Ecuaciones Cuadrаticas

LECCIÓN 49
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Multiplicar dos expresiones
con dos
términos.
Vea ahora como la ley conmutativa de la
suma y multiplicación puede ser usada
para multiplicar dos expresiones con dos
términos.
La siguiente forma da el mismo resultado.
Multiplique el primer termino en el
primer paréntesis por cada uno de los
términos
en
segundo
paréntesis.
Escriba el resultado.
(x + 2)(x + 5)
Ejemplo:
el
x2 + 5x
Ahora multiplique el segundo termino en
Primer paso:
el primer paréntesis por cada termino en
Primero piense que esta conmutando (x +
el segundo paréntesis y escriba el
2) con (x + 5). Usted multiplicará (x +
resultado:
2) por
(x + 2)(x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10
x, luego (x + 2) por 5 y luego
sumará.
Usted obtiene el mismo resultado como
en el paso 2 pero con 5x y 2x escrito en
Segundo paso:
Use la ley conmutativa en (x + 2)x y en
diferente orden. Entonces combinando
términos usted obtiene x2 + 7x + 10
(x +2) 5.
Para estar seguros que usted entiende bien
esto veamos mas ejemplos.
Tercer paso:
Simplifique
Multiplique (x + 2)(x + 3)
combinando
términos
El método es el mismo incluso si hay
iguales. Los únicos términos iguales o
signos negativos en el paréntesis. Solo
semejantes son 2x y 5x. Ya que 2x + 5x
recuerde usar los signos exactos.
= 7x usted obtendrá:
Multiplique (x – 3) (x + 2)
La respuesta final será:
1)
Multiplique
los términos en el
segundo paréntesis por la x en el primer
paréntesis.
2) Ahora multiplique por el -3
Fíjese que el signo de igualdad no fue
escrito hasta que el segundo paso fue
completado porque el lado izquierdo
todavía no igualaba al derecho hasta el
segundo paso.
3) Combine términos iguales.
Hasta ahora en su multiplicación de dos
expresiones con dos términos usted ha
obtenido siempre tres términos en su
respuesta final. Es posible finalizar con
solo dos términos en la respuesta final.
Fíjese como puede pasar esto:
Multiplique (x – 4)(x + 4)
Combinado los primeros pasos usted debe
obtener:
Esto simplifica x2 - 16 porque los dos
términos de en medio al sumarse dan
cero.
b)
Factorizar expresiones con tres
términos.
Si el signo del ultimo termino es
negativo ( - ) como lo es en el ejemplo 2,
En matemáticas por cada operación que
los signos en el paréntesis son diferentes
usted hace, hay usualmente una manera
y el numero mas grande de los dos
de deshacerla.
números en los paréntesis tiene el mismo
multiplicado
Usted hasta ahora ha
factores
para
obtener
signo del segundo termino.
expresiones y ahora usted vera como
cambiar ciertas expresiones de regreso a
Estas dos cosas son siempre así si la
factores. La mejor forma para comenzar
expresión tiene factores.
es ver por formas de las que usted ya
reglas es fácil conocer que clase de signos
conoce.
habían en los originales paréntesis.
Con estas dos
Ejemplo:
Hasta ahora usted ha trabajado estas tres
Llene en los espacios en blanco en los
formas:
paréntesis para mostrar que los factores
fueron multiplicados para obtener las
expresiones con tres términos.
Los tres sets de paréntesis tienen los
1) (x _____2)(x___4) = x2 - 6x + 8
mismos números. Solamente los signos
2) (x ___4)(x___6) = x2 +10x + 24
son diferente.
3) (x___4) (x____6) = x2 –2x –24
Vea cuidadosamente las
respuestas y vera tres cosas.
Estos tres ejemplos incluyen todas las
posibilidades,
a)
Si el signo del ultimo termino de la
respuesta es + (positivo), los signos en
cuidadosamente
así
que
lea
esto
y será capaz de hacer
cualquier problema como estos:
ambos paréntesis son los mismos que los
del signo del segundo termino de la
Ejemplo No. 1
respuesta. Vea en los ejemplos 1 y 3. El
Paso 1
termino final es +28 en ambos casos (y el
Vea el signo final. Aquí hay uno positivo
signo del segundo termino, +11x en la 1
( + ), así que usted ya sabe que ambos
y
signos
-11x en la 3) es el signo en ambos
paréntesis.
en los paréntesis deben ser los
mismos. También ambos deben ser ( - )
negativos, ya que el segundo termino de
esta factorizando, el cual en este caso es
el producto tiene uno negativo (-).
un signo menos. ( - ).
Paso 2
Paso2
Escriba los signos dentro de acuerdo a la
Ponga dentro los signos de acuerdo al
regla: (x – 2) (x – 4) es la respuesta.
paso 1 (x + 4) (x – 6) es la respuesta.
