1 ESTADÍSTICA VARIABLES ALEATORIAS Alberto Luceño Francisco J. González Directorio Tabla de Contenido Inicio Artı́culo c 2000 Copyright Actualizado el: 11 de noviembre de 2003 Versión 2.00 Tabla de Contenido 3. Variables aleatorias 3.1. Variables aleatorias discretas 3.2. Variables aleatorias continuas 3.3. Cambio de variable Soluciones de Ejercicios Sección 3: Variables aleatorias 3 3. Variables aleatorias 3.1. Variables aleatorias discretas Ejercicio 39. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres dados. Si el número elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces lo apostado, y se recupera éste. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X). Ejercicio 40. Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad, x P (x) 1 0,05 2 0,20 3 0,05 4 0,45 5 0,25 1. Comprobar que es una función de probabilidad. 2. Calcular P (x ≤ 3). 3. Calcular P (x > 3). Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 4 4. Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5). 5. Calcular E(X). 6. Representar la función de distribución FX (x). Ejercicio 41. Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define la función indicatriz del suceso A como aquella función IA tal que IA = 1 si A es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qué indica E(IA )? Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I f) Representar la función de distribución FX (x). Sección 3: Variables aleatorias 5 I 41. 42. b) 0,3 c) 0,7 d) 0,35 e) 3,65 Ejercicio 42. A partir la figura Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define la función indicatriz del suceso A como aquella función I A tal que IA = 1 si A 1. Determinar la función indicatriz de los sistemas. es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qué indica E(IA )? 2. Determinar la fiabilidad de los sistemas. A partir la figura 3.1 a) Determinar la función indicatriz 3. Suponiendo p1 = p2 = de p3los =sistemas. 0,90, determinar la fiabilidad de los b) Determinar la fiabilidad de los sistemas. sistemas y compararlos. c) Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos. 1 1 2 1 2 2 3 3 (a) Circuito1 (b) Circuito2 (c) Circuito3 Figura 3.1: Función indicatriz y fiabilidad I a) 1 − (1 − I1 )(1 − I2 )(1 − I3 ), I1 I2 , 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 ) Universidad de Cantabria. Toc JJ b) 1 − q1 q2 q3 , p1 p2 , 1 − (1 − p1 p2 )q3 Alberto Luceño y Fco. Javier González II J I Volver 25 J Doc Doc I 43. 3. 3. VARIABLES ALEATORIAS Sección 3: Variables aleatorias 6 Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2 Ejercicio 43. Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada 1 2 Determinar la función indicatriz fiabilidad de cada uno de 1los sistemas de 1la figura 3.2 uno de los sistemas de ylalafigura 1 2 3 1 4 2 (a) Circuito4 3 1 2 (b) Circuito5 4 2 (a) Circuito4 2 Figura 3.2: Función indicatriz y fiabilidad I (b) Circuito5 a) I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 I4 ), R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 p4 ) b) Función I = [1 − (1indicatriz − I1 )(1 − I2 )][1 − (1 − I3 )(1 − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 ) Figura 3.2: y fiabilidad 44. 4. Ejercicio 44. Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la I fiabilidad = 1 − (1 − IdeI cada )(1 − uno I I ),de R los = 1 sistemas − (1 − p pde )(1la−figura p p ) 3.3 Determinar la función indicatriz ya)lafigura I 1 2 3 4 1 2 3 4 b) I = [1 − (1 − I1 )(1 − I2 )][1 − (1 − I3 )(1 − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 ) 1 2 1 Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.3 3 1 3 2 2 4 1 5 4 3 (a) Circuito6 (b) Circuito7 3 2 4 Toc JJ 5 (a) Circuito6 Figura 3.3: Función indicatriz y fiabilidad II J I 4 Volver J Doc (b) Circuito7 Doc I Sección 3: Variables aleatorias 7 Ejercicio 45. Sea una variable aleatoria definida por su función de distribución: 0 x < −2 0,4 −2 ≤ x < 0,5 F (x) = 0,8 0,5 ≤ x < 3 1 x≥3 1. Representar F (x) y calcular la función de probabilidad de esta variable. 2. Calcular E(X). Ejercicio 46. Se lanza una moneda tres veces; sea X el número de caras obtenidas. Hallar la función de probabilidad y de distribución de X. Ejercicio 47. El número medio de personas que acuden a un local es de 1000 con una desviación tı́pica σ = 20. ¿Cuál es el número de sillas necesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse, con una probabilidad de 0,75? (Usar la desigualdad de Chebyschev.) Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 8 Ejercicio 48. Sea X variable aleatoria cuya distribución de probabilidad viene dada por 3 1 P (X = r) = r = 0, 1, 2, 3, 4 2 r! (4 − r)! P (X = r) = 0 para otros valores Hallar P (X = 3); P (1 ≤ X ≤ 2,5) y P (X ≤ 2,5). Ejercicio 49. Los artı́culos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario y , se estima que la probabilidad r de que en 2 1 . Determinar un dı́a sean vendidos r artı́culos defectuosos es 3 3 la probabilidad de que en un dı́a de los artı́culos vendidos: 1. Dos o más sean defectuosos. 2. Cinco sean defectuosos. 3. Tres ó menos sean defectuosos. 4. Determinar la esperanza. Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 9 3.2. Variables aleatorias continuas Ejercicio 51. Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad f (x) = a(1 + x2 ) si x ∈ (0, 3) y f (x) = 0 en los demás casos. Se pide: 1. Hallar a y la función de distribución de X. 2. Hallar la probabilidad de que X esté comprendido entre 1 y 2. 3. P (X < 1). 4. P (X < 2|X > 1). 5. Calcular P (|X − µ| ≥ k σ), con k = 2. Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 10 Ejercicio 52. Sea Y una variable aleatoria con función de densidad dada por: −1 ≤ y ≤ 0 0,2 0,2 + k y 0 < y ≤ 1 pY (y) = 0 en el resto 1. Determinar el valor de k. 2. Determinar la función de distribución, FY (y). 3. Calcular P (0 ≤ Y ≤ 0,5). 4. P (Y > 0,5|Y > 0,1). Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 11 Ejercicio 53. La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por: 0 x<0 x 2 0≤x<1 1 1≤x<2 F (x) = 2 x 2≤x<4 4 1 4≤x donde x viene expresado en cientos de euros. Determinar la probabilidad de que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado: 1. Sea superior a 200 euros. 2. Sea inferior a 450 euros. 3. Sea superior a 50 euros y menor ó igual a 250 euros. 4. Calcular el ahorro mensual medio. Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 12 Ejercicio 54. Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus potenciales clientes se comportará semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definida por la función de densidad 3 2 0≤x≤2 8 (4x − 2x ), pX (x) = 0, en el resto donde x viene expresada en millones de unidades. ¿Qué cantidad C deberá tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer la demanda en dicho periodo con una probabilidad de 0,5? Ejercicio 55. Cierta aleación se forma con la mezcla fundida de dos metales. La aleación que resulta contiene cierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendo que