MEDIDAS COMPLEMENTARIAS DE VERANO

MAT2
MEDIDAS COMPLEMENTARIAS DE VERANO
 OPERACIONES
1. Realiza las siguientes operaciones:
a) (+3) + (–2) · (+5) =
b) (– 5) + (+20) : (– 4) – (–3) =
c) [(– 5) – (–3)] – [ – ( –4) – (– 7)] =
d) (– 4) + (– 7) · (–2) =
e) (+4) : (–2) + (+8) : (+2) + (+6) · [(+4) + ( –5)] =
2.
f)
(–8) · (+2) – (+4) – [(–5) + (+2)] =
Expresa como una sola potencia o una sola raíz:
a) 5 · 52 · 53 =
b) 38 : 36 · 9 =
c) (23)2 =
d) (-2)5 · 35 =
e) 1214 : 112 =
f) 78 : 7 · 73 =
i)
h)
g)
3. Opera paso a paso y da el resultado en fracción irreducible.
a)
b)
c)
d)
4. El medidor de tiempos de una máquina indica que un trabajo se terminó en 15.754 segundos.
Exprésalo en horas, minutos y segundos.
5. En un ejercicio de velocidades y tiempos, la calculadora da como resultado 4’57 horas. ¿Cuál será
su expresión compleja?
6. Realiza las siguientes operaciones entre monomios:
7.
a)
a) –x2 + x + x2 + x3 + x=
b) 8xy2 – 5x2y + x2y - xy2 =
c) 8x2 – x + 9x + x2 =
d) 2x2 · 4x3 · 5x6=
e) –3x2 · xyz · 6y3 · x2=
f) 10x4yz2 : 5xyz=
g) 15x3 : 5 x2 =
h) –8x3y2 : 2x2y=
Extrae factor común en las siguientes expresiones:
b)
0
c)
d)
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8. Desarrolla las siguientes igualdades notables:
a)
d)
g)
b)
e)
h)
c)
f)
i)
9. Expresa como una igualdad notable.
a)
x 2  2x  1
2
d) x  2 x  1
b)
4x 2  4x  1
c)
x 2  25
e)
x 2  10 x  25
f)
4x 4  9x 2
c)
2 x  3  5 x  1  7 x  2 x  10
10. Resuelve las ecuaciones:
a) 2 x  3  5 x  1  7 x  2 x  10
b) 3 x  2  5 x  4
d)  3 x  5  2(3  5 x )  4(2 x  1)  2(2  x )  4( x  1)
f)
e) ( x  3)  2( x  3)  2 x  3
 3 x  5  2(3  5 x )  4(2 x  1)  2(2  x )  4( x  1)
g) 4( x  3)  2  3( x  5)  x  5
h) 0'3 x  2( x  1)  0'4(2 x  3)  2'5( x  3)  7'3
j)
x 3 x 2 x 5


5
2
3
2
m)
4( x  3)  2  3( x  5)  x  5
l)
x 3 x 2 x 5


5
2
3
2
2
q) 2 x  7 x  3  0
r)
x 2  6x  8  0
k)
x2  x  6  0
n)
2
p) x  6 x  9  0
i)
o)
s)
x 2  3x  0
t)
x 2  49  0
u)
x2  x  0
v)
x 2  6x  9  0
2
w) x  3 x  0
x)
x 2  3 x  2x 2  9 x  0
y)
x 2  3 x  2x 2  9 x  0
z)
x  4x 2  0
2
aa) 15  x  0
11. Dadas las dos siguientes funciones,
a) Da la pendiente y la ordenada en el origen.
b) Represéntala.
c) Indica qué tipo de función es.
1
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12. Resuelve por los 3 métodos:
a)
 x  3 3y  1 y  1
 4  2  2  x  3

