Fasores

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TÉCNICA INDUSTRIAL
INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ
Fasores
Las senoides se expresan fácilmente en términos de fasores, es más cómodo trabajar que con las funciones
seno y coseno.
“Un fasor es un numero complejo que representa la amplitud y la fase de una senoide”
Los fasores brinda un medio sencillo para analizar circuiros lineales excitados por fuentes senoidales; las
soluciones de tales circuitos serian impracticables de otra manera. La nocion de resolver circuitos de corriente alterna usando fasores es idea original de Charlez Proteus Steinmetz (1865-1923). Un número
complejo z se escribe en forma rectangular como:
Donde
; “x” es la parte real de “z” y “y” es la parte imaginaria de “z”, el numero complejo “z”
√
también se escribe en forma polar o exponencial, como sigue;
Donde “r” es la magnitud de “z” y “φ” la fase de “z”, se advierte que “z” se representa de tres maneras:
La relación entre la forma rectangular y polar se muestra en la figura siguiente donde el eje “x” representa
la parte real, el eje y representa la parte imaginaria de un numero complejo, dadas “x” y “y”, se obtienen
“r” y “φ” como sigue:
√
tan
( )
El numero complejo “z” se escribe como sigue:
( s
sin )
La suma y resta de números complejos es más sencilla en la forma rectangular, la multiplicación y división
lo son en forma polar, dados los números complejos:
(
)
(
√
√
)
( )
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Excitación compleja
Se comienza por tomar la cantidad compleja;
s
sin
sen
s
sen
s
( s
sen )
Integrando
ln( )
Si θ = 0
s( )
sin( )
ln( )
c=0
ln( )
Tomando antilogaritmos;
Y si se hace;
s
sin
s( )
sin( )
Se obtiene:
La identidad de Euler es;
( s
sin )
( s
sin )
s( )
s( )
(
( s
sin )
)
( s
sin )
sen( )
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sen( )
s( )
(
)
√
sin( )
tan
( )
EXCITACIÓN SINUSOIDAL (Corriente Alterna)
Para utilizar una excitación sinusoidal lo ms completa posible se usa;
( )
(
)
( )
(
)
En donde las minúsculas representan los valores instantáneos y las letras con mayúsculas son representativas de cantidades con una magnitud máxima, w es la frecuencia de repetición de los ciclos que se producen en la forma de onda y los ángulos φ y θ indican el desfasamiento de la excitación con respecto a la
respuesta.
( )
)
)
s(
sen(
Si se aplica esta forma de onda a un circuito formado por dispositivos pasivos, se cumple el “principio de
superposición”;
circuito
pasivo
v(t)
s
i(t)
s
Esto es: Una función sinusoidal compleja produce una respuesta compleja, y según el principio de superposición, es correcto suponer que la parte real de la excitación produce la parte real de la respuesta y de la
misma forma la parte imaginaria de la entrada produce la parte imaginaria de la salida.
( )
( )
(
[
circuito
pasivo
(
[
[
R [ v(t) ]
E s
)
s(
R [ i(t) ]
E s
)
)
(
]
)
]
)
sen(
]
(
[
)
s(
)
sen(
)
IMG [ v(t) ]
s
]
circuito
pasivo
IMG [ i(t) ]
s
Principio de superposición
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Representación Fasorial
Una corriente sinusoidal real:
( )
)
s(
Es la expresión de la parte real de una función compleja:
(
)
(
(
[
)
)
]
[
)
s(
(
sen(
)
]
)
Es decir la corriente i(t) se puede representar por una cantidad compleja si;
(
( )
Al suprimir el factor
(
)
)
y expresar el resultado en forma polar se obtiene “el fasor” corriente.
Esta forma abreviada es la representación fasorial de la corriente i(t) y contiene información únicamente
) es una representación en el dominio del
sobre la amplitud y la fase. La expresión ( )
s(
tiempo y el fasor
es una representación en el dominio de la frecuencia, al proceso por el cual
se cambia i(t) por I se le llama “transformación fasorail entre el dominio del tiempo y el dominio de la
frecuencia cuyos pasos son;
1) Dada una función sinusoidal en el dominio del tiempo se escribe la función como una onda coseno.
