20-1 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena 20. Absorción y emisión estimulada de fotones por electrones ligados. Coeficientes de Einstein. [Gre 2.1,2.3; passim] Absorción de fotones en un átomo El proceso de absorción de un fotón E∗ por un electrón ligado en un átomo se puede interpretar, evidentemente, γ(k, η) como la inversión temporal del proceso de emisión. Dado que las interacciones electromagnéticas son simétricas E0 (invariantes) bajo inversión temporal, esperamos que la probabilidad sea la E(k) = �ck = |E ∗ − E0 | misma para ambos procesos. Es fácil comprobar esto explı́citamente calculando la amplitud de transición de absorción. El elemento de matriz relevante ahora es (1) hf |Ĥint |ii , |ii = |ψi ; k, ηi , |f i = |ψf i . (20.1) Sustituyendo (1) hf |Ĥint |ii = − |e|~ 2πm Z n X d3 k 0 0 p εη0 (k0 ) · hψf |eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi ; k, ηi + E(k0 ) η0 =± o 0 hψf |e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi ; k, ηi , (20.2) y los elementos de matriz fotónicos ahora son 0 0 hψf |eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi ; k, ηi = hψi ; k, η|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψf i∗ 0 = hψi ; k, η|e−ik ·x p̂|ψf ; k0 , η 0 i∗ 0 = δηη0 δ (3) (k − k0 ) hψf |eik ·x p̂|ψi i , (20.3) 0 hψf |e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi ; k, ηi = 0 , ergo (1) hf |Ĥint |ii = − |e|~ 1 p εη (k) · hψf |eik·x p̂|ψi i . 2πm E(k) (20.4) Esta amplitud es el complejo conjugado de la del proceso de emisión entre los mismos niveles — i.e. la probabilidad correspondiente es idéntica, como esperábamos. 20-2 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena E∗ Emisión espontánea y emisión estimulada Volvamos ahora al proceso de emisión de un fotón por un átomo excitado. La diferencia con el caso γ(k, η) que estudiamos anteriormente es que ahora suponE∗ dremos que en el sistema, además del átomo, están presentes fotones libres que tienen los mismos números cuánticos (k, η) del fotón emitido que aparece en el estado final. Dichos fotones no interE0 actúan con el átomo, pero están presentes tanto en el estado inicial como en el estado final del proceso; γ(k, η) por simplicidad, supondremos que hay un número finito n de dichos fotones “espectadores”. El resultado crucial es que la probabilidad del proceso |ψi ; n(k, η)i −→ |ψf ; (n + 1)(k, η)i γ(k, η) γ(k, η) E0 γ(k, η) E(k) = �ck = |E ∗ − E0 | (20.5) es proporcional al número de fotones, i.e. aumenta en presencia de fotones espectadores (Einstein 1917). Este fenómeno lleva a distinguir entre emisión espontánea (cuando el átomo no está inmerso en un fondo de radiación) y emisión estimulada (cuando el átomo está rodeado por un fondo de radiación de fotones con la frecuencia y polarización adecuadas). Este es el mecanismo que se explota para generar un haz láser — palabra que, como se sabe, es un acrónimo de la expresión light amplified by stimulated emission of radiation. La idea es relativamente sencilla: supongamos un gas en una cavidad óptica cilı́ndrica (1), cerrada en los extremos por dos tapas de material altamente reflectante (3,4), una de las cuales tiene un orificio (5). Los átomos del gas son excitados a través de algún mecanismo (llamado de bombeo) (2), e.g. corrientes eléctricas o luz con una frecuencia distinta a la que se quiere obtener. Cuando los átomos excitados decaen, producen fotones con una cierta longitud de onda, que se propagan en la cavidad y forman un fondo de radiación; la aparición de dicho fondo estimula la emisión de más fotones de la misma frecuencia, y el aumento de la probabilidad del proceso con la densidad del fondo de radiación da lugar a un fenómeno de amplificación por cascada. El resultado es un haz láser — luz coherente, intensa, monocromática y polarizada — emitido a través del orificio de la cavidad. Para demostrar el resultado de partida usando el formalismo que hemos de(1) sarrollado, es suficiente recalcular el elemento de matriz de Ĥint entre los nuevos Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena 20-3 estados inicial y final: (1) hf |Ĥint |ii = − |e|~ 2πm Z X d3 k 0 p εη0 (k0 )· 0 E(k ) η0 =± n 0 hψf ; (n + 1)(k, η)|eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi ; n(k, η)i + o 0 hψf ; (n + 1)(k, η)|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi ; n(k, η)i . (20.6) El primer elemento de matriz es cero (una vez aplicado âη0 (k0 ) los estados externos tienen números de fotones que difieren en dos unidades), mientras que el segundo es 0 hψf ; (n + 1)(k, η)|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi ; n(k, η)i = √ = n + 1 δηη0 δ (3) (k − k0 )hψf |e−ik·x p̂|ψi i , (20.7) √ donde hemos usado â†η (k)|n(k, η)i = n + 1 |(n + 1)(k, η)i. La consecuencia inmediata es que la relación entre las amplitudes Tf i de las emisiones espontánea y estimulada es Tf i (n) = √ n + 1 Tf i , (20.8) y por lo tanto las respectivas probabilidades ∝ |Tf i |2 difieren por un factor (n + 1) (o ≈ n si n es un número grande, lo que siempre será una buena aproximación en presencia de un fondo denso de radiación). Aspectos estadı́sticos: coeficientes de Einstein En teorı́a cuántica de la radiación, es