  x  7  2y  3 y  1
 3
d)
 x  y  50

2 x  y  87
b)
2 x  3 y  3

 x  6 y  1
e)
3 x  7 y  6

 5 x  3 y  10
c)
2 x  3 y  14  9  3 x  y

3 x  2y  5  2 x  3 y  12
f)
 x  3 3y  1 y  1
 4  2  2  x  3

  x  7  2y  3 y  1
 3
 PROBLEMAS
13. Si los 3/4 de los alumnos de un instituto van a él andando, 1/5 en autobús y el resto en coche, ¿qué
fracción representan los del coche? Si en el instituto hay 600 alumnos matriculados, ¿cuántos
alumnos vienen en cada medio?
14. Laura ha hecho hoy 43’5 kg de pasta y la quiere empaquetar en cajas de 0’250 kg. ¿Cuántas cajas
necesita Laura?
15. En una fábrica de refrescos se preparan 4138’2 litros de refresco de naranja y se envasan en botes
de 0’33 l. ¿Cuántos botes se necesitan?
16. Dos hermanos tienen 11 y 9 años, y su madre 35. Halla el número de años que han de pasar para
que la edad de la madre sea igual a la suma de las edades de los hijos.
17. Encuentra el valor de los ángulos de un triángulo sabiendo que la diferencia entre dos de ellos es de
20º y que el tercer ángulo es el doble del menor.
18. Una parcela rectangular tiene 123 metros de perímetro y es doble de larga que de ancha. ¿Qué
superficie tiene la parcela?
19. En una excursión hay 141 entre alumnos y alumnas de un colegio. El número de chicas es doble
que el de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas van?
20. Un total de 6 hamburguesas y 2 refrescos cuestan 20 €. Lo mismo que 4 hamburguesas y 8
refrescos. ¿Cuánto cuesta una hamburguesa?
21. El caudal de un grifo es de 22 litros/minuto. ¿Qué tiempo se necesitará para llenar un depósito de
5’5 m3?
22. Cinco fontaneros instalan los cuartos de baño de una urbanización en 16 días. ¿Cuántos fontaneros
debe emplear el constructor si quiere terminar la obra en 10 días?
23. Para transportar trigo se necesitan 25 camiones empleando 12 días. Es necesario hacer el
transporte en 5 días. Si todos los camiones hacen el mismo trabajo, ¿cuántos camiones se
necesitarán?
24. En una oferta de un comercio de electrodomésticos nos descuentan el 15 % de un frigorífico cuyo
precio es de 475 €. En un segundo comercio, el mismo frigorífico está marcado en 545 € y nos
descuentan la cuarta parte. ¿Dónde conviene comprarlo?
25. María, Rubén y Marta, de 2, 3 y 4 años, respectivamente, se han quedado solos unos instantes que
han aprovechado para trocear en 72 partes la tarta de cumpleaños de Marta. Su madre quiere
2
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repartir los trozos proporcionalmente a las edades de los niños. ¿Cuántos trozos les tocan a cada
uno?
26. Un trabajador recibe un aumento de sueldo del 15 % en enero y una reducción del 15 % en febrero.
¿Cuál era el sueldo original si después de los cambios recibe 2000 euros?
27. Una escalera está apoyada a 9 metros de altura sobre una pared vertical. Su pie se encuentra a 3’75
m de la pared. ¿Cuánto mide la escalera? Haz el dibujo.
28. Dibuja y calcula el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3’9 cm y 5’2 cm.
29. Dibuja y calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 9 cm.
30. Una gran plaza en forma de hexágono regular tiene 15 m de lado. ¿Cuánto costará el pavimento de
toda ella si el m2 cuesta 18’50 €? Haz un dibujo.
31. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que un
poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros. Haz un dibujo.
32. ¿Cuál es la distancia entre el chico
y la base de la torre (el chico ve la
torre reflejada en el agua)?
33. El bañista se encuentra a 5 metros del
barco. La borda del barco está a 1 metro
sobre el nivel del mar. El mástil del barco
sobresale 3 metros de la borda. El bañista
ve alineados los extremos del mástil y el
foco del faro.
34. Una catedral tiene como cúpula una semiesfera de 20 metros de diámetro; se quiere restaurar, al
precio de 125€/metro cuadrado; ¿cuánto dinero costará la reparación?
35. Tengo una piscina de 2 metros de profundidad, 5 de ancho y 15 de largo. Quiero pintarla antes de
abrirla; me cuesta 2 euros el metro cuadrado. ¿Cuánto pagaré por la pintura? Luego llenarla me
cuesta 10 céntimos el litro. ¿Cuánto me costará llenarla?
3
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EJERCICIOS RESUELTOS
MAT 2
1. Calcula:
−25: (3 + 6: 3) − (−1 · 6 + 5 · 2)== -25 : 5 – (10 – 6) = -5 – (10 – 6) = -5 – 4 = -9
2. Primero saca factor común, y luego calcula:
a) 35 + 15 – 10 = 5(7+3-2)=40
b) 8 + 12 – 6= 2 (4+6-3) = 14
3. Dados los siguientes ángulos:
𝑎̂ = 370 25′41′′
𝑏̂ = 1110 55′48′′
Complementario de 𝑎̂:
Suplementario de 𝑏̂
89º 59' 60''
179º 59' 60''
37º 25' 41''
111º 55' 48''
52º 34' 19''
68º 4' 12''
4. Reduce a única potencia (si se puede):
a) (103 : 53 ): 24 = 2³: 2⁴ = 2= 2-1 =
1
2¹
=
1
2
b) (8 − 6)2 · (2 · 3)2 = 2² · 62 = 12²
c) 32 + 32 = 9 + 9 = 18
d) 130 = 1
e) (3−1 )−5 = 3⁵
f) 259 : [58 · (52 )4 ]= (5²)⁹: (5⁸ · 5⁸) = 5¹⁸: 5¹⁶ = 5²
5. Calcula las siguientes raíces:
a) √121= 11
b) √120= √(2³ · 3 · 5) = 2√(2 · 3 · 5) = 2√30
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EJERCICIOS RESUELTOS
MAT 2
PROBLEMAS:
6. En el plano de una finca, cuya escala es 1:1000, la distancia entre dos árboles es
de 5 cm; ¿cuál es la distancia real?
1
5
= ; 𝑥 = 5000𝑐𝑚 = 50𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
1000 𝑥
7. Halla la altura del árbol
𝑥
1,5
=
;
12 2,25
𝑥=
(1,5 · 12)
;
2,25
𝑥 = 8𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
8. Calcula la distancia que tiene
que
saltar
Spiderman
para
llegar a lo más alto de un
rascacielos de 50 metros de
altura, del que le separan 120
metros.
𝑥² = 120² + 50²;
𝑥² = 14400 + 2500;
𝑥 = √16900 = 130𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
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EJERCICIOS RESUELTOS
MAT 2
9. Calcula la superficie de la base, la lateral, la total y el volumen de un cono de 3
metros de radio y 4 de altura.
Hemos de hallar la generatriz para la superficie lateral:
𝑔² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25; 𝑔 = √25 = 5𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
Entonces:
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑟² = 𝜋 · 3² = 9𝜋𝑚²
𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 9𝜋 + 15𝜋 = 24𝜋𝑚²
𝑆𝑙𝑎𝑡 = 𝜋𝑟𝑔 = 15𝜋𝑚²
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
10.
(𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) (9𝜋 · 4)
=
= 12𝜋𝑚³
3
3
Una ONG quiere perforar un gran pozo cilíndrico para sacar agua en un
remoto paraje africano. Si el agujero tiene 5 metros de radio y 40 de profundidad,
calcula el volumen de arena que se ha de excavar. Si luego se quiere revestir el
agujero con ladrillos, calcula cuánto costará a un precio de 10 dólares el metro
cuadrado.
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 25𝜋 · 40 = 1000𝜋 = 3,14 · 1000 = 3140𝑚³𝑑𝑒𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
Hay que hallar la superficie lateral más la de la base:
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑟² = 𝜋 · 25 = 25𝜋𝑚²
𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 25𝛱 + 400𝛱 = 425𝛱𝑚²
𝑆𝑙𝑎𝑡 = 2𝜋𝑟 · ℎ = 2 · 5 · 40 · 𝜋 = 400𝜋𝑚²
Ahora calculamos el coste:
𝑐𝑠𝑡𝑒 = 425𝛱 · 10 = 4250𝛱 = 4250 · 3,14 = 13345𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
11.
Calcula el área de la cúpula semiesférica de una catedral, con 20 metros
de diámetro.
𝑆𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
(4𝛱𝑟²)
= 2𝛱𝑟² = 2 · 10² · 𝛱 = 200𝛱𝑚²
2
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS

