Nuevos estadísticos de bondad de ajuste basados en cuantiles

Centro de
Investigación
Operativa
I-2005-10
Nuevos estadísticos de bondad
de ajuste basados en cuantiles
muestrales
M.D. Esteban, Y. Marhuenda,
D. Morales and A. Sánchez
June 2005
ISSN 1576-7264
Depósito legal A-646-2000
Centro de Investigación Operativa
Universidad Miguel Hernández de Elche
Avda. de la Universidad s/n
03202 Elche (Alicante)
cio@umh.es
Nuevos estadísticos de bondad de ajuste basados en
cuantiles muestrales1
M.D. Esteban, Y. Marhuenda, D. Morales y A. Sánchez
Centro de Investigación Operativa, Universidad Miguel Hernández de Elche, Elche.
Resumen.
En este trabajo se propone un procedimiento para construir nuevos estadísti-
cos derivados de diversos estadísticos categorizados por cuantiles. Se tabula su distribución
exacta y se realiza un análisis comparativo de potencias con las de los estadísticos originales.
Palabras clave.
contrastes de uniformidad, medidas de divergencias, cuantiles mues-
trales.
Clasicación AMS.
65C05, 62F03, 62B10, 65C60.
1 Introducción
Las técnicas de bondad de ajuste se usan frecuentemente para decidir si una muestra
observada
X1 = x1 , . . . , Xn = xn
puede ser considerada como un conjunto de realizaciones
independientes de una función de distribución dada
la hipótesis
H0 : F = F0 .
F0 (x); es decir, se usan para contrastar
De entre los métodos clásicos de contraste de bondad de ajuste
se pueden citar los procedimientos de categorización que conducen a los estadísticos de tipo
Pearson; es decir, divergencias escaladas entre vectores de probabilidad teórica y empírica.
Cuando los contrastes de bondad de ajuste se realizan con datos categorizados, los estadísticos se construyen a partir de frecuencias relativas de intervalos o de cuantiles muestrales. En el primer caso, los datos se categorizan tomando una partición del recorrido de
x∈R
y considerando las frecuencias relativas de los intervalos resultantes. En el segundo
caso, los datos se discretizan tomando una partición del recorrido de
portando la partición a
1 Este
R
F (x) ∈ [0, 1]
y trans-
mediante la inversa de la función de distribución empírica. En
trabajo está nanciado por los proyectos BMF2003-04820 y GV04B/670.
1
este último caso, los estadísticos se construyen a partir de cuantiles muestrales. Menéndez et al.
(1998) han usado estos dos procedimientos en la construcción de estadísticos
divergencia para contrastes de bondad de ajuste.
En el caso de realizar el contraste con la distribución exacta de los estadísticos, Marhuenda
et al. (2005) comprobaron que la categorización por cuantiles proporciona una potencia
mayor en el contraste de uniformidad que la categorización por recorrido de la variable.
En inferencia estadística, el problema de contrastar la uniformidad de datos continuos es
de gran relevancia puesto que cualquier contraste de bondad de ajuste a una distribución
completamente especicada se puede reducir a un contraste de uniformidad.
En este trabajo se toma la idea de Zhang (2002) para introducir estadísticos divergencia
basados en cuantiles muestrales. La propuesta de Zhang consiste en considerar particiones
de dos intervalos, expresar el estadístico asociado a la partición como función del punto
de corte, y nalmente integrar la función resultante respecto de una distribución de masa.
El objetivo que se persigue es el de mejorar procedimientos de contraste de la hipótesis de
uniformidad en el intervalo
(0, 1).
Mediante simulación Monte Carlo se calculan los valores críticos de los estadísticos
propuestos para determinados niveles de signicación y para divergencias introducidas
por Cressie y Read (1984).
Se realizan comparaciones de potencias en una familia de
alternativas considerada por Stephens (1974) y se dan recomendaciones de uso.
2 Notación y estadísticos básicos
Consideremos una muestra aleatoria simple
X1 , . . . , Xn de una distribución continua F (x), x ∈
R, y sea X(1) < . . . < X(n) la correspondiente muestra ordenada.
empírica
Fn (x)
es
Fn (x) =
donde
]Xj ≤ x
La función de distribución
]Xj ≤ x
,
n
es el número de valores
Xj
−∞ < x < ∞,
menores o iguales que
2
x.
La función de distribución empírica se puede escribir de la forma
Fn (x) =




0



i
n





 1
si
x < X(1)
si
X(i) ≤ x < X(i+1) ,
si
X(n) ≤ x,
y contiene información completa sobre los datos.
estimar
F (x),
ya que
|Fn (x) − F (x)|
i = 1, . . . , n − 1,
Además,
Fn (x)
se puede utilizar para
tiende uniformemente a 0 con probabilidad 1 cuando
n → ∞.
Los estadísticos de bondad de ajuste construidos mediante categorización se basan en
cuantiles muestrales o en frecuencias relativas de intervalos, según se muestra en Menéndez
et al. (1998). En el primer caso, los datos continuos se discretizan utilizando un vector
y = (y1 , . . . , ym−1 ) ∈ Rm−1 ,
donde
y0 = −∞ < y1 < . . . < ym−1 < ∞ = ym ,
de modo que
y
R
especica una partición de
distribución hipotética y empírica a
y,
en
m
intervalos.
Aplicando la función de
se obtienen los siguientes vectores
F0 (y) = (F0 (yj ) : 1 ≤ j ≤ m − 1)
y
Fn (y) = (Fn (yj ) : 1 ≤ j ≤ m − 1).
Los vectores de probabilidad hipotéticos y empíricos se calculan aplicando
F0 (y)
y
Fn (y)
respectivamente; es decir,
p0 (y) = (p0,1 (y), . . . , p0,m (y)) = (F0 (yj ) − F0 (yj−1 ) : 1 ≤ j ≤ m),
pn (y) = (pn,1 (y), . . . , pn,m (y)) = (Fn (yj ) − Fn (yj−1 ) : 1 ≤ j ≤ m).
Para contrastar
H0 : F = F0
(o
H0 : p = p0 ),
se pueden considerar los estadísticos
divergencia (véase Read and Cressie (1988))
λ
Tn,m
(pn (y), p0 (y)) =
m
X

2n
pn,i (y)
pn,i (y) 
λ(λ + 1) i=1
p0,i (y)
!λ

− 1 .
Por otra parte, la categorización por cuantiles es un método alternativo para contrastar
bondad de ajuste. En este caso, las distribuciones de cuantiles hipotética y empírica son
F0−1 (π) = inf{x : F0 (x) > π}
y
3
Fn−1 (π) = inf{x : Fn (x) > π},
respectivamente, para todo
π ∈ (0, 1).
π = (π1 , . . . , πm−1 ) ∈ (0, 1)m−1
Los datos se discretizan usando un vector partición
con
π0 = 0 < π1 < . . . < πm−1 < 1 = πm ,
y aplicando las funciones
F0−1
y
Fn−1
π.
a
Los cuantiles hipotéticos y empíricos son
c = (c1 , . . . , cm−1 ) = (F0−1 (π1 ), . . . , F0−1 (πm−1 )),
Yn = (Fn−1 (π1 ), . . . , Fn−1 (πm−1 )) = (Yn1 , . . . , Ynm−1 ),
donde
Yni = X(ni )
y
ni = [nπi ] + 1, i = 1, . . . , m − 1.
hipotéticos y empíricos,
q
y
p(Yn ),
Los vectores de probabilidad
son
q = (q1 , . . . , qm ) = (F0 (cj ) − F0 (cj−1 ) : 1 ≤ j ≤ m) = (πj − πj−1 : 1 ≤ j ≤ m),
p(Yn ) = (p1 (Yn ), . . . , pm (Yn )) = (F0 (Ynj ) − F0 (Ynj−1 ) : 1 ≤ j ≤ m),
donde
n0 = 0, nm = +∞, Yn0 = −∞
y
Ynm = +∞.
Una vez calculados los vectores de probabilidad
estadísticos para contrastar
H0 : F = F0 .
q y p(Yn ), se pueden proponer distintos
Los estadísticos divergencia de Cressie y Read
para este caso son

