ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA Grado en Física GUÍAS DE ONDA Teoría general de guías de onda. Guías rectangular, cilíndrica y coaxial. Líneas tira y microtira. Guía dieléctrica. Resonadores. Cavidades rectangulares y cilíndricas. Teoría de perturbaciones. Bibliografía: POZAR D. M.- "Microwave Engineering". Wiley. 1997 MARSHALL, S.V. & SKITEK, G.G.- "Electromagnetic Concepts and Applications". Prentice Hall International Editions. 1990. WALDRON, R.A.- "Theory of Guided Electromagnetic Waves". Van Nostrand. 1969. Ondas Electromagnéticas Guiadas 1 GUIAS DE ONDA Introducción Propósito: Las líneas de transmisión vistas son, en general, sistemas abiertos. Puede ser conveniente confinar los campos. Totalmente: guías cerradas. (guías metálicas) Parcialmente: guías abiertas. (microstrip, guías dieléctricas...) Estructura: Poseen diferentes geometrías: rectangular, cilíndrica, coaxial... Son sistemas con simetría cilíndrica (de traslación). Importancia: Resultan imprescindibles en el rango de microondas ( λ ≈ cm) Están relativamente libres de pérdidas e interferencias.. Análisis: En la mayoría se propagan modos no TEM. El análisis, en términos de campos, aprovecha la simetría. Ondas Electromagnéticas Guiadas 2 GUIAS DE ONDA Geometrías típicas Ondas Electromagnéticas Guiadas 3 GUIAS DE ONDA Análisis general Aprovechamos la simetría de traslación. Suponemos guía uniforme (no varía ni la geometría ni las propiedades del medio en la dirección z) Tomamos medios ideales (dieléctricos sin pérdidas y conductores perfectos) Trabajamos en régimen armónico estacionario. Ondas Electromagnéticas Guiadas 4 GUIAS DE ONDA Análisis general Separación de los campos: - Para la onda propagante en z+ (factor e-jβz) donde hemos separado los campos transversales y longitudinales - Podríamos incluir la onda propagándose en z-. En el caso de pérdidas, sustituiríamos jβ por γ=α+jβ$ Ondas Electromagnéticas Guiadas 5 GUIAS DE ONDA Análisis general En ausencia de fuentes: que separado en componentes, habida cuenta de la dependencia con z: Ondas Electromagnéticas Guiadas 6 GUIAS DE ONDA Análisis general Ecuaciones análogas se deducen del rotacional de H: - Las ecuaciones obtenidas son completamente generales, con las suposiciones hechas de régimen armónico y propagación en z+. Ondas Electromagnéticas Guiadas 7 GUIAS DE ONDA Análisis general Podemos expresar las componentes transversales en función de las longitudinales Ondas Electromagnéticas Guiadas 8 GUIAS DE ONDA Análisis general El número kc recibe el nombre de constante de corte: Con (nº de onda en el medio libre) constante de fase en la guía Si asociamos kc a una “longitud de onda de corte” de forma que, si Ondas Electromagnéticas Guiadas 9 GUIAS DE ONDA Análisis general Ecuaciones para los campos Siguen sujetos a la ecuación de Helmholtz: Para las componentes longitudinales Ez, Hz y teniendo en cuenta que Resolveremos las componentes longitudinales y encontraremos las transversales a partir de aquellas. Ondas Electromagnéticas Guiadas 10 GUIAS DE ONDA Ondas TEM Para las ondas TEM de forma que: A no ser que La constante de propagación es la misma que en el medio libre y las ondas TEM pueden propagarse desde frecuencia nula. Para resolver la indeterminación (0/0), recurrimos a las ecuaciones de Maxwell: Ondas Electromagnéticas Guiadas 11 GUIAS DE ONDA Ondas TEM Resolución de los campos: Las ecuaciones de Maxwell se reducen a: de forma que e(x,y) corresponde a la solución de un problema estático en el plano transversal. De la ecuación rotacional: y con la condición sobre la divergencia Ondas Electromagnéticas Guiadas 12 GUIAS DE ONDA Ondas TEM Resolución de los campos: 1.- Resolvemos la ecuación de Laplace en el plano transversal 2.- Determinamos las constantes de integración con las condiciones de contorno. 3.- Calculamos el campo eléctrico 4.- El campo magnético se deduce de la relaciones ya vistas o de: Ondas Electromagnéticas Guiadas 13 GUIAS DE ONDA Ondas TEM Características de propagación - La constante de fase ya se ha visto: la velocidad de fase es, por tanto, la misma que en el medio libre así como la longitud de onda, cumpliéndose - La relación de amplitudes de los campos eléctrico y magnético, o impedancia de onda, coincide con la del medio libre de forma que, en general Ondas Electromagnéticas Guiadas 14 GUIAS DE ONDA Ondas TEM Características de propagación dependiente de la geometría y distinta de Ondas Electromagnéticas Guiadas 15 GUIAS DE ONDA Ondas TEM Inexistencia del modo TEM en guías monoconductoras Argumento 1: La circulación de h (sólo transversal) es igual a la corriente longitudinal (de conducción y de desplazamiento). Si la onda es TEM no hay desplazamiento longitudinal. Como no hay conductor encerrado en C no hay corriente de conducción. Luego no hay campo h transversal Ondas Electromagnéticas Guiadas Argumento 2: Puesto que el potencial φ cumple la ecuación de Laplace, sujeta a una condición de contorno metálica y cerrada (φ =cte en el contorno), el potencial es constante en el interior de la guía. El campo eléctrico es, por tanto, nulo. Luego no hay campo e transversal 16 GUIAS DE ONDA Ondas TM - Las ondas (modos) Transversales Magnéticas (TM ó modos E) no poseen componente