II.1. Introducción. Caracterización de señales

Tema II. Señales, sistemas
y perturbaciones.
II.1. INTRODUCCIÓN.
CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES.
II.2. PERTURBACIONES EN LOS
SISTEMAS DE TRANSMISIÓN.
II.3. SEÑALES PASO BANDA DE
BANDA ESTRECHA.
Teoría de la Comunicación, www.eps.uam.es/~tco
2º Ing. de Telecomunicación
Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de Madrid
Jorge A. Ruiz Cruz (jorge.ruizcruz@uam.es, www.eps.uam.es/~jruiz)
TCO (2007-08)
Teoría de la Comunicación
1
J.A.R.C
ver. 0.b
II.1. INTRODUCCIÓN.
CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES
II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
II.1.2. Parámetros fundamentales
de una señal
II.1.3. Unidades logarítmicas
TCO (2007-08)
J.A.R.C
II. Señales, sistemas y perturbaciones.
2
ver. 0.b
II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
¾ En un sistema de comunicaciones, lo más habitual es que las señales sean
magnitudes “eléctricas” (es decir, asociadas a algún fenómeno electromagnético)
dependientes del tiempo:
- tensiones
- corrientes
- componentes de campos electromagnéticos (bien de ondas
guiadas, bien de ondas por el espacio libre),....
¾ Se pueden establecer varias clasificaciones de las señales de
comunicaciones, de las que ahora se verán:
- A) determinista, aleatoria
- B) Periódica y no periódica
- C) de energía o de potencia
- D) según su contenido espectral: banda base y paso banda
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II.1. Introducción. Caracterización de señales.
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ver. 0.b
¾ A) Clasificación según deterministas/aleatorias:
- Deterministas (función específica del tiempo). Ej:
- Aleatorias: para un instante dado, cada valor posible que puede tomar la señal tiene una
probabilidad asociada . En este último caso se trabaja con procesos estocásticos. Ej:
(Φ≡ Φ(χ) es una variable aleatoria)
* formalmente la señal anterior depende dos variables: la temporal
(t, que toma valores en R), y la asociada al espacio de probabilidad
(χ, que toma valores en el espacio muestral Ω)
¾ B) Clasificación según periódica (x(t)=x(t+To)) y no periódica
- Las señales deterministas quedan completamente determinadas por su función de
variación en el tiempo o por su espectro.
- Si la señal es periódica, su espectro es el Desarrollo en Serie de Fourier (DSF).
- Si es no periódica, su espectro es la Transformada de Fourier (TF).
- Las señales aleatorias también tienen descripción espectral (p. ej. la densidad
espectral de potencia), pero necesitan además la descripción probabilística.
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II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
4
ver. 0.b
¾ C) Clasificación en señales de energía ó señales de potencia:
- Una señal puede ser representada típicamente como un
voltaje v(t) o una corriente i(t) sobre una resistencia R.
La potencia instantánea de estas señales son:
- Normalmente se trabaja con resistencias normalizadas (como
50Ω en sistemas de RF, 75Ω en TV, ó 1 Ω por simplicidad), y por
tanto se puede escribir, sin pérdida de generalidad:
*si la resistencia no fuera 1Ω y se necesitara el valor real de la potencia,
simplemente habría que desnormalizar con la resistencia adecuada
- La energía disipada en un periodo de tiempo T será:
- La energía media disipada será:
- La potencia disipada en un periodo de tiempo T será:
- La potencia media disipada será:
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II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
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ver. 0.b
¾ C) Clasificación en señales de energía ó señales de potencia (cont.):
- De acuerdo a las definiciones anteriores, las señales se pueden dividir en aquellas que
tienen energía media finita y aquellas que tienen potencia media finita
- C.1) Señales de energía: aquellas que su energía media es finita:
* Tienen potencia media nula Px=0 y tienen asociada una función densidad espectral de energía
(ver II.1.2)
* Ej: Típicamente son funciones acotadas y limitadas en el tiempo (p.ej. la función pulso
x(t)=Π(t) o la función triangular x(t)=Δ(t) )
- C.2) Señales de potencia: aquellas que Ex=∞ y su potencia media es finita:
* Tienen asociada una función de densidad espectral de potencia
(ver II.1.2)
* Las señales periódicas x(t)=x(t+To) son señales de potencia,
y la expresión de su potencia media se simplifica a:
* Normalmente, las señales aleatorias son señales de potencia
- Una señal no puede ser a la vez de energía y de potencia
- Una señal podría no ser ni de energía ni de potencia, pero en sistemas de
comunicaciones no se suelen dar.
