Principio de Exclusión de Pauli Y simetría en la función de onda Gerardo Alvarez Alvarez Paulina Carmona Monroy David Carrillo Juárez Julio César Ramírez Arroniz Curso de Fundamentos de Estructura de la Materia 31 de marzo de 2016 Introducción Marco histórico La historia de Wolfgang Pauli (1900-1958) es destacable debido a la innata genialidad que manifestó desde pequeño. Para 1921 ya había escrito un tratado acerca de la relatividad publicado en la Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften que fué incluso elogiado por Einstein y llamó la atención de Niels Bohr. Introducción Marco histórico No se dedicó a eso exclusivamente. En 1919, comenzó a estudiar la molécula de hidrógeno iónica. Demostró que mediante métodos numéricos, se corroboraba que, experimentalmente, H+ 2 es metaestable. Tiempo después, en 1922 comenzaría a trabajar en un problema hallado por Bohr. Introducción Marco Histórico Resulta ser que en el átomo de hidrógeno, el electrón púede moverse en múltiples ’órbitas’ periódicas en la prescencia de un campo externo y este hecho se explicaba perfectamente bien con las ecuaciones desarrolladas en aquél entonces pero cuando había más electrones, estas ecuaciones fallaban. Introducción Marco Histórico Debemos recordar que en ese momento, no existían todas las reglas fundamentales en la mecánica cuántica. Se conocían solamente tres grados de libertad asociados al electrón (n,l, m). Introducción Marco Histórico Para hacer peores las cosas, tanto Bohr como Pauli defendían que los números cuánticos debían de ser siempre enteros. Alfred Landé, por su parte, al explicar el efecto Zeeman, proponía números fraccionarios. Introducción Marco Histórico Por otra parte, Edmund Stoner publicó en 1924 que ’para un valor dado del número cuántico principal (n), el número de niveles de energía de un electrón en los espectros de metal alcalino en un campo magnético externo, donde se separan todos los niveles de energía degenerados, es igual al número de electrones en la capa cerrada de los gases nobles para el mismo valor de n.’ Introducción Marco Histórico Stoner, interpretó que los tres primeros números cuánticos describen el movimiento del electrón alrededor del núcleo, mientras que inherentemente, los electrones presentaban un grado de libertad adicional Introducción Marco Histórico Después de muchos meses de acaloradas discusiones, Pauli reconsideró la existencia de números cuánticos fraccionarios y postuló la existencia de un cuarto número cuántico carente de sentido físico. Éste puede tomar varios valores, pero en el caso de los electrones, toma valores ’semienteros’. Principio de Exclusión Principio de Exclusión El principio de exclusión aplicada a una función de onda univaluada es equivalente a exigir que la función sea antisimétrica. Una función de estado antisimétrica con dos partículas se representa como la suma de estados en la una partícula se encuantra en el estado x y la otra en el estado y . Por tanto, la función de onda quedaría expresada como: X |ψi = A(x, y ) |x, y i (1) x,y Principio de Exclusión Simetría ¿Qué es la simetría en la función de onda? Sabemos por el principio de Incertidumbre de Heisenberg que: σρ̄ σχ̄ ≥ ~ 2 (2) Por lo que no podemos conocer con toda precisión la trayectoria de una partícula. Suponiendo que podemos ’etiquetar’ a los electrones por sus coordenadas y su espín, tenemos un conjunto de variables: {x1 , y1 , z1 , ms1 , x2 , y2 , z2 , ms2 , · · · } = {q1 , q2 , · · · } Principio de Exclusión Simetría Y con a ese conjunto de variables, sabemos que existe una función tal que: ψ = ψ(q1 , q,2 , · · · ) (3) Podemos también definir un operador de permutación P̂12 que intercambie las coordenadas entre la partícula 1 y la 2 de forma que: P̂12 ψ(q1 , q,2 , · · · ) = ψ(q2 , q,1 , · · · ) Principio de Exclusión Simetría Por construcción si aplicaramos nuevamente este operador: P̂12 P̂12 ψ(q1 , q,2 , · · · ) = P̂12 ψ(q2 , q,1 , · · · ) = ψ(q1 , q,2 , · · · ) nos queda la función original. Ahora bien, esto implica que 2 . P̂12 · P̂12 = 1̂ = P̂12 Vale recordar que una eigenfunción cumple con: Aϕ = λϕ donde A es un operador lineal (eigenfunción) y λ es un escalar. Principio de Exclusión Simetría Si proponemos wi y ci como las eigenfunciones y los eigenvalores, respectivamente, tenemos P̂12 wi = ci wi . 