Números reales

Números reales
1
Composición de los números reales
Los números reales, denotados por la letra R, se componen a su vez de ciertos conjuntos notables
de números, éstos son:
Números naturales: Son aquellos que nos sirven para contar y ordenar, este conjunto se
denota con la letra N y se escribe ası́:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .}
Nota: A veces se considera al 0 en N, aunque ésto no constituya una regla.
Números enteros: Se componen de los números naturales, sus negativos y el cero. Se
denotan con una Z y se escriben ası́:
Z = {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Números racionales: Son aquellos números que pueden expresarse de la forma p/q donde
p y q son números enteros y q es distinto de cero. Se caracterizan por tener una expansión
decimal finita o periódica. Este conjunto de números se denota con la letra Q y se escriben ası́:
Q = {p/q : p y q están en Z y q 6= 0}
Números irracionales: Son los números que no pueden ser expresados de la forma p/q, se
caracterizan por tener una expansión decimal infinita y aperiódica. Usualmente se denotan por
la letra I y no se describen en sı́mbolos.
Observemos que cualquier número natural es un número entero y cualquier número entero
es número racional.
El conjunto de los números reales es la unión de los números racionales con los irracionales.
El siguiente diagrama podrı́a ser de ayuda para comprender esta unión:
Q
Z
N
2
I
Axiomas de los números reales
En el conjunto de los números reales existen dos operaciones que conocemos como la suma o
adición y el producto o multiplicación. También, hay once axiomas en cuanto a estas operaciones
de los números reales, los cuales se toman como ciertos sin demostración:
1
• Axioma 1: Para cualesquiera dos números reales a y b, la suma es también un número
real. A esta propiedad se le conoce como cerradura de la adición.
Ejemplo: Tomemos a = 11/2 y b = 8.31. Entonces a+b = 11/2+8.31 = 5.5+8.31 = 13.81
y 13.81 está en R.
• Axioma 2: Para cualesquiera tres números reales a, b y c, el resultado de sumar a al
número (b + c) es igual al resultado de sumar (a + b) al número c.
Es decir, a + (b + c) = (a + b) + c. A esta propiedad se le conoce como asociatividad de la
adición.
Ejemplo: Tomemos a = 5, b = π, c = −4.141
Entonces a + b = 5 + π = 5 + 3.14159 . . . = 8.14159 . . .
Por lo que (a + b) + c = 8.14159 . . . + (−4.141) = 4.00059 . . .
Por otro lado, b + c = π + (−4.141) = 3.14159 . . . + (−4.141) = −1.00059 . . .
Ası́, a + (b + c) = 5 + (−1.00059) = 4.00059 . . .
Por lo tanto (a + b) + c = a + (b + c).
• Axioma 3: El orden en que se sumen dos números reales cualesquiera, no altera su
resultado. A esta propiedad se le conoce como conmutatividad de la adición.
Ejemplo: Tomemos a = 1/2 y b = 2.5. Entonces a + b = 1/2 + 2.5 = 0.5 + 2.5 = 3 y
b + a = 2.5 + 1/2 = 2.5 + 0.5 = 3. Por lo que a + b = b + a.
• Axioma 4: En los números reales existe el 0, el cual representa un elemento neutro para
la suma. Es decir, a + 0 = a para cualquier número real a. A esta propiedad se le conoce
como existencia de un neutro para la adición y el cero es conocido como neutro aditivo.
Ejemplo: Tomemos a = −15/2, entonces a + 0 = −15/2 + 0 = 7.5 + 0.0 = 7.5 = 15/2 = a.
• Axioma 5: Para cualquier número real a, existe otro número real denotado por −a tal
que a + (−a) = 0. A esta propiedad se le conoce como existencia del inverso aditivo.
Ejemplo: Tomemos a = π, entonces −a = −π.
Por lo que a + (−a) = π + (−π) = 3.14159 . . . + (−3.14159 . . .) = 0
• Axioma 6: Para cualesquiera dos números reales a y b, el producto de estos números es
también un número real. A esta propiedad se le conoce como cerradura del producto.
Ejemplo: Tomemos a = 2 y b = 3.1416 (notar que b que no es π).
Entonces a · b = (2) · (3.1416) = 6.2832 que está en R.
• Axioma 7: Para cualesquiera tres números reales a, b y c, el resultado de multiplicar el
número a por el número (b · c) es igual al resultado de multiplicar (a · b) por el número
c. Es decir, a · (b · c) = (a · b) · c. A esta propiedad se le conoce como asociatividad del
producto.