longitudinal del campo magnético (Ez≠ 0; Hz=0). con kc≠ 0 y dependiente de la geometría y el modo. Ondas Electromagnéticas Guiadas 17 GUIAS DE ONDA Ondas TM Campo longitudinal De la ecuación de Helmholtz: y con la derivación con respecto a z donde Ondas Electromagnéticas Guiadas 18 GUIAS DE ONDA Ondas TM Características de propagación β es real (onda propagante) a partir de una frecuencia tal que: conocida como frecuencia de corte del modo La longitud de onda en la guía y la velocidad de fase son: Ondas Electromagnéticas Guiadas 19 GUIAS DE ONDA Ondas TM Características de propagación Impedancia de onda: que es real (resistiva pura) para onda propagante - Para frecuencias por debajo del corte, β es imaginario puro. El modo es evanescente . - Notar que por debajo del corte ZTM es imaginario puro (reactivo) y no hay flujo de potencia. - La guía se comporta como un filtro pasa-alto. Ondas Electromagnéticas Guiadas 20 GUIAS DE ONDA Ondas TE - Las ondas (modos) Transversales Eléctricas (TE ó modos H) no poseen componente longitudinal del campo eléctrico (Ez=0; Hz≠0). con kc≠ 0 y dependiente de la geometría y el modo. Ondas Electromagnéticas Guiadas 21 GUIAS DE ONDA Ondas TE Campo longitudinal De la ecuación de Helmholtz y con la derivación con respecto a z donde Ondas Electromagnéticas Guiadas 22 GUIAS DE ONDA Ondas TE Características de propagación β es real (onda propagante) a partir de una frecuencia tal que: conocida como frecuencia de corte del modo. La longitud de onda en la guía y la velocidad de fase son: Ondas Electromagnéticas Guiadas 23 GUIAS DE ONDA Ondas TM Características de propagación Impedancia de onda: que es real (resistiva pura) para onda propagante y distinta de ZTM - Para frecuencias por debajo del corte, β es imaginario puro. El modo es evanescente . - Notar que por debajo del corte ZTE es imaginario puro (reactivo) y no hay flujo de potencia. - La guía se comporta como un filtro pasa-alto. Ondas Electromagnéticas Guiadas 24 GUIAS DE ONDA Ondas TE y TM Procedimiento general de resolución 1.- Resolver la ecuación de Helmholtz reducida (para ez ó hz). 2.- Obtener los campos transversales de las relaciones apropiadas. 3.- Determinar las constantes de integración a partir de las condiciones de contorno más adecuadas. Entre ellas aparecerá kc. 4.- A partir de kc obtener las características de propagación (β y Z). Ondas Electromagnéticas Guiadas 25 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas - Puede soportar tanto modos TEM como TE y TM. - Asumimos que w>>d. (Equivale a despreciar efectos de borde y variaciones con la coordenada x). Ondas Electromagnéticas Guiadas 26 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas El modo TEM: 1.- Resolvemos entre 2.- Las condiciones de contorno son: 3.- No hay dependencia con x: Ondas Electromagnéticas Guiadas 27 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM Solución para el potencial: 4.- El campo eléctrico reducido: y el campo total: donde ya sabemos que Ondas Electromagnéticas Guiadas 28 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM 5. – El campo magnético: con ηo la impedancia de onda del medio. - Obsérvese que no existen campos longitudinales y que la dependencia transversal de los mismos es idéntica a los campos estáticos. - Puede efectuarse el análisis en términos de voltajes y corrientes, si calculamos las circulaciones de los campos eléctrico y magnético, respectivamente. - De ello obtendríamos la impedancia característica de la línea de transmisión. Ondas Electromagnéticas Guiadas 29 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM Efecto de borde en la guía Ondas Electromagnéticas Guiadas 30 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM Aspecto de los campos en la dirección de propagación Ondas Electromagnéticas Guiadas 31 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: potenciales y corrientes Ondas Electromagnéticas Guiadas 32 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM - En este caso, hz=0 y resolvemos la ecuación de Helmholtz reducida para ez. La “simetría” con x hace cuya solución general es: Sujeta a las condiciones de contorno: en Ondas Electromagnéticas Guiadas con n≥0 33 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM La constante de corte es y la constante de propagación - Para cada valor de n, designamos al modo con el subíndice n: TMn . - Para cada modo, su frecuencia de corte es, por tanto: - Notar que el modo TM0 coincide con el modo TEM. Ondas Electromagnéticas Guiadas 34 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM Campo (eléctrico) longitudinal: Los campos transversales se deducen de las relaciones ya vistas Ondas Electromagnéticas Guiadas 35 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM La impedancia de onda que es real para onda propagante e imaginaria pura para onda evanescente. El flujo de potencia: Podemos calcular el vector de Poynting a través de la sección transversal de la guía: para n>0 (para n=0 es el doble). Obsérvese que es nulo para onda evanescente. Ondas Electromagnéticas Guiadas 36 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM Caso particular: el modo TM1. Examinemos la componente Ez: que indica que se trata de dos ondas viajando oblicuamente según (-y,+z) y (+y, +z) con componentes π/d, β1, es decir: que es la relación de dispersión ya vista (0º<θ<90º para onda propagante). Ondas Electromagnéticas Guiadas 37 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM Caso particular: el modo TM1. - La velocidad de fase en la dirección del rayo es mientras que en la dirección z es - A medida que nos acercamos a Ondas Electromagnéticas Guiadas la onda sube y baja. 38 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM Campo eléctrico en la guía: modo TM1. Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos) en la guía. Modo TM1. Ondas Electromagnéticas Guiadas 39 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM Diagrama de dispersión en la guía: modo TM1 Constantes de atenuación y de fase en función de la frecuencia Ondas Electromagnéticas Guiadas 40 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TE - En este caso, ez=0 y resolvemos la ecuación de Helmholtz reducida para hz. - La “simetría” con x hace cuya solución general es: Si aplicamos las condiciones de contorno al campo eléctrico (Ex) en Ondas Electromagnéticas Guiadas con n>0 41 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TE - Las constantes de corte y propagación, así como la denominación de los modos, es análoga al caso TM. Ondas Electromagnéticas Guiadas 42 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM La impedancia de onda que es real para onda propagante e imaginaria pura para onda evanescente. El flujo de potencia: Podemos calcular el vector de Poynting a través de la sección transversal de la guía para n>0 (No existe modo TE0). Obsérvese que es nulo para onda evanescente. Ondas Electromagnéticas Guiadas 43 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TE Campo magnético en la guía: modo TE1 Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos) en la guía. Modo TE1. Ondas Electromagnéticas Guiadas 44 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas Pérdidas por conductividad finita en las paredes Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud con El coeficiente de atenuación será: (la mitad para modos TEM) Ondas Electromagnéticas Guiadas 45 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía de placas plano-paralelas Pérdidas por conductividad finita en las paredes Ondas Electromagnéticas Guiadas 46 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular - Al ser una guía monoconductora no soporta el modo TEM. - Fue una de las primeras guías desarrolladas y continua siendo muy utilizada. - Su rango de aplicación va desde 1 Ghz a 200 Ghz. Ondas Electromagnéticas Guiadas 47 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE - Suponemos a>b. Resolvemos la ecuación de Helmholtz para hz(x,y). y utilizamos la técnica de separación de variables: Ondas Electromagnéticas Guiadas 48 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE Ello da lugar a dos ecuaciones separadas, con constantes de separación kx, ky. cuyas soluciones generales combinadas dan: Ondas Electromagnéticas Guiadas 49 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE - Resulta más cómodo aplicar las condiciones de contorno sobre los campos eléctricos: en en que conducen a y la constante de corte, por tanto: Ondas Electromagnéticas Guiadas 50 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE - Cada par de índices m,n determinan un modo diferente, denotado por TEmn. - La constante de propagación es ahora, para cada modo: Por tanto, cada modo tiene una frecuencia de corte - Llamamos modo fundamental al de menor frecuencia de corte. Ondas Electromagnéticas Guiadas 51 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE. Expresiones generales de los campos Ondas Electromagnéticas Guiadas 52 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE El modo fundamental: - Para a>b el modo fundamental es el TE10. (Notar que no puede existir el modo TE00). - Utilizado en la práctica, pues dispone de una banda en la que sólo él es propagante. (Hasta que no aparezca el siguiente que, dependiendo de las dimensiones de la guía, será el TE01, el TE20 ó un modo TM). Ondas Electromagnéticas Guiadas 53 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE El modo fundamental: La impedancia de onda es, según la relación general: y el flujo de potencia: Ondas Electromagnéticas Guiadas 54 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE El modo fundamental Distribución de campos en la guía. Modo TE10. Ondas Electromagnéticas Guiadas 55 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE El modo fundamental Nueva visión de los campos en la guía. Modo TE10. Ondas Electromagnéticas Guiadas 56 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE El modo TE11 Distribución de los campos en la guía. Ondas Electromagnéticas Guiadas 57 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE Diagrama de dispersión Constantes de atenuación y de fase en función de la frecuencia, para los tres primeros modos. Ondas Electromagnéticas Guiadas 58 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE Pérdidas por conductividad finita en las paredes. Modo TE10. Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud: El coeficiente de atenuación será: Ondas Electromagnéticas Guiadas 59 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TE Pérdidas por conductividad finita en las paredes. Atenuación por pérdidas conductoras. Modos TE10 y TM11. (Guía estándar de la banda X). Ondas Electromagnéticas Guiadas 60 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TM - Suponemos a>b. Resolvemos la ecuación de Helmholtz para ez(x,y). y utilizamos la técnica de separación de variables: Ondas Electromagnéticas Guiadas 61 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TM La solución para ez(x,y): que con las condiciones de contorno: en que conducen a: Donde ahora m=n=0 no está permitido. La constante de corte, por tanto: Ondas Electromagnéticas Guiadas 62 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TM. Expresiones generales de los campos Ondas Electromagnéticas Guiadas 63 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TM - Cada par de índices m,n determinan un modo diferente, denotado por TMmn. - La constante de propagación es, de nuevo, para cada modo: por tanto, cada modo tiene una frecuencia de corte Ondas Electromagnéticas Guiadas 64 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TM - No existen los modos TM00, TM01 ó TM10. - El modo TM de frecuencia de corte más baja es el TM11, cuya frecuencia de corte - Los modos TM y los modos TE que tengan la misma frecuencia de corte se dice que son degenerados. La impedancia de onda: Ondas Electromagnéticas Guiadas 65 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía rectangular. Modos TM Distribución de los campos en la guía. Modo TM11. Ondas Electromagnéticas Guiadas 66 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica Como guía monoconductora, no soporta el modo TEM. Históricamente es la primera guía analizada. Conviene emplear coordenadas cilíndricas para su estudio. Ondas Electromagnéticas Guiadas 67 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica Las relaciones entre campos transversales y longitudinales, en coordenadas cilíndricas, son: Ondas Electromagnéticas Guiadas 68 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE Resolvemos la ecuación reducida de Helmholtz para hz, en coordenadas cilíndricas. y utilizamos la técnica de separación de variables: Recordemos que la constante de corte sigue siendo: Ondas Electromagnéticas Guiadas 69 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE La separación de variables conduce a: función solo de ρ función solo de ϕ Si introducimos la constante de separación kϕ : Ondas Electromagnéticas Guiadas 70 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE La ecuación para la parte radial es: conocida como ecuación de Bessel. Soluciones a) Parte angular: b) Parte radial: donde Jn, Yn son las funciones de Bessel de 1a y 2a especie, de orden n. Ondas Electromagnéticas Guiadas 71 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE Determinación de constantes. - Para la parte angular, es evidente que la solución debe tener periodicidad 2π.! - Una adecuada elección del origen de ángulos nos permite eliminar una de las dos funciones (equivalente a hacer A ó B=0). - La condición de contorno natural se aplica sobre eϕ. ! - Obtenemos ésta a partir de las relaciones campo transversal-longitudinal. -Deberá ser eϕ=0 para ρ=a. - Por otra parte, la función Yn es singular en el origen ⇒ D=0 Por lo tanto:! Ondas Electromagnéticas Guiadas 72 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE - En lo anterior, J’ es la derivada de la función de Bessel y p’nm (qnm) es el cero m-ésimo de la función de Bessel de orden n. n p’n1 p’n2 p’n3 0 3,832 7,016 10,174 1 1,841 5,331 8,536 2 3,054 6,706 9,970 Ceros de las funciones derivadas de Bessel - Denominamos modo TEnm donde el índice n denota la dependencia (multiplicidad) angular (y el orden de la función de Bessel) y el índice m la dependencia radial (orden del cero de J’). - No pueden existir modos TEn0 (siempre es m>1), pero si TE0n. Ondas Electromagnéticas Guiadas 73 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE - La constante de corte es y la constante de fase Ondas Electromagnéticas Guiadas 74 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE. Expresiones de los campos Ondas Electromagnéticas Guiadas 75 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE. Expresiones de los campos (Elección apropiada de origen de ángulos, i.e. B=0) Ondas Electromagnéticas Guiadas 76 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE El modo fundamental Las frecuencias de corte son: y, a la vista de los ceros de J’, resulta el modo fundamental el TE11. - Sobre el valor de los campos en ρ=0. - La presencia de ρ en el denominador afecta a los campos que varían como Jn. - Dado que cuando se resuelve la posible singularidad. - Notar que no hay modos TEn0. (m ≥ 1), pero sí TE0n. Ondas Electromagnéticas Guiadas 77 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE11 Ondas Electromagnéticas Guiadas 78 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE11 Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos). Ondas Electromagnéticas Guiadas Campo magnético 79 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE11 Transición desde el modo TE10 en guía rectangular al TE11 en guía cilíndrica. Ondas Electromagnéticas Guiadas 80 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Diversos