CIRCUITOS RESONANTES

Sistemas Lineales II
Unidad
6
CIRCUITOS
RESONANTES
Material de apoyo
Indice.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Introducción.
Circuito L-C.
Factor de calidad.
Circuito resonante serie excitado por una fuente sinusoidal.
Curvas de resonancia.
Diagramas cero – polo.
Transferencias de fase mínima.
Transferencias “pasa-todo”.
Recapitulando
1. Introducción.
Los fenómenos de resonancia son bien conocidos en distintas áreas de la física.
Nos proponemos estudiarlos en el caso de los circuitos eléctricos.
Para ello, analizaremos dos situaciones: un circuito abandonado a sí mismo a partir de una
situación inicial, y ese mismo circuito excitado por una fuente sinusoidal de frecuencia
variable.
Si bien haremos el estudio para un caso concreto (el circuito serie L-C ), se tratará de definir
conceptos y parámetros de aplicación general para otras configuraciones que exhiban el
fenómeno de resonancia.
Mostraremos las curvas típicas de magnitud y fase.
Finalmente, vincularemos el estudio hecho con las propiedades de la transferencia, en
particular con las ubicaciones de sus ceros y polos.
2. Circuito L – C
Supongamos que en el circuito de la figura, inicialmente el condensador está cargado a un
voltaje vo.
Vo 
CVo
1
LCs 2 + 1
=  Ls +  I =
.I ⇒ I =
=
s 
Cs 
Cs
LCs 2 + 1
i(t) =
Vo
L
LC sen ω o t = Vo
C
sen ω o t , con ωo =
L
Vo
L
s2 +
1
LC
1
LC
Vo s
⇒ v (t ) = Vo cos ω o t
1
s +
LC
ωo, frecuencia propia de resonancia.
V = LsI =
2
vc
t
i
Unidad 6: Circuitos Resonantes
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Interpretación física. Inicialmente, el condensador está cargado. Toda la energía está
almacenada en el condensador. Se empieza a descargar mientras crece la corriente. Cuando
la corriente llega al máximo, el voltaje es nulo. En ese instante, toda la energía está en la
self, y vale:
1 2 1 V02
1
LI = L
C = CV02
2
2 L
2
Es decir que la energía se almacena en ambas componentes, pasando de una a otra en un
proceso que sigue indefinidamente.
¿Qué pasa si incorporamos la resistencia r del cable?
Vo
2
Vo 
CVo
1
LCs + rCs + 1
L
=  Ls + r +  I =
.I ⇒ I =
=
=
2
r
1
s 
Cs 
Cs
LCs + rCs + 1
2
s + s+
L
LC
Vo
L
=
2
r 
1
r2

−
s +
 +

2 L
LC 4 L2
ω12
i(t) =
α=
Vo 1 − 2rL t
. e
sen ω 1t
L ω1
con
r
, factor de amortiguación
2L
ω 12 =
 r 2C
1
r2
− 2 = ω 20  1 −

LC 4 L
4L 

ω 20 −α 2
Los ceros del denominador: so = - α ± ω1j
Si r es muy grande:
L
1
r2
− 2 <0⇒r> 2
LC 4 L
C
Ya no tenemos sinusoidales sino exponenciales. (el análisis completo es bien conocido).
El caso límite se llama amortiguamiento crítico.
La condición r mayor que el valor crítico da lugar a una respuesta sobre amortiguada.
La de tipo sinusoidal, da lugar a una respuesta subamortiguada.
3. Factor de calidad Q.
El cociente entre el valor de la reactancia en resonancia (de L o C, es lo mismo), y la
resistencia es lo que se llama factor de calidad, de magnificación, o más simplemente Q.
Lω o
1
1 L
Q=
=
=
r
rCω o r C
1
1
ω 20 =
⇒ Lω o =
LC
Cω o

1 
Si r es chico, Q es grande; ω1 es próximo a ω0. En efecto: ω 12 = ω 20  1 −

 4Q 2 
ω
ω
r
1
También podemos vincular Q con α. α =
= o ⇒Q= o =
2α 2 cosθ
2 L 2Q
En la figura, se puede apreciar la disposición de estos parámetros, en el plano complejo.
Unidad 6: Circuitos Resonantes
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Q también mide la relación entre energía almacenada y energía disipada (en régimen
sinusoidal).
1
En efecto: la energía almacenada máxima (sin disipación) es: LI 2 ( i ≈ I senωot )
2
La energía disipada en un ciclo es aproximadamente:
T
T 2π 2
T
rI 2
rI 2
1 − cos 2θ 
 2
2
2
2
ω
θ
θ
π
rI
sen
tdt
=
rI
sen
d
=
2
=
T
 sen θ =

o
∫0
∫
0


2π
2π
2
2
2
2π
T
ωot = θ =
t ⇒ dt =
dθ
T
2π
El cociente entre ambas es:
1 2
LI
Lω o
L
Q
2
=
=
=
2
Tr
2πr
2π
rI
T
2
4. Circuito resonante serie excitado por una fuente sinusoidal.
En el circuito ideal L-C visto, la oscilación sinusoidal es la respuesta propia a la excitación
de un dato previo. ¿Qué pasa si excitamos con una fuente sinusoidal?
La serie L C r, en régimen sinusoidal ofrece una impedancia:
Z = r + Lωj +
1
1 