OPERACIONES
1
1
2
2³
1. ( +
7
1
5
1
1
7
5
5 41
): (6 − 4 : 2) − 41 · 4= (2 + 8): (6 − 8) − 164 = 8 :
8
5
− 164=
5
41
5
− 164 =
20−5
164
15
= 164
2. 52 − 22 · √(42 + 9)= 25 − 4 · √(16 + 9) = 25 − 4 · √25 = 25 − 4 · 5 = 25 − 20 = 5
3. Calcula las fracciones generatrices de:
a) 1,23
Sol:
123
100
̂
b) 1, 23
Sol:
̂
c) 1,23
122
Sol:
99
37
30
4. Dados los siguientes polinomios, opera:
POLINOMIOS
OPERACIONES
𝑃(𝑥) = 3𝑥² − 𝑥 + 1
(a) [𝑄(𝑥)]²=
𝑄(𝑥) = 5 − 2𝑥
(b) [𝑅(𝑥)]²=
𝑅(𝑥) = 5 + 2𝑥
(c) 𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥)=
(d) 𝑆(𝑥) · 𝑃(𝑥) − 𝑇(𝑥)=
𝑆(𝑥) = 3𝑥
(e) 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥)=
𝑇(𝑥) = 9𝑥³ + 6𝑥² − 6𝑥
(f)
[𝑇(𝑥)]
[𝑆(𝑥)]
=
(g) 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥)=
(h) 𝑇(−2)=
SOLUCIONES
a) (5 − 2𝑥)2 = 25 + 4𝑥 2 − 20𝑥
b) (5 + 2𝑥)2 = 25 + 4𝑥 2 + 20𝑥
c) (5 − 2𝑥)(5 + 2𝑥) = 25 − 4𝑥 2
d) 3𝑥(3𝑥 2 − 𝑥 + 1) − (9𝑥 3 + 6𝑥 2 − 6𝑥) = 9𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 9𝑥 3 − 6𝑥 2 + 6𝑥 = −9𝑥 2 + 9𝑥
e) 3𝑥 2 − 𝑥 + 1 − 25 + 4𝑥 2 = 7𝑥 2 − 𝑥 − 24
f)
9𝑥 3 +6𝑥 2 −6𝑥
3𝑥
= 3𝑥 2 + 2𝑥 − 2
g) 9 · (−2)3 − 6(−2)2 − 6(−2) = −72 + 24 + 12 = −36
h) 5 − 2𝑥 − (5 + 2𝑥) = 5 − 2𝑥 − 5 − 2𝑥 = −4𝑥
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(𝑥 − 5) (𝑥 − 1) (𝑥 − 3)
=
−
;
6
9
4
6(𝑥 − 5) = 4(𝑥 − 1) − 9(𝑥 − 3);
(2𝑥 + 1) 7
(3𝑥 − 16)
+
=
;
2
10
5
5(2𝑥 + 1) + 7 = 2(3𝑥 − 16);
6𝑥 − 30 = 4𝑥 − 4 − 9𝑥 + 27;
10𝑥 + 5 + 7 = 6𝑥 − 32;
6𝑥 − 30 = −5𝑥 + 23;
53
11𝑥 = 53; 𝑥 =
11
10𝑥 − 6𝑥 = −32 − 12;
−44
4𝑥 = −44; 𝑥 =
; 𝑥 = −11
4
3𝑥² − 27 = 0;
27
3𝑥 2 = 27; 𝑥 2 =
;
3
𝑥² − 𝑥 = 6; 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0;
1 + √1 + 24
;
2
1±5
𝑥=
; 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2
2
𝑥=
𝑥 2 = 9; 𝑥 = √9; 𝑥 = ±3
5𝑥 + 𝑥² = 6; 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0;
−5 + √25 + 24
𝑥=
;
2
−5 ± 7
𝑥=
; 𝑥1 = −6; 𝑥2 = 1
2