X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: 3x(100 − x) , 0 ≤ x ≤ 100, 5 y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleación, es una pX (x) = 10−5 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 13 función del porcentaje de plomo: G = A + BX, se pide calcular el beneficio esperado. Ejercicio 56. Si la duración en horas de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua X con función de densidad 100 x > 100, pX (x) = 2 , x SE PIDE: 1. Probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo funciona todavı́a después de 150 horas de servicio. 2. Si se instalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidad de que exactamente uno tenga que ser sustituido después de 150 horas de servicio. 3. ¿Cuál es el número mı́nimo de tubos n que se pueden poner en un sistema en paralelo, de modo que haya una probabilidad 0,999 de que después de 150 horas de servicio funcione todavı́a el sistema? Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 14 Ejercicio 57. El tiempo de vida (en cientos de horas) de un transistor es una variable aleatoria Z con función de distribución 0 z<0 FZ (z) = −z 2 1−e 0≤z SE PIDE: 1. Demostrar que FZ (z) es una función de distribución. 2. Obtener la función de densidad de probabilidad pZ (z). 3. Calcular la probabilidad de que un determinado transistor dure más de 200 horas. Ejercicio 58. Una estructura metálica puede sufrir, debido al calor, una dilatación que (medida en cm) es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad dada por: ax 0≤x≤3 b 3<x<5 pX (x) = b (8 − x) 5≤x≤8 3 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 15 1. Sabiendo que la función de densidad de probabilidad es una función continua de x, determinar a y b. 2. Calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatación sea inferior a 3. 3. Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado más de 3 cm, ¿con qué probabilidad la dilatación estará entre 3 y 5 cm? Ejercicio 59. Sea una variable aleatoria X, que tiene como función de densidad: ( x+6 −6 ≤ x ≤ 4 pX (x) = 50 0 resto 1. Calcular la función de distribución de X. 2. Hallar k, si P (k ≤ x ≤ k + 1) = 0,09. Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 16 Ejercicio 60. La demanda, expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya función de densidad es: x pX (x) = 2≤x≤4 6 ¿Cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda? El fabricante del producto sabe que cada kilo vendido reporta un beneficio de 12 euros, y cada kilo que queda sin vender supone una pérdida de 6 euros. Es por tanto, importante para él establecer cuál es la cantidad a fabricar. Si el criterio para establecer dicha cantidad es el maximizar la ganancia esperada, determinar cuál es la fabricación óptima. Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 17 3.3. Cambio de variable Ejercicio 61. Sea X una variable aleatoria con E(X) = 2 y V ar(X) = 0,5. Sea Y = 3X − 8. Hallar E(Y ) y V ar(Y ). Ejercicio 62. Supongamos que una variable aleatoria X tiene función de densidad de probabilidad: pX (x) = 2x 0<x<1 Determinar la función de densidad de probabilidad de las variables 1. Y = H1 (X) = 3X + 1, 2. Z = H2 (X) = e−X 3. W = H3 (X) = X 2 Ejercicio 63. Para medir la velocidad del aire se usa un tubo que permite medir la diferencia de presión. Esta diferencia está dada por R = 21 d V 2 , con d la densidad del aire (supuesta constante) y V la velocidad del viento (en km/h). Si V es una función de densidad de Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 18 probabilidad uniforme en (10, 20), encontrar la función de densidad de probabilidad de R. Ejercicio 64. La tabla siguiente representa la distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria discreta (X, Y ). Determinar Y \X 1 2 3 1 1 12 1 6 0 2 0 1 9 1 5 3 1 18 1 4 2 15 1. Calcular P (X = 2, Y = 1); P (X = 2); P (Y = 1) y P (X = 3|Y = 2). 2. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ). Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Sección 3: Variables aleatorias 19 Ejercicio 65. Dos lı́neas de producción fabrican artı́culos. Supóngase que la capacidad es de 5 artı́culos para la lı́nea I y de 3 artı́culos para la lı́nea II. Sea (X, Y ) la representación de la variable aleatoria bidimensional que da el número de artı́culos producidos por la lı́nea I y por la lı́nea II: Y \X 0 1 2 3 0 0 0,01 0,01 0,01 1 0,01 0,02 0,03 0,02 2 0,03 0,04 0,05 0,04 3 0,05 0,05 0,05 0,06 4 0,07 0,06 0,05 0,06 5 0,09 0,08 0,06 0,05 1. Determinar la probabilidad del suceso: la lı́nea I produce más artı́culos que la lı́nea II. 2. Hallar las distribuciones marginales. 3. Calcular P (X = 3) y P (Y = 1). 4. Calcular E(X) y E(Y ). 5. Calcular P (X = 2|Y = 2). Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 20 Soluciones de Ejercicios Ejercicio 39. Sea x la variable aleatoria que proporciona la ganancia x P (x) E[X] = −1 × Toc JJ −1 1 2 3 125 216 15 216 75 216 1 216 125 15 75 1 +1× +2× +3× = −0,078 216 216 216 216 Ejercicio 39 II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 21 Ejercicio 40. 1. Se verifica que P (xi ) ≥ 0, ∀i y Pn i=1 P (xi ) = 1 2. P (x ≤ 3) = Fx (3) = 0,3 3. P (x > 3) = 1 − P (x ≤ 3) = 1 − Fx (3) = 0,7 4. P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5) = P (x = 1) + P (x = 3) + P (x = 5) = 0,35 5. E[X] = 1 × 0,05 + 2 × 0,20 + · · · + 5 × 0,25 = 3,65 Ejercicio 40 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 22 Ejercicio 41. Sea IA la variable aleatoria definida como 1 x∈A IA (x) = 0 x 6∈ A E[IA ] = 1 × P (A) + 0 × P (A) = P (A) luego E[IA ] indica la probabilidad de que la componente funcione. Ejercicio 41 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 23 Ejercicio 42. 1. Función indicatriz a) 1 − (1 − I1 )(1 − I2 )(1 − I3 ) b) I1 I2 c) 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 ) 2. Fiabilidad a) 1 − q1 q2 q3 , b) p1 p2 c) 1 − (1 − p1 p2 )q3 Ejercicio 42 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 24 Ejercicio 43. 1. Circuito 4 I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 I4 ) R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 p4 ) 2. Circuito 4 I = [1 − (1 − I1 )(1 − I2 )][1 − (1 − I3 )(1 − I4 )] R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 ) Ejercicio 43 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 25 Ejercicio 44. 1. Circuito 6 I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 )(1 − I4 I5 ) R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 )(1 − p4 p5 ) 2. Circuito 7 I = I1 + I2 (1 − I1 )(I3 + I4 − I3 I4 ) R = p1 + p2 (1 − p1 )(p3 + p4 − p3 p4 ) Ejercicio 44 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 26 Ejercicio 45. 