Matemáticas 3º ESO - Ejercicios de raíces.

Tema 2 - Hoja 2: Raíz de un número
1
Expresa como producto de un número entero y un radical los siguientes radicales:
a)
12
b)
45
3
c)
54
Solución:
a)
12 = 22 ⋅ 3 = 2 3
b)
45 = 32 ⋅ 5 = 3 5
c)
2
3
54 = 2 ⋅ 33 = 3 3 2
3
Expresa en forma de raíz las siguientes potencias de exponente fraccionario:
3
a) 2 5
1
 2 2
b)  
7
4
c) 9 5
Solución:
3
a) 2 5 = 23
5
1
 2 2
b)   =
7
2
7
4
c) 9 5 = 9 4
5
3
El área de un terreno de forma cuadrada es 169 m2. ¿Cuánto medirá el perímetro del terreno?
Solución:
El lado del terreno mide 169 = 13 m. (La raíz negativa no es solución válida).
El perímetro es: 4 ⋅ 13 = 52 m.
4
El número 46 656 es igual al cubo de 36. Calcula la raíz sexta de dicho número.
Solución:
46656 = 363 = ( 62 ) = 66
3
6
5
46656 = 66 = 6
6
Simplifica los siguientes radicales:
a)
4
26
b)
6
49
c)
30
212
Solución:
6
3
a)
4
26 = 2 4 = 2 2 = 23
b)
6
49 = 4 6 = 4 2 = 43
c)
30
212 = 2 30 = 2 5 = 22
9
3
12
6
2
5
En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 cm y 4 cm, respectivamente. ¿Cuánto medirá la hipotenusa?
Solución:
4 cm
h
3 cm
Aplicando el Teorema de Pitágoras: h 2 = a 2 + b 2
h = 32 + 42 = 25 = 5 (La raíz negativa no es válida)
La hipotenusa mide 5 cm
7
Reduce a índice común los siguientes radicales:
a)
4
b)
3
6,
5 ,
6
4
5
73 ,
15
32
Solución:
8
a)
6, 6 4 → 6 ,
m.c.m.(4,6) = 12
b)
5 , 73 ,
32 →
m.c.m.(3,5,15) = 15
12
4
5
3
3
12
15
4
15
2
5
5 ,
15
9
7 ,
15
3
2
Reduce a índice común los siguientes radicales:
a)
b)
4
3,
5
2
5,
6
4
Solución:
3=
a)
b)
9
4
35 ,
5
2=
10
22
5 = 12 53 ,
6
4=
12
42
10
Extrae todos los factores posibles de las siguientes raíces:
a)
27
b)
3
32
c)
4
162
d)
192
Solución:
27 = 32 ⋅ 3 = 3 3
a)
b)
3
32 = 23 ⋅ 22 = 2 22
c)
4
162 = 4 2 ⋅ 34 = 3 4 2
3
192 =
d)
3
(2 )
3 2
⋅ 3 = 23 ⋅ 3
10 Calcula las siguientes raíces:
a)
25
b)
3
−27
c)
4
81
d)
6
64
Solución:
( −5 )
25 =
a)
= −5 y
2
( −3 )
3
b)
3
-27 =
c)
4
81 = 3 4 = 3 y
d)
6
64 = 26 = 2
3
25 = 52 = 5
= −3
4
4
81 =
4
( −3 )
4
= −3
6
11 Simplifica los siguientes radicales:
24
a)
b)
3
315
c)
4
56
d)
12
78
Solución:
24 = 22
a)
b)
3
315 = 35
c)
4
5 6 = 53
d)
12
78 = 7 2
3
12 Simplifica los siguientes radicales expresándolos previamente en forma de potencia:
a)
6
b)
12
33
c)
10
243
d)
4
78
16
Solución:
4
2
16 = 2 = 2 6 = 2 3 = 2
6
3
4
a)
6
b)
12
33 = 3 12 = 3 4 = 3
c)
10
243 =
d)
4
3
2
1
4
5
10
1
3 = 3 10 = 3 2 = 3
5
8
78 = 7 4 = 7 2
13 Introduce en la raíz todos los factores:
a) 5 3
b) 2 4 3
c) 3 6
d) 4 3 2
Solución:
a) 5 3 = 52 ·3 = 75
b) 2 4 3 = 4 24 ·3 = 4 48
c) 3 6 = 32 ·6 = 54
14 La edad de Juan actualmente es 27 años y tiene el cubo de la edad de su hermano Pedro. Dentro de 9 años
la edad de Juan será el cuadrado de la edad que su hermana María tiene actualmente ¿Cuál es la edad
actual de sus dos hermanos?