modos TE Ondas Electromagnéticas Guiadas 81 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE01 Aunque no es el modo fundamental, es de importancia como del que derivan modos de resonancia de interés en cavidades cilíndricas. Ondas Electromagnéticas Guiadas 82 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. El modo fundamental - Impedancia de onda - El flujo de potencia. Ondas Electromagnéticas Guiadas 83 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. El modo fundamental Pérdidas por conductividad finita Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud El coeficiente de atenuación será: Ondas Electromagnéticas Guiadas 84 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. El modo fundamental Pérdidas por conductividad finita Ondas Electromagnéticas Guiadas 85 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM Resolvemos la ecuación reducida de Helmholtz para ez, en coordenadas cilíndricas. y utilizamos la técnica de separación de variables: - Las soluciones se obtienen de la misma forma que para los modos TE. - Ahora varía el resultado de aplicar las condiciones de contorno: Ondas Electromagnéticas Guiadas 86 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM - Ahora llamamos pnm al cero m-ésimo de la función de Bessel de orden n. n pn1 pn2 pn3 0 2,405 5,520 8,654 1 3,832 7,016 10,174 2 5,135 8,417 11,620 Ceros de las funciones de Bessel - Denominamos modo TMnm donde el índice n denota la dependencia (multiplicidad) angular (y el orden de la función de Bessel) y el índice m la dependencia radial (orden del cero de J). - No pueden existir modos TMn0 (siempre es m>1), pero si TM0n. - El primer modo TM es el TM01 (p01 =2.405), luego el modo dominante es el TE11. - Nótese que los modos TM1m son degenerados con los TE0m. Ondas Electromagnéticas Guiadas 87 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM - La constante de corte es: - La constante de fase y las frecuencias de corte: Ondas Electromagnéticas Guiadas 88 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM. Expresiones de los campos Ondas Electromagnéticas Guiadas 89 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM Ondas Electromagnéticas Guiadas 90 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM Frecuencias de corte de los primeros modos. Ondas Electromagnéticas Guiadas 91 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial - Ya analizada en términos de línea de transmisión. - Como guía biconductora, soporta modos TEM. - También pueden estar presentes modos superiores. - Utilizada, en la práctica, en cables. Ondas Electromagnéticas Guiadas 92 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM 1.- Resolvemos en coordenadas cilíndricas. 2.- Las condiciones de contorno son: 3.- Separamos variables Ondas Electromagnéticas Guiadas 93 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM - La ecuación de Laplace en el plano transversal resulta: que se separa en dos ecuaciones: donde las constantes de separación verifican: Ondas Electromagnéticas Guiadas 94 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM - Solución para la parte angular: ya que la solución debe tener, al menos, periodicidad 2π. - Por otro lado, las condiciones de contorno del problema exigen que no haya variación con ϕ, ya que las superficies son equipotenciales. - La parte radial admite como solución: Ondas Electromagnéticas Guiadas 95 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM Las condiciones de contorno sobre el potencial conducen a; y, en consecuencia, el campo eléctrico reducido: que es de la misma forma que el campo estático en un cable coaxial. Ondas Electromagnéticas Guiadas 96 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM Expresiones completas de los campos. - Ya sabemos que la constante de fase es que, de nuevo, resultan análogas a las expresiones estáticas. Ondas Electromagnéticas Guiadas 97 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM Potenciales y corrientes. - Podemos evaluar, en la forma habitual, la diferencia de potencial y corriente a lo largo de la guía. (Tratamiento en términos de línea de transmisión). de donde la impedancia característica: Ondas Electromagnéticas Guiadas 98 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM. Atenuación en las paredes - Calculado en la forma habitual, se obtiene Atenuación por conductividad finita, frente a la relación b/a. Ondas Electromagnéticas Guiadas 99 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. Modos superiores - Para modos TE, resolvemos: cuya solución, ya vista, es: - A diferencia de la guía cilíndrica, ρ=0 está excluido de la región de cálculo, luego no hay por que descartar Yn. - Las condiciones de contorno a aplicar son: Ondas Electromagnéticas Guiadas para 100 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. Modos superiores Las condiciones anteriores dan: sistema que admite solución no trivial si: ecuación trascendente, cuya solución proporciona las constantes de corte de los modos TEnm. - Una solución aproximada es: Ondas Electromagnéticas Guiadas 101 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TE11 Líneas del campo eléctrico (continua) y magnético (a trazos). Ondas Electromagnéticas Guiadas 102 GUIAS DE ONDA Guías particulares