Usted
Puede
puede
chequear
la
respuesta
multiplicando para ver si usted obtiene x2
chequear
si
esta
bien
multiplicando.
- 6x + 8.
Ahora veamos estos ejemplos:
Ejemplo No. 2
Sea
Paso 1
x2 + 11x + 28, encuentre sus
factores.
Cheque el signo final.
Otra vez es
positivo (+). Ya que el segundo termino
Paso 1
en la expresión que esta factorizando
Escriba los dos pares de paréntesis y
tiene un signo + uno positivo debiera ir en
ponga una
ambos paréntesis.
cada uno.
(x
) (x
x como primer termino en
)
Paso 2
Paso 2
Escriba los signos de el segundo termino
Trabaje los signos. Aquí el termino final
en los paréntesis. (x + 4) (x + 6) es la
de lo que esta factorizando es + y el signo
respuesta.
del segundo termino es + así que signos
Usted
puede
chequear
multiplicando, debe obtener x2 + 10x +
positivos van en ambos paréntesis.
24.
( x + ) (x + )
Ejemplo No. 3
Paso 3
Paso 1
Encuentre dos números que cuando
Cheque el signo del ultimo termino. Es
multiplicados hagan +28 y cuando se
uno negativo ( - ). Así que los signos en
sumen hagan +11.
el paréntesis son diferentes. El numero
números pueden ser multiplicados para
mas grande tiene el mismo signo que el
hacer 28 pero solamente 4 + 7 hacen 11 y
del segundo termino de la expresión que
Varios pares de
4*7 hacen 28,
asi que los números
son los mismos que el ejemplo
necesitados son 4 y 7.
anterior excepto por los signos:
Paso 4
(-1 & -28);
Escríbalos entre los paréntesis.
& -7).
(x + 4) (x + 7)
solamente multiplicados juntos
Los números en la expresión final serán
dan +28 sino que sumados dan –
(x + 4) (x + 7)
11 así que el ultimo par de
El ultimo par no
números
Encuentre los factores de x2 – 11x + 28
1)
2)
los
que
Escriba 4 y 7 en
los respectivos paréntesis.
primeros términos.
) (x
son
necesitamos.
Inicie los paréntesis con los
(x
(-2 & -14), y (-4
)
Encuentre que clase de signos
(x -
4) (x
- 7)
(x -
4) (x
-
7 ) Es la
respuesta.
van a ser y póngalos adentro de
los paréntesis. Aquí usted puede
fijarse que el ultimo termino de
Encuentre los factores de x2 + 3x – 28
lo que esta factorizando es +28,
Paso 1
así que los dos signos de los dos
Escriba los paréntesis y los primeros
paréntesis van a ser iguales. El
términos.
segundo termino
(x
) (x
)
estamos factorizando es –11x por
Paso 2
lo tanto los signos que van
Encuentre la clase de signos que deben
adentro deberán ser negativos.
tener. He aquí el ultimo termino tiene un
(x 3)
de lo que
) (x
-
)
signo – (negativo) -28.
Por lo tanto
Encuentre un par de números que
sabemos que
los signos dentro del
cuando multiplicados den +28 y
paréntesis van a ser diferentes los dos.
cuando se sumen de -11. Los
Recuerde que el numero mas grande que
signos que ya puso en los
vamos a hallar será el que lleve el signo
paréntesis nos dan la idea de que
positivo porque el segundo termino es
ambos números son negativos.
positivo también.
Los pares que multiplican +28
(x
- ) (x + )
Paso 3
Encuentre dos números que multiplicados
den –28 y sumados den +3. Hace un rato
usted encontró ciertos números que
multiplicados
dan
–28
movemos los signos. (-1.
+28) (2,
(-4,
-14) (-14, 2)
+7);
si tan
solo
+28) (+1,
(+4,
-7)
y
pero de estos pares de
números los únicos que suman +3 es –4
y +7 así que ponga esos dos números en
los paréntesis.
(x
- 4 ) (x + 7 )
Respuesta final:
(x
- 4 ) (x + 7 )
DIFERENCIA DE CUADRADOS
cuadrado e igual lo son los números 9, 25
Asustado o asustada? De seguro si ha
y 36.
seguido todo el camino desde el inicio
En la expresión de la derecha de la pagina
hasta este momento usted nunca se
anterior esa es una
imagino lo que era capaz de hacer,
cuadrados.
en
diferencia de dos
donde se dice que uno no puede saber de
Para factorizar una expresión de dos
Ecuaciones Cuadráticas? Dentro de unos
términos que tiene diferencia de dos
pocos días estará en la cima del
cuadrados, solamente ponga la raíz del
conocimiento matemático, y Ud. podrá
cuadrado de cada termino en ambos pares
ingresar a la universidad o al instituto sin
de paréntesis y escriba signos opuestos.
ningún problema.