frecuente considerar sistemas macroscópicos (e.g. el gas que se usa para producir un haz láser como descrito anteriormente), que deben ser tratados con técnicas estadı́sticas. El sistema (idealizado) más sencillo posible estarı́a constituido por átomos sometidos a condiciones tales que sólo pueden estar en dos estados, con energı́as1 E1 < E2 , más fotones con frecuencias ω = (E2 − E1 )/~ que pueden ser emitidos o absorbidos por los átomos. Distinguiremos entre tres procesos posibles: absorción, emisión espontánea y emisión estimulada. Llamemos ni el número de átomos en el estado con energı́a Ei por unidad de volumen. Suponiendo que el sistema evolucione alrededor del equilibrio, la dependencia temporal de n1,2 se podrá describir con tres ecuaciones diferenciales de primer orden, una por cada tipo de proceso: n1 aumentará debido a procesos de emisión, y 1 Para simplificar las convenciones, tomaremos las energı́as positivas. 20-4 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena n2 aumentará debido a procesos de absorción, según las leyes dn1 := A21 n2 (t) , dt emisión espontánea dn1 := B21 n2 (t) ρ(ω) , dt emisión estimulada dn1 := −B12 n1 (t) ρ(ω) , dt absorción (20.9) donde en las dos últimas ecuaciones se ha tenido en cuenta que la probabilidad de que el proceso ocurra, además de ser proporcional a la densidad de la especie de átomo en el estado inicial, lo es también a la densidad de fotones ρ(ω). Suponiendo de nuevo que el subsistema de fotones esté aproximadamente en equilibrio, podemos usar la fórmula que se sigue de la distribución de Bose-Einstein para un gas de fotones libres ρ(ω) = ~ω 3 ~ω . 2π 2 c2 e− kT − 1 (20.10) Las cantidades A21 , B21 , B12 son llamadas coeficientes de Einstein; los signos de las ecuaciones se han elegido de manera que los tres sean positivos. Esta definición de los coeficientes de Einstein es puramente fenomenológica, y se basa en la descripción macroscópica del sistema. Nuestro objetivo será derivarlos de cantidades relacionadas con la dinámica microscópica, i.e. con las interacciones fotón-átomo. Interdependencia de los coeficientes Antes de hacerlo, conviene ver que los tres coeficientes no son independientes. Para ello empezamos observando que, al estar el sistema en equilibrio, se cumple la condición de balance detallado: dn1 = 0 ⇔ A21 N2 + B21 n2 ρ(ω) − B12 n1 ρ(ω) = 0 . (20.11) dt total Esto introduce una ligadura entre los tres coeficientes. Por otra parte, las densidades n1,2 se pueden escribir en términos de la densidad total de átomos n como Ei gi e− kT ni = , n Z (20.12) donde Z es la función de partición del sistema y gi es el factor de degeneración del estado (e.g. gi = 2 para un orbital s, gi = 6 para un orbital p etc.). Usando Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena 20-5 ∆E = ~ω e introduciéndolo en (20.11) se obtiene una ligadura válida ∀ T , ~ω ~ω A21 g2 e− kT + B21 g2 e− kT ~ω 3 ~ω 3 ~ω = B12 g1 ~ω . 2π 2 c2 e− kT − 1 2π 2 c2 e− kT − 1 (20.13) En el lı́mite kT ~ω, razonable salvo para sistemas extremadamente frı́os, esta condición se simplifica considerablemente: desarrollando en serie de potencias de ~ω y = kT e imponiendo que la igualdad se cumpla orden a orden en y, de los dos primeros órdenes se obtiene g2 B12 = , B21 g1 A21 ~ω 3 = 2 2, B21 2π c (20.14) i.e. sólo uno de los coeficientes es independiente. Relación con la dinámica microscópica: fuerzas de oscilador Ahora nos concentraremos en el proceso de absorción, y trataremos de relacionar el correspondiente coeficiente B12 con las amplitudes de transición microscópicas. Sabemos que la probabilidad del proceso en un único átomo es de la forma W (i → f ) = cte × (E2 − E1 )|h2, q2 |x̂|1, q1 i|2 , (20.15) donde q1,2 son números cuánticos asociados a la degeneración (e.g. terceras componentes de momento angular/spin). Es habitual parametrizar esta probabilidad en términos de una cantidad sin dimensiones llamada fuerza de oscilador (oscillator strength), definida como 3 f12 := XX 2 me (E − E ) |h2, q2 |x̂j |1, q1 i|2 , 2 1 3 ~2 q 2 (20.16) j=1 donde me es la masa del electrón. Por otra parte, dada W (i → f ) es posible derivar la sección eficaz total por unidad de tiempo σ̃abs del proceso de absorción, tratado como una dispersión inelástica átomo-fotón. Usando las fórmulas vistas en teorı́a de la dispersión se halla (ejercicio) σ̃abs = πe2 f12 . me c (20.17) Ahora bien: si volvemos a las ecuaciones donde han sido introducidos los coeficientes de Einstein, es evidente que B12 se puede interpretar como la probabilidad de absorción de un fotón por unidad de tiempo, ángulo sólido y energı́a. Suponiendo que el proceso sea perfectamente isótropo, esto significa B12 = 4π 4π σ̃abs = σ̃abs . Eγ ~ω (20.18) 20-6 Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena Uniendo las dos ecuaciones es inmediato relacionar B12 con f12 , que es precisamente lo que querı́amos. Usando también (20.14), la relación final entre la fuerza de oscilador y los tres coeficientes de Einstein es B12 = 4π 2 α f12 , me ω B21 = 4π 2 α g1 f12 , me ω g2 A21 = 2α~ω 2 g1 f12 . me c2 g2 (20.19) Esto permite predecir el comportamiento del sistema macroscópico en términos de la cantidad microscópica f12 .