La guía coaxial. El modo TE11 Líneas del campo eléctrico (continua) y magnético (a trazos). Ondas Electromagnéticas Guiadas 103 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “strip” Generalmente la tira (“strip”) está centrada Se suele tomar b ≈ w; a >> w El análisis desprecia efectos de borde Suponemos las placas exteriores conectadas a tierra y la tira a un potencial V0. Se puede aproximar la distribución de campos por encima y debajo de la tira como un modo TEM (al igual que en la guía plano paralela) Ondas Electromagnéticas Guiadas 104 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “strip” Distribución ideal de los campos en –w/2≤x≤w/2; 0≤y≤b/2 en –w/2≤x≤w/2; -b/2≤y≤0 Ondas Electromagnéticas Guiadas 105 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “strip” El tratamiento en términos de voltajes y corrientes da: de forma que la impedancia característica: donde η0 es la impedancia intrínseca del vacío y suponemos que el dieléctrico tiene una permitividad εr Ondas Electromagnéticas Guiadas 106 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “strip” Líneas de campo sin despreciar efectos de borde Un cálculo realista, que no desprecie efectos de borde, proporciona: Donde K y K’ son la función elíptica de primera especie y su complementaria También existen resultados para tiras de grosor no despreciable Ondas Electromagnéticas Guiadas 107 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “strip” Representación de la impedancia característica frente a w/b (parámetro t/b). La línea a trazos es la aproximación sin efectos de borde. Ondas Electromagnéticas Guiadas 108 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” Suelen utilizar sustratos dieléctricos de alta permitividad (concentra el campo en la región del sustrato y permite reducir el tamaño de la tira) Son utilizadas en circuitería integrada y se realizan con técnicas fotolitográficas Las condiciones de contorno impuestas en la interfaz entre los dos dieléctricos no permiten, estrictamente, la existencia de un modo TEM Sin embargo, si el sustrato dieléctrico es delgado y de elevada permitividad se puede realizar un análisis cuasi-TEM La propagación real es a base de modos híbridos TE-TM Ondas Electromagnéticas Guiadas 109 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” Efecto del dieléctrico: superior εr=1; inferior εr=10 Ondas Electromagnéticas Guiadas 110 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” El análisis cuasi-TEM supone que la velocidad de fase y constante de propagación pueden expresarse como: donde 1<εe<εr es una permitividad “efectiva” (Nótese que existe propagación tanto en el vacío como en el sustrato) La permitividad efectiva se aproxima por: Equivalente a un único medio en el que estuviera la línea Ondas Electromagnéticas Guiadas 111 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” La impedancia caracerística se suele utiliar la impedancia característica de la microstrip vacía y escribir: La siguiente gráfica representa la impedancia y la constante dieléctrica efectiva en función de la relación w/h para distintos sustratos Ondas Electromagnéticas Guiadas 112 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” Impedancia característica en vacío y constante dieléctrica efectiva Ondas Electromagnéticas Guiadas 113 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” w/h 0.4 2.50 185 74 67.5 1.0 2.55 130 51 47.5 2.0 2.63 90 34 32.0 Cálculo cuasi-TEM y medidas (Microstrip de alúmina εr=9.74; h=0.635 cm.) Impedancia característica frente a w/h para diversos sustratos Ondas Electromagnéticas Guiadas 114 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” Longitud de onda en la línea w/h para diversos sustratos Ondas Electromagnéticas Guiadas 115 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” Diagrama de dispersión en una línea microstrip Ondas Electromagnéticas Guiadas 116 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La línea “microstrip” Líneas de campo en una microstrip “encerrada” (Modo cuasi-TEM) Ondas Electromagnéticas Guiadas 117 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La guía dieléctrica También conocida como “fibra óptica”, está formada por un núcleo (core) de permitividad ε1(ρ) superior a la de la cubierta (cladding) No emplea elementos metálicos, por lo que no son afectadas por interferencias exteriores. Por ello, también se usan para enlaces en presencia de tensiones elevadas El guiado se efectúa a base de reflexión total en la interfaz núcleo-cubierta Pueden ser de salto de índice (ε1 constante) o de índice gradual Ondas Electromagnéticas Guiadas 118 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La guía dieléctrica El seno del mayor ángulo de incidencia de un rayo, de forma que sea guiado por la fibra (alcanzando el otro extremo) se conoce como apertura numérica Pueden existir modos TE0n y TM0n sin dependencia angular Los modos con dependencia angular son híbridos TE y TM y se denominan modos HE ó EH. Entre ellos el fundamental es el HE11, cuya frecuencia de corte es nula Los campos en la cubierta decrecen exponencialmente, pero el decrecimiento es mas lento a medida que baja la frecuencia Dependiendo del tamaño del núcleo y de la frecuencia pueden ser fibras monomodo o multimodo (típicamente para frecuencias ópticas entre 1-10 micras) Ondas Electromagnéticas Guiadas 119 GUIAS DE ONDA Otros tipos de guías La guía dieléctrica Diagrama de dispersión de una fibra de salto de índice Δ=0.1; εr1=2.34 Ondas Electromagnéticas Guiadas 120 GUIAS DE ONDA Resonadores Introducción Los circuitos resonantes constituidos por elementos concentrados no son eficaces como sistemas resonantes de alta frecuencia Poseen elevadas pérdidas por radiación La penetración de los campos en los conductores aumentan las pérdidas por conductividad Los valores prácticos de R, C y L no permiten conseguir resonancias a frecuencias elevadas En su lugar se emplean sistemas en los que los campos se confinan (casi) totalmente en una región dieléctrica que puede estar rodeada por paredes metálicas Concentran elevadas densidades de energía Presentan resonancia a varias frecuencias Poseen elevados factores de calidad (pequeñas pérdidas) Ondas Electromagnéticas Guiadas 121 GUIAS DE ONDA Resonadores Circuitos resonantes de baja frecuencia Recordamos las principales características. i.e. Circuito RLC serie Ondas Electromagnéticas Guiadas 122 GUIAS DE ONDA Resonadores Circuitos resonantes de baja frecuencia Se produce resonancia a la frecuencia en la cual Ondas Electromagnéticas Guiadas ya que 123 GUIAS DE ONDA Resonadores Circuitos resonantes de baja frecuencia La relación entre energía almacenada en los elementos reactivos y la potencia disipada en los elementos resistivos mide la “bondad” de la resonancia y se conoce como factor de calidad o de mérito Q. Para factores de calidad grandes se pueden aproximar la impedancia y el factor Q por: Ondas Electromagnéticas Guiadas 124 GUIAS DE ONDA Resonadores Resonadores de cavidad Este tipo de resonadores está formado por un recinto dieléctrico encerrado en paredes metálicas. Debe tener elementos de acoplo para inserción y extracción de energía. Pueden analizarse con la teoría general del campo pero como, con frecuencia, derivan de estructuras de guías cortocircuitadas, se pueden añadir a las soluciones encontradas las condiciones de contorno nuevas impuestas por los cortocircuitos. La situación corresponderá así a una onda que se propaga en la guía bajo el modo escogido y que se reflejará en los contornos metálicos transversales. La resonancia se alcanzará cuando se forme una onda estacionaria en la dirección longitudinal para lo cual serán necesarias determinadas condiciones sobre la longitud fe onda en la guía. Ondas Electromagnéticas Guiadas 125 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad rectangular Deriva de la guía rectangular, cortocircuitada en dos planos perpendiculares a la dirección de propagación. Tendremos dos ondas viajando en z+ y z- e impondremos condiciones de contorno al campo tangencial a las nuevas paredes: Ondas Electromagnéticas Guiadas 126 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad rectangular Las condiciones de contorno en z=0,l imponen: y por tanto: Es decir: la longitud de la cavidad debe ser un número entero de semilongitudes de onda. Utilizando la relación de dispersión de la guía base se obtienen las frecuencias de resonancia de los distintos modos denotados como TEnmp ó TMnmp Ondas Electromagnéticas Guiadas 127 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad rectangular Nótese que el desarrollo anterior es válido tanto para modos TE como TM. Las expresiones de los campos se derivan ahora de las de la guía base sustituyendo la dependencia con z, de tipo exponencial, por la forma seno o coseno, según corresponda. Ejemplo: Modos TE10p. Ondas Electromagnéticas Guiadas 128 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad rectangular. Factor de calidad Si consideramos únicamente pérdidas en las paredes es sencillo obtener el factor de calidad de un cavidad rectangular. 1.- Energía almacenada: En resonancia la energía almacenada en el campo eléctrico iguala a la del campo magnético (comprobar por integración de los campos). donde el uso de la relación de dispersión y el valor de ZTE demuestra la igualdad Ondas Electromagnéticas Guiadas 129 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad rectangular. Factor de calidad La potencia disipada en las paredes y el factor de calidad es: que en cavidades prácticas puede alcanzar valores de 1000-10000 Ondas Electromagnéticas Guiadas 130 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad rectangular. Factor de calidad Si existiera otra fuente de pérdidas (i.e.: dieléctricas), pueden calcularse éstas y añadirlas a las anteriores. es decir: Si la cavidad está acoplada al exterior también habrá pérdidas por los iris, que se añadirán al factor de calidad: se conoce como QL (factor de calidad con carga). Ondas Electromagnéticas Guiadas 131 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad cilíndrica Al igual que la cavidad rectangular, deriva de la guía cilíndrica por adición de dos cortocircuitos perpendiculares a la dirección de propagación. Tendremos dos ondas viajando en z+ y z- e impondremos condiciones de contorno al campo tangencial a las nuevas paredes: Ondas Electromagnéticas Guiadas 132 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad cilíndrica Las condiciones de contorno en z=0,l imponen: y por tanto: Es decir: la longitud de la cavidad debe ser un número entero de semilongitudes de onda. Utilizando la relación de dispersión de la guía base se obtienen las frecuencias de resonancia de los distintos modos denotados como TEnmp ó TMnmp (Recordar que las relaciones de dispersión son diferentes para modos TE y TM) Ondas Electromagnéticas Guiadas 133 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad cilíndrica Modos TE Modos TM El modo fundamental es el TE111 Ondas Electromagnéticas Guiadas 134 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad cilíndrica Ejemplo: Modos TEnmp Ondas Electromagnéticas Guiadas 135 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad cilíndrica. Factor de calidad Considerando solo pérdidas en las paredes: 1.