Sistemas Inestables - Universidad de Guanajuato

Sistemas Vibratorios Inestables.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
Salamanca, Gto. 38730, México
email: jrico@salamanca.ugto.mx
1
Introducción
En estas notas se presenta la génesis y análisis de los sistemas vibratorios
inestables.
2
Estabilidad de un Sistema Mecánico.
Empezaremos esta sección dando una definición rudimentaria pero simple
de la estabilidad o inestabilidad de una posición de equilibrio de un sistema
mecánico.
Un sistema mecánico se dice que está en una posición de equilibrio
estable si cuando se separa de su posición de equilibrio, el sistema tiende
a regresar a la posición de equilibrio. Un sistema mecánico se dice que
está en una posición de equilibrio inestable si cuando se separa de su
posición de equilibrio, el sistema tiende a alejarse cada vez mas de la posición
de equilibrio. Un sistema mecánico se dice que está en una posición de
equilibrio indiferente si cuando se separa de su posición de equilibrio, el
sistema adopta la nueva posición como una nueva posición de equilibrio. Es
importante notar que la estabilidad de un sistema mecánico, en una posición
de equilibrio, es una propiedad de la vecindad de la posición de equilibrio.
Considere el sistema formado por un cilı́ndro y el piso mostrado en la
Figura 1. El piso tiene una región cóncava, A, una región convexa, B, y
1
Figure 1: Sistema Esfera Piso en Tres Diferentes Posiciones de Equilibrio.
una región plana horizontal, C. En el punto más bajo de la región cóncava,
A, el sistema se encuentra en una posición de equilibrio estable, en el punto
más alto de la región convexa, B, el sistema se encuentra en una posición de
equilibrio inestable; finalmente en la región plana y horizontal del piso, C, el
sistema se encuentra en una posición de equilibrio indeferente.
Considere ahora el sistema vibratorio mostrado en la Figura 2, el sistema
consiste de una barra homogenea y uniforme de masa m y longitud L.
Separando el sistema de su posición de equilibrio, un pequeño ángulo θ,
el diagrama de cuerpo libre, tambien mostrado en la Figura 2, la ecuación,
linealizada, de Newton-Euler del sistema está dada por
ΣTO = IO α
mg
d θ2
L
1
θ − 2 k a2 θ = m L2 2 .
2
3
dt
(1)
Por lo tanto, la ecuación de movimiento del sistema vibratorio está dada por
1
d θ2
1
m L2 2 + 2 k a2 − m g L = 0.
3
dt
2
Es necesario, en esta situación, distinguir tres casos.
1. En un primer caso, suponga que
2 k a2 −
2
1
m g L > 0.
2
(2)
Figure 2: Sistema Vibratorio en el que la Gravedad Actúa Como un Resorte
Negativo.
En este caso, comparando la ecuación (2) con la ecuación tı́pica de
sistemas vibratorios,
d2 y
M 2 + k y = 0,
dt
se tiene que el sistema es estable, vibra alrededor de la posición de
equilibrio, y la frecuencia natural está dada por
ωn =
2 k a2
− 12 m g L
1
m L2
3
(3)
2. En un segundo caso, suponga que
1
m g L = 0.
2
En este caso la ecuación diferencial se reduce a
2 k a2 −
(4)
d θ2
1
m L2 2 = 0.
3
dt
y el sistema está en una posición de equilibrio indiferente. Es importante notar que esta posición de equilibrio indiferente depende fuertemente de la linealización del sistema. Además, es practicamente imposible seleccionar la constante del resorte y las dimensiones del sistema
de manera que la ecuación (4) se satisfaga exactamente.
3
3. En el caso final suponga que
2 k a2 −
1
m g L < 0.
2
(5)
En este caso, sustituyendo la desigualdad (5) en la ecuación (2) es
posible reescribirla como
d θ2
1
1
m L2 2 −
m g L − 2 k a2 θ = 0,
3
dt
2
(6)
donde se sabe que 12 m g L − 2 k a2 es positivo. A primera vista parece
razonable suponer que, en este caso, la frecuencia natural del sistema
está dada por
2 k a2 − 1 m g L
2
ωn = ±i (7)
1
m
L2
3
Sin embargo, habrı́a que indicar cual es el significado de frecuencias
naturales imaginarias. En realidad, necesario tomar en cuenta que la
frecuencia natural se obtuvo cuando las raices de la ecuación caracterı́stica son imaginarias. Si la ecuación del sistema está dada por la
ecuación (6), entonces, las raices del sistema están dadas por
λ1,2 =
1
±2
m g L − 2 k a2
1
m L2
3
(8)
Es decir, las raices son ambas reales, del mismo valor absoluto pero de
signo opuesto y diferentes de cero. De manera que la solución general
de la ecuación diferencial está dada por
θ(t) = C1 e+λ t + C2 e−λ t
donde
λ=
1
2
(9)
m g L − 2 k a2
1
m L2
3
Finalmente, se puede probar que si el sistema se separa de su posición
de equilibrio, el sistema se alejará cada vez mas de ella, por lo que la
posición de equilibrio mostrada en la Figura 2 es inestable.
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Suponga que las condiciones iniciales son: Para t = 0, θ(0) = θ0 y
θ̇(0) = 0. Entonces, derivando la ecuación (9), se tiene que
θ0 = C1 e0 + C2 e0 = C1 + C2
0 = C1 λ e0 − C2 λ e0 .
Por lo tanto, el sistema lineal resultante es
θ0 = C1 + C2
0 = C1 − C2 .
Es pues evidente, que las soluciones son
C1 = C2 =
θ0
.
2
Mas aún, la solución particular está dada por
θ(t) =
θ0 λ t θ0 −λ t
e − e
2
2
(10)
Es pues evidente que mientras la segunda parte de la solución particular
tiende a 0 cuando t tiende a infinito. La primera parte tiende a infinito
cuando t tiende a infinito.
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