Solución:
La edad de Pedro es: 3 27 = 3 años.
Dentro de 9 años, Juan tendrá 27+9 = 36 años.
Por tanto, María tendrá 36 = 6 años.
Las edades de María y de Pedro son 6 y 3 años, respectivamente.
15 El volumen de un cubo es 1 000 m3. ¿Cuál es el área de una de sus caras?
Solución:
Como V = l 3 , entonces I = 3 1000 = 103 = 10 m.
3
El área de una de las caras es:
A = l 2 = 102 = 100 m2 .
16 Simplifica los siguientes radicales:
a)
24
1136
b)
18
312
c)
6
d)
15
625
218 ⋅ 312
Solución:
a)
24
1136 = 113
b)
18
312 = 32
c)
6
d)
15
3
625 = 5 4 = 52
6
3
218 ⋅ 312 = 26 ⋅ 3 4
5
17 Simplifica los siguientes radicales:
32 ⋅ 5 4
a)
6
b)
12
59
26
Solución:
32 ⋅ 5 4 = 3 ⋅ 52
a)
6
3
b)
12
59
=
26
4
53
22
18 Escribe tres radicales equivalentes a:
a)
6
b)
24
c)
9
56
d)
5
43
34
26
Solución:
3 4 = 32 = 12 38 =
a)
6
3
b)
24
c)
9
56 = 52 =
d)
5
43 =
26 =
48
3
10
18
312
212 = 22 = 4 2
8
18
46 =
512 = 27 518
15
49 =
20
412
19 Extrae de la raíz todos los factores posibles:
a)
3
625
b)
4
288
c)
3
432
Solución:
a)
3
625 = 53 ⋅ 5 = 5 3 5
b)
4
288 = 4 24 ⋅ 32 ⋅ 2 = 2 4 32 ⋅ 2 = 2 4 18
c)
3
432 = 23 ⋅ 33 ⋅ 2 = 2 ⋅ 3 3 2 = 6 3 2
3
3
20 Extrae factores de los siguientes radicales:
a)
36000
b)
3
270000
c)
4
8100000
Solución:
36000 = 62 ⋅ 102 ⋅ 10 = 6 ⋅ 10 10 = 60 10
a)
b)
3
270000 = 33 ⋅ 103 ⋅ 10 = 3 ⋅ 10 3 10
c)
4
8100000 = 4 3 4 ⋅ 104 ⋅ 10 = 3 ⋅ 10 4 10
3
21 La mitad del cuadrado de la distancia que recorre un ciclista en 30 minutos es 162 km. ¿Cuánto recorrerá en
2 horas?
Solución:
Si la mitad del cuadrado de la distancia es 162, el cuadrado de la distancia es:
2 ⋅ 162 = 324 km.
Por tanto, la distancia que recorre el ciclista en media hora es:
324 = 18 km.
En dos horas recorrerá:
18 ⋅ 4 = 72 km.
22 ¿Cuál es la máxima distancia, en línea recta, que podrá recorrer un jugador en un campo de fútbol de 20 m
de largo y 15 m de ancho?
Solución:
La máxima distancia corresponde a la diagonal del terreno rectangular.
d
15 m
20 m
Por el teorema de Pitágoras:
d = 202 + 152 = 625 = 25
La distancia máxima es 25 m.
23 Reduce a índice común los siguientes radicales:
a)
3
6,
6
23 ,
b)
2,
4
4
53
3,
5
24
6
2=
Solución:
a)
3
6 = 12 64 ,
22 ,
4
53 = 12 ( 53 ) = 12 59
230 ,
4
3=
12
m.c.m.(3, 6, 4) = 12
23 = 20 ( 23 )
10
b)
=
20
3
20
35 ,
5
24 = 20 ( 24 ) =
m.c.m.(2, 4, 5) = 20
24 Extrae factores de los siguientes radicales:
a)
300
b)
c)
3
125
8
54
64
4
20
216
Solución:
a)
300 = 22 ⋅ 52 ⋅ 3 = 2·5 3 = 10 3
b)
125
=
8
c)
3
54
=
64
3
52 ⋅ 5 5 5
=
22 ⋅ 2 2 2
33 ⋅ 2
3 3
3
=
2 = 32
3
3
2⋅2
4
2 ⋅2
25 ¿Cómo se puede extraer la raíz séptima de 1 280 000 000?