Ejemplo: Tomemos a = 3/2, b = 4/3, c = −12.
Entonces a · b = (3/2) · (4/3) = 12/6 = 2 y (a · b) · c = (2) · (−12) = −24.
Por otro lado b·c = (4/3)·(−12) = −48/3 = −16 y a·(b·c) = (3/2)·(−16) = −48/2 = −24.
Por tanto a · (b · c) = (a · b) · c.
2
• Axioma 8: El orden en que se multipliquen dos números reales cualesquiera, no altera su
resultado. A esta propiedad se le conoce como conmutatividad del producto.
Ejemplo: Tomemos a = 2.4 y b = −15.
Entonces a · b = (2.4) · (−15) = (12/5) · (−15) = −180/5 = −36.
Por otro lado, b · a = (−15) · (2.4) = (−15) · (2.4) = (−15) · (12/5) = −180/5 = −36.
• Axioma 9. En los números reales existe el 1 (que es distinto de 0), el cual representa un
elemento neutro para el producto. Es decir, a · 1 = a para cualquier número real a. A esta
propiedad se le conoce como existencia de un neutro para el producto y el uno es conocido
como el neutro para el producto.
√
√
√
Ejemplo: Tomemos a = − 5/2, entonces a · (1) = (− 5/2) · (1) = − 5/2 = a.
• Axioma 10: Para cualquier número real a distinto de 0, existe otro número real denotado
por a−1 tal que a · (a−1 ) = 1. A esta propiedad se le conoce como existencia del inverso
para el producto.
Ejemplo: Tomemos a = 19/5, puesto que a no es cero, tenemos que a−1 = 5/19, por lo
que a · (a−1 ) = (19/5) · (5/19) = (19/19) · (5/5) = (1) · (1) = 1.
• Axioma 11: Para cualesquiera tres números reales a, b y c se tiene que el producto
de a con la suma (b + c) es igual al producto de a · b más el producto a · c. Es decir,
a · (b + c) = a · b + a · c. A esta propiedad se le conoce como distributividad del producto
sobre la adición.
Ejemplo: Tomemos a = −3, b = 5.627, c = −1.2, entonces b + c = 5.627 + (−1.2) = 4.427,
por lo que a · (b + c) = (−3) · (4.427) = −13.281
Por otro lado, a · b = (−3) · (5.627) = −16.881 y a · c = (−3) · (−1.2) = 3.6. Lo que implica
que a · b + a · c = (−16.881) + (3.6) = −13.281
Por tanto, a · (b + c) = a · b + a · c.
3
Axiomas de orden
Los axiomas de orden e los números reales, establecen una forma de comparar cada par de
números reales para ası́ poder ordenarlos.
Si el par de números reales que se comparan no son iguales, tendremos una relación de
desigualdad. Esta relación se le conoce como “menor que” y la denotaremos como <; para
cualesquiera dos números reales a y b diremos que a < b significa que a es menor que b.
• Axioma de orden 1: Para cualesquiera dos números reales a y b, se cumple una y sólo
una de las siguientes afirmaciones:
1. a = b
2. a < b
3. b < a
A esta propiedad se le conoce como Tricotomı́a.
Ejemplo: Para a = 20 y b = 1469 tenemos que solamente se cumple que 20 < 1469; es
decir, solamente se tiene que a < b.
3
• Axioma de orden 2: Si a < b y además b < c, entonces a < c. A esta propiedad se le
conoce como transitividad de la desigualdad.
Ejemplo: Puesto que 10 < 100 y 100 < 1000 tenemos que 10 < 1000.
• Axioma de orden 3: Si a < b entonces para cualquier c número real, tenemos quea + c <
b + c. A esta propiedad se le conoce como la adición preserva el orden de la desigualdad.
Ejemplo: Puesto que 3 < 3.5 entonces 3 + 5 < 3.5 + 5; es decir 8 < 8.5.
• Axioma de orden 4: Si a < b y 0 < c entonces a · c < b · c. A esta propiedad se le conoce
como el producto por un número real positivo preserva el orden de la desigualdad.
Ejemplo: 3 < 10 y 0 < 1/2 entonces 3/2 < 10/2 = 5. Notar que −2 < 0 y entonces NO es
cierto que 3 · (−2) < 10 · (−2).
