una base de ella. Álgebra Lineal. 49 4.2 Aplicaciones matriciales 4.2 Aplicaciones matriciales Consideremos la aplicación f : IRn −→ IRm definida por f (x) = Ax, siendo A una matriz fija m × n y x ∈ IRn , x = (x1 , x2 , . . . , xn )t . Como consecuencia de las operaciones sobre las matrices, la aplicación es lineal. A este tipo de aplicaciones se les denomina aplicaciones matriciales. El estudio de estas aplicaciones es fundamental ya que, como veremos, todas las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita acaban siendo aplicaciones matriciales al usar coordenadas. El núcleo de estas aplicaciones será: ker f = {x ∈ IRn : Ax = 0}, es decir, el conjunto de soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 . La imagen de f coincide con el espacio de las columnas de la matriz A, Ec (A), pues b ∈ img(f ) ⇐⇒ ∃x ∈ IRn tal que Ax = b es decir, si tiene solución el sistema a11 a21 .. . ⇐⇒ ⇐⇒ x1 a11 a21 .. . am1 4.3 ··· ··· a1n a2n .. . ··· am1 am2 · · · amn a12 a22 .. . x1 x2 .. . = xn + x2 a12 a22 .. . + · · · + xn am2 b1 b2 .. . ⇐⇒ bm a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn ············ am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn a1n a2n .. . amn = b1 b2 .. . ⇐⇒ bm = b1 b2 .. . ⇐⇒ b ∈ Ec (A) bm Matrices que representan aplicaciones lineales Veremos que toda transformación o aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita, se puede considerar como una aplicación matricial. 4.3.1 Aplicaciones lineales de IRn en IRm Proposición 4.6 – Si f : IRn −→ IRm es una aplicación lineal, entonces f es una aplicación matricial (es decir existe una matriz A tal que f (x) = Ax). Demostración: Sea B = {e1 , e2 , . . . , en } la base canónica de IRn , y sea A la matriz m × n que tiene a los vectores f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en ) de IRm como sus vectores columna. Vamos a probar que f (x) = Ax; ∀x ∈ IRn . Álgebra Lineal. 50 4.3 Matrices que representan aplicaciones lineales Se tiene que x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 e1 + · · · + xn en y por la linealidad de f , f (x) = x1 f (e1 ) + · · · + xn f (en ). Por otra parte Ax = a11 a21 .. . a12 a22 .. . ··· ··· ··· · · · amn am1 am2 = x1 a11 a21 .. . a1n a2n .. . + x2 a12 a22 .. . x1 x2 .. . a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = ············ = am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn xn a1n a2n .. . + · · · + xn = x1 f (e1 ) + · · · + xn f (en ) = f (x) amn am2 am1 Luego efectivamente, f (x) = Ax, para A definida como indicamos. A esta matriz A se la llama matriz estándar de f . 4.3.2 Aplicaciones lineales entre espacios cualesquiera Vamos ahora a demostrar que a cualquier aplicación lineal f : V −→ W , con dim V = n y dim W = m, se le puede asociar una aplicación matricial. Sean B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base del espacio V y B 0 = {w1 , w2 , . . . , wm } una base de W. Todo v ∈ V se escribe de forma única como combinación lineal de los vectores de la base, v = k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn , luego f (v) = k1 f (v1 ) + k2 f (v2 ) + · · · + kn f (vn ). Supongamos que conocemos las imágenes de f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn ) expresadas en la base B 0 , f (v1 ) = a11 w1 + a21 w2 + · · · + am1 wm f (v2 ) = a12 w1 + a22 w2 + · · · + am2 wm ····················· f (vn ) = a1n w1 + a2n w2 + · · · + amn wm por lo tanto f (v) = k1 (a11 w1 + a21 w2 + · · · + am1 wm ) + k2 (a12 w1 + a22 w2 + · · · + am2 wm ) + · · · · · · · · · · · · · · · · · · + kn (a1n w1 + a2n w2 + · · · + amn wm ) = (k1 a11 + k2 a12 + · · · + kn a1n )w1 + (k1 