λ
Tn,m
m
X
2n
pi (Yn )
λ
= Tn,m
(p(Yn ), q) =
pi (Yn ) 
λ(λ + 1) i=1
qi
En el caso de particiones con dos intervalos
(0, 1) = (0, π] ∪ (π, 1),
donde
q1 = π
y
− 1 .
(1)
(1) se reduce a
2n
p1 (Yn )λ+1 (1 − p1 (Yn ))λ+1
=
+
−1 ,
λ(λ + 1)
q1λ
(1 − q1 )λ
"
λ
Tn,2,π

!λ
#
p1 (Yn ) = F0 (Fn−1 (π)).
3 Los estadísticos de interés
En este trabajo se introducen los estadísticos
Zmax =
sup
π∈(0,1)
Z =
Z
0
1
n
λ
dw(π),
Tn,2,π
4
o
λ
w(π) ,
Tn,2,π
(2)
(3)
donde
w(s) es una función de pesos en (0, 1).
En los casos B-F se usa la denición
Fn (X(i) ) =
i−1/2
.
n
Para el estadístico
χ2
de Pearson (λ
=1
en la fórmula (1)) se proponen las siguientes
extensiones:
(A) Tomando
w(π) = n1 π(1 − π)
1
Sn,A
1∗
donde Sn,A
(B) Tomando
en la fórmula (2), se obtiene
1
1∗
= max 2 , Sn,A
, (F0 (X(n) ) − 1)2 ,
n
= maxi=1,...,n−1 max
w(π) = π
1
Sn,B
=n
F0 (X(i) ) −
i
n
2 , F0 (X(i) ) −
i+1
n
2 .
en la fórmula (3) y eliminando constantes aditivas, se obtiene
n−1
X
"
F02 (X(i) ) ln
i=1
(C) Tomando
dw(π) = π(1 − π) dπ
i+
i−
1
2
1
2
2
− 1 − F0 (X(i) )
1
2
1
2
=
n−1
X
i+
F0 (X(i) ) −
n
i=1
Para el estadístico del cociente de verosimilitudes (λ
1
2
w(π) = 1
0
Sn,D
donde
.
= 0 en la fórmula (1)) se proponen
en la fórmula (2), se obtiene
1
,
= 2n max − ln 1 −
2n
0∗
= F0 (X(n) ) ln
Sn,D
nF0 (X(n) )
n−1/2
F0 (X(i) )
π
0∗
max hDi , Sn,D
i=1,...,n−1
,
+ (1 − F0 (X(n) )) ln 2n(1 − F0 (X(n) )),
hDi =  0




 g i−1/2
n
g(π) = F0 (X(i) ) ln
 
i+1/2


g

n


y
.
!2
las siguientes extensiones:
(D) Tomando
#
en la fórmula (3) y eliminando constantes aditivas, se
obtiene
1
Sn,C
n−i−
ln
n−i+
si
F0 (X(i) ) >
si
i−1/2
n
si
F0 (X(i) ) <
+ (1 − F0 (X(i) )) ln
5
i+1/2
,
n
≤ F0 (X(i) ) ≤
i−1/2
,
n
1−F0 (X(i) )
.
1−π
i+1/2
,
n
dw(π) = F0 (Fn−1 (π))−1 [1 − F0 (Fn−1 (π))]−1 dF0 (Fn−1 (π))
(E) Tomando
en la fórmula (3),
se obtiene
"
0
Sn,E
= 2n
n
X
F0 (X(i) ) − F0 (X(i−1) )
i=1
n
X
1 − F0 (X(i) )
!
nF0 (X(i) )
ln
+
i − 12
F0 (X(i) ) − F0 (X(i−1) )
n(1 − F0 (X(i) ))
+
ln
F0 (X(i) )
n − i + 21
i=1
(F) Tomando
dw(π) =
0
= an,F
Sn,F
.
dπ
en la fórmula (3), se obtiene
π(1−π)


i + 12
n(1 − F0 (X(i) ))  ln
+
n−i−
i=1
n−1
X
!#
!2
1
2
i − 12
− ln
n−i+
1
2

!2 
 + hF i  ,
donde
h
i
hF i = 2n F0 (X(i) ) ln F0 (X(i) ) + (1 − F0 (X(i) )) ln(1 − F0 (X(i) )) LF i ,
(i + 1/2)(n − i + 1/2)
,
(i − 1/2)(n − i − 1/2)
"Z
#
Z 1−1/2n
1/n ln(1 − π)
ln(π)
= −2n
dπ +
dπ .
π(1 − π)
π(1 − π)
0
1/2n
LF i = ln
an,F
4 Tabulación de distribuciones y comparación de potencias
Sea
F0
la función de distribución uniforme en el intervalo (0,1). Los valores críticos
de un estadístico
Sn
sn,1−α
verican
α = P (Sn > sn,1−α |F ≡ F0 ).
Mediante simulación Monte Carlo se calculan los valores de
los estadísticos
1
1
1
0
0
0
Sn,A
, Sn,B , Sn,C , Sn,D , Sn,E , Sn,F
sn,1−α
para
α = 0.05
y para
introducidos en la Sección 3. El algoritmo
utilizado se divide en dos pasos
1. Generar
105
muestras de números aleatorios uniformes
respondientes valores de
2. El valor crítico
Sn
{u1 , . . . , un },
calcular los cor-
y ordenarlos de menor a mayor.
sn,1−α se estima con el valor de Sn que ocupe la posición [105 (1−α)]+1.
6
En la Tabla 1 se presentan los valores críticos obtenidos para
valores de
α = 0.05
y diferentes
n.
n
1
Sn,A
1
Sn,B
1
Sn,C
0
Sn,D
0
Sn,E
0
Sn,F
5
0.458
6.602
0.728
4.546
30.456
14.156
6
0.375
7.766
0.718
4.985
30.050
15.427
7
0.318
8.866
0.708
5.317
29.942
16.487
8
0.275
9.948
0.698
5.615
30.277
17.482
9
0.241
10.981
0.680
5.902
30.535
18.200
10
0.215
12.018
0.673
6.079
30.250
18.970
12
0.176
14.056
0.649
6.536
30.406
20.095
14
0.149
16.062
0.635
6.837
30.554
21.028
16
0.128
18.042
0.615
7.036
30.336
21.680
18
0.113
20.043
0.603
7.336
30.581
22.458
20
0.100
22.011
0.593
7.478
30.694
22.962
25
0.079
26.985
0.570
7.839
31.205
24.064
30
0.065
31.944
0.553
8.150
31.227
24.906
40
0.048
41.888
0.535
8.609
32.224
26.131
50
0.038
51.816
0.520
8.868
32.361
27.100
70
0.027
71.731
0.501
9.257
32.992
28.385
100
0.018
101.677
0.488
9.664
33.935
29.740
150
0.012
151.639
0.481
10.074
34.925
31.261
200
0.009
201.601
0.476
10.218
35.977
32.183
300
0.006
301.566
0.469
10.621
37.001
33.524
Tabla 1: Valores críticos para uniformidad y
α = 0.05.
Para comparar las potencias de los estadísticos se realiza un estudio de simulación Monte
Carlo para la familia de alternativas a la distribución uniforme propuesta por Stephens
(1974),
Fk (x) = 1 − (1 − x)k ,
7
0 ≤ x ≤ 1,
(4)
donde
k > 0.
Para
k > 1,
esta familia proporciona puntos más próximos a 0 que los esper-
ados utilizando la distribución uniforme. Para
k < 1,
el comportamiento es el contrario,
esto es, puntos más cercanos a 1.
La potencia del estadístico
Sn
para la familia (4) de alternativas es
β(Sn , k) = P (Sn > sn,1−α |F ≡ Fk ).
(5)
Para estimar (5) se realiza un experimento de simulación y se calcula la frecuencia relativa
del suceso
Sn > sn,1−α
en
105
replicaciones.
La potencia máxima que alcanza un conjunto de estadísticos
Sn
en la alternativa
k
de
la familia (4) es
βmax (Sn , k) = max{β(Sn , k)}.
(6)
Sn ∈S
La ineciencia del estadístico
Sn
Sn
en la alternativa
k
de la familia (4) dentro del conjunto
es
i(Sn , k) = βmax (Sn , k) − β(Sn , k).
El estadístico con mejor comportamiento
alternativas
K
Sn∗
dentro del conjunto
Sn
para un grupo de
es el que verica
i(Sn∗ , k) = min
X
k∈K
X
Sn ∈Sn
i(Sn , k).
0
0
0
0
Sn0 = {Tn,m
∗ , Sn,D , Sn,E , Sn,F }
(8)
k∈K
El análisis de ineciencias de los conjuntos de estadísticos
y
(7)
1
1
1
1
Sn1 = {Tn,m
∗ , Sn,A , Sn,B , Sn,C }
se va a realizar para el grupo de alternativas
0.50, 0.60, 0.70, 0.80, 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25}, α = 0.05
Dentro del conjunto
λ
, m = 2, . . . , 30}, λ = 0, 1,
Tnλ = {Tn,m
minimiza la suma de ineciencias, esto es,
λ
Tn,m
∗
y
n = 20, 30, 40, 50, 70, 100.
el estadístico
verica (8) para
K = {0.40,
λ
Tn,m
∗
λ
Sn∗ = Tn,m
∗
es el que
en el conjunto
Sn = Tnλ .
En los Apéndices A y B se incluyen las potencias e ineciencias obtenidas para los
conjuntos
Sn1
y
Sn0 ,
respectivamente. En la Tabla 2 se presentan las sumas de ineciencias
obtenidas para cada conjunto. Como se puede observar los estadísticos introducidos, con
excepción del
0
Sn,E
,
mejoran en potencia a los homónimos originales
Analizando los resultados dependiendo del valor de
8
k,
λ
Tn,m
∗.
se obtiene que:
n(m∗ ) 20(3) 30(4)
40(3)
50(3) 70(3) 100(3)
Total
1
Tn,m
∗
1.278
1.068
0.830
0.764
0.608
0.512
5.060
1
Sn,A
1.266
0.872
0.694
0.604
0.437
0.334
4.207
1
Sn,B
0.572
0.278
0.164
0.114
0.013
0.000
1.141
1
Sn,C
1.067
0.630
0.449
0.361
0.207
0.143
2.857
0
Tn,m
∗
1.886
1.697
1.320
1.125
0.871
0.652
7.551
0
Sn,D
1.695
1.419
1.185
1.010
0.784
0.589
6.682
0
Sn,E
2.656
2.224
1.725
1.331
0.921
0.649
9.502
0
Sn,F
1.442
1.198
0.983
0.861
0.673
0.501
5.658
Tabla 2: Suma de ineciencias para los conjuntos
•
Sn1 :
Dentro del conjunto
Cuando
k > 1,
•
Dentro del conjunto
que
0
Tn,m
∗.
Cuando
1
Tn,m
∗.
en vez de
0
Tn,m
∗
Sn0
para
α = 0.05.
Sin embargo, para
1
k < 1, Tn,m
∗
es
1
.
Sn,B
Sn0 :
Cuando
1
k < 1, Sn,E
0
k > 1, Sn,D
es mejor que
y
0
Sn,F
proporcionan mejores resultados
0
Tn,m
∗.
Como conclusión general, se puede recomendar el uso de
0
Sn,F
y
los tres estadísticos propuestos obtienen
resultados bastante mejores que el original
el mejor, seguido por
Sn1
1
Sn,B
en lugar de
1
Tn,m
∗
y
0
Sn,D
,
para realizar contrastes de uniformidad.
A continuación, se compara el comportamiento de estos nuevos estadísticos recomendados frente a los siguientes estadísticos:
1. Zhang (2002)
ZA = −
"
n
X
ln F0 (X(i) )
i=1
n−i+
1
2
#
ln(1 − F0 (X(i) ))
+
,
i − 12
ZC =
n
X
i=1