2 : Sustituyendo P̂12 2 = 1̂ P̂12 P̂12 wi = ci wi 2 P̂12 wi = ci P̂12 wi wi = ci2 wi 1 = ci2 ∴ ci = ±1 Principio de Exclusión Simetría Entonces, los valores propios de la función son ci . Si wi es función propia del permutador con un valor propio ci = +1 entonces al realizar la permutación, la función queda multiplicada por (+1) y por tanto, no cambia de signo. Esto indica que la función es simétrica ante el intercambio. Principio de Exclusión Simetría Si, en caso contrario, ci = −1, la función cambiará de signo ante la permutaciíon y se dice que es antisimétrica ante el intercambio. Tal es el caso de los fermiones, dado que su condición de espín semientero impone antisimetría. Principio de Exclusión Simetría Si 1 = {x1 , y1 , z1 , σ1 } y 2 = {x2 , y2 , z2 , σ2 } son las coordenadas de las partículas 1 y 2 respectivamente, la función de onda puede representarse como Ψ(1,2) . Al aplicarse una permuta de coordenadas entre ambos electrones, se genera la función ψ(2,1) Principio de Exclusión Simetría La densidad de probabilidad (ρ) es una propiedad que no se debe ver afectada por la permutación debido a la indistinguibilidad de los electrones. ρ(1, 2) = ρ(2, 1) Principio de Exclusión Simetría La densidad de probabilidad es el cuadrado de la función de onda del sistema |ψ(1, 2)|2 = |ψ(2, 1)|2 La igualdad puede satisfacerse si es simétrica o antisimétrica ψ(1, 2) = ψ(2, 1) ψ(1, 2) = −ψ(2, 1) Principio de Exclusión Simetría Si se considera que los electrones no interactúan entre si, entonces la función de onda del sistema de 2 partículas puede describirse como una multiplicación de las funciones de onda individuales ψ(1, 2) = ψa1 (1)ψa2 (2) Y dado a que las partículas deben ser indistinguibles: ψ 0 (1, 2) = ψa1 (2)ψa2 (1) Principio de Exclusión Simetría El sistema debe ser una superposición lineal de ψ y ψ 0 , por lo que sólo podrán combinarse en dos formas correctas. La primera es de forma simétrica (que es aplicable a bosones, sobre los cuales no aplica el principio de exclusión) ψ(1, 2) = [ψa1 (1)ψa2 (2) + ψa1 (2)ψa2 (1)] Mientras que la antisimétrica aplica sólo a fermiones, como el electrón: ψanti (1, 2) = [ψa1 (1)ψa2 (2) − ψa1 (2)ψa2 (1)] Conclusiones Conclusiones I La restricción de los fermiones para ocupar un mismo estado, permitió explicar, entre otros fenómenos, la estructura electrónica de manera más acertada. I Esto propició a su vez mejores modelos atómicos que facilitaran el entendimiento de la naturaleza de enlaces, el cómo se forman las moléculas y hasta cómo (y por que mecanismos) puede llevarse a cabo una reacción. Conclusiones Conclusiones I En conclusión, se le debe a Pauli el enunciamiento de este principio y como consecuencia de este se desprende que la función de onda para fermiones debe ser antisimétrica. Sin embargo, para que Pauli pudiera enunciar dicho principio debió recurrir a la investigación de Stoner y la de Landé para determinar que, en efecto, los electrones requieren de este cuarto número cuántico. Referencias Referencias I Levine, I. N. Quantum Chemistry, 4th ed. Ed. Prentice Hall 1991. I Heilbron, J. T. The Origins of the Exclusion Principle Hist. Stud. Phys. Sci., Vol. 13 No. 2, 1983; (pp. 261-310). I Cruz, D.; Chamizo, J.; Garritz, A. Estructura Atómica: un enfoque químico Ed. Fondo Educativo Interamericano 1986. I Straumann, N., Wolfgang Pauli and modern physics. Space Science Reviews, 148(1-4), 2009. (pp.25–36). I Giulini, D., Electron spin or “classically non-describable two-valuedness.” Studies in History and Philosophy of Science Part B Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 39(3), 2008. (pp.557–578)