elección de la copula óptima en las decisiones de transferencia de

Elección de la Copula Óptima en las decisiones de transferencia de riesgos dependientes
ELECCIÓN DE LA COPULA ÓPTIMA EN LAS
DECISIONES DE TRANSFERENCIA DE RIESGOS
DEPENDIENTES
Mª Victoria Rivas López
C.E.S FELIPE II (U.C.M)
RESUMEN
En este capítulo se presenta a grandes rasgos, la teoría de funciones de
distribución multivariables denominada “Teoría de Cópulas” aplicada al sector
re/asegurador. En un primer apartado se mostrará de forma básica, los puntos
clave de dicha teoría y en especial destacando los principales teoremas que serán
fundamentales a la hora de analizar la función de distribución multivariable así
como las marginales, asociadas a riesgos dependientes.
Y en un segundo apartado, se elegirá la cópula óptima aplicable al sector
asegurador y que muestre una mayor concordancia con las cuantías de los
siniestros, de dos riesgos dependientes y asociados a un mismo suceso o
fenómeno de la naturaleza
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1
Mª Victoria Rivas López
1. INTRODUCCIÓN
La transferencia de riesgos es una decisión básica para la estabilidad de la
empresa, debido a que las consecuencias económicas de un determinado siniestro,
pueden afectar de forma negativa, a los resultados de la empresa, afectando incluso a su
supervivencia.
Partiendo de esta base, las empresas intentan optimizar su decisión retencióntransferencia, es decir qué parte de sus riesgos son capaces de asumir y que parte van a
transferir.
Cuando se ha determinado el nivel de transferencia, se determina cuáles son los
instrumentos y/o mecanismos que van a permitir incrementar la estabilidad de la
empresa, en relación al acaecimiento de determinados siniestros. Estos instrumentos y/o
mecanismos, desde un punto de vista se especifican en el cuadro 1.
En el presente trabajo se va a prestar atención aquellos productos de seguros y/o
reaseguro, especialmente los productos de transferencia alternativa, en los que el
acaecimiento de siniestros está correlacionado y cuyo estudio va a ser básico,
implementar una adecuada tarificación. Dentro de los productos alternativos de
transferencia, se van a destacar especialmente dos básicos. Ambos pertenecen a los
productos alternativos de transferencia de riesgos “ART”. En los que la aplicación del
presente análisis, va a observarse claramente, siguiendo su definición:
•
Multi-line/ Multi-year: Es un producto que integra varias clases de riesgos
durante varios años. Es posible incluir riesgos tradicionales (incendio, pérdida
de beneficios, responsabilidad civil etc.) y no tradicionales (riesgo de tipo de
interés, de cambio, político etc.). El límite de responsabilidad del oferente como
la retención del asegurado se agregan a todos los ramos y durante la duración
del contrato, en lugar de cómo ocurre en los productos tradicionales, en los que
se calcula individualmente para cada clase de riesgos y para cada año.
2
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•
Multi-trigger: Al igual con los productos integrados multi-ramos/plurianuales,
los productos multi-trigger se basan en la consideración holística del riesgo. El
pago de siniestros de estos productos requiere como mínimo dos detonantes. Los
siniestros sólo se abonan en el caso de que, durante el período de vigencia
contractual, además de un siniestro asegurado (primer trigger) se produzca
igualmente un evento no asegurado (segundo trigger).
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Transferencias
vía
contrato
Transferencia vía contrato de
distinto del seguro
•
Cláusulas
exoneración
seguro/reaseguro
de
de
•
•
Contrato de opciones y
•
de
reaseguro
•
Productos
Productos/mecanismos
de transferencia de
de
transferencia
riesgos
alternativa de riesgos “ART”2:
futuros
•
Productos
tradicional*1
responsabilidad
•
Cuadro1
Productos de seguro tradicional
Contrato
de
o
Multiline/Multiyear
arrendamiento de bienes
o
Multi-trigger
Contrato
de
o
Finite risk:
arrendamiento
de
servicios
Loss
portfolio
transfer
Adverse
development
covers
Finite Quota Share
Spread
Loss
Treatries
o
Insurance-Linked-Securities
o
Derivados
o
Capital contigente
o
Cautivas
Produ
1
Cuadro nº 2
2 Productos alternativos a la transferencia de riesgos “ART”: Productos de transferencia
alternativos a los tradicionales, surgidos como consecuencia de la intensificación en la aparición
de riesgos de difícil aseguramiento y por la necesidad de incrementar la capacidad de las
compañías. Son productos surgidos por la convergencia del
mercado de capitales y asegurador. Su aparición ha permitido que nuevas entidades, como
bancos, grandes empresas e inversores institucionales, se concentren en el desarrollo y
perfeccionamiento de instrumentos de transferencia y financiación de riesgos. Sus principales
características son:
•
Hechos a medida de los problemas de la empresa
•
Cobertura plurianual basada en varios ramos.
•