ln F0 (X(i) )−1 − 1
n−
1
2
/ i−
2. Anderson-Darling (1954)
A2n = −n −
n
h
n
oi
1X
(2i − 1) ln U(i) + ln 1 − U(n+1−i) .
n i=1
9
3
4
−1
2
 .
3. Cramér-von Mises
Wn2 =
n X
U(i) −
i=1
2i − 1
2n
2
1
.
12n
+
4. Kolmogorov (1933)
Dn =
sup
−∞<x<+∞
Dn+ = max
1≤i≤n
|Fn (x) − F (x)| = max(Dn+ , Dn− ),
i
− U(i) ,
n
Dn− = max U(i) −
1≤i≤n
i−1
.
n
5. Cressie (1978)
L(m)
=
n
n+1−m
X
ln(U(i+m) − U(i) ),
i=0
donde
U(0) = 0
y
U(n+1) = 1.
6. Cressie (1979)
Sn(m) =
n+1−m
X
{n(U(i+m) − U(i) )}2 ,
i=0
donde
U(0) = 0
y
U(n+1) = 1.
7. Vasicek (1976)
Hn(m)
donde
m
=n
−1
n
X
)
(
n(U(i+m) − U(i−m) )
,
ln
2m
i=1
es un número entero positivo menor que
U(r) = U(n)
si
n/2, U(r) = U(1)
si
r < 1
y
r > n.
8. Ledwina (1994)
Para el estadístico introducido por Neyman (1937),
!2
h
n
X
1X
Nh =
bj (Ui )
n j=1 i=1
donde
bj
son los polinomios normalizados de Legendre en el intervalo [0,1], Ledwina
(1994) propuso un método para seleccionar automáticamente a partir de los datos el
mejor valor de
h = S ∈ {1, . . . , N },
se limitan los valores de
S
a
dando lugar al estadístico
{1, . . . , 4}.
10
NS .
En este trabajo,
Los puntos críticos de los estadísticos anteriores, exceptuando los correspondientes a
ZA , ZC
y
NS ,
pueden encontrarse en Marhuenda Y. (2002).
En la Tabla 3 se presentan las sumas de las ineciencias de los estadísticos del conjunto
∗
∗
∗
)
0
0
1
, Sn(m ) , Hn(m ) , NS }
, ZA , ZC , A2n , Wn2 , Dn , Dn+ , Dn− , L(m
, Sn,F
, Sn,D
Sn = {Sn,B
n
cendente, según el valor de la columna Total, para
y
Hn(m) ,
se selecciona previamente el valor óptimo
n = 30
y
α = 0.05.
en orden as-
Para
m = m∗ ∈ {2, . . . , 30}
(m)
L(m)
n , Sn
que verica la
expresión (8). En la columna sn,1−α se incluyen los puntos críticos de los estadísticos,
con la excepción de
L(m)
n
y
Hn(m)
ya que éstos últimos se utilizan con los puntos críticos de
la cola inferior, denidos por
α = P (Sn ≤ sn,α |F ≡ F0 ).
Consecuentemente, el paso 2 del algoritmo que calcula los puntos críticos, especicado al
comienzo de esta sección, se modica de modo que el valor
sn,α
es el situado en la posición
105 α.
A partir de la columna Total de la Tabla 3, se observa que los estadísticos con las
menores sumas de ineciencias son
A2n , ZA , ZC
and
1
.
Wn2 , seguidos por Sn,B
de destacar que los estadísticos propuestos en este trabajo
muy buenos para
estos casos,
Dn+ ,
k > 1,
0
Sn,F
y
1
Sn,B
No obstante, es
obtienen resultados
incluso mejores que los obtenidos por el mejor estadístico para
y que este comportamiento es extensible al resto de
n considerados.
En el
Apéndice C, se presentan las tablas de potencias, ineciencias y suma de ineciencias para
todos los
n
considerados.
11
m∗
sn,1−α
sn,α
k<1 k>1
Total
A2n
2.495
0.045
0.415
0.460
ZA
4.527
0.197
0.358
0.555
ZC
24.292
0.042
0.541
0.583
0.457
0.312
0.396
0.708
31.944
0.943
0.007
0.950
0.241
0.493
0.619
1.112
24.906
1.246
0.003
1.249
NS
6.660
0.523
0.945
1.468
0
Sn,D
8.150
1.255
0.215
1.470
Wn2
1
Sn,B
Dn
0
Sn,F
(m∗ )
Hn
∗)
L(m
n
4
-0.309
1.114
0.943
2.057
4
-64.019
1.155
1.030
2.185
Dn+
0.217
3.375
0.196
3.571
Dn−
0.217
0.094
3.688
3.782
201.249
1.501
2.605
4.106
∗)
Sn(m
2
Tabla 3: Suma de ineciencias para
12
n = 30, α = 0.05.
Bibliografía
Anderson, T.W., Darling, D.A. (1954). A test of goodnessoft. J. Am. Stat. Assoc.,
49, 765769.
Cressie, N. (1978).
Power results for tests based on high order gaps.
Biometrika,
65,
An optimal statistic based on higher order gaps.
Biometrika,
66,
214218.
Cressie, N. (1979).
619627.
Cressie, N., Read, T.R.C. (1984). Multinomial Goodness-of-tTests. J. Roy. Stat. Soc.
B,
46, 440464.
Kolmogorov, A.N. (1933).
Giorna. Ist. Attuari.,
Ledwina, T. (1994).
Assoc.,
Sulla determinazione empirica di una legge di distibuziane.
4, 8391.
Data-driven version of Neyman's smooth test of t.
J. Am. Stat.
89, 10001005.
Marhuenda, M.A., Marhuenda, Y., Morales, D. (2005). Uniformity tests under quantile
categorization. Kybernetes,
34(6), (to appear).
Marhuenda, Y. (2002). Contrastes de uniformidad. Doctoral thesis.
Menéndez, M., Morales, D., Pardo, D., Vajda, I. (1998). Two Approaches To Grouping of
Data and Related Disparity Statistics. Commun. Stat.- Theor. M.
27(3), 609933.
Neyman, J. (1937). Smooth test for goodness of t. Skand. Aktuarietidsk.
20, 150199.
Read, T.R.C., Cressie, N.A.C. (1998).Goodness of Fit Statistics for Discrete Multivariate
Data. Berlin: Springer-Verlag.
Stephens, M.A. (1974).
Am. Stat. Assoc.
EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons.
J.
69, 730737.
Zhang, J. (2002). Powerful goodness-of-t tests based on the likelihood ratio. J. Roy. Stat.
Soc. B,
64, 281294.
13
Apéndice A: Potencias e ineciencias para el conjunto Sn1
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.868
0.652
0.412
0.230
0.122
0.050
0.083
0.196
0.363
0.545
0.708
1
Sn,A
0.649
0.370
0.176
0.075
0.036
0.050
0.175
0.387
0.617
0.799
0.907
1
Sn,B
0.765
0.500
0.267
0.124
0.057
0.050
0.193
0.449
0.704
0.872
0.954
1
Sn,C
0.657
0.367
0.166
0.064
0.028
0.050
0.194
0.437
0.683
0.852
0.942
βmax
0.868
0.652
0.412
0.230
0.122
0.050
0.194
0.449
0.704
0.872
0.954
k
Tabla A.1:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 20 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.111
0.253
0.341
0.327
0.246
1
Sn,A
0.219
0.282
0.236
0.155
0.086
0.000
0.019
0.062
0.087
0.073
0.047
1
Sn,B
0.103
0.152
0.145
0.106
0.065
0.000
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
1
Sn,C
0.211
0.285
0.246
0.166
