Relaciones esfuerzo deformación

Capítulo 2
Relaciones esfuerzo deformación
En esta sección se emplea la primera ley de la termodinámica para derivar la relación esfuerzo
deformación.
2.1.
Relaciones constitutivas
Se llama modelo constitutivo a una formulación matemática capaz de describir el comportamiento
físico macroscópico de un sólido ideal, que resulta luego de aplicar hipótesis sobre un sólido real.
De aquí que la formulación de modelos constitutivos sólo representa una realidad condicionada
por ciertas hipótesis y por tanto su utilización debe realizarse consecuentemente con ellas (Oller
2001).
Tradicionalmente, los materiales en ingeniería se consideran como macroscópicos y homogéneos
(Willam 2000). En modelos continuos, el comportamiento del material se describe por una
relación esfuerzo-deformación. Los modelos constitutivos se pueden clasificar gruesamente como: 1) Elásticos, que pueden ser elástico lineal o elástico no lineal, 2) elastoplástico y 3) daño,
que describen la degradación del material con ablandamiento, Fig. 2.1.
Figura 2.1: Modelos constitutivos: a) elástico, b) plástico and c) daño.
El desarrollo de relaciones de carga-esfuerzo y carga- desplazamiento requiere de relaciones
esfuerzo-deformación que relacionen las componentes del tensor de deformaciones con las del
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75
2.1 Relaciones constitutivas
tensor de esfuerzos. La forma de esta relación depende del comportamiento del material. Las
relaciones esfuerzo-deformación se pueden tratar teóricamente con el uso de la primera ley de
termodinámica, correspondiente a la ley de conservación de la energía. Debe notarse, que la
cantidad total de energía en un sistema es generalmente indeterminado, por lo que sólo cambios en la enegía interna son medibles. Estos cambios se determinan por la primera ley de la
termodinámica. Si los efectos electromagnéticos se ignoran, esta ley se describe como:
El trabajo realizado por un sistema mecánico por la acción de fuerzas externas y el calor que
fluye dentro del sistema proveniente del exterior es igual al incremento de la energía interna más
el incremento de energía cinética.
Simbólicamente, esta ley de termodinámica se expresa como:
 +  =  + 
(2.1)
donde  es el trabajo desarrollado por el sistema debido a las fuerzas externas,  es el calor
que fluye en el sistema,  es el incremento en la energía interna y  el incremento en la
energía cinética. Para aplicar esta ley de termodinámica, medio continuo se tiene un cuerpo
tridimensional, cuyo comportamiento del material es elástico lineal con deformaciones pequeñas,
con un dominio Ω ∈ R3 , puntos materiales x y frontera Γ con vector normal n (figura 3.1), el
cual se somete a las acciones del vector de fuerzas de cuerpo b en el interior del continuo, a las
tracciones prescritas t∗ en Γ y los desplazamientos prescritos u∗ en Γ . La frontera Γ del continuo
está constituida por dos superficies Γ y Γ ; Γ corresponde a la región con desplazamientos
prescritos (conocidos) y Γ corresponde al resto de la frontera que incluye aquellas porciones
donde se aplican las cargas prescritas, de tal forma que Γ ∪ Γ = Γ y Γ ∩ Γ = ∅. Se asume que
sus componentes de desplazamiento son conocidas, , , . Además, considerando que en cada
punto del medio continuo tiene un incremento infinitesimal, variación, en sus componentes de
desplazamiento, indicadas por , , . Ante esta variación de los desplazamientos, se considera
que las componentes de esfuerzo no cambian. Las variaciones de desplazamiento son arbitrarias,
excepto que dos o más partículas no pueden ocupar el mismo punto en el espacio, una partícula
no puede ocupar más de una posición en el medio continuo. Además, los desplazamientos en
ciertos puntos del medio continuo se prescriben, por ejemplo apoyos fijos. De la ec. (1.98), la
variación de las componentes de deformación, resultado de las variaciones de desplazamiento,
son:
 =
 =
 =
()

()

()

 =
 =
 =
³
1 ()
2 ³ 
1 ()
2 ³ 
1 ()
2

+
+
+
´
()
 ´
()
 ´
()