Compensación de riesgos en el tiempo; así como dentro de la cartera del
asegurado.
•
4
De esta forma, es posible asumir riesgos no asegurables.
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Tradicionalmente el sector asegurador ha partido de la asunción de independencia y
de la ley de los grandes números a la hora de llevar a cabo la determinación de las
primas, pero en la actualidad se ha intensificado la utilización de productos que
relacionan varios ramos del sector re/asegurador, al mismo tiempo, (especialmente
siniestros catastróficos.)
Por lo tanto, se hace necesario la estimación de la distribución conjunta de estos
tipos de ramos o variables aleatorias (analizadas como las pérdidas asociadas a el
acaecimiento de un siniestro que afecte a dos tipos de ramos)
El cambio de este punto de partida, está asociado a la intensificación en la
complejidad de los productos, ocupando un primer plano el interés por modelos de
dependencia de los riesgos (Wang3, 1998);
siendo un ejemplo claro de esto los
productos multi-ramo.
De la misma forma, nace la necesidad de una metodología básica para la gerencia
de riesgos integral que incluya aspectos de correlación y dependencia entre variables
aleatorias, destacando en este sentido que la inclusión de transformaciones no lineales
(“non linear derivative products”) que invalida muchas de las distribuciones adoptadas
3
Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models and Algorithms (WANG, 1998)
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bajo el uso del mencionado análisis. Destacando que esta problemática ve intensificada
por la típica asimetría de la información y de “colas pesadas” (heavy-taildness), de
los datos siniestrales del sector asegurador.
Otro punto, no menos importante, es cómo establecer una relación entre estas
funciones de distribución. Este es un problema que desde hace bastante tiempo ha
interesado mucho a los estadísticos, consistente en establecer de algún modo la relación
existente entre una función de distribución multivariable y sus marginales (univariantes
o incluso de dimensiones superiores).
M Fréchet45, R Féron
6
y G. Dall’Aglio, realizaron trabajos interesantes sobre este
tema en la década de los 50. Estudiaron las funciones de distribución bivariantes y
trivariantes con marginales univariantes dadas. La respuesta al problema fue planteada
para el caso de marginales univariantes, ABE SKLAR7.
Este autor introdujo en 1959 un nuevo tipo de funciones a las llamó “cópulas” 8y
que en definitiva, no son otra cosa que la restricción a [ 0,1] de una función de
n
distribución n-dimensional cuyas marginales son distribuciones
uniformes en el
intervalo [ 0,1] .
En concreto, Sklar probó que si H es una función de distribución multivariable con
marginales F1 ( x1 ) , F2 ( x2 ) ,......, Fn ( xn ) , entonces existe una función de distribución
conjunta multivariable C tal que:
H ( x1 , x2 ,...., xn ) = C ( F1 ( x1 ) , F2 ( x2 ) ,....., Fn ( xn ) )
4
Fréchet, M (1951), “Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données”, Ann. Univ. Lyon
Sect.A 9, 53-77
5
Fréchet, M (1957), “Les taleaux de corrélation et les programes linéaires”, Revue Inst. Statist. 25, 23-40
6
Féron, R. (1956), “Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données, cas de l’espace à tríos
dimensions”, Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 5, 3-12.
7
Sklar, A. (1973), “Fonctions de repartition à n dimensions et leurs marges”, Publ. Inst. Statist. Univ.
Paris 8, 229-231
6
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Elección de la Copula Óptima en las decisiones de transferencia de riesgos dependientes
resultado que podemos considerar clave para el estudio de las funciones de distribución
conjuntas multivariables “cópulas”.
Las copulas van a permitir construir modelos que posibilitan conducirnos a
niveles normales o estándares de dependencia. Permitiendo fijar el precio de los
productos con la menor desviación posible y posibilitando un incremento de capacidad
en el sector.
2. TIPOLOGÍA DE COPULAS Y APLICACIÓN AL SECTOR
ASEGURADOR
Una vez definidas las principales propiedades de las copulas, se procede a
analizar los principales tipos de copulas y en especial las que presenten interés para el
estudio de las distribuciones asociadas al montante de siniestros. Se analizarán tan sólo
algunos tipos de copulas Arquimedianas, ya que son los más importantes aplicables a la
distribución siniestral de riesgos dependientes.
Las copulas arquimedianas se definen de manera más simple que las elípticas
cuando los fenómenos se estudian en dos dimensiones. A partir de ahora, se procederá a
llevar a cabo el análisis base a esta afirmación.
Sea φ una función continua estrictamente decreciente definida por [ 0,1] que
tiende hacia [ 0,∞ ] tal que ϕ (1) = 0 La función pseudo-inversa de ϕ cuya notación es
ϕ [−1] con Dom ϕ [−1] = [ 0, ∞ ] y Ran ϕ [−1] = [ 0, ∞ ] se define de manera siguiente:
ϕ
[−1]
ϕ −1 (t ) → 0 ≤ t ≤ ϕ (0) 
(t ) = 