0.094
0.000
0.000
0.012
0.021
0.020
0.012
k
Tabla A.2:
Ineciencias bajo la familia Fk para m = 3, n = 20 y α = 0.050.
∗
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.956
0.794
0.530
0.292
0.145
0.050
0.106
0.293
0.549
0.769
0.902
1
Sn,A
0.893
0.644
0.353
0.155
0.061
0.050
0.217
0.517
0.783
0.928
0.981
1
Sn,B
0.941
0.744
0.454
0.215
0.086
0.050
0.249
0.606
0.867
0.969
0.995
1
Sn,C
0.908
0.666
0.363
0.151
0.054
0.050
0.250
0.586
0.845
0.959
0.992
βmax
0.956
0.794
0.530
0.292
0.145
0.050
0.250
0.606
0.867
0.969
0.995
k
Tabla A.3:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 4, n = 30 y α = 0.050.
14
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.144
0.313
0.318
0.200
0.093
1
Sn,A
0.063
0.150
0.177
0.137
0.084
0.000
0.033
0.089
0.084
0.041
0.014
1
Sn,B
0.015
0.050
0.076
0.077
0.059
0.000
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
1
Sn,C
0.048
0.128
0.167
0.141
0.091
0.000
0.000
0.020
0.022
0.010
0.003
k
Tabla A.4:
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 4, n = 30 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.987
0.897
0.662
0.377
0.174
0.050
0.148
0.415
0.711
0.895
0.971
1
Sn,A
0.972
0.817
0.517
0.242
0.092
0.050
0.257
0.622
0.882
0.975
0.997
1
Sn,B
0.987
0.886
0.622
0.316
0.122
0.050
0.306
0.726
0.945
0.993
1.000
1
Sn,C
0.979
0.843
0.547
0.251
0.087
0.050
0.298
0.697
0.928
0.989
0.999
βmax
0.987
0.897
0.662
0.377
0.174
0.050
0.306
0.726
0.945
0.993
1.000
k
Tabla A.5:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 40 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.158
0.311
0.234
0.098
0.029
1
Sn,A
0.015
0.080
0.145
0.135
0.082
0.000
0.049
0.104
0.063
0.018
0.003
1
Sn,B
0.000
0.011
0.040
0.061
0.052
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
1
Sn,C
0.008
0.054
0.115
0.126
0.087
0.000
0.008
0.029
0.017
0.004
0.001
k
Tabla A.6:
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 40 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.997
0.953
0.772
0.468
0.215
0.050
0.164
0.488
0.803
0.951
0.992
1
Sn,A
0.994
0.913
0.656
0.334
0.126
0.050
0.297
0.712
0.938
0.993
1.000
1
Sn,B
0.998
0.955
0.755
0.422
0.164
0.050
0.364
0.817
0.979
0.999
1.000
1
Sn,C
0.996
0.933
0.694
0.356
0.126
0.050
0.349
0.786
0.968
0.998
1.000
βmax
0.998
0.955
0.772
0.468
0.215
0.050
0.364
0.817
0.979
0.999
1.000
k
Tabla A.7:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 50 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.001
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
0.200
0.329
0.176
0.048
0.008
1
Sn,A
0.004
0.042
0.116
0.134
0.089
0.000
0.067
0.105
0.041
0.006
0.000
1
Sn,B
0.000
0.000
0.017
0.046
0.051
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
1
Sn,C
0.002
0.022
0.078
0.112
0.089
0.000
0.015
0.031
0.011
0.001
0.000
k
Tabla A.8:
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 50 y α = 0.050.
15
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
1.000
0.988
0.882
0.587
0.267
0.050
0.236
0.671
0.934
0.994
1.000
1
Sn,A
1.000
0.984
0.842
0.504
0.197
0.050
0.377
0.840
0.986
1.000
1.000
1
Sn,B
1.000
0.994
0.909
0.607
0.254
0.050
0.469
0.924
0.997
1.000
1.000
1
Sn,C
1.000
0.990
0.877
0.546
0.211
0.050
0.443
0.898
0.995
1.000
1.000
βmax
1.000
0.994
0.909
0.607
0.267
0.050
0.469
0.924
0.997
1.000
1.000
k
Tabla A.9:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 70 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.000
0.006
0.027
0.020
0.000
0.000
0.233
0.253
0.063
0.006
0.000
1
Sn,A
0.000
0.010
0.067
0.103
0.070
0.000
0.092
0.084
0.011
0.000
0.000
1
Sn,B
0.000
0.000
0.000
0.000
0.013
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
1
Sn,C
0.000
0.004
0.032
0.061
0.056
0.000
0.026
0.026
0.002
0.000
0.000
k
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 70 y α = 0.050.
Tabla A.10:
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
1.000
0.999
0.964
0.744
0.360
0.050
0.333
0.840
0.989
1.000
1.000
1
Sn,A
1.000
0.999
0.959
0.707
0.310
0.050
0.491
0.942
0.999
1.000
1.000
1
Sn,B
1.000
1.000
0.982
0.797
0.382
0.050
0.599
0.981
1.000
1.000
1.000
1
Sn,C
1.000
1.000
0.973
0.753
0.338
0.050
0.565
0.969
1.000
1.000
1.000
βmax
1.000
1.000
0.982
0.797
0.382
0.050
0.599
0.981
1.000
1.000
1.000
k
Tabla A.11:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 100 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Tn,m
∗
0.000
0.001
0.018
0.053
0.022
0.000
0.266
0.141
0.011
0.000
0.000
1
Sn,A
0.000
0.001
0.023
0.090
0.072
0.000
0.108
0.039
0.001
0.000
0.000
1
Sn,B
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
1
Sn,C
0.000
0.000
0.009
0.044
0.044
0.000
0.034
0.012
0.000
0.000
0.000
k
Tabla A.12:
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 100 y α = 0.050.
16
Apéndice B: Potencias e ineciencias para el conjunto Sn0
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.887
0.685
0.440
0.245
0.128
0.050
0.083
0.190
0.350
0.528
0.690
0
Sn,D
0.709
0.418
0.202
0.088
0.041
0.050
0.183
0.404
0.639
0.814
0.919
0
Sn,E
0.965
0.832
0.596
0.358
0.190
0.050
0.016
0.023
0.063
0.146
0.267
0
Sn,F
0.728
0.433
0.208
0.088
0.042
0.050
0.194
0.451
0.703
0.870
0.953
βmax
0.965
0.832
0.596
0.358
0.190
0.050
0.194
0.451
0.703
0.870
0.953
k
Tabla B.1:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 20 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.078
0.147
0.156
0.113
0.062
0.000
0.111
0.261
0.353
0.342
0.263
0
Sn,D
0.256
0.414
0.394
0.270
0.149
0.000
0.011
0.047
0.064
0.056