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II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
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ver. 0.b
¾ D) Clasif. en banda base vs. paso banda (modulación de canal)
|X(f)|
- D.1.1) Banda base (no hay portadoras) en sistemas analógicos
(caso 1)
x(t)
TF
0
(caso 2)
t
f
B
B=ancho
de banda
f
B
0
* Señal en tiempo continuo y con valores continuos, cuyo espectro está
concentrado en torno a la frecuencia f=0. Ej: salida de un micrófono o de una cámara de video.
- D.1.2) Banda base (no hay portadoras) en sistemas digitales.
(ej. 1)
x(t)
|X(f)|
t
(ej. 2) x(t)
10
11
00
10
10
11
00
01
B=ancho
de banda
TF
0
t
f
B
* Señal en tiempo continuo, donde en cada periodo de símbolo la señal se toma de un conjunto finito
de pulsos con espectro concentrado a la frecuencia f=0. Ej: señal de cables LAN
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II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
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ver. 0.b
- D.2.1) Paso banda (hay portadoras) en sistemas analógicos.
y(t)
t
f
* Señal en tiempo continuo y con valores continuos, con su espectro centrado alrededor de una determinada
frecuencia (normalmente “altas”) ≠0 . Ej: señal emitida por una emisora de radio
(ej. 1)
(ej. 2)
y(t)
fc
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II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
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ver. 0.b
¾ Otras clasificaciones/tipos de señales:
x(t)
- Señales en tiempo discreto, con
valores continuos:
- Señales en tiempo discreto, con valores
pertenecientes a un conjunto finito:
Ej: Muestreo de
una señal de voz
t
x(t)
(ver Tema IV.1)
Ej: Cuantificación de una
señal de voz muestreada
t
- Uni/Multi-dimensionales (audio/video),...
- Una señal con características especiales es la señal sinusoidal: x(t)= cos(ωot+φ) =
=cos(2πfot+φ), que también se conoce como tono o portadora.
Su espectro es una delta a la frecuencia f0 (y su correspondiente delta en –fo).
- Cuando se utiliza como portadora (carrier), f0 es una frecuencia “alta” (mucho mayor
que la máxima frecuencia de la señal de información) y se suele utilizar la letra fc.
- Sin embargo, a veces se utiliza como ejemplo de señal de información en banda base (tono
con f0 menor o igual que la máxima frecuencia de la señal de información) porque se puede
manipular matemáticamente de manera muy sencilla y evaluar el sistema de manera analítica.
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II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
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ver. 0.b
¾ Ejemplos de señales analógicas:
- Señal de audio:
* Audio: cualquier tipo de señal de sonido. Oído humano capta aprox. entre
20 Hz y 20 KHz. En radiodifusión AM se utiliza B ≈ 7 KHz y en FM B ≈ 15 KHz.
* Voz: sonidos producidos por el hombre. Energía aproximadamente
entre 100 Hz y 7.8 KHz. En telefonía clásica se utiliza B ≈ 3.4 KHz.
- Señal de vídeo:
* Señal de vídeo monocromo: resultado de la transformación de la iluminación en
función de la posición y del tiempo en una señal 1-D (tensión en función del tiempo).
Su ancho de banda es del orden de B ≈ 5.5 MHz.
