Funciones de Varias Variables

Funciones de Varias Variables
§1. Funciones de dos Variables
Sea Ω un subconjunto del plano x, y , esto es Ω ⊂ R2 . Una función real f de
dos variables es una regla que asocia a cada par ordenado (x, y) ∈ Ω un único número real
z = f (x, y) .
• Las variables x e y son las variables independientes mientras que z , la imágen de
(x, y) ∈ Ω bajo f , es la variable dependiente.
• El conjunto Ω = Dom f , de los puntos que tienen imágen, es el Dominio de f .
—
En la práctica el Dominio viene determinado por el contexto del problema. En
general se entiende que el Dominio viene implı́cito en la propia fórmula que define
f y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido
aplicar la fórmula que define la función. En caso de que el Dominio a considerar
sea más pequeño, hay que indicarlo.
• Ejemplo:
—
Si se define la función
1
f (x, y) = xy
2
su Dominio es el conjunto de todos los pares (x, y) de números reales. O sea,
Dom f = R2 .
Sin embargo si se quiere que esta función represente el área de un triángulo, los
valores de x e y tienen que ser positivos. Luego, esta restricción debe indicarse
junto a la fórmula
1
f (x, y) = xy
x>0, y>0
2
Si no se indica ninguna restricción se debe suponer que el Dominio es el máximo
”permitido” por la fórmula. El conocimiento del Dominio permite saber que
valores pueden sustituı́rse en la fórmula y cuales no.
• El Recorrido es el conjunto de las imágenes, bajo f , de los elementos del Dom f .
Esto es,
Re c f = {f (x, y) ∈ R / (x, y) ∈ Ω} ⊆ R
es el Recorrido de f .
• El Gráfico de f es el conjunto
Gr (f ) = (x, y, z) ∈ R3 / z = f (x, y), (x, y) ∈ Ω
— Como el gráfico de una función f de una variable es una curva C con ecuación
y = f (x) , el gráfico de una función f de dos variables es una superficie S con
1
ecuación z = f(x, y) . El gráfico de f se puede visualizar directamente sobre o
bajo el dominio Ω en el plano xy .
Entonces para graficar una función z = f (x, y) bastarı́a encontrar puntos de su
gráfico y representarlos, obteniéndose ası́ una superficie en el espacio. Sin embargo
este método de graficación no resulta muy útil en la práctica. Dos formas que
pueden ayudar a visualizar el gráfico de una función de dos variables son las trazas
y las curvas de nivel.
El sistema triortogonal de ejes coordenados determina tres planos que se cortan perpendicularmente
•
— Plano xy : formado por los puntos de la forma (x, y, 0) esto es, z = 0
— Plano yz : formado por los puntos de la forma (0, y, z) esto es, x = 0
— Plano xz : formado por los puntos de la forma (x, 0, z) esto es, y = 0
∗
Cuando una superficie es cortada por un plano se obtiene, en general, una curva. Por
ejemplo, si cortamos una esfera por un plano pasando por los polos, se obtiene una circunferencia.
Se llaman Trazas a las intersecciones de una superficie con los planos coordenados.
•
— Si z = f (x, y) es la ecuación de una superficie entonces, para encontrar la traza
de ella en el plano xy bastará hacer z = 0 en z = f (x, y) o, lo que es lo
mismo, resolver el sistema

 z = f (x, y)