0.034
0
Sn,E
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.178
0.428
0.640
0.724
0.686
0
Sn,F
0.237
0.399
0.388
0.270
0.148
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
k
Tabla B.2:
Ineciencias bajo la familia Fk para m = 3, n = 20 y α = 0.050.
∗
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.968
0.827
0.565
0.309
0.149
0.050
0.100
0.272
0.517
0.738
0.883
0
Sn,D
0.911
0.658
0.352
0.149
0.058
0.050
0.225
0.534
0.799
0.936
0.984
0
Sn,E
0.994
0.932
0.733
0.450
0.226
0.050
0.023
0.074
0.226
0.459
0.684
0
Sn,F
0.921
0.669
0.351
0.142
0.054
0.050
0.255
0.607
0.866
0.968
0.994
βmax
0.994
0.932
0.733
0.450
0.226
0.050
0.255
0.607
0.866
0.968
0.994
k
Tabla B.3:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 4, n = 30 y α = 0.050.
17
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.026
0.105
0.168
0.141
0.077
0.000
0.155
0.335
0.349
0.230
0.111
0
Sn,D
0.083
0.274
0.381
0.301
0.168
0.000
0.030
0.073
0.067
0.032
0.010
0
Sn,E
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.232
0.533
0.640
0.509
0.310
0
Sn,F
0.073
0.263
0.382
0.308
0.172
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
k
Tabla B.4:
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 4, n = 30 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.989
0.905
0.677
0.386
0.178
0.050
0.145
0.402
0.695
0.886
0.968
0
Sn,D
0.977
0.820
0.498
0.217
0.077
0.050
0.268
0.639
0.893
0.980
0.997
0
Sn,E
0.999
0.973
0.824
0.527
0.256
0.050
0.033
0.149
0.431
0.728
0.906
0
Sn,F
0.982
0.834
0.503
0.207
0.070
0.050
0.313
0.725
0.942
0.993
0.999
βmax
0.999
0.973
0.824
0.527
0.256
0.050
0.313
0.725
0.942
0.993
0.999
k
Tabla B.5:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 40 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.010
0.068
0.147
0.141
0.078
0.000
0.168
0.323
0.247
0.107
0.031
0
Sn,D
0.022
0.153
0.326
0.310
0.179
0.000
0.045
0.086
0.049
0.013
0.002
0
Sn,E
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.280
0.576
0.511
0.265
0.093
0
Sn,F
0.017
0.139
0.321
0.320
0.186
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
k
Tabla B.6:
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 40 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.998
0.958
0.786
0.482
0.222
0.050
0.161
0.476
0.793
0.946
0.990
0
Sn,D
0.995
0.915
0.633
0.296
0.102
0.050
0.313
0.730
0.948
0.995
1.000
0
Sn,E
1.000
0.991
0.892
0.608
0.295
0.050
0.046
0.257
0.640
0.896
0.981
0
Sn,F
0.997
0.925
0.635
0.280
0.088
0.050
0.367
0.809
0.976
0.999
1.000
βmax
1.000
0.991
0.892
0.608
0.295
0.050
0.367
0.809
0.976
0.999
1.000
k
Tabla B.7:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 50 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.002
0.033
0.106
0.126
0.073
0.000
0.206
0.333
0.183
0.053
0.010
0
Sn,D
0.005
0.076
0.259
0.312
0.193
0.000
0.054
0.079
0.028
0.004
0.000
0
Sn,E
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.321
0.552
0.336
0.103
0.019
0
Sn,F
0.003
0.066
0.257
0.328
0.207
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
k
Tabla B.8:
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 50 y α = 0.050.
18
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
1.000
0.990
0.889
0.597
0.273
0.050
0.231
0.660
0.929
0.993
1.000
0
Sn,D
1.000
0.985
0.824
0.449
0.152
0.050
0.394
0.856
0.989
1.000
1.000
0
Sn,E
1.000
0.999
0.963
0.736
0.364
0.050
0.086
0.487
0.887
0.990
1.000
0
Sn,F
1.000
0.988
0.834
0.435
0.132
0.050
0.461
0.914
0.996
1.000
1.000
βmax
1.000
0.999
0.963
0.736
0.364
0.050
0.461
0.914
0.996
1.000
1.000
k
Tabla B.9:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 70 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.000
0.009
0.074
0.139
0.091
0.000
0.230
0.254
0.067
0.007
0.000
0
Sn,D
0.000
0.014
0.139
0.287
0.212
0.000
0.067
0.058
0.007
0.000
0.000
0
Sn,E
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.375
0.427
0.109
0.010
0.000
0
Sn,F
0.000
0.011
0.129
0.301
0.232
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
k
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 70 y α = 0.050.
Tabla B.10:
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
1.000
0.999
0.966
0.751
0.365
0.050
0.326
0.832
0.987
1.000
1.000
0
Sn,D
1.000
0.999
0.952
0.649
0.237
0.050
0.503
0.950
0.999
1.000
1.000
0
Sn,E
1.000
1.000
0.993
0.861
0.462
0.050
0.164
0.761
0.988
1.000
1.000
0
Sn,F
1.000
1.000
0.959
0.645
0.211
0.050
0.585
0.977
1.000
1.000
1.000
βmax
1.000
1.000
0.993
0.861
0.462
0.050
0.585
0.977
1.000
1.000
1.000
k
Tabla B.11:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 100 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
0
Tn,m
∗
0.000
0.001
0.027
0.110
0.097
0.000
0.259
0.145
0.013
0.000
0.000
0
Sn,D
0.000
0.001
0.041
0.212
0.225
0.000
0.082
0.027
0.001
0.000
0.000
0
Sn,E
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.421
0.216
0.012
0.000
0.000
0
Sn,F
0.000
0.000
0.034
0.216
0.251
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
k
Tabla B.12:
Ineciencias bajo la familia Fk para m∗ = 3, n = 100 y α = 0.050.
19
Apéndice C: Potencias e ineciencias para el conjunto Sn
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.765
0.500
0.267
0.124
0.057
0.050
0.193
0.449
0.704
0.872
0.954
0
Sn,D
0.709
0.418
0.202
0.088
0.041
0.050
0.183
0.404
0.639
0.814
0.919
0
Sn,F
0.728
0.433
0.208
0.088
0.042
0.050
0.194
0.451
0.703
0.870
0.953
ZA
0.956
0.800
0.539
0.294
0.138
0.050
0.127
0.329
0.574
0.778
0.904
ZC
0.968
0.838
0.597
0.342
0.166
0.050