𝑥² − (𝑥 − 1) = 1; 𝑥 2 − 𝑥 + 1 − 1 = 0;
𝑥 2 − 𝑥 = 0; 𝑥(𝑥 − 1) = 0;
𝑥1 = 0; 𝑥 − 1 = 0; 𝑥2 = 1
PROBLEMAS
6. Dos triángulos tienen un ángulo que mide lo mismo, 25º. Dos lados de cada uno de ellos
miden 7 cm y 10 cm, mientras que en el segundo triángulo, uno de los lados que forman
ese ángulo de 25º mide 14 cm. ¿Cuánto deberá medir el lado del segundo triángulo para
que los dos triángulos sean semejantes? Dibuja la figura.
10
𝑥
10 · 14
=
;𝑥 =
; 𝑥 = 10·2; x=20 cm
7
14
7
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
7. Dibuja una pirámide regular cuya base es un octógono de 4 cm de lado y 5 cm de
apotema. La altura de la pirámide mide 1,2 dm; calcula la superficie de la pirámide (base,
lateral y total) y el volumen. (NOTA: la fórmula del área del octógono es la misma que la
del hexágono).
Empezamos por hallar la apotema lateral:
𝑎𝑝 = √52 + 122 = √25 − 144 = √169 = 13𝑐𝑚
𝑆𝑢𝑝𝐵𝑎𝑠𝑒 =
𝑆𝐵𝑎𝑠𝑒 =
𝑆𝐿𝐴𝑇 =
SUPERFICIE TOTAL= SB + SLAT
𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 80 + 208 = 288𝑐𝑚2
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 · 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒
;
2
4·8·5
= 80𝑐𝑚2
2
VOLUMEN
𝑣=
4 · 13
· 8 = 208𝑐𝑚2
2
𝑠𝐵𝐴𝑆𝐸 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 80 · 12
=
3
3
𝑉𝑂𝐿𝑈𝑀𝐸𝑁 = 320𝑐𝑚3
8. Los vecinos de una comunidad se reúnen para decidir si ponen un ascensor. Hay 3 / 4 de
ellos que están a favor, y la mitad de los restantes están en contra. Hay 8 vecinos que se
abstienen. ¿Cuántos vecinos hay en la comunidad?
3 1 1
3 1
7 1
1−( + · ) =1−( + )= 1− =
4 2 4
4 8
8 8
Si
1
8
1
8
son 8 vecinos; entonces 
→ 8𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑥
8
= 8; 𝑥 = 64 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑜𝑠
1→𝑥
9. El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 cm; si el lado desigual mide 4 cm menos
que los lados iguales, ¿cuánto mide cada lado?
20 = 2𝑥 + 𝑥 − 4; 20 = 3𝑥 − 4; 24 = 3𝑥; 𝑥 = 8
Los tres lados miden 8 cm, 8 cm y 4 cm.
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
10. Elena tiene 4 años más que su hermano Javier; hace 6 años ella tenía el doble de edad
que la que tenía su hermano entonces. ¿Qué edad tienen cada uno hoy?
Hoy
-6
Elena
𝑥+4
𝑥+4−6= 𝑥−2
hermano
𝑥
𝑥−6
2(𝑥 − 6) = 𝑥 − 2; 2𝑥 − 12 = 𝑥 − 2:
2𝑥 − 𝑥 = 12 − 2; 𝑥 = 10
Hoy tienen 10 y 14 años
11. En un rectángulo cuyo área es de 168 cm², el base mide 2 cm más que la altura. Dibújalo
y halla el perímetro.
La base mide 𝑥 + 2y la altura 𝑥 :
𝐴𝑟𝑒𝑎 → 𝑥(𝑥 + 2) = 168; 𝑥 2 + 2𝑥 − 168 = 0; 𝑥 =
𝑥1 =
28
2
= 14𝑐𝑚
−2 ± √4 + 672 −2 ± 26
=
;
2
2
despreciamos el valor negativo de
x2 porque no tiene sentido
Los lados miden 12 y 14 cm; 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2(14 + 12) = 52𝑐𝑚
12. Un lado del carnet de la biblioteca mide 3 cm más que el otro, y la diagonal del
rectángulo del carnet mide 6 cm más que el primer lado. Haz un dibujo y calcula el área del
carnet.
Lo resolvemos por el teorema de Pitágoras, donde los catetos miden 𝑥 y 𝑥 + 3, y la diagonal
del rectángulo (la hipotenusa), mide 𝑥 + 6
(𝑥) + (𝑥 + 3)2 = (𝑥 + 6)2 ; 𝑥 2 + 𝑥 2 + 9 + 6𝑥 = 𝑥 2 + 36 + 12𝑥;
2𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 𝑥 2 − 12𝑥 − 36 = 0; 𝑥 2 − 6𝑥 − 27 = 0;
𝑥=
6±√36+108
2
=
6±12
2
=
6+12
2
= 9𝑐𝑚(despreciamos el valor negativo de 𝑥)
Entonces, la altura mide 9 cm, la base 12 cm y la diagonal 15 cm:
𝐴𝑟𝑒𝑎𝑑𝑒𝑙𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒𝑡 = 9 · 12 = 108𝑐𝑚2
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
32 − 22 · √52 − 42 =
9 − 4 · √25 − 16 = 9 − 4 · √9 = 9 − 4 · 3 = 9 − 12 = −𝟑
¡ATENCIÓN! Recuerda que NO puedes restar 9-4 antes de multiplicar 4 por la raíz.
2. Calcula las fracciones generatrices de:
a) 1,24
1,24 =
̂
b) 1,24
̂
c) 1, 24
100𝑥 = 124, 4̂
̂
100𝑥 = 124, 24
124 𝟑𝟏
=
100 𝟐𝟓
̂
𝑥 = 1, 24
10𝑥 = 1,24̂
90𝑥 = 112
𝑥=
