cb Demostrar que b f ( x)dx c f (cx)dx ca a Supondremos que la función f (cx) es integrable en el intervalo a, b , y demostraremos que f ( x) es integrable en el intervalo ca, cb , y que las integrales respectivas son iguales. Demostración (Haremos la demostración sólo para c 0 ) Supongamos que f (cx) es integrable en el intervalo a, b , por el Criterio de integrabilidad sabemos que , tn b partición de a, b Para todo 0 existe una P a t0 , tal que U f (cx), P L f (cx), P Donde U f (cx), P n M t t , i i 1 i i 1 c y L f (cx), P n m t i 1 i i ti 1 , M i sup f (cx) : ti 1 x ti , i 1..n y mi inf f (cx) : ti 1 x ti , i 1..n Sea P ' t0' ca, , ti' cti , , tn b del intervalo a, b . de la partición P t0 a, Sean U f , P ' , tn' ctn una partición del intervalo ca, cb construida a partir M t t n i 1 ' i ' i ' i 1 y L f , P ' m t t n i 1 Donde M i' sup f ( x) : ti'1 x ti' , i 1..n ' i ' i ' i 1 mi' inf f ( x) : ti'1 x ti' , i 1..n y Pero, M i sup f (cx) : ti 1 x ti sup f ( x) : cti 1 x cti sup f ( x) : ti'1 x ti' M i' , i 1..n y mi inf f (cx) : ti 1 x ti inf f ( x) : cti 1 x cti inf f ( x) : ti'1 x ti' mi' , i 1..n Entonces U ( f , P ') M i' ti' ti'1 M i cti cti 1 c M i ti ti 1 cU ( f (cx), P) n n n i 1 i 1 i 1 1 y L( f , P ') mi' ti' ti'1 mi cti cti 1 c mi ti ti 1 cL( f (cx ), P ) n n n i 1 i 1 i 1 Por tanto, dado 0 existe una partición P ' t0' ca, , ti' cti , , tn' ctn de ca, cb , tal que c U ( f , P ') L( f , P ') cU ( f (cx), P) cL( f (cx), P) c U ( f (cx), P) L( f (cx), P) c Por tanto, la función f ( x) es integrable en el intervalo ca, cb , siempre que la función f (cx) es integrable en el intervalo a, b . Por otro lado, cb b ca a f ( x)dx sup L f , P ' sup cL f (cx), P c sup L f (cx), P c f (cx)dx Por tanto, cb b ca a f ( x)dx c f (cx)dx Q.E.D. 2