0.103
0.272
0.503
0.716
0.863
A2n
0.961
0.822
0.582
0.336
0.164
0.050
0.117
0.305
0.545
0.754
0.887
Wn2
0.906
0.722
0.486
0.275
0.141
0.050
0.123
0.318
0.563
0.768
0.897
Dn
0.873
0.666
0.429
0.242
0.127
0.050
0.111
0.272
0.488
0.687
0.835
Dn+
0.000
0.000
0.001
0.003
0.010
0.050
0.183
0.400
0.631
0.810
0.914
Dn−
0.927
0.771
0.554
0.347
0.196
0.050
0.007
0.001
0.000
0.000
0.000
(3)
Ln
0.832
0.561
0.304
0.149
0.078
0.050
0.096
0.206
0.367
0.548
0.711
(2)
Sn
0.615
0.407
0.252
0.153
0.097
0.050
0.047
0.069
0.108
0.162
0.231
Hn
0.774
0.484
0.248
0.121
0.067
0.050
0.100
0.214
0.383
0.568
0.730
NS
0.890
0.674
0.419
0.226
0.116
0.050
0.072
0.163
0.328
0.532
0.718
βmax
0.968
0.838
0.597
0.347
0.196
0.050
0.194
0.451
0.704
0.872
0.954
k
(3)
Tabla C.1:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para n = 20 y α = 0.050.
20
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.203
0.338
0.330
0.223
0.139
0.000
0.001
0.002
0.000
0.000
0.000
0
Sn,D
0.259
0.420
0.395
0.259
0.155
0.000
0.011
0.047
0.065
0.058
0.035
0
Sn,F
0.240
0.405
0.389
0.259
0.154
0.000
0.000
0.000
0.001
0.002
0.001
ZA
0.012
0.038
0.058
0.053
0.058
0.000
0.067
0.122
0.130
0.094
0.050
ZC
0.000
0.000
0.000
0.005
0.030
0.000
0.091
0.179
0.201
0.156
0.091
A2n
0.007
0.016
0.015
0.011
0.032
0.000
0.077
0.146
0.159
0.118
0.067
Wn2
0.062
0.116
0.111
0.072
0.055
0.000
0.071
0.133
0.141
0.104
0.057
Dn
0.095
0.172
0.168
0.105
0.069
0.000
0.083
0.179
0.216
0.185
0.119
Dn+
0.968
0.838
0.596
0.344
0.186
0.000
0.011
0.051
0.073
0.062
0.040
Dn−
(3)
Ln
0.041
0.067
0.043
0.000
0.000
0.000
0.187
0.450
0.704
0.872
0.954
0.136
0.277
0.293
0.198
0.118
0.000
0.098
0.245
0.337
0.324
0.243
(2)
Sn
0.353
0.431
0.345
0.194
0.099
0.000
0.147
0.382
0.596
0.710
0.723
Hn
0.194
0.354
0.349
0.226
0.129
0.000
0.094
0.237
0.321
0.304
0.224
NS
0.078
0.164
0.178
0.121
0.080
0.000
0.122
0.288
0.376
0.340
0.236
k
(3)
Tabla C.2:
Ineciencias bajo la familia Fk para n = 20 y α = 0.050.
Tabla C.3:
Estadístico
k<1
k>1
Total
1
Sn,B
1.233
0.003
1.236
0
Sn,D
1.488
0.216
1.704
0
Sn,F
1.447
0.004
1.451
ZA
0.219
0.463
0.682
ZC
0.035
0.718
0.753
A2n
0.081
0.567
0.648
Wn2
0.416
0.506
0.922
Dn
0.609
0.782
1.391
Dn+
2.932
0.237
3.169
Dn−
0.151
3.167
3.318
(3)
Ln
1.022
1.247
2.269
(2)
Sn
1.422
2.558
3.980
(3)
Hn
1.252
1.180
2.432
NS
0.621
1.362
1.983
Suma de las ineciencias para n = 20 y α = 0.050.
21
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.941
0.744
0.454
0.215
0.086
0.050
0.249
0.606
0.867
0.969
0.995
0
Sn,D
0.911
0.658
0.352
0.149
0.058
0.050
0.225
0.534
0.799
0.936
0.984
0
Sn,F
0.921
0.669
0.351
0.142
0.054
0.050
0.255
0.607
0.866
0.968
0.994
ZA
0.993
0.922
0.699
0.397
0.175
0.050
0.172
0.475
0.774
0.930
0.984
ZC
0.995
0.940
0.747
0.451
0.208
0.050
0.141
0.413
0.719
0.904
0.975
A2n
0.994
0.935
0.741
0.454
0.214
0.050
0.162
0.458
0.755
0.922
0.981
Wn2
0.979
0.875
0.649
0.384
0.184
0.050
0.167
0.465
0.760
0.924
0.981
Dn
0.968
0.833
0.589
0.337
0.163
0.050
0.149
0.403
0.687
0.875
0.960
Dn+
0.000
0.000
0.000
0.002
0.006
0.050
0.234
0.541
0.801
0.937
0.984
Dn−
(4)
Ln
0.984
0.900
0.704
0.455
0.246
0.050
0.005
0.000
0.000
0.000
0.000
0.928
0.682
0.373
0.167
0.078
0.050
0.123
0.306
0.555
0.773
0.906
(2)
Sn
0.764
0.520
0.315
0.179
0.104
0.050
0.055
0.102
0.187
0.302
0.442
(4)
Hn
0.931
0.694
0.386
0.176
0.082
0.050
0.127
0.321
0.580
0.799
0.923
NS
0.975
0.844
0.582
0.314
0.145
0.050
0.104
0.299
0.586
0.819
0.940
βmax
0.995
0.940
0.747
0.455
0.246
0.050
0.255
0.607
0.867
0.969
0.995
k
Tabla C.4:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para n = 30 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.054
0.196
0.293
0.240
0.160
0.000
0.006
0.001
0.000
0.000
0.000
0
Sn,D
0.084
0.282
0.395
0.306
0.188
0.000
0.030
0.073
0.068
0.033
0.011
0
Sn,F
0.074
0.271
0.396
0.313
0.192
0.000
0.000
0.000
0.001
0.001
0.001
ZA
0.002
0.018
0.048
0.058
0.071
0.000
0.083
0.132
0.093
0.039
0.011
ZC
0.000
0.000
0.000
0.004
0.038
0.000
0.114
0.194
0.148
0.065
0.020
A2n
0.001
0.005
0.006
0.001
0.032
0.000
0.093
0.149
0.112
0.047
0.014
Wn2
0.016
0.065
0.098
0.071
0.062
0.000
0.088
0.142
0.107
0.045
0.014
Dn
0.027
0.107
0.158
0.118
0.083
0.000
0.106
0.204
0.180
0.094
0.035
Dn+
0.995
0.940
0.747
0.453
0.240
0.000
0.021
0.066
0.066
0.032
0.011
Dn−
0.011
0.040
0.043
0.000
0.000
0.000
0.250
0.607
0.867
0.969
0.995
(4)
Ln
0.067
0.258
0.374
0.288
0.168
0.000
0.132
0.301
0.312
0.196
0.089
(2)
Sn
0.231
0.420
0.432
0.276
0.142
0.000
0.200
0.505
0.680
0.667
0.553
(4)
Hn
0.064
0.246
0.361
0.279
0.164
0.000
0.128
0.286
0.287
0.170
0.072
NS
0.020
0.096
0.165
0.141
0.101
0.000
0.151
0.308
0.281
0.150
0.055
k
Tabla C.5:
Ineciencias bajo la familia Fk para n = 30 y α = 0.050.
22
Tabla C.6:
Estadístico
k<1
k>1
Total
1
Sn,B
0.943
0.007
0.950
0
Sn,D
1.255
0.215
1.470
0
Sn,F
1.246
0.003
1.249
ZA
0.197
0.358
0.555
ZC
0.042
0.541
0.583
A2n
0.045
0.415
0.460
Wn2
0.312
0.396
0.708
Dn
0.493
0.619
1.112
Dn+
3.375
0.196
3.571
Dn−
(4)
Ln
0.094
3.688
3.782
1.155
1.030
2.185
(2)
Sn
1.501
2.605
4.106
(4)
Hn
1.114
0.943
2.057
NS
0.523
0.945
1.468
Suma de las ineciencias para n = 30 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.987
0.886
0.622
0.316
0.122
0.050
0.306
0.726
0.945
0.993
1.000
0
Sn,D
0.977
0.820
0.498
0.217
0.077
0.050
0.268
0.639
0.893
0.980
0.997
0
Sn,F
0.982
0.834
0.503
0.207
0.070
0.050
0.313
0.725
0.942
0.993
0.999
ZA
0.999
0.972
0.813
0.495
0.216
0.050
0.219
0.603
0.887
0.981