2
z=0
• Ejemplo:
Para la superficie z = 1 − x2 − y 2
Si z = 0 , traza en el plano xy es la circunferencia x2 + y 2 = 1
Traza en el plano xy
Si y = 0 , traza en el plano xz es la parábola z = 1 − x2
Traza en el plano xz
3
Si z = 0 , traza en el plano yz es la parábola z = 1 − x2
Traza en el plano yz
Luego, el gráfico de la superficie dada, en el primer octante es como en la figura
Grafico de la superficie en el I octante
Otra forma de visualizar el gráfico de una superficie z = f (x, y) es localizando los
conjuntos de puntos donde la función f tiene un mismo valor constante. Estos conjuntos
son llamados Curvas de Nivel de la función. Ası́, la curva de nivel correspondiente al número
k ∈ R es el conjunto
Ck = (x, y) ∈ R2 / f (x, y) = k
• Ejemplo:
Si z =
•
x2 + y 2
Las curvas de nivel son las curvas representadas por
k 2 = x2 + y 2
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las cuales son circunferencias centradas en el orı́gen y radio k .
Curvas de nivel x2 + y 2 = k 2
El gráfico de z = x2 + y 2 se puede determinar usando la información ganada de
las curvas de nivel de esta función.
Se puede apreciar que no hay gráfico bajo el plano xy , ya que z = x2 + y 2 ≥ 0 y
que el único punto en el plano xy es (0, 0) .
§2. Funciones de tres o más variables
Una función de tres variables f , es una regla que asigna a cada trı́o ordenado (x, y, z)
en un dominio Ω ⊂ R3 un único número real, denotado por f (x, y, z) .
El gráfico de una función de tres variables yace en el espacio cuatro-dimensional, por
lo cual no es posible visualizarlo. Sin embargo se puede ganar alguna información de f
examinando sus superficies de nivel, esto es las superficies con ecuación f (x, y, z) = k ,
donde k ∈ R es una constante.
Funciones de cualquier número de variables también pueden ser consideradas. Ası́, una
función real de n variables o campo escalar es una regla que asigna un único número real
z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) a una n-tupla (x1 , x2 , . . . , xn ) de números reales.
La notación
f : Ω ⊂ Rn → R
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es usada para señalar que f es una función real cuyo dominio Ω es un subconjunto de
Rn .
Es usual también, usar notación vectorial para escribir funciones de manera mas compacta: Si x = (x1 , x2 , . . . , xn) , podemos escribir f (x) en lugar de f (x1 , x2 , . . . , xn ) .
Ası́, desde el punto de vista de la correspondencia uno a uno que existe entre puntos
(x1 , x2 , . . . , xn ) de Rn y sus vectores posición x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , se tienen se tienen
tres maneras de mirar una función f : Ω ⊂ Rn → R :
1. Como una función de n variables reales x1 , x2 , . . . , xn
2. Como una función de un punto (x1 , x2 , . . . , xn )
3. Como una función de un vector x = (x1 , x2 , . . . , xn )
§3. Algebra de Funciones de varias variables
Funciones de varias variables se pueden combinar de la misma forma que las funciones de
una variable. Por lo tanto se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Ası́, si A, B ⊂ Rn ,
f
f : A → R y g : B → R funciones. Entonces las funciones f + g , f − g , f · g y
g
se definen como;
(f + g)(x) = f (x) + g(x) , ∀x ∈ A ∩ B
(f − g)(x) = f (x) − g(x) , ∀x ∈ A ∩ B
(f · g)(x) = f (x)g(x)
∀x ∈ A ∩ B
f
f (x)
(x) =
g
g(x)
∀x ∈ A ∩ B − {x ∈ A ∩ B | g(x) = 0}
Como operar con funciones significa operar con las imágenes en un mismo punto. entonces
las funciones deben tener el mismo número de variables.
• Ejemplo : Se pueden sumar las funciones f (x, y) = x y g (x, y) = x + y obteniéndose
que
(f + g) (x, y) = f (x, y) + g (x, y) = 2x + y
Sin embargo no se pueden sumar las funciones f (x) = x y g (x, y) = x + y
§4. Composición de Funciones de varias variables
Dadas dos funciones f y g la función compuesta g ◦ f ( o la composición de f y
g ) se define como,
(g ◦ f )(x) = g(f(x))
x ∈ Ω ⊂ Rn , dominio de f
lo cual tiene sentido si el recorrido de la primera función coincide con el Dominio de la
segunda.
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• Ejemplo : Dadas las funciones
f (x, y) = 4 − x2 − y 2
y
g (z) =
√
z
sólo tiene sentido la composición
(g ◦ f )(x, y) = g(f (x, y)) =
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4 − x2 − y 2
Guı́a de Ejercicios
1. Considere una función f : Ω ⊂ Rn → R . Señale el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones, fundamentando claramente su respuesta:
a)
b)
c)
d)
Dom f = Ω = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Ω ⊂ Rn / ∃ z = f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R}
Re c f = {z ∈ R / z = f (x1 , x2 , . . . , xn)}
Gr (f ) = {(x1 , x2 , . . . , xn , z) / z = f (x1 , x2 , . . . , xn )} ⊂ Rn+1
Si Ω ⊂ R2 , entonces para la función f : Ω → R , su dominio es un subconjunto del plano, su recorrido es un subconjunto de números reales y su gráfico
está contenido en el espacio.
2. En relación al gráfico de una función f : Ω ⊂ R2 → R , ¿ qué representan las trazas?,
¿ qué representan las curvas de nivel ?. ¿ Qué posible utilidad pueden prestar?. Explique claramente.
3. Determine el Dominio de las siguientes funciones esbozando su gráfico, señalando
si se trata de un conjunto abierto y/o cerrado o ni abierto ni cerrado. Señale,
cuando sea posible, las trazas y las respectivas curvas de nivel. Finalmente esboce
el gráfico de la función en cada caso.
xy
b) f (x, y) = 25 − x2 − y 2
a) f (x, y) = 2
2
x +y
c)
x
f (x, y) = x2 + y 2 − 9
d)
f (x, y) =
e)
f (x, y) = xy
f)
f (x, y) =
1
xy
x2 + y 2 − 9
x
4. Dada la función
f (x, y) = sen (y − x)
Determine el dominio, el recorrido y sus curvas de nivel.
5. Para el caso de la función f : Ω ⊂ R3 → R , ¿ qué son realmente las ” curvas
de nivel ” ?, ¿ son realmente curvas ?. Explique claramente.
6. Considere la función dada por f (x, y, z) = x2 + y 2 − 4z − 2x . Determine su
dominio, recorrido y la ”superficie de nivel” para k = 0 .
7. Para cada uno de los casos, dibuje la superficie de nivel f (x, y, z) = k , para
cada uno de los valores de k , especificado ;
a) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , k = 4
b) f (x, y, z) = x2 + 4y 2 + 2z 2 , k = 7
c) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 , k = 1
d) f (x, y, z) = x2 − y 2 + z 2 , k = 1
curso : calculo iii - ingenierias
R.Beltran B.-UTA- II Semestre 2012
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