Solución:
7
1280000000 = 7 214 ⋅ 57 = 7 27 ⋅ 27 ⋅ 57 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
26 El área de un cuadrado es 4 096 cm2. ¿Cuánto medirá el perímetro de otro cuadrado cuyo lado es la raíz
cúbica del lado del primero?
Solución:
4096 = 64 cm.
El lado del primer cuadrado mide:
3
El lado del segundo cuadrado es : 64 = 4 cm.
Por tanto, su perímetro medirá: 4 ⋅ 4 = 16 cm.
27 Ordena de menor a mayor los siguientes radicales:
a)
3
b)
12
5,
3,
4
6,
15
7
27,
30
81
Solución:
a)
5, 4 6, 7 → 5 ,
m.c.m.(3,4,2) = 12
b)
12
12
3
4
12
3
6 ,
3 , 15 27, 30 81 → 12 3 ,
m.c.m.(12,15,30) = 60
15
12
7
33 ,
6
→
30
12
34 →
28 Extrae factores de las siguientes raíces:
a)
36000
b)
a 4 ⋅ b7 ⋅ c 5
3
6 <
60
12
5
4
5 <
12
60
12
3 ,
7 →46< 5< 7
3 ,
6
60
3
3 →
8
60
5
3 <
60
8
3 <
60
12
3
→ 12 3 < 30 81 < 15 27
Solución:
a)
36000 = 62 ⋅ 102 ⋅ 10 = 6 ⋅ 10 10 = 60 10
b)
a 4 ⋅ b7 ⋅ c 5 = a2 ⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ b2 ⋅ b 2 ⋅ b ⋅ c 2 ⋅ c 2 ⋅ c = a ⋅ a ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ c ⋅ c b ⋅ c = a2 ⋅ b3 ⋅ c 2 bc
29 Reduce a índice común los siguientes radicales:
a)
4
b)
5,
5
23 ,
15
72
9,
6
11,
15
13
Solución:
a)
5, 23 , 72 →
m.c.m.(2,5,15) = 30
30
5 ,
b)
9 , 6 11, 15 13 →
m.c.m.(4,6,15) = 60
60
3 ,
5
15
4
15
15
30
18
2 ,
60
30
7
10
11 ,
4
60
13
4
30 Introduce todos los factores en las raíces:
a) 3 3 6
3
5
3 1
c)
4 2
b) 2
Solución:
a) 3 3 6 = 33 ⋅ 6 = 3 162
3
b) 2
c)
3
=
5
3 1
=
4 2
22 ⋅ 3
12
=
5
5
32 ⋅ 1
=
42 ⋅ 2
9
32
31 Se quiere construir un tablero cuadrado que tenga una superficie de 225 cm2 y que a su vez contenga 144
casillas iguales. ¿Cuánto medirá el lado de cada casilla?
Solución:
El lado del tablero medirá:
225 = 15 cm.
El número de filas y columnas que tendrá el tablero será:
144 = 12
Por tanto el lado de cada casilla medirá:
15 : 12 = 1,25 cm.
32 Simplifica las siguientes potencias expresándolas previamente en forma radical:
15
a) 2 30
6
b) 8 24
c) 3
−
8
12
2
d) 27 18
Solución:
15
a) 2 30 =
30
215 = 2
24
86 =
6
b) 8 24 =
c) 3
−
8
12
=
12
24
218 = 23
4
3 −8 = 3−2 =
3
1
32
3
2
d) 27 18 =
18
272 =
18
36 = 3 3
33 Escribe tres radicales equivalentes a:
a)
7
b)
5
23
c)
12
64
d)
15
310
Solución:
7 = 72 =
4
a)
12
6
b)
5
23 =
c)
12
6 4 = 62 = 3 6 =
d)
15
310 = 32 = 36 =
10
26 =
7 6 = 73
15
6
3
9
29 =
18
30
218
66
12
38
34 Simplifica los siguientes radicales:
a)
12
b)
4
c)
6
d)
8
4 6 ⋅ 38
9 ⋅ 64
81
49
1
212
Solución:
a)
12
b)
4
c)
6
d)
8
4 6 ⋅ 38 = 43 ⋅ 3 4
6
9 ⋅ 64 = 4 32 ⋅ 26 = 3 ⋅ 23
81 6
=
49
1
=
212
34
=
72
1
23
32
7
3
35 En un terreno cuadrado se plantan 225 árboles. ¿A qué distancia estará uno de otro si la superficie del
terreno es de 1296 m2?