0.998
ZC
0.999
0.979
0.848
0.550
0.254
0.050
0.183
0.547
0.855
0.973
0.997
A2n
0.999
0.977
0.845
0.556
0.263
0.050
0.205
0.587
0.877
0.978
0.997
Wn2
0.996
0.947
0.768
0.479
0.226
0.050
0.208
0.586
0.875
0.977
0.997
Dn
0.992
0.921
0.710
0.423
0.197
0.050
0.183
0.514
0.817
0.953
0.992
Dn+
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.050
0.282
0.652
0.898
0.980
0.997
Dn−
(4)
Ln
0.997
0.959
0.809
0.548
0.296
0.050
0.003
0.000
0.000
0.000
0.000
0.978
0.811
0.480
0.213
0.091
0.050
0.141
0.375
0.668
0.874
0.965
(2)
Sn
0.855
0.614
0.369
0.204
0.112
0.050
0.062
0.137
0.272
0.446
0.631
(5)
Hn
0.980
0.830
0.511
0.234
0.097
0.050
0.154
0.426
0.734
0.916
0.982
NS
0.995
0.934
0.721
0.413
0.183
0.050
0.144
0.446
0.775
0.944
0.990
βmax
0.999
0.979
0.848
0.556
0.296
0.050
0.313
0.726
0.945
0.993
1.000
k
Tabla C.7:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para n = 40 y α = 0.050.
23
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.012
0.093
0.226
0.240
0.174
0.000
0.007
0.000
0.000
0.000
0.000
0
Sn,D
0.022
0.159
0.350
0.339
0.219
0.000
0.045
0.087
0.052
0.013
0.003
0
Sn,F
0.017
0.145
0.345
0.349
0.226
0.000
0.000
0.001
0.003
0.000
0.001
ZA
0.000
0.007
0.035
0.061
0.080
0.000
0.094
0.123
0.058
0.012
0.002
ZC
0.000
0.000
0.000
0.006
0.042
0.000
0.130
0.179
0.090
0.020
0.003
A2n
0.000
0.002
0.003
0.000
0.033
0.000
0.108
0.139
0.068
0.015
0.003
Wn2
0.003
0.032
0.080
0.077
0.070
0.000
0.105
0.140
0.070
0.016
0.003
Dn
0.007
0.058
0.138
0.133
0.099
0.000
0.130
0.212
0.128
0.040
0.008
Dn+
0.999
0.979
0.848
0.555
0.292
0.000
0.031
0.074
0.047
0.013
0.003
Dn−
(4)
Ln
0.002
0.020
0.039
0.008
0.000
0.000
0.310
0.726
0.945
0.993
1.000
0.021
0.168
0.368
0.343
0.205
0.000
0.172
0.351
0.277
0.119
0.035
(2)
Sn
0.144
0.365
0.479
0.352
0.184
0.000
0.251
0.589
0.673
0.547
0.369
Hn
0.019
0.149
0.337
0.322
0.199
0.000
0.159
0.300
0.211
0.077
0.018
NS
0.004
0.045
0.127
0.143
0.113
0.000
0.169
0.280
0.170
0.049
0.010
k
(5)
Tabla C.8:
Ineciencias bajo la familia Fk para n = 40 y α = 0.050.
Tabla C.9:
Estadístico
k<1
k>1
Total
1
Sn,B
0.745
0.007
0.752
0
Sn,D
1.089
0.200
1.289
0
Sn,F
1.082
0.005
1.087
ZA
0.183
0.289
0.472
ZC
0.048
0.422
0.470
A2n
0.038
0.333
0.371
Wn2
0.262
0.334
0.596
Dn
0.435
0.518
0.953
Dn+
3.673
0.168
3.841
Dn−
0.069
3.974
4.043
(4)
Ln
1.105
0.954
2.059
(2)
Sn
1.524
2.429
3.953
(5)
Hn
1.026
0.765
1.791
NS
0.432
0.678
1.110
Suma de las ineciencias para n = 40 y α = 0.050.
24
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.998
0.955
0.755
0.422
0.164
0.050
0.364
0.817
0.979
0.999
1.000
0
Sn,D
0.995
0.915
0.633
0.296
0.102
0.050
0.313
0.730
0.948
0.995
1.000
0
Sn,F
0.997
0.925
0.635
0.280
0.088
0.050
0.367
0.809
0.976
0.999
1.000
ZA
1.000
0.991
0.887
0.584
0.256
0.050
0.266
0.709
0.948
0.996
1.000
ZC
1.000
0.993
0.910
0.635
0.297
0.050
0.226
0.660
0.930
0.993
1.000
A2n
1.000
0.992
0.910
0.644
0.311
0.050
0.254
0.699
0.943
0.995
1.000
Wn2
0.999
0.979
0.851
0.567
0.270
0.050
0.255
0.695
0.940
0.994
1.000
Dn
0.998
0.964
0.801
0.501
0.235
0.050
0.220
0.617
0.898
0.985
0.998
Dn+
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.050
0.331
0.747
0.950
0.995
1.000
Dn−
(5)
Ln
0.999
0.983
0.878
0.627
0.342
0.050
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
0.991
0.868
0.534
0.230
0.090
0.050
0.171
0.480
0.795
0.950
0.993
(2)
Sn
0.913
0.690
0.419
0.226
0.120
0.050
0.070
0.173
0.358
0.580
0.774
(6)
Hn
0.995
0.911
0.621
0.292
0.113
0.050
0.183
0.527
0.843
0.971
0.997
NS
0.999
0.974
0.818
0.503
0.222
0.050
0.184
0.574
0.887
0.984
0.999
βmax
1.000
0.993
0.910
0.644
0.342
0.050
0.367
0.817
0.979
0.999
1.000
k
Tabla C.10:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para n = 50 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.002
0.038
0.155
0.222
0.178
0.000
0.003
0.000
0.000
0.000
0.000
0
Sn,D
0.005
0.078
0.277
0.348
0.240
0.000
0.054
0.087
0.031
0.004
0.000
0
Sn,F
0.003
0.068
0.275
0.364
0.254
0.000
0.000
0.008
0.003
0.000
0.000
ZA
0.000
0.002
0.023
0.060
0.086
0.000
0.101
0.108
0.031
0.003
0.000
ZC
0.000
0.000
0.000
0.009
0.045
0.000
0.141
0.157
0.049
0.006
0.000
A2n
0.000
0.001
0.000
0.000
0.031
0.000
0.113
0.118
0.036
0.004
0.000
Wn2
0.001
0.014
0.059
0.077
0.072
0.000
0.112
0.122
0.039
0.005
0.000
Dn
0.002
0.029
0.109
0.143
0.107
0.000
0.147
0.200
0.081
0.014
0.002
Dn+
1.000
0.993
0.910
0.644
0.339
0.000
0.036
0.070
0.029
0.004
0.000
Dn−
0.001
0.010
0.032
0.017
0.000
0.000
0.365
0.817
0.979
0.999
1.000
(5)
Ln
0.009
0.125
0.376
0.414
0.252
0.000
0.196
0.337
0.184
0.049
0.007
(2)
Sn
0.087
0.303
0.491
0.418
0.222
0.000
0.297
0.644
0.621
0.419
0.226
(6)
Hn
0.005
0.082
0.289
0.352
0.229
0.000
0.184
0.290
0.136
0.028
0.003
NS
0.001
0.019
0.092
0.141
0.120
0.000
0.183
0.243
0.092
0.015
0.001
k
Tabla C.11:
Ineciencias bajo la familia Fk para n = 50 y α = 0.050.
25
Tabla C.12:
Estadístico
k<1
k>1
Total
1
Sn,B
0.595
0.003
0.598
0
Sn,D
0.948
0.176
1.124
0
Sn,F
0.964
0.011
0.975
ZA
0.171
0.243
0.414
ZC
0.054
0.353
0.407
A2n
0.032
0.271
0.303
Wn2
0.223
0.278
0.501
Dn
0.390
0.444
0.834
Dn+
3.886
0.139
4.025
Dn−
(5)
Ln
0.060
4.160
4.220
1.176
0.773
1.949
(2)
Sn
1.521
2.207
3.728
(6)
Hn
0.957
0.641
1.598
NS
0.373
0.534
0.907
Suma de las ineciencias para n = 50 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
1.000
0.994
0.909
0.607
0.254
0.050
0.469
0.924
0.997
1.000
1.000
0
Sn,D
1.000
0.985
0.824
0.449
0.152
0.050
0.394
0.856
0.989
1.000
1.000
0
Sn,F
1.000
0.988