* La señal de vídeo a color necesita tres componentes. La señal de televisión
analógica modulada con el procesamiento necesario (video + audio) ocupa
aproximadamente B ≈ 7 MHz.
¾ Ejemplos de señales digitales: conversión A/D de las señales de audio y vídeo,
señales de datos (ver tema IV.1).
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J.A.R.C
II.1.1. Tipos de señales y ejemplos.
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ver. 0.b
II.1.2. Parámetros fundamentales de una señal.
¾ Aunque la variación temporal o el espectro de una señal caracterizan por completo
a una señal, muchas veces bastan parámetros más simples:
“el rendimiento de un sistema no suele depender de la forma
específica de la señal, sino de alguno de sus parámetros”
¾ Ahora se verán algunos parámetros de interés:
- Valor medio:
señales periódicas
señales periódicas
- Energía media
y potencia media
(vistos en II.1.1):
- Potencia continua y alterna:
- Valor cuadrático medio (rms) y valor eficaz:
TCO (2007-08)
II.1. Introducción. Caracterización de señales.
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J.A.R.C
ver. 0.b
¾ Densidad espectral de energía (d.e.e.): función que dice como está distribuida
la energía de la señal sobre el espectro (para señales de energía ↔ Ex<∞):
X(f) es la transformada
de Fourier de x(t)
Energía en la banda de frecuencias entre f1 y f2
Energía media total (calculada a través de la d.e.e.)
¾ Densidad espectral de potencia (d.e.p): función que dice como está distribuida la
potencia de la señal sobre el espectro (para señales de potencia ↔ 0< Px<∞ ):
XT(f) se calcula como
(ver Ap. B):
Potencia en la banda de frecuencias entre f1 y f2
Potencia media total (calculada a través de la d.e.p.)
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II.1.2. Parámetros fundamentales de una señal.
12
ver. 0.b
¾ Densidad espectral de pot. para señales periódicas (que son señales de potencia):
Cn son los coeficientes del Desarrollo en Serie de
Fourier de x(t), que tiene periodo fundamentalT0=1/f0
Potencia en función de los coeficientes Cn
¾ Filtrado por sistemas LTI: cuando una señal de energía (potencia) pasa a través
de un LTI, su d.e.e. (d.e.p.) queda relacionada con la de entrada por:
x(t) de
energía
LTI
x(t) de
potencia
LTI
¾ Para los procesos estocásticos (que son señales de potencia), existen expresiones
formalmente idénticas, que se verán al tratar el ruido (II.2.6)
TCO (2007-08)
II.1.2. Parámetros fundamentales de una señal.
13
J.A.R.C
ver. 0.b
II.1.3. Unidades logarítmicas.
¾ Normalmente, las señales y sus perturbaciones se definen en escalas logarítmicas.
- Son relativas y adimensionales
- Permiten manejar señales muy fuertes y muy débiles características de los
sistemas de comunicaciones
- Convierten multiplicaciones/divisiones en sumas/restas
- Las respuestas de los órganos sensoriales son proporcionales a los logaritmos de las
excitaciones
¾ Forma general de las unidades logarítmicas:
- x1,x2 son los valores de la magnitud (expresados en las mismas unidades naturales)
- Q es el valor resultante en unidades logarítmicas
- b es la base del logaritmo (10 o e)
- k es un factor de proporcionalidad (10 ó 20 para b=10; 1 ó ½ para b=e)
- Si x1 es una referencia, Q se denomina nivel
TCO (2007-08)
J.A.R.C
II.1. Introducción. Caracterización de señales.
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ver. 0.b
¾ Definición: Una relación en decibelios entre dos potencias p1, p2
expresadas en las mismas unidades naturales se define como:
- Cuando se trabaja con amplificadores (para otros dispositivos
se procedería igual), la ganancia de potencia y tensión del
amplificador vendrá dada en unidades naturales como:
- Si se utilizan resistencias normalizadas, la relación de
estas dos ganancias en unidades naturales será:
¾ En dB, la ganancia se
define de una única manera:
¾ Los dBs también se utilizan para niveles, utilizando una referencia normalizada:
(Ej: 0.5W ↔ 0.5 103mW
↔ -3dBW ↔ 27dBm)
- dBm, dBW:
- La potencia a la salida de un amplificador será:
- En TV, a veces se usa el dBμV para tensiones E:
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II.1.3. Unidades logarítmicas.
