TEMA I.17 - Intensidad del Sonido

TEMA I.17
Intensidad del Sonido
Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de Astronomı́a
Universidad de Guanajuato
DA-UG (México)
papaqui@astro.ugto.mx
División de Ciencias Naturales y Exactas,
Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
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Intensidad del Sonido
El sonido es una onda viajera, lo que implica que puede transportar
energı́a.
La intensidad de la onda de sonido es la razón media a la cual la onda
transporta la energı́a por unidad de área a través de una superficie
perpendicular a la dirección de propagación.
I =
potencia media
unidad de area
La Potencia es el producto de la fuerza por la velocidad
Potencia = fuerza × velocidad
Para una onda sonora: Intensidad = p(x, t) · νy (x, t), donde νy es la
velocidad de la partı́cula.
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Desarrollo, sea
Potencia = Fuerza × velocidad
donde
Intensidad =
Potencia
Unidad de Area
P =I ×A
entonces
Sustituyendo la potencia, tenemos
I ×A=F ×v
despejando
I =
F
×v
A
Por lo tanto,
Intensidad = Presión × velocidad
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Chequeo de unidades
Fuerza = [N], velocidad = [m/s]
J
Potencia = [ N·m
s ] = [ s ] = [Watt]
Ahora las unidades de la intensidad son p(x, t) = [BκA] = [ mN2 ·
[ mN2 ] y vy (x, t) = [ωA] = [ 1s · m] = [ ms ]
1
m
· m] =
N m
1 J
Watt
I =
·
=
·
=
m2 s
m2 s
m2
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Para la onda unidimensional (I.16.1):
νy (x, t) =
∂y
= ω A cos(ωt − κx)
∂t
⇒ p(x, t) · νy (x, t) = [B κ A cos(ωt − κx)] · [ω A cos(ωt − κx)]
= B κ ω A2 cos 2 (κx − ωt)
Sobre un periodo T = 2π/ω el valor medio de cos 2 es 1/2
1
Imed = B ω κ A2
2
(I.17.1)
Cambiamos κ = ω/ν y ν 2 = B/ρ
Imed =
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1p
ρ B ω 2 A2
2
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(I.17.2)
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Demostración:
Imed
= 12 B ω κ A2
= 12 B ν1 ω 2 A2
= 21 ρ1/2 B 1/2 ω 2 A2
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1
ω
= B ω A2
2
ν
1 ρ1/2 2 2
= B 1/2 ω A
2 B
1p
=
ρ Bω 2 A2
2
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Para frecuencias más baja, la amplitud necesita ser mayor para salir a la
misma intensidad.
En términos de pmax (A =
pmax
Bκ )
usando (I.16.5) y ω = νκ:
Imed =
2
p2
pmax
√
= max
2ρν
2 ρB
(I.17.3)
Imed =
2
νp 2
ωpmax
= max
2B κ
2B
(I.17.4)
o
Intensidad de una voz normal es Ivoz = 10−5 W y de un grito fuerte Igrito
= 3 × 10−2 W
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Demostración:
Imed
1√
2 2
2 ρ Bω A
=
=
2
1√
2 Pmax
2 ρ Bν B 2
=
2
Pmax
1√
2 ρB ρB
1p
P2
ρ Bω 2 max
2
B 2 κ2
2
1p
B Pmax
=
ρB
2
ρ B2
1 P2
= √max
2 ρB
=
Para el resto:
q
p
ρ B = ρ Bρ = ρν
q
p
B
ρ B = Bρ B =
ν
q
p
B
Bκ
Bκ
ρ B = Bρ B =
=
=
ν
νκ
ω
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Ejemplo: Intensidad de una onda sonora en el aire
En un ejemplo del oı́do interno, teniamos que pmax = 3.0 × 10−2 Pa a una
temperatura de 20 o C de modo que ρ = 1.20 kg /m3 y ν = 344 m/s
Imed =
2
pmax
(3.0 × 10−2 Pa)2
=
2ρν
2(1.20 kg /m3 )(344 m/s)
J
m2 · s
W
= 1.1 × 10−6 2
m
= 1.1 × 10−6
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Intensidad del Sonido
Ejemplo: Misma intensidad diferente frecuencias
Una onda sonora de 20.0 Hz, tiene la misma intensidad que una onda
sonora de frecuencia 1000 Hz (ejemplo de la Onda sonora en el aire, con
A1000 = 1.2 × 10−8 m). ¿Cuál es la amplitud A20 y amplitud de presión
pmax ?
En la ecuación I.17.2, solamente ρ B dependen del medio, no de A. Para
que I sea constante debemos entonces tener el producto ω A constante.
20.0 Hz · A20 = 1000 Hz · 1.2 × 10−8 m
A20 = 6.0 × 10−7 m = 0.60 µm
Puesto que la intensidad es la misma, pmax debe ser la misma.
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Ejemplo: Potencia concierto al aire libre
Para un concierto al aire libre se requiere que I = 1 W /m2 a una distancia
de 20 m de los altavoces. ¿Cuál debe ser la potencia?
Suponemos que la onda se disperse uniformemente en un hemisferio de 20
m de radio.
Área 21 4π(20 m)2 ≈ 2500 m2
W
· 2500 m2 = 2500 W
m2
Observe que la potencia eléctrica debe ser mucho mayor, porque la
eficiencia de los altavoces no es muy alta, apenas 10 %-25 %.
P = I · Area = 1
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Variación de la Intensidad con la Distancia
De la ley de conservación de la energı́a, tenemos que la intensidad es
inversamente proporcional a la distancia al cuadrado I ∝ r12 .
Si el potencia de la fuente es P a través de una esfera de radio r1 y área
4π r12 , la intensidad media será:
I1 =
P
4π r12
Sobre una esfera de radio r2 y área 4π r22 :
I2 =
P
4π r22
La potencia es la misma: ⇒ 4π r12 I1 = 4π r12 I2
I1
r2
= 22
I2
r1
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