0.834
0.435
0.132
0.050
0.461
0.914
0.996
1.000
1.000
ZA
1.000
0.999
0.963
0.729
0.335
0.050
0.353
0.853
0.991
1.000
1.000
ZC
1.000
0.999
0.973
0.770
0.383
0.050
0.313
0.825
0.988
1.000
1.000
A2n
1.000
0.999
0.973
0.785
0.410
0.050
0.352
0.854
0.991
1.000
1.000
Wn2
1.000
0.997
0.945
0.713
0.358
0.050
0.348
0.844
0.989
1.000
1.000
Dn
1.000
0.994
0.916
0.646
0.310
0.050
0.299
0.779
0.975
0.999
1.000
Dn+
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.050
0.425
0.870
0.990
1.000
1.000
Dn−
(5)
Ln
1.000
0.998
0.955
0.757
0.429
0.050
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
0.999
0.961
0.700
0.316
0.112
0.050
0.203
0.595
0.901
0.989
0.999
(2)
Sn
0.971
0.805
0.513
0.264
0.130
0.050
0.084
0.249
0.523
0.783
0.933
(7)
Hn
1.000
0.981
0.800
0.423
0.153
0.050
0.237
0.689
0.951
0.997
1.000
NS
1.000
0.996
0.932
0.663
0.307
0.050
0.272
0.774
0.977
0.999
1.000
βmax
1.000
0.999
0.973
0.785
0.429
0.050
0.469
0.924
0.997
1.000
1.000
k
Tabla C.13:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para n = 70 y α = 0.050.
26
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.000
0.005
0.064
0.178
0.175
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0
Sn,D
0.000
0.014
0.149
0.336
0.277
0.000
0.075
0.068
0.008
0.000
0.000
0
Sn,F
0.000
0.011
0.139
0.350
0.297
0.000
0.008
0.010
0.001
0.000
0.000
ZA
0.000
0.000
0.010
0.056
0.094
0.000
0.116
0.071
0.006
0.000
0.000
ZC
0.000
0.000
0.000
0.015
0.046
0.000
0.156
0.099
0.009
0.000
0.000
A2n
0.000
0.000
0.000
0.000
0.019
0.000
0.117
0.070
0.006
0.000
0.000
Wn2
0.000
0.002
0.028
0.072
0.071
0.000
0.121
0.080
0.008
0.000
0.000
Dn
0.000
0.005
0.057
0.139
0.119
0.000
0.170
0.145
0.022
0.001
0.000
Dn+
1.000
0.999
0.973
0.785
0.427
0.000
0.044
0.054
0.007
0.000
0.000
Dn−
(5)
Ln
0.000
0.001
0.018
0.028
0.000
0.000
0.468
0.924
0.997
1.000
1.000
0.001
0.038
0.273
0.469
0.317
0.000
0.266
0.329
0.096
0.011
0.001
(2)
Sn
0.029
0.194
0.460
0.521
0.299
0.000
0.385
0.675
0.474
0.217
0.067
Hn
0.000
0.018
0.173
0.362
0.276
0.000
0.232
0.235
0.046
0.003
0.000
NS
0.000
0.003
0.041
0.122
0.122
0.000
0.197
0.150
0.020
0.001
0.000
k
(7)
Tabla C.14:
Ineciencias bajo la familia Fk para n = 70 y α = 0.050.
Tabla C.15:
Estadístico
k<1
k>1
Total
1
Sn,B
0.422
0.000
0.422
0
Sn,D
0.776
0.151
0.927
0
Sn,F
0.797
0.019
0.816
ZA
0.160
0.193
0.353
ZC
0.061
0.264
0.325
A2n
0.019
0.193
0.212
Wn2
0.173
0.209
0.382
Dn
0.320
0.338
0.658
Dn+
4.184
0.105
4.289
Dn−
0.047
4.389
4.436
(5)
Ln
1.098
0.703
1.801
(2)
Sn
1.503
1.818
3.321
(7)
Hn
0.829
0.516
1.345
NS
0.288
0.368
0.656
Suma de las ineciencias para n = 70 y α = 0.050.
27
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
1.000
1.000
0.982
0.797
0.382
0.050
0.599
0.981
1.000
1.000
1.000
0
Sn,D
1.000
0.999
0.952
0.649
0.237
0.050
0.503
0.950
0.999
1.000
1.000
0
Sn,F
1.000
1.000
0.959
0.645
0.211
0.050
0.585
0.977
1.000
1.000
1.000
ZA
1.000
1.000
0.994
0.864
0.450
0.050
0.479
0.954
0.999
1.000
1.000
ZC
1.000
1.000
0.996
0.889
0.499
0.050
0.440
0.944
0.999
1.000
1.000
A2n
1.000
1.000
0.996
0.901
0.534
0.050
0.483
0.955
1.000
1.000
1.000
Wn2
1.000
1.000
0.988
0.850
0.475
0.050
0.473
0.948
0.999
1.000
1.000
Dn
1.000
1.000
0.979
0.799
0.416
0.050
0.411
0.911
0.997
1.000
1.000
Dn+
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.050
0.548
0.957
0.999
1.000
1.000
Dn−
(6)
Ln
1.000
1.000
0.990
0.874
0.541
0.050
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
1.000
0.993
0.840
0.421
0.135
0.050
0.271
0.770
0.979
0.999
1.000
(2)
Sn
0.995
0.906
0.628
0.324
0.146
0.050
0.107
0.366
0.726
0.937
0.993
(10)
Hn
1.000
0.998
0.924
0.581
0.210
0.050
0.335
0.864
0.995
1.000
1.000
NS
1.000
1.000
0.986
0.820
0.420
0.050
0.398
0.920
0.998
1.000
1.000
βmax
1.000
1.000
0.996
0.901
0.541
0.050
0.599
0.981
1.000
1.000
1.000
k
Tabla C.16:
Potencias aproximadas bajo la familia Fk para n = 100 y α = 0.050.
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
1
Sn,B
0.000
0.000
0.014
0.104
0.159
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0
Sn,D
0.000
0.001
0.044
0.252
0.304
0.000
0.096
0.031
0.001
0.000
0.000
0
Sn,F
0.000
0.000
0.037
0.256
0.330
0.000
0.014
0.004
0.000
0.000
0.000
ZA
0.000
0.000
0.002
0.037
0.091
0.000
0.120
0.027
0.001
0.000
0.000
ZC
0.000
0.000
0.000
0.012
0.042
0.000
0.159
0.037
0.001
0.000
0.000
A2n
0.000
0.000
0.000
0.000
0.007
0.000
0.116
0.026
0.000
0.000
0.000
Wn2
0.000
0.000
0.008
0.051
0.066
0.000
0.126
0.033
0.001
0.000
0.000
Dn
0.000
0.000
0.017
0.102
0.125
0.000
0.188
0.070
0.003
0.000
0.000
Dn+
1.000
1.000
0.996
0.901
0.540
0.000
0.051
0.024
0.001
0.000
0.000
Dn−
0.000
0.000
0.006
0.027
0.000
0.000
0.599
0.981
1.000
1.000
1.000
(6)
Ln
0.000
0.007
0.156
0.480
0.406
0.000
0.328
0.211
0.021
0.001
0.000
(2)
Sn
0.005
0.094
0.368
0.577
0.395
0.000
0.492
0.615
0.274
0.063
0.007
(10)
Hn
0.000
0.002
0.072
0.320
0.331
0.000
0.264
0.117
0.005
0.000
0.000
NS
0.000
0.000
0.010
0.081
0.121
0.000
0.201
0.061
0.002
0.000
0.000
k
Tabla C.17:
Ineciencias bajo la familia Fk para n = 100 y α = 0.050.
28
Estadístico
k<1
k>1
Total
1
Sn,B
0.277
0.000
0.277
0
Sn,D
0.601
0.128
0.729
0
Sn,F
0.623
0.018
0.641
ZA
0.130
0.148
0.278
ZC
0.054
0.197
0.251
A2n
0.007
0.142
0.149
Wn2
0.125
0.160
0.285
Dn
0.244
0.261
0.505
Dn+
4.437
0.076
4.513
Dn−
0.033
4.580
4.613
Ln
(6)
1.049
0.561
1.610
(2)
Sn
1.439
1.451
2.890
Hn
0.725
0.386
1.111
NS
0.212
0.264
0.476
(10)
Tabla C.18:
Suma de las ineciencias para n = 100 y α = 0.050.
29