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J.A.R.C
ver. 0.b
¾ Línea de transmisión ideal:
- Si la resistencias de entrada y salida son iguales:
(retardo no influye
en la potencia, pero
si la constante k)
“Atenuación
de la línea”
- Los parámetros k,y to a veces se dan en función de los
parámetros “electromagnéticos” de la línea:
- Longitud de la línea: d [m]
- Constante de atenuación: α [Nep/m]
- Constante de fase: β [rad/m] = 2πf/c = 2π/λ
- Longitud de onda: λ [m] = 2π/β = c/f
- Velocidad de propagación de la luz
en la línea de transmisión: c [m/s]
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J.A.R.C
II.1.3. Unidades logarítmicas.
16
ver. 0.b
¾ Línea de transmisión ideal (cont.)
- La atenuación de la línea es α’ [dB/m] y, con abuso de notación,
muchas veces se le llama también α (sin factor ‘).
- Los dos parámetros se distinguen por las unidades (Neper/m vs. dB/m)
¾ Cadena de amplificador y atenuador:
II.1.3. Unidades logarítmicas.
TCO (2007-08)
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J.A.R.C
ver. 0.b
¾ Ejemplos de calculo de potencias en unidades logarítmicas:
Señal
xs(t)
Potencia ps
(uni. nat.)
gp = gv2 =
1/av2 = 1/ap
TCO (2007-08)
J.A.R.C
ps
[W]
Ps
[mW]
[dBm]
[dBW]
Comentarios
x(t) señal de potencia
1
103
30
0
10
104
40
10
Amplificación de ganancia G=10dB
100
105
50
20
Amplificación de ganancia G=20dB
2
2·103
33
3
Amplificación de ganancia G=3dB
4
4·103
36
6
Amplificación de ganancia G=6dB
0.5
0.5·103
27
-3
Atenuación de A=3dB (ganancia de -3dB)
0.25·103 0.25·106
54
24
Ganancia de G=24dB (=30-6)
(Atenuación de A=-24dB)
5·10-4
0.5
-3
-33
Atenuación de A=33dB (=40-10+3)
64·10-7
64·10-4
-22
-52
Atenuación de A=52dB (=70-3·6)
ps=gpp=p/ap=
Ps[dBm]=
=gv2p=p/av2 P[dBm]+G[dB]
Ps[dBW]=
P[dBW]+G[dB]
II.1.3. Unidades logarítmicas.
G[dB] = -A[dB]
[dBm] = [dBW]+30
18
ver. 0.b
¾ Sean x(t), y(t) dos señales de potencia y se forma z(t)=x(t)+y(t):
- La potencia de
la señal suma es:
- Si se cumple <x,y>=0, se dice que las dos señales son ortogonales, y se tiene que
la potencia de la señal suma es la suma de las potencias de las señales individuales.
Señal
TCO (2007-08)
Potencia
[W]
[mW]
[dBm] [dBW]
Comentarios
1
103
30
0
x(t) señal de potencia
1
103
30
0
y(t) señal de potencia
2
2·103
33
3
Notar que el resultado NO
es 30dBm+30dBm=60 dBm
2
2·103
33
3
Notar el cambio de signo
4
4·103
36
6
8
8·103
39
9
Notar que el resultado NO es
33dBm+33dBm=66 dBm
Notar que el resultado NO es
30dBm+38.5dBm=68.5 dBm
II.1.3. Unidades logarítmicas.
