matemáticas básicas probabilidad

MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
MATEMÁTICAS BÁSICAS
PROBABILIDAD
Autora: Alejandra Sánchez
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matemáticas
Sede Bogotá
10 de diciembre de 2013
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Introducción a la Probabilidad
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Definición espacio muestral y eventos
Definición
El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento
dado se llama el espacio muestral.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Definición espacio muestral y eventos
Definición
El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento
dado se llama el espacio muestral. Un resultado particular, esto es,
un elemento de S, se llama un punto muestral o muestra.
Un evento A es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un
subconjunto del espacio muestral S
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Evento elemental,imposible y seguro
Definiciôn
El evento {a} que consta de una muestra simple a ∈ S se llama
evento elemental. El conjunto vacı́o ∅ y S de por sı́ son eventos; el
∅ algunas veces se denomina el evento imposible (o imposibilidad),
y S el evento cierto o seguro.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando
las diferentes operaciones con conjuntos.
A ∪ B es el evento que sucede si y sólo si A o B o ambos
suceden;
A ∩ B es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden
simultaneamente;
Ac , (Complemento de A), es el evento que sucede si y sólo si
A no sucede.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Dos eventos A y B son llamados mutuamente excluyentes si son
disyuntos, esto es, si A ∩ B = ∅. En otras palabras, son
mutuamente excluyentes si no pueden suceder simultáneamente.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
Experimento: Láncese un dado y obsérvese el número que aparece
en la cara superior. Entonces el espacio muestral consiste de los
seis números posibles:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sea A el evento: salir un número par, sea B el evento: salir un
número impar y C salir un número primo:
A = {2, 4, 6}
B = {1, 3, 5}
C = {2, 3, 5}
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
Entonces
A ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6}. Evento: el número que sale es par o
primo;
B ∩ C = {3, 5}. Evento: el número que sale es impar y a la
vez primo;
C c = {1, 4, 6}. Evento: el número que sale no es primo.
Obsérvese que A y B son mutuamente excluyentes: A ∩ B = ∅; en
otras palabras, un número par y un impar no pueden ocurrir
simultáneamente.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 2
Experimento: Láncese una moneda 3 veces y obsérvese la serie de
caras (C ) y sellos (S) que aparecen.
El espacio muestral A está constituido por los ocho elementos:
A = {CCC , CCS, CSC , CSS, SCC , SCS, SSC , SSS}
Sea B el evento en que dos o más caras aparecen
consecutivamente, y D aquel en que todos los resultados son
iguales:
B = {CCC , CCS, SCC }
D = {CCC , SSS}
Entonces B ∩ D = {CCC } es el evento elemental en que aparecen
caras solamente. El evento en que aparecen 5 caras es el conjunto
vacı́o ∅.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejercicio 1
Experimento: Láncese una moneda hasta que aparezca una cara y
luego cuéntese el número de veces que se lanzó la moneda.
1 ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
2 Cuál es el evento:
a No aparece cara hasta el décimo lanzamiento.
b Nunca aparece cara.
c Aparece cara en el quinto o en el sexto lanzamiento.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Axiomas de probabilidad
Sea S un espacio muestral, sea ξ la clase de eventos y sea P una
función de valores reales definida en ξ. Entonces P se llama
función de probabilidad, y P(A) es llamada la probabilidad del
evento A si se cumplen los siguientes axiomas:
P1 Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
P2 P(S) = 1
P3 Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Resultados
Resultado 1: Si ∅ es el conjunto vacı́o, entonces P(∅) = 0
Resultado 2: Si Ac es el complemento de un evento A,
entonces P(Ac ) = 1 − P(A).
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Resultados
Resultado 3: Si A ⊂ B,entonces P(A) ≤ P(B).
Resultado 4: Si A y B son dos eventos,entonces:
P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Resultados
Resultado 5: Si A y B son dos eventos,entonces:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Figura: unión
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Resultados
Resultado 6: Para los eventos A, B y C
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C )
−P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C ).
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Definición
Sea S un espacio muestral finito donde cada punto muestral tiene
la misma probabilidad. Si S contiene n puntos entonces la
probabilidad de cada punto es n1 y la probabilidad de un evento
cualquiera A que tiene r elementos es:
P(A) = nr
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales 5 son
defectuosas. Hallar la probabilidad p de que,
i ninguna sea defectuosa,
ii una exactamente sea defectuosa,
iii una por lo menos sea defectuosa.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales 5 son
defectuosas. Hallar la probabilidad p de que,
i ninguna sea defectuosa,
ii una exactamente sea defectuosa,
iii una por lo menos sea defectuosa.
Hay C (15, 3) = 455 maneras de escoger 3 lámparas entre 15.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
i Puesto que hay 15 − 5 = 10 lámparas no defectuosas,
entonces hay C (10, 3) = 120 maneras de escoger 3 lámparas
120
24
no defectuosas. Ası́ que p = 455
= 91
.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
i Puesto que hay 15 − 5 = 10 lámparas no defectuosas,
entonces hay C (10, 3) = 120 maneras de escoger 3 lámparas
120
24
no defectuosas. Ası́ que p = 455
= 91
.
ii Hay 5 lámparas defectuosas y C (10, 2) = 45 pares diferentes
de lámparas no defectuosas; por consiguiente hay 5 ∗ 45 = 225
maneras de escoger 3 lámparas de las cuales una es
45
defectuosa. Entonces p = 225
455 = 91 .