(2.2)
Para condiciones adiabáticas, no existe flujo de calor dentro de Ω , y equilibrio estático ,  = 0,
la primer ley de la termodinámica establece que, durante las variaciones de desplazamiento, la
variación del trabajo de las fuerzas externas  es igual a la variación de la energía interna 
c
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76
2.1 Relaciones constitutivas
Figura 2.2: Continuo Ω con acciones en el dominio y condiciones de frontera sobre Γ.
para cada volumen del elemento. Por lo que:
 = 
(2.3)
El trabajo externo se divide en el trabajo realizado por las fuerzas de superficie  y el trabajo
realizado por las fuerzas de cuerpo  . En el punto P de la superficie Γ considere una diferencial
de área Γ. El vector de tracciones, t(x), que actúa sobre la superficie Γ tiene componentes  ,
 y  . La fuerza de superficie de define por la integral dada en la ec. (1.5). El trabajo  es
igual a la suma del trabajo de estas fuerzas sobre la superficie Γ,
 =
Z
Γ
=
Z
t · uΓ =
Z
σ · n · uΓ
Γ
[  +   +  ] Γ
(2.4)
Γ
=
Z
[(   +    +    )  + (   +    +    )  + (   +    +    ) ] Γ
Γ
La fuerza de cuerpo se define por la integral dada en la ec. (1.6). El trabajo  es igual a la
suma del trabajo de estas fuerzas en el volumen Ω,
 =
Z
b · uΩ =
Ω
Z
[  +   +  ] Ω
(2.5)
Ω
La variación del trabajo  de las fuerzas externas que actúan sobre el volumen Ω y la superficie
Γ es igual a la suma de  y  ,
c
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77
2.1 Relaciones constitutivas
 =  +  =
Z
σ · n · uΓ +
Γ
Z
b · uΩ
(2.6)
Ω
aplicando el teorema de divergencia, dado en la ec. (1.3),a la ec. (??
 =
Z
∇·σuΩ +
Ω
Z
b · uΩ
(2.7)
Ω
De las ecs. (1.17) y (2.2), se tiene el trabajo externo como:

Z
=
σ : ∇ uΩ
(2.8)
Ω
Z
=
(   +    +    + 2   + 2   + 2   ) Ω
Ω
La energía interna  en un volumen Ω se expresa en términos de energía interna por unidad de
volumen, en términos de la densidad de energía interna 0 .
Z
0 Ω
(2.9)
Z
0 Ω
(2.10)
(   +    +    + 2   + 2   + 2   ) Ω
(2.11)
=
Ω
y la variación de la energía es:
 =
Ω
Sustituyendo las ecs. (2.8) y (2.10) en (2.1),
 =
Z
Ω
2.1.1.
Densidad de energía interna
La densidad e energía interna 0 es una función de ciertas variables. Para el caso de un comportamiento elástico del material, la energía interna total  es igual a la a la energía potencial
de las fuerzas internas. Cada componente de esfuerzo está relacionado con las componentes de
deformación; por lo que la densidad de energía interna 0 en un punto dando puede expresarse
en términos de seis componentes del tensor de deformaciones.
Puesto que la densidad de energía de deformación 0 generalmente depende de las deformaciones,
de las coordenadas y de la temperatura , ésta se puede expresar como función de estas variables.
Así,
c
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78
2.1 Relaciones constitutivas
0 = 0 (                )
(2.12)
por lo que si los desplazamientos , ,  tiene una variación, , , , las componentes de
deformación tiene una variación,  ,  ,  ,  ,  y  , por lo que la función 0 toma
la variación:
0 =
0
0
0
0
0
0
 +
 +
 +
 +
 +







(2.13)
Así, puesto que las ecs. (2.11) y (2.13) son validas para variaciones arbitrarias, se tiene:
 =
  =
2.1.2.
0
0
0
  =
  =




1 0
1 0
1 0
   =
   =

2 
2 
2 
(2.14)
Densidad de energía complementaria
En muchos elementos en ingeniería estructural, existe un componente dominante del tensor de
esfuerzos, como elementos cargados axialmente, columnas, vigas o elementos a torsión. Por lo
que la densidad de energía de deformación, ec. (2.12) depende principalmente del componente
de deformación ; consecuentemente, para una temperatura dada  , el esfuerzo  dependerá
principalmente de la deformación .
De la ec. (2.14)  = 0  , por lo que 0 =
R
 . La cual se representa por el área debajo
de la curva esfuerzo-deformación en la Fig. (2.3). El área rectangular (0,0), (0,), (,), (,0) se
representa por el producto , la cual está dada por:
 = 0 + 0
(2.15)
Donde 0 se le llama densidad de energía de deformación complementaria, la cual se representa
por el área delimitada sobre la curva esfuerzo-deformación y debajo de la línea horizontal de
(,0) a (,), así de la Fig. (2.3)
0 =
o
=
Z
 