0 → ϕ (0) ≤ t ≤ ∞

−1
Remarquemos que ϕ [ ] es continua y no-creciente en [ 0,∞ ] y estrictamente
decreciente [ 0, ϕ (0)] .
8
Función de distribución conjunta multivariable que permite establecer una relación entre las funciones
de distribución marginales con la función de distribución conjunta.
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7
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−1
Por otro lado, ϕ [ ] (ϕ (u )) = u en [ 0,1] y
t / 0 ≤ t ≤ ϕ (0)

ϕ (ϕ [−1] (t )) = 

ϕ (0) / ϕ (0) ≤ t ≤ ∞ 
Asi que si ϕ (0) = ∞ , entonces ϕ −1 = ϕ [ ] . Siendo, ϕ
−1
estrictamente descreciente en [ 0,1] que tiende hacia
una función continua,
[ 0, ∞] tal que ϕ (1) = 0 , y ϕ [−1]
la
función pseudo-inversa de ϕ . Sea C la función definida de [ 0,1] sobre [ 0,1] tal que
2
C (u , v) = ϕ [ ] (ϕ (u ) + ϕ (v))
−1
Esta función es copula si y sólo si ϕ es convexa Este tipo de copula se llama
Arquimediana y la función ϕ es mayormente conocida bajo el nombre de generador de
copula. Numerosas copulas han sido creadas a partir de esta copula y por tanto forman
parte de esta familia la cual tiene unas propiedades muy interesantes y particulares. A
continuación se procede a presentar algunas de las copulas más importantes de esta
familia.
La copula de Frank
 e− at − 1 
Se define: ϕ (t ) = − ln  − a
; a ≠ 0
 e −1 
En base a esto, se define la copula de Frank que de la siguiente forma :
1  (e − au − 1)(e − av − 1) 
Ca (u, v) = − ln 1 +