99𝑥 = 123
112 𝟓𝟔
=
90
𝟒𝟓
𝑥=
123 𝟒𝟏
=
99
𝟑𝟑
3. Dados los siguientes polinomios, opera:
POLINOMIOS
OPERACIONES
(a)
[𝑄(𝑥)]²= 𝟗 + 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙
(b)
[𝑅(𝑥)]²= 𝟗 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙
(c)
𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥)= (3 − 𝑥)(3 + 𝑥) = 𝟗 − 𝒙𝟐
(d)
𝑆(𝑥) · 𝑃(𝑥) + 𝑇(𝑥)= 2𝑥(𝑥 2 − 𝑥 + 2) + (8𝑥 3 + 6𝑥 2 − 6𝑥) =
2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 + 8𝑥 3 + 6𝑥 2 − 6𝑥 = 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
(e)
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥)=
𝑥 2 − 𝑥 + 2 − (9 − 𝑥 2 ) = 𝑥 2 − 𝑥 + 2 − 9 + 𝑥 2 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟕
𝑃(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 + 2
𝑄(𝑥) = 3 − 𝑥
(f)
[𝑇(𝑥)]
[𝑆(𝑥)]
=
8𝑥 3 +6𝑥 2 −6𝑥
2𝑥
= 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟑
𝑅(𝑥) = 3 + 𝑥
(g)
𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥)= 3 − 𝑥 − (3 + 𝑥) = 3 − 𝑥 − 3 − 𝑥 = −𝟐𝒙
𝑆(𝑥) = 2𝑥
(h)
𝑇(2)= 8 · 23 + 6 · 22 − 6 · 2 = 64 + 24 − 12 = 𝟕𝟔
𝑇(𝑥) = 8𝑥³ + 6𝑥² − 6𝑥
(i)
𝑃(−1) = (−1)2 − (−1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 𝟒
4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
𝟑𝒙
𝟑𝒙 + 𝟐
−𝟏=
𝟐
𝟒
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟑; 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0
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𝟗𝒙 = 𝟑𝒙𝟐
MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
6𝑥 − 4 = 3𝑥 + 2
3𝑥 = 6;
6
𝑥= ;
3
𝒙=𝟐
−2 ± √22 − 4 · 1 · (−3)
𝑥=
=
2
−2 ± √4 + 12 −2 ± 4
=
;
2
2
𝒙𝟏 = −𝟑
𝒙
𝟒
𝟏 𝟕𝒙
+
−𝒙= −
;
𝟑 𝟏𝟓
𝟔 𝟏𝟎
10𝑥 + 8 − 30𝑥 = 5 − 21𝑥;
−20𝑥 + 8 = 5 − 21𝑥;
21𝑥 − 20𝑥 = 5 − 8;
5 ± √52 − 4 · 1 · 6
=)
2
𝒙𝟏 = 𝟑;
𝒙𝟐 = 𝟐
𝒙𝟏 = 𝟎;
3𝑥 − 9 = 0
9
; 𝒙𝟐 = 𝟑
3
𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎;
5 ± √25 − 24 5 ± √1 5 ± 1
=
=
2
2
2
𝒙 = −𝟑
𝑥(3𝑥 − 9) = 0;
3𝑥 = 9; 𝑥 =
𝒙𝟐 = 𝟏
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎;
𝑥=
3𝑥 2 − 9𝑥 = 0;
𝑥 2 = 10 + 10; 𝑥 2 = 20
𝑥 = √20 = √22 · 5
𝒙 = ±𝟐√𝟓
𝑿𝟏 = 𝟐√𝟓; 𝑿𝟐 = −𝟐√𝟓
5. En un mapa de escala 1:4 500 000 la distancia entre Málaga y Melilla es de 46 mm. ¿Cuál
es la distancia real?
Por otro lado, la distancia real entre Ceuta y Málaga es de 121 km; ¿cuál será la distancia
en el mapa?
1
46
46 · 45 · 105
5
=
;
𝑥
=
46
·
45
·
10
𝑚𝑖𝑙í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
=
𝑘𝑚 = 46 · 4,5 𝑘𝑚 = 𝟐𝟎𝟕 𝒌𝒊𝒍ó𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
45 · 105
𝑥
106
1
𝑥
45 · 105 𝑘𝑚 45 · 102 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
=
;
𝑥
=
=
= 0,372𝑚 = 𝟑𝟕𝟐𝒎𝒎 = 𝟑𝟕, 𝟐𝒄𝒎
45 · 105 121
121
121
6. Dibuja el esquema de un sótano cuya superficie es de 208 m 2, que se ha inundado con
las recientes lluvias en la zona, llegando el agua hasta 1,65 metros de altura. Los bomberos
han llegado con una bomba que extrae el agua a razón de 600 litros por minuto. ¿Cuánto
tardarán en vaciarlo?
𝑆𝐵𝐴𝑆𝐸 = 208𝑚2 ;
1 𝑚3 = 1000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
ℎ = 1,65𝑚
𝑉 = 343,2𝑚3 = 343200 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑉 = 208𝑚2 · 1,65𝑚
= 343,2𝑚3
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =
343200 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
= 𝟓𝟕𝟐 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
600 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠⁄𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
7. Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales; el martes, 3/5 del resto; y el miércoles su
familia termina el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosales tenía el jardín?
Este problema se puede resolver de 2 formas: con fracciones y con ecuaciones:
FRACCIONES  todo = 1
ECUACIONES  todo = x
2 3 5
2 3
5 2
1−( + · )=1−( + )= 1− =
7 5 7
7 7
7 7
2/7 son los 20 rosales; entonces:
2⁄ −→ 20
7
2
3
5
2𝑥
7
5
7
7
𝑥 = 𝑥 + · + 20; 𝑥 =
+