0

(2.16)
(2.17)
Esta interpretación gráfica de la densidad de energía complementaria se aplica solamente al caso
de componentes de esfuerzo diferentes de cero.
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79
2.1 Relaciones constitutivas
Figura 2.3: Energía de deformación: a) lineal y no lineal.
Asumiendo que las ec. (2.14) pueden integrarse para obtener componentes de deformaciones
como función de los esfuerzos. Se tiene
 = 1 (              )
(2.18)
 = 2 (              )
..
.
 = 6 (              )
Donde las funciones 1 , 2 ,... , 6 dependen de las componentes de esfuerzo. Sustituyendo las ecs.
(2.18) en la ec. (2.12), se tiene 0 en función de las seis componentes de esfuerzo, teniéndose en
la ec. (2.15) la siguiente expresión:
0 = −0 +    +    +    + 2   + 2   + 2  
(2.19)
De las ecs. (2.18) y (2.19), la densidad energía complementaria 0 puede expresarse en términos
de las seis componentes de esfuerzos. Por lo que, diferenciando la ec. (2.19) con respecto a   ,
se tiene:
0
0 
0 
0 
0 
0 
0 
=
+
+
+
+
+

 
  
    
 
  
(2.20)
y aplicando la ec. (2.14), se tiene:
 =
0

(2.21)
De igual forma, se toman las derivadas de la ec. (2.19) con respecto a las otras componentes de
c
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80
2.2 Relación elástica lineal general
esfuerzo,   ,   ,   ,   ,   , se obtiene la generalización de la ec. (2.17)
 =
 =
2.2.
0
0
0
  =
  =

 


1 0
1 0
1 0
  =
  =

2  
2  
2  
(2.22)
Relación elástica lineal general
La ley constitutiva elástica más general tiene la siguiente forma:
  =  
(2.23)
σ = C:ε
Por la simetría de los tensores de esfuerzos,   =   , y deformaciones,  =  , sólo hay seis
términos independientes en cada tensor   y  . Por lo tanto, el tensor de rigidez elástico C
puede tener como máximo 36 constantes independientes, puesto que  =  =  =  ,
en el caso más general correspondiente al material elástico de Cauchy.
2.3.
Ley de Hooke
La expresión más general para un material elástico lineal isótropo es la conocida ley de Hooke,
que se escribe como:
σ(x ) =  (ε) 1 + 2ε
  =    + 2
(2.24)
  ∈ {1 2 3}
donde  y  son las constantes de Lamé que se definen, en función del módulo elástico  y de la
relación de Poisson , como:
=

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
(1+)(1−2)

= 2(1+)
(2.25)
81
2.3 Ley de Hooke

[(1 − )  +  ( +  )]
(1 + ) (1 − 2)

[(1 − )  +  ( +  )]
=
(1 + ) (1 − 2)

[(1 − )  +  ( +  )]
=
(1 + ) (1 − 2)
=  
 =


 
(2.26)
  =  
  =  
Para obtener la expresión inversa, las deformaciones en función de los esfuerzos, primero se
contraen los índices en la ec. (2.24):
  =  · 3 + 2 = (3 + 2) 
(2.27)
de la ecuación anterior se obtiene la siguiente relación:
 =
 
(3 + 2)
(2.28)
Substituyendo la ec. (2.28) en la ec. (2.24) se tiene:
  = 
 
  + 2
(3 + 2)
(2.29)
y despejando el tensor de deformaciones:
 =
 

−
   
2
2 (3 + 2)
(2.30)
Sustituyendo la ec. (2.25) las ecs. (2.24) y (2.30) :
 =
 =
 =
 =
  =
  =
  =
c
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1+

  −    


1
[  −  (  +   )]

1
[  −  (  +   )]

1
[  −  (  +   )]

 

 

 

(2.31)
(2.32)
82
2.3 Ley de Hooke
2.3.1.
Forma matricial de las relaciones esfuerzo—deformación
La representación del estado esfuerzo—deformación mediante tensores de segundo orden, conlleva
la representación de la matriz de rigidez C mediante un tensor de cuarto orden que es difícil de
representar de forma escrita. Por este motivo, y dado que los tensores de esfuerzos y deformaciones
son simétricos y tienen únicamente seis componentes distintas ambos, se suele optar (por ejemplo
en análisis por el método de los elementos finitos) por representar ambos tensores en forma de
vector con los siguientes arreglos:
⎡

   
⎢ 
⎢      
⎣
     
⎧
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎤
⎪

⎪
⎪
⎪
⎨
⎥

⎥ ←→
⎦
⎪  
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪  
⎪
⎪
⎩
 
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬ ⎢   
 ⎢
⎣   
⎪
⎪
⎪
⎪
  
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎧
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎨ 

=
⎪  
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪  
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭ ⎪
 
⎧
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎤
⎪

⎪
⎪
⎪
⎨
⎥

⎥ ←→
⎦
⎪ 2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ 2
⎪
⎪
⎩
2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(2.33)
De esta manera, el tensor de rigidez E que aparece en las ecuaciones constitutivas (2.5) se expresa
mediante una matriz de segundo orden de 6x6 componentes:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎤
⎡
⎥ ⎢
 ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
 ⎥
⎥ ⎢
=
⎥ ⎢
⎢
  ⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
  ⎦ ⎣
 