Resumiremos las 15 propiedades en los siguientes cuadros:
Axiomas referentes a las operaciones de los números reales
suma o adición
producto o multiplicación
cerradura
Para cualesquiera a y b números reales
Para cualesquiera a y b números reales
a + b está R
a · b está R
asociatividad
Para cualesquiera a, b y c números reales
Para cualesquiera a, b y c números reales
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
conmutatividad
Para cualesquiera a y b números reales
Para cualesquiera a y b números reales
a+b=b+a
a·b=b·a
existencia de
Existe 0 número real tal que
Existe 1 número real (1 6= 0) tal que
elemento neutro
para cualquier a número real a + 0 = a
para cualquier a número real a · 1 = a
existencia de
Para cualquier a número real existe (−a) Para cualquier a número real distinto de cero
elemento inverso
número real tal que a + (−a) = 0
existe a−1 número real tal que a · a−1 = 1
distributividad
Para cualesquiera a, b y c números reales se tiene que a · (b + c) = a · b + a · c
tricotomı́a
transitividad
Preserva orden
4
Axiomas referentes al orden de los números reales
Para cualesquiera a y b números reales se tiene solamente una de las siguientes relaciones:
1)a = b ; 2)a < b ó 3)b < a
Si a, b y c son números reales tales que a < b y b < c entonces se tiene que a < c
suma o adición
producto o multiplicación
Para cualquier c número real Para cualquier c número real tal que 0 < c
si a < b entonces a · c < b · c
si a < b entonces a + c < b + c
Valor absoluto
Por la tricotomı́a de los números reales, si NO es cierto que a < b para un par de números reales,
tenemos que se debe cumplir que a = b ó b < a. Entonces, diremos que si a no es menor que b
entonces a es mayor o igual que b y lo denotaremos a ≥ b.
Formalmente, el valor absoluto de todo número real a está definido por:
(
a
si a ≥ 0
|a| =
−a si a < 0
En otras palabras, llamamos valor absoluto de un número real a, escrito como |a|, al mayor
de los números a y −a. Notemos que, por definición, el valor absoluto de a siempre será mayor
o igual que cero y nunca negativo.
4
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de a es la distancia que hay de a al
cero; el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos.
Notemos que, puesto que 0 es un número real:
• Por el axioma de la existencia del inverso aditivo, existe −0 número real tal que 0+(−0) = 0
• Por el axioma de conmutatividad de la suma, 0 + (−0) = (−0) + 0
• Por el axioma de la existencia del neutro aditivo, tenemos que (−0) + 0 = −0
Por lo tanto 0 = 0 + (−0) = (−0) + 0 = −0, es decir 0 = −0.
Dado este resultado, podemos escirbir la definición de valor absoluto como
(
a
si a ≥ 0
|a| =
−a si a ≤ 0
pues |0| = 0 y |0| = −0, pero ya hemos visto que son iguales.
5
Ejercicios resueltos
1. Demostrar que para cualquier número real a se tiene que a = −(−a).
• Por el axioma de existencia del inverso aditivo, tenemos que existe −a número real
tal que a + (−a) = 0
• Puesto que −a es un número real, por el axioma de existencia del inverso aditivo,
tenemos que existe −(−a) número real tal que (−a) + (−(−a)) = 0.
Por lo tanto, tenemos que a+(−a) = 0 = (−a)+(−(−a)). Por el axioma de conmutabilidad
para la adición tenemos que (−a) + a = (−a) + (−(−a)). Si se suma a en ambos lados de
la igualdad, tenemos que:
a + ((−a) + a) = a + ((−a) + (−(−a)))
por el axioma de la asociatividad para la suma tenemos que
(a + (−a)) + a = (a + (−a)) + (−(−a))
por el axioma de la existencia del inverso aditivo se tiene que
0 + a = 0 + (−(−a))
por el axioma de la existencia del neutro aditivo se tiene que
a = −(−a)
5
2. Encontrar el conjunto de números reales que satisfagan |x| = 7.
Puesto que
(
|x| =
x
−x
si
si
x≥0
x≤0
Tenemos que, por tricotomı́a de los números reales, para cualquier x número real se tiene
que cumplir que 0 = x, 0 < x ó x < 0:
• Si x = 0 entonces, por la definición de valor absoluto, se tiene que |x| = 0, lo cual no
cumple con lo que se está buscando.
• Si x < 0 entonces, por la definición de valor absoluto, se tiene que |x| = −x, buscamos
que |x| = −x = 7, por lo que tendremos que (−1) · (−x) = (−1) · (7), por el resultado
anterior, x = −7.
• Si 0 < x entonces, por la definición de valor absoluto, se tiene que |x| = x, buscamos
que |x| = x = 7, por lo que tendremos que x = 7.