1. p(−2) = P (x = −2) = F (−2) − F (−2− ) = 0,4 − 0 = 0,4 p(0,5) = P (x = 0,5) = F (0,5) − F (0,5− ) = 0,8 − 0,4 = 0,4 p(3) = P (x = 3) = F (3) − F (3− ) = 1 − 0,8 = 0,2 2. E[X] = −2 × 0,4 + 0,5 × 0,4 + · · · + 3 × 0,2 = 0 Ejercicio 45 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 27 Ejercicio 46. Sea x la variable aleatoria, número de caras obtenidas: función de probabilidad 1 3 p(0) = p(1) = 8 8 p(2) = 3 8 p(3) = 1 8 función de distribución F (x) = 0 1 8 x<0 0≤x<1 2≤x<3 4 8 7 8 1≤x<2 1 x≤3 Ejercicio 46 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 28 Ejercicio 47. Sea x la variable aleatoria, el número de personas que acuden. Nos piden hallar n con P (x ≤ n) ≥ 0,75 =⇒ P (x > n) ≤ 0,25 restando µ = E[X] = 1000 P (x − µ > n − µ) ≤ 0,25 Comparando con la desigualdad P (|x − µ| > kσ) ≤ 1 1 = 0,25 = =⇒ k = 2 k2 4 1 k2 n − µ = 2 × 20 Se obtiene n = 1040 Ejercicio 47 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 29 Ejercicio 48. Hallamos primero: 3 1 1 P (X = 0) = = 2 0! 4! 16 3 1 1 P (X = 1) = = 2 1! 3! 4 3 1 1 = 2 4! 0! 16 3 1 1 P (X = 3) = = 2 3! 1! 4 3 1 3 P (X = 2) = = 2 2! 2! 8 P (X = 3) = P (X = 4) = 1 4 P (1 ≤ X ≤ 2,5) = P (X = 1) + P (X = 2) = 5 8 P (X ≤ 2,5) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 11 16 Ejercicio 48 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 30 Ejercicio 49. Sea x el número de artı́culos defectuosos vendidos en un dı́a: 1 2 q= P (X = r) = p q r p= 3 3 Es útil hallar P (X > r) = q r+1 . Pues: 1. P (X > 1) = q 2 . 2. P (X = 5) = p q 5 . 3. P (X ≤ 3) = 1 − P (X > 4) = 1 − q 5 . 4. Por ser x geométrica E[X] = 3 Ejercicio 49 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 31 Ejercicio 51. R3 1 1. 0 a (1 + x2 ) dx = 1 =⇒ a = 12 . x Z x 1 1 1 F (x) = a (1 + s2 ) ds = a s + s3 = (x + x3 ) 3 12 3 0 0 2. P (1 < X < 2) = F (2) − F (1) = 3. P (X < 1) = F (1) = 4. P (X < 2|X > 1) = 5 . 18 1 . 9 P (1 < X < 2) F (2) − F (1) 45 = = . P (X > 1) 1 − F (1) 144 Ejercicio 51 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 32 Ejercicio 52. 1. Z 0 1 Z 0,2 dy + −1 2. (0,2 + ky) dy = 1 =⇒ k = 1,2 0 −1 ≤ y ≤ 0 0,2y + 0,2 0,6y 2 + 0,2 y + 0,2 0 < y ≤ 1 F (y) = 0 en el resto 3. P (0 ≤ Y ≤ 0,5) = F (0,5) − F (0) = 0,25. 4. P (Y > 0,5|Y > 0,1) = P (Y > 0,5) 1 − F (0,5) = = 0,71. P (Y > 0,1) 1 − F (0,1) Ejercicio 52 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 33 Ejercicio 53. 1. P (X > 2) = 1 − F (2) = 0,5. 2. P (X < 4,5) = F (4,5) = 1. 3. P (0,5 < X ≤ 2,5) = F (2,5) − F (0,5) = 3/8. R4 4. E[X] = 0 x f (x) dx = 1,75 Ejercicio 53 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 34 Ejercicio 54. Nos piden C de forma que P (X < C) ≥ 0,5 ⇐⇒ FX (C) ≥ 0,5 luego Z C 3 (4x − 2x2 )dx ≥ 0,5 0 8 3 2 1 3 C − C ≥ 0,5 4 4 2 3 3C − C − 2 ≥ 0 ⇐⇒ (C − 1)(C 2 − 2C − 2) ≤ 0 Como 0 ≤ C ≤ 1, C = 1. Ejercicio 54 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 35 Ejercicio 55. Hallamos la E[X] E[X] = 10−5 5 Z 100 3x2 (100 − x)dx = 50 0 luego E[G] = A + 50 B Ejercicio 55 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 36 Ejercicio 56. La función de distribución es FX (x) = 1 − 1. P (x < 200|x > 150) = 100 x P (150 < x < 200) 1 = P (x > 150) 4 2. Sea Y el número de tubos a sustituir de los tres, con p = FX (150) = 1/3 la probabilidad de que dure menos de 150 horas 3 4 P (Y = 1) = p q2 = 9 1 3. Para el tiempo TP del sistema en paralelo dure menos de 150 horas, es necesario que las n componentes duren menos de 150 horas, luego: log 0,001 = 6,29 P (TP > 150) = 1 − pn ≥ 0,999 =⇒ n ≥ − log 3 Ejercicio 56 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 37 Ejercicio 57. 1. Comprueba que se cumplen las propiedades dadas en la página 84 del libro de teorı́a. 2. fZ (z) = 2 dFZ (z) = 2ze−z dz z>0 3. P (Z > 2) = 1 − P (Z < 2) = 1 − (1 − e−4 ) = e−4 Ejercicio 57 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 38 Ejercicio 58. 