11 12 13 14 15 16
⎤⎡
⎥⎢
21 22 23 24 25 26 ⎥ ⎢
⎥⎢
⎢
31 32 33 34 35 36 ⎥
⎥⎢
⎥⎢
⎢
41 42 43 44 45 46 ⎥
⎥⎢
⎥⎢
51 52 53 54 55 56 ⎦ ⎣
61 62 63 64 65 66

⎤
⎥
 ⎥
⎥
 ⎥
⎥
⎥
  ⎥
⎥
⎥
  ⎦
 
(2.34)
Caso general
En elasticidad general (con todas las componentes de los tensores de esfuerzo y deformación
no nulos, la matriz de rigidez elástica C tiene la forma siguiente:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
C=
⎢
(1 + ) (1 − 2) ⎢
⎢
⎢
⎣
1−




0
0
0
1−

0
0
0

0
0
0
0
0
0
1−
0
0
0
0
1−2
2
0
0
0
0
1−2
2
0
0
1−2
2
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.35)
Esfuerzo plano
En el caso de esfuerzo plana, los tensores de esfuerzo y deformaciones tienen la siguiente forma:
c
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83
2.3 Ley de Hooke
⎡

⎢
σ=⎢
⎣  
0
  0

0
⎡
⎤


⎢
⎥
⎢
0 ⎥
⎦ ; ε = ⎣ 
0
0

0
⎤
0
⎥
0 ⎥
⎦

Un ejemplo típico de esfuerzo plano es el de un muro con cargas únicamente contenidas en el
plano de éste.
Para el caso de esfuerzo plano, las ec. (2.32) se reducen a:
 =
 =
 =
1

1

[  −  ]
[  −  ]
− 
(2.36)
[  +   ]
  =
 

Resolviendo las dos primeras relaciones en (2.36) y despejando los esfuerzos,
 =
 =

1−2

1− 2
( +  )
(2.37)
( +  )
Finalmente, las ecuaciones constitutivas elásticas en el caso de esfuerzo plana se escriben:
⎡

⎤
⎡
1 
⎢
⎥
⎢
⎢  ⎥ =  ⎢  1
⎣
⎦ 1 − 2 ⎣
0 0
 
⎤⎡
0
0
1−
2

⎤
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢  ⎥
⎦⎣
⎦
 
(2.38)
Deformación Plana
Un ejemplo típico de deformación plana es un túnel o una presa de tierras en que no existen
cargas aplicada en la dirección longitudinal de la estructura. Se deja como ejercicio para el lector
el demostrar que en este caso la relación esfuerzo—deformación se expresa de la siguiente manera:
⎡

⎤
⎡
⎢
⎥
⎢

⎢  ⎥ =
⎢
⎣
⎦ (1 + ) (1 − 2) ⎣
 
1−

0

0
1−
0
0
1−2
2
⎤⎡

⎤
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢  ⎥
⎦⎣
⎦
 
(2.39)
Axisimetría
En coordenadas cilíndricas, los vectores de esfuerzo y deformación están dados por las componentes (  ,   ,   ,   ,   ,   ) y ( ,  ,  ,   ,   ,   ) . Su relación se expresa con la misma
matriz de coeficientes que en el caso general, ec. (2.35). Por lo tanto, en condiciones axisimétricas,
(  =   =   =   ), las ecuaciones constitutivas elásticas se expresan mediante:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
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2.3 Ley de Hooke
⎡

⎢
⎢ 
⎢
⎢ 
⎣ 
 
⎤
⎡
⎥
⎢
⎥
⎢

⎥=
⎢
⎥ (1 + ) (1 − 2) ⎢
⎦
⎣
1−

0
0

0
0
1−
0
0
1−
0
0
0
0
1−2
2
⎤⎡

⎥⎢
⎥ ⎢ 
⎥⎢
⎥⎢ 
⎦⎣ 
 
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.40)
La ley constitutiva elástica tiene muchas deficiencias como se verá: no predice deformaciones
permanentes (no recuperables), no predice rotura, las componentes volumétrica y desviadora
están desacopladas (es decir, no hay dilatancia), etc. Entonces nos podemos preguntar, ¿porqué
elasticidad? Las razones, entre otras, son:
Muchos problemas son elásticos si estamos suficientemente alejados de rotura por factores
de seguridad.
La elasticidad forma parte de formulaciones más avanzadas (por ejemplo: elasto—plasticidad)
La formulación de leyes constitutivas en el marco de la teoría de la elasticidad supone que el
comportamiento del material es independiente del tiempo y de la temperatura.
c
°Gelacio
Juárez, UAM
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