- Energía almacenada: Ondas Electromagnéticas Guiadas 136 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad cilíndrica. Factor de calidad Considerando solo pérdidas en las paredes: 2.- Pérdidas en las paredes: Ondas Electromagnéticas Guiadas 137 GUIAS DE ONDA Resonadores La cavidad cilíndrica. Factor de calidad Factor de calidad debido a pérdidas en las paredes: Ondas Electromagnéticas Guiadas 138 GUIAS DE ONDA Resonadores Factores de calidad Ondas Electromagnéticas Guiadas 139 GUIAS DE ONDA Resonadores Cavidades cilíndricas: Carta modal Ondas Electromagnéticas Guiadas 140 GUIAS DE ONDA Resonadores La respuesta de un resonador La presencia de pérdidas da lugar a que un resonador dado responda a frecuencias en torno a la de resonancia. Si consideramos un resonador que tenga almacenada una energía W0 y al que se corta bruscamente la alimentación, la potencia disipada igualará al decrecimiento de energía almacenada. y, por tanto el factor de calidad: Ondas Electromagnéticas Guiadas 141 GUIAS DE ONDA Resonadores La respuesta de un resonador El decrecimiento de la energía es, así: y, por tanto cualquier magnitud de campo variará de la forma: Desde el punto de vista frecuencial se trata de un conjunto de oscilaciones en torno a la frecuencia de resonancia, de importancia decreciente Ondas Electromagnéticas Guiadas 142 GUIAS DE ONDA Resonadores La respuesta de un resonador Escribiendo A(t) en el dominio de la frecuencia: de forma que cada componente espectral tendrá una amplitud: Ondas Electromagnéticas Guiadas 143 GUIAS DE ONDA Resonadores La respuesta de un resonador La potencia es, por tanto: Ondas Electromagnéticas Guiadas 144 GUIAS DE ONDA Resonadores Perturbaciones en cavidades Pequeños cambios en las propiedades de los medios o en la geometría de una cavidad conducen a pequeñas variaciones en sus características de resonancia. Estas variaciones (aun siendo grandes) pueden afectar a pequeñas regiones (i.e.: introduciendo una muestra en la cavidad) o afectar a una región grande con un pequeño cambio de las propiedades (i.e.: rellenar toda la cavidad con un gas). La teoría de perturbaciones permite obtener las características de resonancia sin necesidad de recalcular los campos en toda la cavidad. Tomamos, para la cavidad sin perturbar, las soluciones correspondientes al modo de resonancia concreto como: Ondas Electromagnéticas Guiadas 145 GUIAS DE ONDA Resonadores Perturbaciones en cavidades La modificación en la cavidad varía ligeramente los campos y las frecuencias de resonancia: donde la perturbación se representa por los términos adicionales E1, H1. En ambos casos los campos han de cumplir las ecuaciones de Maxwell: donde el vector D puede incluir corrientes de conducción a través de una permitividad compleja equivalente Ondas Electromagnéticas Guiadas 146 GUIAS DE ONDA Resonadores Perturbaciones en cavidades Operando adecuadamente se obtiene: Integramos al volumen de la cavidad y, utilizando el teorema de la divergencia, habida cuenta de que: debido a las condiciones de contorno metálicas en las paredes Ondas Electromagnéticas Guiadas 147 GUIAS DE ONDA Resonadores Perturbaciones en cavidades Finalmente obtenemos: Expresión que es exacta si las paredes de la cavidad son perfectamente conductoras. Las aproximaciones que se realizan consisten en suponer: a) La perturbación es pequeña en todo el volumen o b) La perturbación es grande en una región pequeña Ondas Electromagnéticas Guiadas 148 GUIAS DE ONDA Resonadores Perturbaciones en cavidades En ambos casos podemos despreciar las contribuciones de D1 y B1 en el denominador Finalmente la expresión perturbativa resulta: En general para un problema dado la dificultad residirá en determinar los campos adicionales debidos a la perturbación: E1, D1, H1, B1. Ondas Electromagnéticas Guiadas 149 GUIAS DE ONDA Resonadores Perturbaciones en cavidades Caso con pérdidas Puede tratarse como una extensión de lo visto anteriormente introduciendo una “frecuencia compleja” de resonancia. La variación relativa de la “frecuencia compleja” es ahora: Ondas Electromagnéticas Guiadas 150 GUIAS DE ONDA Resonadores Perturbaciones en cavidades Ejemplo: Cavidad cilíndrica TM010 llena de un gas (εr≈1) Campos sin perturbar: Campos perturbados: ya que no hay perturbación magnética Ondas Electromagnéticas Guiadas 151 GUIAS DE ONDA Resonadores Perturbaciones en cavidades y finalmente: mientras que el cálculo exacto proporciona: Ondas Electromagnéticas Guiadas 152