1. Por continuidad f (3− ) = f (3+ ) =⇒ 3a = b f (5− ) = f (5+ ) =⇒ b = b Z Z 3 Z 5 Z 8 f (x)dx = 1 = a xdx + 3a dx + a (8 − x)dx = 1 0 3 1 a= 15 2. P (X < 3) = 5 1 b= 5 1 15 3. P (3 < x < 5|x > 3) = Z 3 xdx = 0 3 10 P (3 < x < 3) 4 = P (x > 3) 7 Ejercicio 58 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 39 Ejercicio 59. 1. Z x FX (x) = −6 x+6 1 1 2 dx = ( x + 6x + 18) 50 50 2 2. P (k ≤ x ≤ k + 1) = FX (k + 1) − FX (k) = 0,09 =⇒ k = −2 Ejercicio 59 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 40 Ejercicio 60. Sea c la cantidad a fabricar y G(c, x) la ganancia 12x − 6(c − x) 2 ≤ x ≤ c G(c, x) = 12c c<x≤4 Z c Z 4 x x E[G(c, x)] = (18x − 6c) dx + 12c dx 6 6 2 c 1 3 E[G(c, x)] = − c + 18c − 8 2 √ dE[G(c, x)] 3 2 = − c + 18 = 0 =⇒ c = 12 dc 2 Ejercicio 60 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 41 Ejercicio 61. E(Y ) = E(3X − 8) = 3E(X) − 8 = −2 V ar(Y ) = V ar(3X − 8) = 9V ar(X) = 4,5 Ejercicio 61 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 42 Ejercicio 62. Calculamos la función de distribución de X: Z x Z x x FX (x) = f (s)ds = 2sds = s2 0 = x2 0 0 1. = pY (Y ≤ y) = pX (3X + 1 ≤ y) = pX (X ≤ 2 y−1 y−1 = = FX 1<y<4 3 3 2 y−1 f (y) = 1<y<4 3 3 FY (y) Toc JJ II J I Volver J Doc y−1 )= 3 Doc I Soluciones de Ejercicios 43 2. = pZ (Z ≤ z) = pX (e−X ≤ z) = pX (X > − ln z) = = 1 − FX (− ln z) = 1 − ln2 z e−3 < z < e−1 ln z f (z) = −2 e−3 < z < e−1 z FZ (z) 3. √ √ = pW (W ≤ w) = pX (X 2 ≤ w) = pX (− w ≤ X ≤ w) = √ = FX ( w) − 0 = w 0<w<1 f (w) = 1 0<w<1 FW (w) Ejercicio 62 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 44 Ejercicio 63. Calculamos la función de distribución de v: 1 v − 10 fV (v) = FV (v) = 10 < v < 20 10 10 r ! 2r 1 FR (r) = pR (R ≤ r) = PV d V 2 ≤ r = PV 0 ≤ V ≤ = 2 d q r ! 2r 2r d − 10 = FV = 50d < r < 200d d 10 fR (r) = 1 √ 10 2dr 50d < r < 200d Ejercicio 63 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 45 Ejercicio 64. Y \X 1 2 3 P (y) 1 1 12 0 2 0 3 1 18 1 6 1 9 1 4 1 5 2 15 3 12 14 45 67 180 P (x) 5 36 19 36 1 3 1 1. 1 6 1 1 1 19 P (X = 2) = + + = 6 9 4 36 1 1 1 P (Y = 1) = + + 0 = 12 6 4 P (X = 3, Y = 2) 9 P (X = 3|Y = 2) = = P (Y = 2) 14 P (X = 2, Y = 1) = Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 46 2. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ). 19 12 79 5 E(X) =1 · +2· +3· = 36 36 36 39 14 67 358 3 +2· +3· = E(Y ) =1 · 12 45 180 180 1 1 Cov(X, Y ) =1 · 1 · + 2 · 1 · + ··· 12 6 1 2 = + ··· + 2 · 3 · + 3 · 3 · − E[x] E[y] 4 15 =0,7879 Ejercicio 64 Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 47 Ejercicio 65. 1. p(X > Y ) = p(X,Y ) (1, 0) + p(X,Y ) (2, 0) + · · · + p(X,Y ) (5, 3) = 0,01 + 0,03 + 0,04 + · · · + 0,05 = 0,13 2. En la tabla figuran, la distribución conjunta, y las distribuciones marginales pX (x) y pY (y) de X e Y . Y −X 0 1 2 3 pX (x) 0 0 0.01 0.01 0.01 0.03 1 0.01 0.02 0.03 0.02 0.08 2 0.03 0.04 0.05 0.04 0.16 3 0.05 0.05 0.05 0.06 0.21 4 0.07 0.06 0.05 0.06 0.24 5 0.09 0.08 0.06 0.05 0.28 pY (y) 0.25 0.26 0.25 0.24 1 3. Con la marginal de X, pX (x = 3) = 0,21. Con la marginal de Y , pY (y = 1) = 0,26. Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I Soluciones de Ejercicios 48 4. E[X] = = E[Y ] = = x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · + x5 · p(x5 ) 0 · 0,03 + 1 · 0,08 + · · · + 5 · 0,28 = 3.39 y1 · p(y1 ) + y2 · p(y2 ) + y3 · p(y3 ) + y4 · p(y4 ) 0 · 0,25 + 1 · 0,26 + 2 · 0,25 + 3 · 0,24 = 1.48 5. p(X = 2|Y = 2) = p(X,Y ) (x = 2, y = 2) 0,05 1 = = pY (y = 2) 0,25 5 Ejercicio 65