= r + j  Lω −


Cωj
Cω 
1 

Z = r +  Lω −


Cω 
2
2
¿Cómo varía Z, y por tanto I, al variar ω?
Corriente máxima ⇒ Z mínima ⇒ Lω −
serie.
Para esa frecuencia: Z = r
1
1
= 0 ω2 =
, frecuencia de resonancia
Cω
LC
¿Cómo son los voltajes en bornes de c/componente?
1
I , que usualmente son
Cω o
V
Lω o
1
mucho mayores que la fuente; la relación es precisamente: Q = c =
=
Vr
r
rCω o
Veamos la conducta del circuito cerca de la resonancia:
En la resistencia: rI; en la self LωoI;
en el condensador
2
2
 Lω o ω
1 
1 ω 
f
 Lω
2 f
= 1+ 
−
−
 = 1+ Q  − 
 = 1+ 
 r
f
r
Cω 
f
 r ω o rCω o ω o 
Z
Frecuencia de 3 db:
2
 f
f 
Q  − o  = ±1
f 
 fo
f
f
1
− o =±
fo
f
Q
f 2 − f o2 ( f − f o )( f + f o )
1
=
=±
ff o
ff o
Q
f + fo
f
2 ∆f
1
Si Q es grande, f es próximo a fo ⇒
≈2⇒
= ± ⇒ ∆f = ± o
fo
Q
f
2Q
La corriente de resonancia cae a
f
1
de su valor para frecuencias f1 y f2 f1 = fo - o
2Q
2
f
f2 = fo + o
2Q
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5. Curvas de resonancia.
Representando la respuesta I vs f, como I =
V
1 

r + j  Lω −


Cω 
Se tendrá algo así:
Para r chico, Q grande, tenemos picos fuertes.
Es decir que Q mide también la selectividad de la
curva respecto a la frecuencia.
El “ancho de banda” es inversamente proporcional a Q
θ = - Arctg
Lω −
r
1
Cω
Si Q = ∞, es decir, solo L y C el circuito pasa de capacitivo (I adelantada) a sélfico (I
atrasada).
π
¿En qué puntos el defasaje vale ± ?
4
1
θ = Arctg1
Lω =1
Cω
Lω
1
−
= 1 ⇒ los mismos de caída 3 db
r
Cω
En el análisis de la resonancia serie
observamos que en
bajas frecuencias, la impedancia es grande (debido a C); en altas es grande (debido a L) y
pasa por un mínimo que vale r a la frecuencia de resonancia serie.
Hay todo un análisis dual para el caso del paralelo.
Aquí, para acercarnos al caso ideal, R es grande
(pérdidas del condensador).
En bajas frecuencias, la Z es chica (debido a L);
en altas es chica (debido a C) y pasa por un máximo
en la frecuencia de resonancia paralelo, en que vale R.
6. Diagramas cero – polo.
Hemos analizado respuestas de amplitud y fase en algunos casos.
Se puede estudiar en general dichas respuestas a partir del diagrama de ceros y polos.
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Dada una H(s)=
A( s − z o )( s − z1 )
( s − po )( s − p1 )( s − p2 )
Para estudiar la respuesta sinusoidal:s = jω
A( jω − z o )( jω − z1 )
H(jω)=
( jω − po )( jω − p1 )( jω − p2 )
C/factor es un vector que va del cero o polo al punto genérico del eje imaginario jω.
Sabemos que ceros y polos son reales o complejos conjugados.
Para hallar módulo y argumento de H:
El módulo sale multiplicando los vectores de cero y
dividiendo por los vectores de polo.
El argumento sale sumando los ángulos de los ceros y
restando los de los polos.
Con este método, podríamos hallar las curvas |H| y
ArgH por puntos. Más que ese uso nos servirá para
algunas ideas generales.
P.ej. podemos ver el efecto de ceros y polos imaginarios puros.
Se observa que la magnitud de |H(ω)| pasa por un cero
en ωc y un infinito en ωp.
En cuanto a la fase, arranca en 0 para 0 < ω < ωo.
Al pasar por ωo salta a 180º (la contribución de ese
cero pasa de -90º a +90º) y se mantiene así hasta pasar
por ωp en que vuelve a 0.
Por extensión, si tenemos ceros y polos próximos al eje imaginario: z = - σ ± jωi , al pasar
en frecuencia cerca de ωi, la curva |H| pasa por un valle o por un pico según que estemos
cerca de un cero o polo y la curva de fase sufre una fuerte subida o bajada respectivamente.
Estos efectos se atenúan cuando los ceros y polos se alejan del eje imaginario en cuyo caso
contribuyen poco al dibujo de la forma de las curvas de amplitud y fase y solo aportan un
factor de escala.
7. Transferencias de fase mínima.
Por argumentos de estabilidad, sabemos que los polos no pueden estar en el semiplano
derecho. Los ceros sí.
Comparemos estas dos configuraciones.
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Tienen iguales polos pero los ceros son simétricos.
Las respuestas de amplitud son iguales.
Las de fase no. La fase del (a) es menor que la de (b) (Los ceros del semiplano derecho
aportan un defasaje menor).
Por eso a las funciones como (a) con ceros en el semiplano izquierdo se les llama de fase
mínima.
8. Transferencia “pasa - todo”.
Finalmente, veamos una transferencia como la de la figura.
La respuesta de amplitud es constante. La de fase no.
Se llama una función “pasa todo”.
¿Para qué sirve?
Sirve para corregir distorsiones de fase.
9. Recapitulando.
En el presente módulo, hemos visto las particularidades que los fenómenos generales de
resonancia presentan en el caso de los circuitos eléctricos.
El análisis de una configuración elemental (el circuito serie R-C) nos ha servido para hallar
conclusiones generales sobre parámetros que informan sobre cuán “ideal” es dicho circuito:
factor de amortiguación, factor de calidad, y significado energético de los mismos.
El circuito resonante se analizó desde dos puntos de vista: abandonado a sí mismo a partir
de una condición inicial, y excitado por una fuente sinusoidal.
Vimos las características del ancho de banda de un circuito resonante, y finalmente
relacionamos estas propiedades con la ubicación de ceros y polos de la función asociada al
circuito.
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