Ejemplo:
Cuales son los factores de n2 - 100?
Diferencia de dos cuadrados
n2 –100 es una diferencia de dos
Hasta ahora ha visto casos envolviendo
cuadrados porque
solo dos términos cuando aprendió a
cuadrado de n y 100 es el cuadrado de
multiplicar entre paréntesis.
10. Así que escriba sus raíces dentro de
n2
en si es un
ambos paréntesis con signos opuestos.
(n + 10) (n –10)
Fijémonos en unos dos para revisar
Pan comido.
porque esto ocurre así.
Un caso especial que confunde algunas
x2
En la expresión de arriba todo se reduce a
personas es
x2 - 36 porque los términos de en medio
diferencia
se anulan entre si, estos es al realizarlos
términos son x * x y 1 * 1. Por lo tanto
dan 0 y por lo tanto no hay que ponerlos.
los factores de esta expresión son (x + 1)
Usted siempre se queda con dos términos
(x – 1). Recuerde que es la única un poco
cuando los términos del medio siempre
confusa.
son los mismos excepto que llevan signos
diferentes.
Fíjese también que x2 es un
- 1.
de cuadrados
Esta es una
porque los
los factores equivale a 0 la ecuación será
Resolver ecuaciones con cuadrados
verdadera. Si x + 4 = 0 entonces x =
Usted ya sabe que cualquier numero
-4 .
Así que x = -4 es una raíz. Si x
multiplicado por 0 da como resultado 0.
3X0=0
– 7 = 0 entonces x = +7 . Por lo tanto x =
5X0=0
+7 es otra raíz.
Ahora eche un vistazo a esta ecuación:
ab = 0
De nuevo hay dos posibles raíces para
Si a = 0 o b = 0 la ecuación tiene que ser
solucionar el problema. Si usted pone ya
verdadera. De hecho, ese es el único
sea –4 o +7 en el lugar de la x en la
camino para que ab pueda ser igual a 0.
expresión (x + 4) (x – 7) = 0 la ecuación
Si el producto de dos factores es 0
numérica resultante es verdadera. Ahora
entonces uno o ambos factores deben
usted sabe que si (x + 4) (x – 7) = 0, x =
también ser 0. Utilizando este
+7.
razonamiento vea estas dos ecuaciones.
paréntesis de la misma forma como lo ha
Usted puede multiplicar los
hecho en las lecciones anteriores.
En los primeros dos factores x y (x + 3)
Para resolver ecuaciones que contienen x2
multiplicados juntos hacen 0. Si
o cualquier otro cuadrado desconocido
cualquiera de los factores equivale a cero
usted necesita solamente encontrar los
la ecuación es verdadera. Así que aquí
factores, hacer que cada factor equivalga
hay dos chances: x = 0 o x + 3 = 0 y
a cero y entonces encontrar que valor o
en este caso ultimo x debiera ser igual a –
valores de las incógnitas hacen la
3.
ecuación verdadera.
La ecuación tiene dos raíces, x = 0 y
x = - 3,
cualquiera de las dos hace la
ecuación verdadera.
En la segunda ecuación también
hay dos factores, (x + 4 ) y (x – 7) que se
multiplican para hacer 0. Si cualquiera de
Ejemplo:
Encuentre las raíces de la ecuación
x2 –8x + 15 = 0.
Para resolver factorice el lado izquierdo,
haga que cada factor equivalga a cero y
resuelva la x.
Paso 1
usted debió descubrir que x = -3 y que x
Escriba los paréntesis con la incógnita en
= -9, esos son las dos raíces.
cada uno.
(x
) (x
)=0
Algunas
ecuaciones
con
una
raíz
Paso 2
desconocida tienen solamente una raíz.
Determine que signos irán dentro de los
Considere (x – 4) (x – 4) = 0.
paréntesis. Aquí el termino final es +15
Cuando usted pone los factores a 0 y
por lo tanto ambos signos serán los
resuelve la x,
mismos.
ambos factores.
Ya que el segundo termino
es –8x ambos signos deben ser negativos.
( - ) . Póngalos dentro.
(x
-
) (x
-
)=0
Paso 3
Determine los números. Usted necesitará
dos números que multiplicados den +15
y sumados den -8. La ley de la prueba y
error dicen que esos dos números son -5
y -3. Este arroz ya se coció.
Paso 4
Ponga cada factor igual a 0 y resuelva las
ecuaciones.
Si x – 3 = 0 entonces x = +3
Si x – 5 = 0 entonces x = +5
Las respuestas son x = +3 y x = +5
Hágalo usted
Encuentre la raíz de x2 + 12x + 27 = 0
Si su respuesta es (x + 3) (x + 9) = 0,
cuando puso cada factor a igual cero
usted obtiene x = 4 en
La ecuación tiene
solamente una raíz, x = 4.