3𝑥
7
+ 20;
7𝑥 = 2𝑥 + 3𝑥 + 140;
2𝑥
7 · 20
= 20; 𝑥 =
= 70
7
2
7𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 140;
2𝑥 = 140;
𝑥=
140
2
;
𝑥 = 70
1−→ 𝑥
El jardín tenía 70 rosales
8. Mis abuelos quieren repartir 180 euros entre sus tres nietos, de modo que el mayor reciba
el triple que el mediano, y éste el doble que el pequeño; ¿cuánto nos va a tocar a cada uno?
Pequeño  x
𝑥 + 2𝑥 + 6𝑥 = 280;
Pequeño= x=20€
Mediano  2x
9𝑥 = 280;
Mediano=2x=40€
Mayor  3·2x=6x
𝑥=
280
= 20€
9
Mayor=6x=120€
9. La edad de mi abuela es seis veces la de mi hermana Ana, pero dentro de 8 años sólo
será el cuádruple; ¿qué edad tiene cada una hoy?
Hoy
+ 8 años
Ana
x
X+8
abuela
6x
6x+8
4(𝑥 + 8) = 6𝑥 + 8
4𝑥 + 32 = 6𝑥 + 8;
−2𝑥 = −24;
𝑥=
Ana tiene hoy 12 años, y
su abuela, 72 años.
−24
= 12
−2
10. Si un número aumentado en tres unidades se multiplica por el mismo número
disminuido en otras tres, se obtiene 55. ¿De qué número se trata? Razona todas las posibles
soluciones.
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
¡ 𝑰𝑫𝑬𝑵𝑻𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝑶𝑻𝑨𝑩𝑳𝑬!
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 55; 𝑥 2 − 9 = 55; 𝑥 2 = 64; 𝑥 = √64; 𝒙 = ±𝟖
El número puede ser el 8 y también el -8
11. Dibuja y calcula el perímetro de un rectángulo de 120 cm 2 de área si mide 7 cm más
de largo que de ancho.
𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑥(𝑥 + 7) = 120;
Altura=
x
𝑥=
−7 ± √72 − 4 · 1 · (−120) −7 ± √49 + 180 −7 ± √529 −7 ± 23
=
=
=
2
2
2
2
𝑥1 =
Base=x+
7
𝑥 2 + 7𝑥 − 120 = 0;
𝑥2 =
−7 − 23 −30
=
= −15;
2
2
−7 + 23 16
=
= 8 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
2
2
Despreciamos el resultado negativo por absurdo (el lado NO puede medir – 15 cm).
Mide 8 cm de altura y 15 de base; por tanto: Perímetro= suma de los lados 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑃 = 2(8 + 15) = 2 · 23 = 𝟒𝟔 𝒄𝒆𝒏𝒕í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad;
proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
𝑥
𝑦
𝑧
450
450 75
=
=
=
=
=
8 12 16 8 + 12 + 16
36
6
𝑥 75
75 · 8 25 · 3 · 4 · 2
=
; 6𝑥 = 75 · 8; 𝑥 =
=
= 100€
8
6
6
3·2
𝑦
75
75 · 12
=
; 6𝑦 = 75 · 12; 𝑥 =
= 75 · 2 = 150€
12
6
6
𝑧
75
75 · 16 25 · 3 · 4 · 2 · 2
=
; 6𝑧 = 75 · 16; 𝑥 =
=
= 200€
16
6
6
3·2
2. Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus
edades, que son 3, 5 y 6.
𝑥
𝑦
𝑧
420
420
420 420 · 10
=
=
=
=
=
=
= 600
7
1⁄
1⁄
1⁄
1 1 1
21
7
3
6 3+5+6
5
10
30
𝑥
= 600;
1⁄
3
𝑥=
600
= 200€
3
𝑦
= 600;
1⁄
5
𝑦=
600
= 120€
5
𝑧
= 600;
1⁄
6
𝑧=
600
= 100€
6
3. Un grifo que mana 18 litros de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un
depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 litros por minuto?
Es inversamente proporcional 
18 · 14 = 7𝑥
18 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑚 − − − − − 14 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑥=
7 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑚 − − − − − 𝑥
18 · 14 18 · 7 · 2
=
= 36 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
7
7
4. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de
alumnos ha ido de viaje?
Se puede resolver de dos formas:
600
𝑥
600 · 100 6 3
=
; 𝑥=
= = = 75%
800 100
800
8 4
800𝑥 = 600; 𝑥 =
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600 3
= = 0,75 → 75%
800 4
MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
5. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del
7,5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
Si nos descuentan el 7,5% es que pagamos: 100-7,5=92,5%
8800 · 0,925 = 8140€
6. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se
ha comprado en 80 €, halla el precio de venta.
80 · 1,15 = 92€
7. Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3,5%.
𝑖=
𝑐·𝑟·𝑡
;
100
𝑖=
10000 · 3,5 · 0,5
= 100 · 3,5 · 0,5 = 35 · 5 = 175€;
100