Entonces, el conjunto de números reales que cumplen |x| = 7 es {−7, 7}.
3. Demostrar que para cualquier número real a se tiene que a · 0 = 0.
Sea a un número real, entonces:
a · 0 = a · (0 + 0)
= a·0+a·0
por axioma de existencia del neutro aditivo
por el axioma de distributividad
Por lo que a · 0 = a · 0 + a · 0. Dado que 0 y a son números reales, por axioma de cerradura
del producto, a · 0 es un número real y (por el axioma de existencia del inverso aditivo)
existe −(a · 0) tal que a · 0 + (−(a · 0)) = 0. Entonces, al sumar −(a · 0) en ambos lados de
la igualdad
−(a · 0) + a · 0 = −(a · 0) + (a · 0 + a · 0)
por asociatividad de la adición tenemos que
−(a · 0) + a · 0 = (−(a · 0) + a · 0) + a · 0
por conmutabilidad de la adición (en ambos lados), tenemos que
a · 0 + (−(a · 0)) = (a · 0 + (−(a · 0)) + a · 0
por existencia del inverso aditivo
0=0+a·0
por la existencia del neutro aditivo
0=a·0
6
4. Demostrar que 0 < 1.
Por la tricotoma de los números reales, se debe cumplir una y solamente una de las
siguientes relaciones: 1 = 0, 0 < 1 ó 1 < 0.
Recordemos que, por el axioma de la existencia del neutro para el producto, 1 = 0 no
puede ser posible.
Supongamos que 1 < 0, entonces para cualquier a número real tal que 0 < a tenemos que,
por el axioma de producto preserva la desigualdad bajo el producto de un número positivo
tenemos que: Si 1 < 0 y 0 < a entonces a · 1 < a · 0.
Puesto que a · 1 = a por axioma de existencia del neutro multiplicativo y a · 0 = 0 por
el ejercicio anterior, se tiene que a = a · 1 < a · 0 = 0; es decir a < 0, pero no puede ser
posible, dado que iniciamos con 0 < a.
Por lo que 0 < 1 es la única opción que puede ser verdadera.
5. Encontrar el conjunto de números reales que satisfagan |x − 3/4| < 1
Nuevamente, por tricotoma de los números reales tenemos los siguientes casos:
5.1) x − 3/4 = 0
Si x − 3/4 = 0 entonces |x − 3/4| = 0 y, puesto que 0 < 1, |x − 3/4| < 1; es decir,
cuando x − 3/4 = 0 se cumple la propiedad. Eso pasa cuando x = 3/4.
5.2) x − 3/4 < 0
Si x − 3/4 < 0 entonces |x − 3/4| = −(x − 3/4) = −x + 3/4.
Buscamos que −x + 3/4 = |x − 3/4| < 1 y que a la vez cumplan x − 3/4 < 0; es decir,
x < 3/4.
x + (−x + 3/4) < x + 1
por el axioma la suma preserva orden de la desigualdad
(x + (−x)) + 3/4 < x + 1
por el axioma de asociatividad de la adición
0 + (3/4) < x + 1
por el axioma de existencia del inverso aditivo
3/4 < x + 1
por el axioma de existencia del neutro aditivo
3/4 + (−1) < (x + 1) + (−1) por el axioma la suma preserva orden de la desigualdad
3/4 + (−1) < x + (1 + (−1)) por el axioma de asociatividad de la adición
−1/4 < x + 0
por el axioma de existencia del inverso aditivo
−1/4 < x
por el axioma de existencia del neutro aditivo
Por lo que la solución de este caso es el conjunto de números reales que cumplan
x < 3/4 y −1/4 < x.
Por lo tanto el conjunto es el formado por los números reales x tales que
−1/4 < x < 3/4
5.3) 0 < x − 3/4
Si 0 < x − 3/4 entonces |x − 3/4| = x − 3/4.
Buscamos que x − 3/4 = |x − 3/4| < 1 y que a la vez cumplan 0 < x − 3/4; es decir,
3/4 < x.
(x − 3/4) + (3/4) < 1 + (3/4) por el axioma la suma preserva orden de la desigualdad
x + ((−3/4) + 3/4) < 1 + 3/4 por el axioma de asociatividad de la adición
x + 0 < 7/4
por el axioma de existencia del inverso aditivo
x < 7/4
por el axioma de existencia del neutro aditivo
7
Por lo que la solución de este caso es el conjunto de números reales que cumplan
3/4 < x y x < 7/4.