a 
e− a − 1

8
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En el limite: lim a→∞ Ca = C1 ,lim a→∞ Ca = C u .Al definir , g z = e − az − 1 se obtiene:
C1 (u , v) =
 1 + g u +v 
∂C (u , v) gu g v + g v
=
Y finalmente: c(u , v) = − ag1 
2 
∂u
gu g v + g1
 ( gu g v + g1 ) 
La copula de Frank, a pesar de ser copula arquimediana con respecto a la
ecuación C (u , v) = CF (u , v) corre el riesgo de no ser del todo apropiada para las
aplicaciones en el dominio del seguro. Para simular unos pares (0,1) teniendo
como distribución la copula de Frank, se puede utilizar ha distribución
condicional.
Figura 2
Simulación de pares (u,v).
Cópula Frank
Como se puede observar la cópula de Frank, no es aplicable “a priori” al sector
asegurador, debido a que se encuentra con la problemática de considerar la misma
dependencia entre grandes siniestros y los pequeños. Esta simetría no se hace evidente
en el sector asegurador.
La copula de Clayton
(
Sea: ϕ (t ) = a t
−1
a
)
−1 ; a > 0
(
De esta manera obtendremos la copula Clayton: Ca (u , v) = u
XIII Jornadas de ASEPUMA
−1
a
+v
−1
a
)
−1
a −1
9
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Los
casos
limites
que
siguen
el
valor
del
parámetro
son
por
tanto:
lim a→∞ = C ind ,lim a→0 = C u
La primera derivada en relación a u se escribe: C1 (u , v) = u −1−1/ a u

y
así
la
densidad
se
expresa:
−1
a
+v
−1
a
− 1

a −1
−1
−1
1
c(u , v) = (1 + )(uv) −1−1/ a (u a + v a − 1) − a−2
a
y:
τ (a) = 1/(2a + 1)
Figura 3.
Simulación de pares (u,v). Cópula
de Clayton
La técnica de simulación utilizada es la misma que para la copula de Frank, salvo que
en este caso: v = ( pu1+1/ a )

1/( − a −1)
−u
−1
a
+ 1

−a
Se hace visible en esta grafica el hecho de que existe una importante concentración de
puntos cerca del punto [ 0,0] Por consiguiente, esta copula tendría tendencia a conectar
entre sí los pequeños siniestros y sobre los grandes. Lo que va en contra de lo que
buscamos cuando estudiamos las distribuciones de los montantes de siniestros.
La copula HRT
La copula HRT es determinado según la copula Clayton. Ésta no forma parte de la
familia de las copulas arquimedianas, pero al derivarse su fórmula de la de Clayton,
puede situarse en este apartado.
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(
Se describe : Ca (u , v) = u + v − 1 + (1 − u )
y por consiguiente: C1 (u , v) = 1 − (1 − u )

−1
−1
−1
a
+ (1 − v)
a
+ (1 − v )
a
−1
a
)
−1
−a
− 1

− a −1
(1 − u )
−1− 1
a
la función de densidad es:
−a−2
−1
−1
−1− 1
1
c(u , v) = (1 + )  (1 − u ) a + (1 − v) a − 1
(1 − u )(1 − v )  a ; τ (a ) = 1/(2a + 1)

a 
como para la copula de Clayton.
Figura 4
Cópula HRT. Simulación de pares
(u,v)
Como en el caso de las copulas hasta ahora presentadas, la distribución
condicional es inversa. En este caso:
( −1/(1+ a ) ) 
−1

1+ 1
v = 1 − 1 − (1 − u ) a + (1 − p )(1 − u ) a 





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−a
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La copula HRT, bajo esta óptica, la concentración de puntos cercana a [1,1] es la más
importante. Mediante esta estructura de dependencia, los grandes siniestros tenderán a
aparecer a la vez.
La copula de Gumbel
Tomando como generador :
ϕ (t ) = ( − ln(t ) ) ; a > 1
a
Esta función satisface todas las condiciones del teorema en relación a las copulas
arquimedianas, de esta manera podemos crear la copula de Gumbel tomando:
1

a
a 
Ca (u , v) = exp  − ( − ln(u ) ) + (− ln(v)) a  




Los casos limites que siguen el valor del parámetro son por tanto:
lim a →∞ Ca = C u , Ca =1 = C ind
La derivada en relación a la componente u se escribe:
C1 (u , v) = C (u , v) ( − ln u ) + (− ln v) a 


a
−1+ 1
a
(− ln u )
a −1
u
;
y la densidad:
c(u , v) = C (u , v)u v ( − ln u ) + (− ln v) 


−1 −1
a
a
−2 +
2
a
( ln u )( ln v ) 
y : τ (a) = 1−
a −1
−1

a
a a 

1 + ( a − 1) ( − ln u ) + ( − ln v )  