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
i Puesto que hay 15 − 5 = 10 lámparas no defectuosas,
entonces hay C (10, 3) = 120 maneras de escoger 3 lámparas
120
24
no defectuosas. Ası́ que p = 455
= 91
.
ii Hay 5 lámparas defectuosas y C (10, 2) = 45 pares diferentes
de lámparas no defectuosas; por consiguiente hay 5 ∗ 45 = 225
maneras de escoger 3 lámparas de las cuales una es
45
defectuosa. Entonces p = 225
455 = 91 .
iii El evento en que por lo menos una sea defectuosa es el
complemento del evento en que ninguna es defectuosa que
24
67
tiene según (i), probabilidad 24
91 . Entonces p = 1 − 91 = 91
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 2
Se selecciona al azar dos cartas entre 10 cartas numeradas de 1 a
10. Hallar la probabilidad p de que la suma sea impar si,
i las dos cartas se sacan juntas,
ii se sacan una tras otra sin sustitución,
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 2
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 2
i Hay C (10, 2) = 45 maneras de seleccionar 2 de 10 cartas. La
suma es impar si un número es impar y el otro par. Hay 5
números pares y 5 impares; entonces hay 5 ∗ 5 = 25 maneras
de escoger un número par y uno impar. Ası́, p = 25
45
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 2
i Hay C (10, 2) = 45 maneras de seleccionar 2 de 10 cartas. La
suma es impar si un número es impar y el otro par. Hay 5
números pares y 5 impares; entonces hay 5 ∗ 5 = 25 maneras
de escoger un número par y uno impar. Ası́, p = 25
45
ii Hay 10 ∗ 9 = 90 maneras de sacar dos cartas una primero que
la otra sin sustitución. Hay 5 ∗ 5 = 25 maneras de escoger un
número par y uno impar, y 5 ∗ 5 = 25 maneras de sacar un
50
5
número impar y luego uno par; por tanto p = 25+25
90 = 90 = 9
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejercicio 1
Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la
mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos
castaños. Hallar la probabilidad p de que una persona escogida al
azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejercicio 1
Sea A = {la persona es un hombre} y
B = {la persona tiene ojos castaños}
Buscamos la P(A ∪ B).
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejercicio 1
Sea A = {la persona es un hombre} y
B = {la persona tiene ojos castaños}
Buscamos la P(A ∪ B).
1
15
1
5
1
Entonces P(A) = 10
30 = 3 ,P(B) = 30 = 2 , P(A ∩ B) = 30 = 6
Ası́ por el resultado 5
p = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 13 + 12 − 16 = 32
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Probabilidad condicional e independencia
Probabilidad condicional
Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral con P(E ) > 0.
La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E haya
sucedido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A
dado E , escrito P(A|E ), se define como sigue:
P(A|E ) =
P(A ∩ E )
P(E )
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Probabilidad condicional
Figura: unión
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
Sea el caso de lanzar un par de dados corrientes. Si la suma es 6,
hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2.
En otras palabras, si
E = {suma es 6} = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} y
A = { un 2 aparece por lo menos en un dado }
hallar P(A|E ).
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
Ahora E consta de cinco elementos y dos de ellos,(2,4) y (4,2),
pertenecen a A : A ∩ E = {(2, 4), (4, 2)}.
Entonces P(A|E ) = 52
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
Ahora E consta de cinco elementos y dos de ellos,(2,4) y (4,2),
pertenecen a A : A ∩ E = {(2, 4), (4, 2)}.
Entonces P(A|E ) = 52
Por otra parte, puesto que A consta de nueve elementos,
A=
{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}
y S consta de 36 elementos, P(A) = 11
36
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Multiplicación para la probabilidad condicional
Resultado 1:
P(E ∩ A) = P(E )P(A|E )
Resultado 2: Para los eventos A1 , A2 , A3 , ...An ,
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An ) =
P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1 ∩ A2 )...P(An |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 )
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Ejemplo 1
Un lote de 12 artı́culos tiene 4 defectuosos. Se toman al azar tres
artı́culos del lote uno tras otro .
Hallar la probabilidad p de que todos los tres estén buenos.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
8
La probabilidad de que el primer artı́culo no sea defectuoso es 12
puesto que 8 entre los 12 no son defectuosos.
Si el primero no es defectuoso, entonces la probabilidad de que el
7
puesto que solamente 7
próximo artı́culo no sea defectuoso es 11
de los 11 sobrantes no son defectuosos.
Si los dos primeros articulos no son defectuosos, entonces la
6
probabilidad de que el último no sea defectuoso es 10
puesto que
solamente 6 entre 10 que quedan no son defectuosos.
Ası́ por el resultado 1 de la multiplicación:
p=
8 7 6
14
. . =
12 11 10
55
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Independencia
Se dice que un evento B es independiente de un evento A si la
probabilidad de que B suceda no está influenciada porque A haya o
no sucedido.
En otras palabras, si la probabilidad de B iguala la probabilidad
condicional de B dado A : P(B) = P(B|A) .
Ahora sustituyendo P(B) por P(B|A) en el resultado 1 de la
multiplicación P(A ∩ B) = P(A)P(B|A), obtenemos
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
MATEMÁTICAS BÁSICAS PROBABILIDAD
Universidad Nacional de Colombia
Definición
A y B son eventos independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B); de
otro modo son dependientes.