a21 + k2 a22 + · · · + kn a2n )w2 + · · · · · · · · · · · · · · · · · · + (k1 am1 + k2 am2 + · · · + kn amn )wm que expresado en coordenadas [f (v)]B 0 = k1 a11 + k2 a12 + · · · + kn a1n k1 a21 + k2 a22 + · · · + kn a2n ··············· k1 am1 + k2 am2 + · · · + kn amn = a11 a21 .. . a12 a22 .. . ··· ··· a1n a2n .. . ··· am1 am2 · · · amn k1 k2 .. . kn Luego, hemos encontrado que ³ [f (v)]B 0 = Álgebra Lineal. ´ [f (v1 )]B 0 [f (v2 )]B 0 · · · [f (vn )]B 0 [v]B = A[v]B 51 4.4 Composición de aplicaciones lineales Por tanto fijadas las bases B y B 0 en los espacios V y W , a cada aplicación lineal f se le puede asociar una única matriz, Am×n , que recibe el nombre de matriz de f respecto de las bases B y B0 . Si tenemos un operador lineal f : V −→ V y consideramos que tenemos la misma base B en el espacio de partida y en el de llegada, entonces se habla de matriz de f respecto de la base B . Si tenemos que nos dicen que la matriz Am×n es la matriz de la aplicación lineal f : V −→ W respecto de las bases B y B 0 . ¿Cómo calcularemos ker f e img f ? Cálculo de ker f ker f = {v ∈ V : f (v) = 0} = {v ∈ V : [f (v)]B 0 = [0]B 0 } = {v ∈ V : A[v]B = [0]B 0 } Luego para calcular ker f hallaremos las soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 , y esas soluciones constituirán las coordenadas de los vectores del ker f en la base B . El paso de coordenadas a vectores es inmediato. Cálculo de img f Hemos visto que img f = lin{f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn )} luego para calcular una base de la imagen hay que encontrar una base de ese subespacio. Pero un conjunto de vectores de un espacio vectorial es base si lo es el conjunto formado por los vectores de coordenadas (ejercicio 3.15), luego basta con encontrar una base para el espacio de las columnas de la matriz A. 4.4 Composición de aplicaciones lineales Definición 4.7 – Sean f : V −→ W y g: W −→ U aplicaciones lineales. Llamaremos aplicación compuesta de f y g , a la aplicación g ◦ f : V −→ U definida por (g ◦ f )(v) = g(f (v)), ∀v ∈ V. Proposición 4.8 – Sean f : V −→ W y g: W −→ U aplicaciones lineales, con dim V = n, dim W = m y dim U = p, y sean B , B 0 y B 00 bases de V , W y U , respectivamente. Entonces: a) g ◦ f es una aplicación lineal. b) Si Am×n es la matriz asociada a f respecto de las bases B y B 0 , y Cp×m es la matriz asociada a g respecto de las bases B 0 y B 00 , entonces CA es la matriz asociada a g ◦ f respecto de las bases B y B 00 . Demostración: a) (g ◦ f )(ku + lv) = g(f (ku + lv)) = g(kf (u) + lf (v)) = kg(f (u)) + lg(f (v)) = k(g ◦ f )(u) + l(g ◦ f )(v). b) Teniendo en cuenta que [g(w)]B 00 = C[w]B 0 y [f (v)]B 0 = A[v]B , [(g ◦ f )(v)]B 00 = [g(f (v))]B 00 = C[f (v)]B 0 = CA[v]B ; 4.5 ∀v ∈ V. Teorema de Semejanza Teorema de semejanza 4.9 – Sean f : V −→ V , con dim V = n, un operador lineal, A la matriz de f respecto de la base B de V y A0 la matriz de f respecto de la base B 0 . Entonces A0 = P −1 AP siendo P la matriz de paso de la base B 0 a la base B . Álgebra Lineal. 52 4.6 Ejercicios Demostración: A0 [v]B 0 = [f (v)]B 0 = P −1 [f (v)]B = P −1 A[v]B = P −1 AP [v]B 0 Como lo verifica para todo v ∈ V , (ver ejercicio 2.2) se llega a que A0 = P −1 AP . Este resultado es un caso particular del siguiente más general: Proposición 4.10 – Si f : V −→ W es una aplicación lineal, A la matriz de la aplicación f respecto de las bases B1 de V y B2 de W y A0 es la matriz de f respecto de las bases B10 de V y B20 de W , entonces A0 = Q−1 AP siendo P la matriz de paso de la base B10 a la base B1 y Q la matriz de paso de B20 a B2 . Definición 4.11 – Dadas dos matrices A y B