Solución:
El lado del terreno mide: l = 1296 = 36 m.
En cada lado del terreno se plantan:
225 = 15 árboles.
Por tanto, la distancia entre cada árbol es: 36 : 15 = 2,4 m.
36 Extrae factores de las siguientes raíces:
a)
3
81 ⋅ x 10 ⋅ y 4 ⋅ z
b)
4
625 ⋅ a ⋅ b 7
a 5 ⋅ b3
Solución:
a)
3
81⋅ x 10 ⋅ y 4 ⋅ z = 3 33 ⋅ 3 ⋅ ( x 3 ) ⋅ x ⋅ y 3 ⋅ y ⋅ z = 3 ⋅ x 3 ⋅ y 3 3 ⋅ x ⋅ y ⋅ z
b)
4
625 ⋅ a ⋅ b 7
=
a5 ⋅ b3
3
4
5 4 ⋅ a ⋅ b 4 ⋅ b3
5·b
=
4
3
a
a ⋅a ⋅b
37
¿Son iguales los números
2
5
y
Solución:
2
5
=
2
1
= 2⋅5
−
1
2
52
1
−
2 5 2 ⋅ 52
=
= 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 −1 = 2 ⋅ 5 2
5
5
1
1
Por tanto los números son iguales.
4
a ⋅ b3
5b
5b
=
⋅1 =
3
a
a
a⋅b
2 5
? Razona tu respuesta.
5
38 Juan tiene 22 años y su hermana Ana tiene la raíz sexta del doble de la edad que tendrá Juan dentro de 10
años. ¿Qué edad tiene Ana?
Solución:
El doble de la edad de Juan dentro de 10 años es:
2 ⋅ (22 + 10) = 64 años.
La edad de Ana es la raíz sexta de 64:
6
64 = 2 años.
39 Ordena los siguientes radicales:
1
a) 5 4 ,
3
3,
3
4
23 , 7 ,
b)
42
3
2
Solución:
1
a) 5 4 = 4 5 =
b)
12
53 = 12 125,
23 = 12 ( 23 ) =
6
3=
12
36 = 12 729,
3
12
3
42 = 12 ( 42 ) =
4
218 = 12 262144, 7 4 = 73 = 12 ( 73 ) =
4
3
1
12
48 = 12 65536 → 5 4 < 3 < 42
3
3
12
79 = 12 40353607,
3
2=
12
24 = 12 16 →
3
2 < 23 < 7 4
40 El volumen de un cubo es 1728 cm3 y la superficie de otro cubo es 726 cm2. ¿Cuál de los dos cubos tiene la
arista mayor?
Solución:
A=6a2
3
V=a
1728 cm
3
726 cm
2
La medida del lado del primer cubo es:
a = 3 1728 = 12 cm.
La medida del lado del segundo cubo es:
726
a=
= 11 cm.
6
Por tanto, la arista del primer cubo será mayor que la del segundo.
41 Ordena las siguientes potencias y radicales:
1
a)
3
5, 74
3,
3
b) 32 , 7 4 ,
53
Solución:
1
3
a)
3=
12
34 = 12 81,
5=
12
8
1
56 = 12 15625, 7 4 = 4 7 =
12
3
(5 )
b) 32 = 3 4 = 4 38 = 4 6561, 7 4 = 73 = 4 343,
4
53 =
4
73 = 12 343 →
3 2
b)
50
4
576
1
1000
d) 3 864
c)
3
Solución:
50 = 52 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2
a)
b)
4
576 = 24 ⋅ 22 ⋅ 32 = 2 ⋅ 22 ⋅ 32 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 6
c)
3
1
1
1
=3 3 =
1000
10
10
d)
3
864 = 23 ⋅ 22 ⋅ 33 = 2 ⋅ 3 ⋅ 22 = 6 ⋅ 22
4
3
43
4
3
3
2
¿Cuál es la edad de Luis si tiene 64 4 años?
Solución:
2
1
64 4 = 64 2 = 64 = 8
Luis tiene 8 años.
3 < 74 < 5
3
= 4 56 = 4 15625 → 7 4 < 32 < 53
42 Simplifica los siguientes radicales extrayendo factores de la raíz:
a)
3