1
a
En el caso de la copula de Gumbel ,esta
función será por tanto:
La determinación de
t
se realizará
llevando a cabo la aplicación de un
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método iterativo. Para ello se aplicará el método de Newton
Figura 6
Simulación de pares (u,v). Cópula
de Gumbel
Como muestra la simulación efectuada anteriormente y la gráfica, ambas
representan la densidad de esta copula. Esta gráfica presenta una densidad de
probabilidad más elevada en las inmediaciones de los puntos ( 0, 0 ) y sobre todo (1,1).
Esta copula podría eventualmente admitirse en el marco de los estudios de distribución
de los montantes de siniestros. La presentación de las principales copulas nos ha
permitido examinar la forma de las diferentes estructuras de dependencia posibles y los
métodos para simular tales distribuciones. La gráfica propuesta, lejos de ser exhaustiva,
tiene el mérito de presentar las copulas más comúnmente utilizadas y sobre todo sus
densidades.
Conclusiones
Las principales conclusiones del presente artículo aparecen especificadas a
continuación:
•
La transferencia de riesgos dependientes necesita su propia función de
distribución conjunta multivariable, que muestre la correlación de los sinietros
•
Mediante el estudio de las Cópulas se puede avanzar en este sentido, para llevar
a cabo una futura determinación del precio del seguro y un incremento de la
capacidad del sector
•
Por medio de esta teoría, se puede establecer una relación, entre las
distribuciones marginales de los distintos ramos correlacionados y la función de
distribución multivarible conjunta.
• De la misma forma, se muestra que las Cópulas más adecuadas para el análisis
siniestral del sector asegurador, son “a priori” la Cópula HRT y la Cópula
Gumbel, debido a que las otras dos cópulas presentadas no tienen en cuenta la
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adecuada asimietría de los datos siniestrales, respecto a grandes siniestros y
pequeños siniestros.
3. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•
Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models and Algorithms (WANG,
1998)
•
Cuadras, C; Fortiana, J y Rodríguez Lallena, J A. Editores (2001), Distributions
with given marginals and statistical modeling (Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht)
•
Dall’Aglio, G, Kotz, S. y Salinetti, G (1991), “Adavances in Probablity
Distributions with given marginals. Pp. 1-12, Kluwer Academic Publishers,
Dordrech
•
Dall’Aglio, G (1991), “Fréchet classes: the beginnings” en Adavances in
Probablity Distributions with given marginals. Pp. 1-12,
•
Embrechts, Lindskong Filip y McNeil Alexander, “Modelling Dependence with
Copulas and Applications to Risk Management, Departamento de Matemáticas
ETHZ. Zúrich. Switzerland. Septiembre, 2001.(www.math.ethz.ch/finance)
•
Féron, R. (1956), “Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données,
cas de l’espace à tríos dimensions”, Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 5, 3-12.
•
Fréchet, M (1951), “Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont
données”, Ann. Univ. Lyon Sect.A 9, 53-77
•
Fréchet, M (1957), “Les taleaux de corrélation et les programes linéaires”,
Revue Inst. Statist. 25, 23-40
•
Hayward, California. En cuanto a su relación con el problema de las marginales
dadas, pueden consultarse varias contribuciones: Benes,V y Stepan J; editores
(1997), Distributions with given marginals and moment problems (Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht)
•
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht; Schweizer, B (1991), “Thrity years of
cópulas” en Adavances in Probablity Distributions with given marginals. Pp. 1350,
•
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht; Sklar, A (1996), “Random variables,
distribution functions, anda copulas-a personal look backward and
forward”, en Distributions with Fixed Marginals and Related Topics (L.
14
XIII Jornadas de ASEPUMA
Elección de la Copula Óptima en las decisiones de transferencia de riesgos dependientes
Rüchendorf, B. Schweizer, M.D. Taylor, eds.) IMS Lecture NotesMonograph Series Number 28, pp. 1-14
•
Sklar, A. (1973), “Fonctions de repartition à n dimensions et leurs marges”,
Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 8, 229-231
XIII Jornadas de ASEPUMA
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