de orden n se dice que A y B son semejantes si, y sólo si existe una matriz P inversible tal que B = P −1 AP . Proposición 4.12 – Dos matrices A y B son semejantes si y sólo si representan al mismo operador lineal respecto a dos bases. Demostración: ⇐=) Es el Teorema de Semejanza. =⇒) A y B son semejantes ⇐⇒ ∃P inversible tal que B = P −1 AP . Consideremos el operador lineal f : IRn −→ IRn definido por f (x) = Ax, luego A es la matriz de f respecto de la base canónica. P es inversible luego sus columnas forman una base de IRn , y por lo tanto P es la matriz de paso de la base formada por las columnas de P a la base canónica. Por el Teorema de Semejanza B = P −1 AP es la matriz de f respecto a esa base y A y B representan al mismo operador lineal respecto a bases distintas. Corolario 4.13 – Si A y B son matrices semejantes, entonces tienen el mismo rango. 4.6 Ejercicios 4.1 Determinar si las siguientes aplicaciones son o no lineales: √ √ a) F : IR2 −→ IR2 / F (x, y) = ( 3 x, 3 y) b) F : IR3 −→ IR2 / F (x, y, z) = (2x + y, 3y − 4z). c) F : M2x2 −→ IR / F à a b c d ! = a2 + b2 . 4.2 Sea T : IR3 −→ W la proyección ortogonal de IR3 sobre el plano W que tiene por ecuación x + y + z = 0. Hallar una fórmula para T y calcular T (3, 8, 4). 4.3 Sean V un espacio vectorial y T : V −→ V la aplicación lineal tal que T (v) = 3v . ¿Cuál es el núcleo de T ? ¿Cuál es la imagen de T ?. 4.4 Consideramos la base S = {v1 , v2 , v3 } de IR3 donde v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 5, 3) y v3 = (1, 0, 10). Encontrar una fórmula para la transformación lineal T : IR3 −→ IR2 para la que T (v1 ) = (1, 0), T (v2 ) = (0, 1) y T (v3 ) = (0, 1). Calcular T (1, 1, 1). 4.5 Sea A una matriz de tamaño 5 × 7 con rango 4. Álgebra Lineal. 53 4.6 Ejercicios a) ¿Cuál es la dimensión del espacio de soluciones de Ax = 0 ?. b) ¿Ax = b es compatible para todo b perteneciente a IR5 ? ¿Por qué?. 4.6 Sea T : IR3 −→ IR3 la aplicación lineal dada por la matriz 1 3 4 A= 3 4 7 −2 2 0 a) Demostrar que el núcleo de T es una recta y encontrar sus ecuaciones paramétricas. b) Demostrar que la imagen de T es un plano y hallar su ecuación. 4.7 Sea f : V −→ W una aplicación lineal. Se dice que una aplicación lineal es inyectiva si a cada vector de la imagen le corresponde un único original (es decir, si f (u) = f (v) ⇒ u = v ). Demostrar que f es inyectiva si y sólo si ker(f ) = {0}. 4.8 Encontrar la matriz estándar de cada una de las aplicaciones lineales siguientes: a) x1 T x2 = x3 x1 + 2x2 + x3 x1 + 5x2 x3 b) T x1 x2 x3 x4 à 4.9 Sea T : IR2 −→ IR3 la transformación lineal definida por T = x1 x2 ! x4 x1 x3 x1 − x3 x1 + 2x2 = −x1 0 a) Encontrar la matriz de T respecto de las bases: B = {u1 = (1, 3), u2 = (−2, 4)} y B 0 = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 0, 0)}. b) Usar la matriz obtenida en el apartado a) para calcular T (8, 3). 4.10 Se considera la aplicación fÃ: M2×2 (IR) −→ por: ! ! M Ã2×2 (IR) definida !à a11 a12 −1 2 a11 a12 f = a21 a22 0 1 a21 a22 a) Demostrar que f es lineal. b) Hallar la matriz asociada a la aplicación lineal respecto de la base canónica de M2×2 (IR). c) Hallar el núcleo y la imagen de f ası́ como sus dimensiones y bases. d) Hallar la matriz de (à de f! respecto à ! la à base: ! à !) 1 0 0 2 0 1 0 0 B= , , , 0 0 1 0 2 0 0 1 4.11 Considerar la aplicación lineal T : IR4 −→ IR3 dada por la matriz 3 −2 1 0 6 2 1 A= 1 −3 0 7 1 respecto de las bases: B = {v1 = (0, 1, 1, 1), v2 = (2, 1, −1, −1), v3 = (1, 4, 1, −2), v4 = (6, 9, 4, 2)} y B 0 = {w1 = (0, 8, 8), w2 = (−7, 8, 1), w3 = (−6, 9, 1)}. Álgebra Lineal. 