Se convertirá en 10000+175=10175€
8. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25.000 € al 5% para que
se convierta en 30.000 €?
𝑖=
𝑐·𝑟·𝑡
100𝑖 100 · 5000 100 · 5
; 100𝑖 = 𝑐𝑟𝑡; 𝑡 =
=
=
= 4 𝑎ñ𝑜𝑠
100
𝑐𝑟
25000 · 5
25 · 5
9. ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que
su base es el triple de su altura?
𝑥+𝑦 =8
Altura=x
3𝑥 − 𝑦 = 0
2(𝑥 + 𝑦) = 16
𝑦 = 3𝑥
Base=y
4𝑥 = 8;
𝑥=2
𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚𝑖𝑑𝑒 2𝑐𝑚, 𝑦 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, 6𝑚
𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 → 𝐴 = 2 · 6 = 12𝑐𝑚2
10. Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos
cerdos y pavos hay?
Pavos  x; cerdos  y
𝑥 + 𝑦 = 58
2𝑥 + 4𝑦 = 168
𝑥 + 𝑦 = 58
−𝑥 − 2𝑦 = −84
−𝑦 = −26; 𝑦 = 26
𝑥 = 58 − 𝑥;
𝑥 = 58 − 26;
𝑥 = 32
Hay 32 pavos y 26 cerdos
11. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años, y hace
5 años la edad del padre era el triple de la del hijo. ¿Cuántos años tienen hoy?
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
HOY
-5 años
Padre
x
x-5
Hijo
y
y-5
𝑥 + 2𝑦 = 120
3(𝑦 − 5) = 𝑥 − 5
𝑥 + 2𝑦 = 120
𝑥 + 2𝑦 = 120
3𝑦 − 15 = 𝑥 − 5
−𝑥 + 3𝑦 = 10
𝑦 = 130; 𝑦 = 26
𝑥 = 120 − 2𝑦; 𝑥 = 120 − 52; 𝑥 = 68; Hoy, el hijo tiene 26 años, y su padre, 68 años
1.
Calcula:
√62 +(−7)(−2)
a)
√−1+3
=
36 + 14
50
√
= √ = √25 = ±𝟓
2
2
c)
2.
122 ·128 :610
(2−3 )−4
7
=
1210 :610
212
3
1
1
3
1
− 4 : [(3 − 5) · 4 + 5] =
8
b)
7 3 2 3 1
7 3 1 1
− :( · + ) = − :( + ) =
8 4 15 4 5
8 4 10 5
7 3 3
7 10 −𝟏𝟑
− :
= −
=
8 4 10 8 4
𝟖
210
1
𝟏
𝟏
= 212 = 22 = 𝟐−𝟐 = 𝟐𝟐 = 𝟒 = 𝟎, 𝟐𝟓
Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) 1.28
𝑥=
128 𝟑𝟐
=
100 𝟐𝟓
̂
b) 1.28
c) 1.28̂
̂
100𝑥 = 128, 28
̂
𝑥 = 1, 28
100𝑥 = 128, 8̂
10𝑥 = 12, 8̂
99𝑥 = 127;
90𝑥 = 116
𝑥=
𝟏𝟐𝟕
𝟗𝟗
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𝑥=
116 𝟓𝟖
=
90
𝟒𝟓
MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
3.
Resuelve las siguientes ecuaciones y el sistema de ecuaciones:
a) 4𝑥 2 = 16
b)
16
4𝑥 = 16; 𝑥 =
=4
4
2
2
𝑥−5
3
−
4−𝑥
2
=
𝑥+1
3
2𝑥 − 10 − 12 + 3𝑥 = 2𝑥 + 2;
𝑥 = √4 = ±𝟐
3𝑥 = 24; 𝑥 =
24
3
; 𝒙=𝟖
d) 5x + 1 – 2(x – 3) = 2x + 3(4x – 5)
2
c) 4𝑥 = 16𝑥
5𝑥 + 1 − 2𝑥 + 6 = 2𝑥 + 12𝑥 − 15;
2
4𝑥 − 16𝑥 = 0;
3𝑥 + 7 = 14𝑥 − 15;
𝑥(4𝑥 − 16) = 0;
3𝑥 − 14𝑥 = −15 − 7;
16
4𝑥 − 16 = 0; 4𝑥 = 16; 𝑥 =
=4
4
𝒙𝟏 = 𝟎; 𝒙𝟐 = 𝟒
−11𝑥 = −22
−22
𝑥=
;
𝒙=𝟐
−11
f)
e)
𝑥=
x 2  3x  4  0
−3 ± √9 − (−16) −3 ± √25
=
=
2
2
−3 ± 5
; 𝒙𝟏 = −𝟒; 𝒙𝟐 = 𝟏
2
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟔
𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟔
6𝑥 + 10𝑦 = 32
−6𝑥 − 18𝑦 = −48
−8𝑦 = −16;
2𝑥 = 16 − 6𝑦; 𝑥 =
−16
=2
−8
16 − 6𝑦
= 8 − 3𝑦 = 8 − 6 = 2
2
𝒙 = 𝟐;
4.
𝑦=
𝒚=𝟐
Dados los siguientes polinomios, realiza las operaciones indicadas:
𝑃(𝑥) = 6𝑥 3 − 3𝑥 2 + 9𝑥
a)
𝑄(𝑥) = 2𝑥 2 − 𝑥 + 1
b)
Calcula:
𝑅(𝑥) = −3𝑥
c)
𝑃(𝑥) − 𝑅(𝑥) · 𝑄(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑅(𝑥)
− 𝑄 (𝑥 ) =
𝑃(−2) =
𝑃(𝑥) − 𝑅(𝑥) · 𝑄(𝑥) = 6𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 − (−3𝑥)(2𝑥2 − 𝑥 + 1)
= 6𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 + 3𝑥(2𝑥2 − 𝑥 + 1)
= 6𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 + 6𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙
𝑃(𝑥)
6𝑥 3 − 3𝑥 2 + 9𝑥
− 𝑄(𝑥) =
− (2𝑥 2 − 𝑥 + 1)
𝑅(𝑥)
−3𝑥
= −2𝑥 2 + 𝑥 − 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 = −𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
𝑃(−2) = 6 · (−2)3 − 3 · (−2)2 + 9 · (−2) = 6 · (−8) − 3 · 4 − 18 = −48 − 12 − 18 = −𝟕𝟖
5.
Calcula las siguientes expresiones algebraicas:
b)
a) (𝑥 2 + 1)(𝑥 2 − 1) = 𝑥 4 − 1
6.
Dadas las funciones 𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝒙 ;
c)
(5𝑎 − 3𝑏)2 = 25𝑎2 + 9𝑏 2 − 30𝑎𝑏
(2𝑥 + 3)2 = 4𝑥 2 + 9 + 12𝑥
𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 ;
𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙
𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝒙 ;

Función AFÍN

Pendiente  m=-1 ; ordenada en el origen 

Función LINEAL o de PROPORCIONALIDAD
DIRECTA
n=1

Pendiente  m=2

Decreciente

Creciente

Cortes con los ejes: (0,-1) (1,0)

Corte con los ejes  Origen de coordenadas
(0,0)
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
7. Calcula la longitud de los dos segmentos que te piden a partir de los datos
que se te dan:
DATOS:
̅̅̅̅ = 20 𝑐𝑚
𝐴𝐵
̅̅̅̅
𝐷𝐸 = 10 𝑐𝑚
̅̅̅̅
𝐶𝐸 = 15 𝑐𝑚
CALCULA
̅̅̅̅
𝐵𝐶
̅̅̅̅
𝐴𝐶
Por Pitágoras 
Por Tales 
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
;
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
𝐵𝐶
𝐶𝐸
20 10
=
;
̅̅̅̅ 15
𝐵𝐶
̅̅̅̅ =
𝐵𝐶
̅̅̅̅ = √𝐴𝐵
̅̅̅̅ 2 + 𝐵𝐶
̅̅̅̅ 2 = √202 + 302 =
𝐴𝐶
20 · 15
= 𝟑𝟎𝒄𝒎
10
√1300 = 𝟏𝟑√𝟏𝟎𝒄𝒎
8. En una familia dedican la mitad de los ingresos a pagar su vivienda (hipoteca, gastos…), dos
tercios del resto a gastos generales de la familia, y aún les quedan todos los meses 300 euros.
¿Cuáles son los ingresos mensuales de la familia?
1 2 1
1 1
5 1
1−( + · )=1−( + )= 1− =
2 3 2
2 3
6 6
Si 300 euros es la sexta parte, todo es:
𝑇𝑜𝑑𝑜 = 300 · 6 = 𝟏𝟖𝟎𝟎€
9. Tengo una piscina de 2 metros de profundidad, 5 de ancho y 15 de largo. Quiero pintarla antes
de abrirla; si me cuesta 2 euros el metro cuadrado: (2 puntos)
 Haz un dibujo de la figura correspondiente.
 ¿Cuánto pagaré por la pintura?
 Luego llenarla vale 10 céntimos el litro. ¿Cuánto me costará llenarla?
𝑆𝑈𝑃 = 2 · 5 · 2 + 2 · 15 · 2 + 5 · 15 =
20 + 60 + 75 = 155𝑚2
𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑎 = 155𝑚2 · 2 €⁄𝑚2 = 𝟑𝟏𝟎€
𝑉𝑂𝐿𝑈𝑀𝐸𝑁 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =
15 · 5 · 2 = 150𝑚3 = 150000𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
𝐴𝑔𝑢𝑎 = 150000 · 0,10 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 €
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MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
10. Dibuja, y calcula el área total y volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm si su
altura es de 4 cm.
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 36 · 4
=
= 12 · 4 = 𝟒𝟖𝒄𝒎𝟑
3
3
Para hallar la superficie necesitamos calcular la apotema
de la pirámide, por Pitágoras 
𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 = √42 + 32 = √25 = 5𝑐𝑚
𝑆𝐿𝐴𝑇 = 4 ·
6·5
= 2 · 6 · 5 = 60𝑐𝑚2
2
𝑆𝐵𝐴𝑆𝐸 = 62 = 36𝑐𝑚2
𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 60 + 36 = 𝟗𝟔𝒄𝒎𝟐
11. Encuentra, con una ecuación, dos números enteros pares positivos y consecutivos cuya suma es
306.
2𝑥 + (2𝑥 + 2) = 306;
4𝑥 = 306 − 2;
4𝑥 = 304;
𝑥
304
4
= 76;
2𝑥 = 152
Los dos números son 152 y 154
12. Si a un número le multiplicas por su doble, obtienes 288. Calcúlalo con una ecuación.
𝑥 · 2𝑥 = 288; 2𝑥 2 = 288; 𝑥 2 =
288
= 144; 𝑥 = √144 = ±12
2
El número puede ser 12 ó -12
13. Las edades de Andrea y Carmen suman 25 años, y la diferencia entra la edad de Andrea y la de
Carmen es 1. ¿Cuál es la edad de cada una? Calcúlalo con álgebra.
𝑎 + 𝑐 = 25
Andrea tiene 13 años,
𝑎−𝑐 =1
2𝑎 = 26;
𝑎 = 13;
𝑐 =𝑎−1 =
12
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y Carmen tiene 12
MAT 2
EJERCICIOS RESUELTOS
14. María, Rubén y Jorge, de 2, 3 y 4 años, respectivamente, se han quedado solos unos instantes
que han aprovechado para trocear en 36 partes la tarta de cumpleaños de Jorge. Su madre
quiere repartir los trozos proporcionalmente a las edades de los niños. ¿Cuánto les corresponde
a cada uno?
𝑀 𝑅 𝐽
36
36
= = =
=
=4
2
3 4 2+3+4
9
𝑅
= 4; 𝑅
3
𝑀
= 4; 𝑀 = 8
2
= 12
𝐽
= 4; 𝐽 = 16
4
A María le tocan 8 trozos, a Rubén 12 trozos, y a Jorge, 16 trozos
15. Tres obreros han cavado una zanja en varias jornadas, sumando en total 12 horas de trabajo. Al
día siguiente se necesita cavar otra zanja igual con dos obreros más que se han incorporado de
las vacaciones. ¿Cuántas horas y minutos tardarán en cavarla?
Es de Proporcionalidad Inversa:
3 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 − − − −12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
5 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 − − − −𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
3 · 12 = 5𝑥; 𝑥 =
3 · 12
= 7,2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
5
0,2 · 60 = 12 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Tardarán 7,2 horas  7 horas 12 minutos
16. Un trabajador recibe un aumento de sueldo del 15 % en enero y una reducción del 15 % en
febrero. ¿Cuál era el sueldo original si después de los cambios recibe 2000 euros? Hazlo de la
forma más rápida y simplificada posible.
𝑥 · 1,15 · 0,85 = 2000;
𝑥=
2000
2000
=
= 𝟐𝟑𝟓𝟐, 𝟗𝟒€
1,15 · 0,85 0,9775
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