2) Se expresa la onda coseno como la parte real de una cantidad compleja
3) Se suprime el factor
(
)
INTERPRETACIÓN VECTORIAL DE UN FASOR
Una función senoidal se representa con un fasor que es un número complejo, al representarlo como un
vector giratorio, que se conoce como “vector de Fresnel”, y que tiene las siguientes características:


Gira con una velocidad angular ω.
Su módulo es el valor de pico o su valor eficaz.
La Figura muestra la representación fasorial o vectorial de la onda senoidal correspondiente a la ecuación
siguiente:
( )
(
)
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Representación fasorial o vectorial de la onda senoidal.
Ejemplo;
Cambiar al dominio de la frecuencia la expresión:
( )
s(
( )
)
(
[
)
]
( )
Ejemplo;
Indicar a la corriente i(t) en forma fasorial:
( )
sen(
( )
)
s(
( )
)
s(
)
Relaciones Fasoriales
-
v(t)
R
-
Al circuito de la figura se le aplica la tensión compleja:
( )
(
)
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Y se obtiene como respuesta la corriente compleja:
(
( )
( )
(
)
( )
)
(
( )
)
( )
Expresado en forma fasorial;
Como se trata de una resistencia como único elemento del circuito, no almacena energía, la igualdad de los
ángulos y φ es evidente, la tensión y la corriente en una resistencia se encuentran en fase.
(
)
( )
Considerando a la bobina la ecuación que la define es;
-
v(t)
L
( )
( )
Si la señal de entrada es una excitación compleja se hace;
(
(
( )
(
)
)
[
(
)
(
)
)
( )
]
( )
( )
( )
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La bobina almacena energía, es decir, guarda dentro de ella una carga en forma de campo magnético, esto
hace producir efectos eléctricos que varían con el tiempo por tal motivo es evidente que los ángulos ϕ y φ
no son idénticos.
Para un capacitor su expresión como una corriente en el dominio del tiempo es;
-
C
v(t)
-
( )
(
)
(
( )
(
)
( )
(
)
(
)
)
( )
( )
( )
De la misma forma que la bobina, el capacitor almacena energía entre sus placas, la diferencia con respecto al inductor es que lo hace almacenando una carga en forma de un campo eléctrico evidentemente los
ángulos y φ, no son iguales.
Al examinar el circuito RC serie que se muestra en la figura, y aplicando métodos fasoriales;
R
R
C
C
i(t)
i(t)
V
v(t)
Dominio del tiempo
Dominio de la frecuencia
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( )
)
sin(
( )
)
s(
Aplicando la ley de ohm al circuito RC serie:
(
)
( )
√
(
tan (
)
)
[ tan (
( )
√
(
)
[
( )
√
(
tan (
]
)
)
[
( )
√
]
)
(
tan (
)]
)
Ejemplo: Sea C1 = 800 uF, C2 = 1200 uF, w = 1000 Hz, se pide determinar I e i(t).
1 mH
10
0
0
C2
C1
Solución;
(
)(
(
)(
)
)
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(
)
La impedancia de las reactancias capacitivas en paralelo es;
(
) (
)
(
(
)
)
J
0
10
0
( )
0.5J
)
s(
( )
sen (
)
Ejemplo:
Para el circuito que se muestra se pide encontrar la respuesta i(t).
1.5 W
1W
i(t)
v(t)
1H
1F
3
6
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
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( )
1.5
0
40 -90
(
1-2j
j
(
(
)
(
)
( )
()
√( )
)
tan
(
) tan (
√(
( )
(
s(
)(
)(
)
)
)
)
)
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Ejemplo:
En el circuito que se muestra en la figura, mediciones experimentales con w = 1000 Hz demuestran que
i(t)=sen(1000t) cuando v(t) = 107.8 cos (1000t - 68.2°). Determinar la red especifica más sencilla que se
encuentra dentro del interior de la caja.
i(t)
Caja
v(t)
2mH
( )
( )
s(
(
)
)
s(
)
(
)(
)
(
(
)
)(
(
)
(
)
(
(
)
)
)
Dentro de la caja existe una resistencia de 5 ohms.
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