19
J.A.R.C
ver. 0.b
Ap. A: Transformada de
Fourier en la variable f
¾ La transformada de Fourier usada en Sistemas Lineales
Xsl(ω) y en Teoría de la Comunicación Xtc(f) están
relacionadas por un simple cambio de variable ω=2πf
¾ A partir de ahora, para la transformada de Fourier se usará:
TCO (2007-08)
J.A.R.C
II.1. Introducción. Caracterización de señales.
20
ver. 0.b
Ap. A (cont.)
¾ Transformada de Fourier:
TF
¾ Todas las propiedades de la TF vista en sistemas lineales se conservan, y
simplemente habrá que hacer el cambio de variable ω [rad/s]=2π f [1/s]
(teniendo cuidado con la función δ, ver siguiente página)
¾ Pares de transformadas básicos:
TF
TCO (2007-08)
Ap. A. Transformada de Fourier en la variable f.
21
J.A.R.C
ver. 0.b
Ap. A (cont.)
¾ Pares de transformadas (cont.):
¾ Observaciones:
- Propiedad de la función
delta:
- Por tanto, con un cambio de
variable ω=2πf:
TCO (2007-08)
J.A.R.C
Ap. A. Transformada de Fourier en la variable f.
22
ver. 0.b
Ap. A (cont.)
¾ Propiedades básicas:
¾ Señales reales:
¾ Relaciones de Rayleigh y Parseval:
TCO (2007-08)
Ap. A. Transformada de Fourier en la variable f.
23
J.A.R.C
ver. 0.b
Ap. B (opcional): Cálculo de las densidades
espectrales de energía y de potencia
¾ Densidad espectral de energía (definida sólo para señales de energía):
- Definición de la función autocorrelación
para señales de energía (Ex<∞):
- De la definición se desprende:
- Se define Gx(f) como la Transformada
de Fourier de la función autocorrelación:
- Teniendo en cuenta que para cualquier
par de transformadas z(t) ↔ Z(f) se cumple:
- Por tanto, la función Gx(f) cumple:
- En conclusión, la d.e.e. Gx(f) establece como se distribuye la energía de x(t) sobre el espectro.
La forma de Gx(f)=|X(f)|2 también se podría haber obtenido por el teorema de Parseval
TCO (2007-08)
J.A.R.C
II.1. Introducción. Caracterización de señales.
24
ver. 0.b
Ap. B (cont.) (opcional)
¾ Densidad espectral de potencia (definida sólo para señales de potencia):
- Definición de la función autocorrelación
para señales de potencia (0<Px<∞):
- De la definición se desprende:
- Se define Sx(f) como la Transformada
de Fourier de la función autocorrelación:
- Y utilizando el mismo argumento
que para la d.e.e (particularización de
la definición de la TF para τ=0) :
- En conclusión, la d.e.p. Sx(f) establece como se distribuye la potencia de x(t) sobre el espectro.
- Las funciones autocorrelación y sus TF (las densidades espectrales de energía/potencia), tienen
unas propiedades características (paridad, filtrado,…) que se mantienen también en el caso de
procesos estocásticos (señales de potencia) (ver p. ej. Haykin, “Comm. Systems, 4ª ed.”)
TCO (2007-08)
Ap. B. Cálculo de la d.e.e. y de la d.e.p.
25
J.A.R.C
ver. 0.b
Ap. B (cont.) (opcional)
¾ Densidad espectral de potencia (cont.): cálculo de Sx(f)
- Para hallar la forma de Sx(f), se define la
señal auxiliar xT(t), que es una señal de
energía (está limitada en el tiempo):
- La autocorrelación de la señal de potencia
x(t) se puede poner en función de la
autocorrelación de la señal de energía xT(t):
- Si ahora se hace la TF de la expresión anterior, y se pueden intercambiar la
operación de TF y el límite, se tiene
Teorema de
Wiener-Khintchine
- Donde:
TCO (2007-08)
J.A.R.C
Ap. B. Cálculo de la d.e.e. y de la d.e.p.
26
ver. 0.b