54 4.6 Ejercicios a) Hallar [T (v1 )]B 0 , [T (v2 )]B 0 , [T (v3 )]B 0 , [T (v4 )]B 0 . b) Encontrar T (v1 ), T (v2 ), T (v3 ), T (v4 ). c) Hallar T (2, 2, 0, 0). à ! à ! x1 x1 + 7x2 4.12 Sea T : IR2 −→ IR2 la aplicación lineal definida por T = . x2 3x1 + 4x2 Hallar la matriz de T respecto de la base B y aplicar el teorema de semejanza para calcular la matriz de T respecto de la base B 0 , siendo B = {u1 = (2, 2), u2 = (4, −1)} y B 0 = {v1 = (1, 3), v2 = (−1, −1)}. 4.13 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces det(A) = det(B). 4.14 Probar por inducción que si A y B son matrices semejantes entonces An y B n también lo son para cualquier n ∈ IN. 4.15 Dadoel operador linealT : IR3 −→ IR3 tal que [T (x)]B = A[x]B siendo: −2 a 1 A = 1 −2a 1 y B = {u1 = (1, −1, 0), u2 = (0, 1, −1), u3 = (−1, 0, 0)} 1 a −2 a) Hallar la matriz estándar de T . b) Calcular los subespacios ker(T ) y img(T ) según los valores de a. 4.16 Sean T : V −→ W una transformación lineal y S = {v1 , v2 , ..., vn } un conjunto de vectores de V . Demostrar que si el conjunto {T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn )} es linealmente independiente, entonces S es linealmente independiente. ¿Es cierto el recı́proco?. Justificar la respuesta. 4.17 Sea T : IR3 −→ IR3 la aplicación lineal x1 λx1 + µx2 + x3 T = x2 = x1 + λµx2 + x3 . Se pide: x3 x1 + µx2 + λx3 a) Encontrar los valores de λ y µ para los cuáles la imagen de T sea IR3 . ¿Quién es en ese caso el núcleo?. b) Sea λ = 1. Encontrar una base del núcleo en ese caso. c) Sea λ = 1 y µ = 0. Se pide: c.1. Encontrar la matriz de T respecto de la base B = {u1 = (−1, 0, 1), u2 = (0, 1, 0), u3 = (4, 1, 2)}. c.2. Dada la base B 0 = {v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 1, 0), v3 = (−1, 1, −1)}, encontrar la matriz de paso de B a B 0 . c.3. Encontrar la matriz de T en la base B 0 aplicando el teorema de semejanza. 4.18 Sea T : IR3 −→ IR2 la aplicación lineal talque: à ! ( 0 0 x + 2y + z = 0 (i) ker(T ) = (ii) T 0 = 1 2x + y + z = 0 1 à ! 1 2 (iii) T 0 = 1 1 a) Calcular la matriz estándar. b) Calcular las ecuaciones paramétricas de la imagen del subespacio x + y + z = 0. 4.19 Sea T un operador lineal sobre el espacio vectorial V . Demostrar que T ◦ T = 0 ⇐⇒ img(T ) ⊆ ker(T ). (Aquı́ 0 representa la aplicación nula). Álgebra Lineal. 55 4.6 Ejercicios 4.20 En el espacio vectorial real IR4 se definen los subespacios: S1 = lin{(1, 4, 1, −1), (2, 3, 2, 3)}, S2 = lin{(1, 1, 1, −3), (3, −2, 3, −4)}, ( x2 − x4 = 0 S3 tiene por ecuaciones implı́citas y 2x2 + 3x4 = 0 S4 = lin{(0, 1, 0, 0), (1, 0, −1, 2)}. Se considera la aplicación lineal f : IR4 −→ IR4 que cumple: i) f (0, 1, 0, 0) = (−1, 3, 0, −1) ii) ker(f ) = S1 ∩ S2 iii) f (S3 ) = S4 iv) f (1, 1, 0, −3) = (m, −5, n, 2) v) f (1, −1, 1, −1) = (1, −2, a, b) Se pide hallar la matriz estándar de f . 4.21 Dado el espacio vectorial P3 (IR), de las funciones polinómicas de grado menor o igual que tres, se considera la aplicación f : P3 (IR) −→ P3 (IR) definida por f [P (x)] = P (x + 1) + P (x − 1) − 2P (x). Se pide: a) Probar que f es lineal. b) Demostrar que img(f ) = ker(f ). c) Si fuera f : P4 (IR) −→ P4 (IR), ¿se podrı́a dar img(f ) = ker(f )?. Razonarlo sin calcular la imagen y el núcleo de f . d) Probar que: ∀Q(x) ∈ img(f ), existe un único P (x) ∈ P3 (IR) que verifica que f [P (x)] = Q(x) y P (0) = P 0 (0) = 0. 4.22 Sea f : IR4 −→ IR4 un operador lineal, del que se sabe que: f (1, 1, 0, 0) = (0, 1, 0, −1) y f (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0). Hallar la matriz estándar de f en cada uno de los siguientes supuestos: a) ker f = img f . b) f ◦ f = Id (la identidad). c) f ◦ f = f . Álgebra Lineal. 56