Por lo tanto el conjunto es el formado por los números reales x tales que
3/4 < x < 7/4
Ası́ , el conjunto de números reales x que cumplen con la propiedad |x − 3/4| < 1 es
x = 3/4, −1/4 < x < 3/4, 3/4 < x < 7/4; es decir, −1/4 < x < 7/4.
6. Si a, b y c son números reales y a + b = a + c, entonces b = c. A este resultado también
se le conoce como la ley de cancelación para la suma.
Puesto que a es un número real, tenemos que existe −a número real tal que a + (−a) = 0
y, por el axioma de conmutatividad, (−a) + a = 0. De la igualdad, tenemos que:
(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)
((−a) + a) + b = ((−a) + a) + c
0+b=0+c
b=c
por
por
por
por
axioma
axioma
axioma
axioma
preserva el orden de la igualdad
asociatividad de la adición
de la existencia de inverso aditivo
de la existencia de neutro aditivo
7. Si a + b = 0, entonces b = (−a). Este resultado demuestra que el inverso aditivo de un
número real es único.
Puesto que a es un número real, por axioma de la existencia del inverso aditivo, tenemos
que existe −a número real tal que a + (−a) = 0. Por hipótesis tenemos que a + b = 0, por
lo que
a + (−a) = a + b
Por la ley de cancelación para la adición tenemos que (−a) = b.
8. Demostrar que −(a + b) = (−a) + (−b) para cualesquiera a y b números reales.
Por el axioma de cerradura para la adición, tenemos que a + b es un número real; esto
implica que existe su inverso aditivo que es el número real que denotamos como −(a + b)
y cumple:
(a + b) + (−(a + b)) = 0
Por otro lado, tenemos que:
(a + b) + ((−a) + (−b))
=
=
=
=
=
a + (b + (−a)) + (−b)
a + ((−a) + b) + (−b)
(a + (−a)) + (b + (−b))
0+0
0
por
por
por
por
por
asociatividad de la adición
conmutatividad de la adición
asociatividad de la adición
la existencia del inverso aditivo
la existencia del neutro aditivo
Por lo que,
(a + b) + (−(a + b)) = 0 = (a + b) + ((−a) + (−b))
Con el uso de la ley de cancelación para la adición tenemos que
−(a + b) = (−a) + (−b)
8
9. Demostrar que a · (−b) = (−a) · b = −(a · b).
Por axioma de cerradura del producto, puesto que a y b son números reales, a · b es
un número real; por ende, existe un número real que es su inverso bajo la adición que
denotamos como −(a · b) y cumple que:
a · b + (−(a · b)) = 0
Ahora, recordemos que:
(a) Para cualquier c número real tenemos que c · 0 = 0.
(b) Si c es un número real existe un número real −c tal que c + (−c) = 0.
a·0=0
a · (b + (−b)) = 0
a · b + a · (−b) = 0
Por (9a)
Usando (9b) y sustituyendo en lo anterior
Por distributividad
Por conmutabilidad del producto
b·0=0
b · (a + (−a)) = 0
b · a + b · (−a) = 0
a · b + (−a) · b = 0
Por lo tanto, se tiene que
a · b + (−(a · b)) = 0 = a · b + a · (−b)
a · b + (−(a · b)) = 0 = a · b + (−a) · b
Y por la ley de cancelación para la adición se tiene que
−(a · b) = a · (−b) = (−a) · b
10. Demostrar que para cualesquiera números reales a y b se cumple que (−a) · (−b) = a · b.
Puesto que a es un número real, por la existencia de inversos aditivos, tenemos que existe
un número real −a tal que a + (−a) = 0.
Por la cerradura del producto tenemos que (−a) · b es un número real, pues ambos lo son
y, por el ejercicio anterior (−a) · b = −(a · b).
Por un lado, −(a · b) + a · b = 0
Por otro lado
−(a · b) + (−a) · (−b)
=
=
=
=
(−a) · b + (−a) · (−b)
(−a) · (b + (−b))
(−a) · 0
0
por
por
por
por
el ejercicio anterior
distributividad
axioma existencia del inverso aditivo
un ejercicio que ya hemos probado
Entonces, −(a · b) + (−a) · (−b) = 0 = −(a · b) + a · b. La ley de la cancelación para la
adición implica que (−a) · (−b) = a · b.
9
11. Encontrar el conjunto de números reales x que satisfacen |3 · x − 1| < 2 · x + 5.
Primero que algo, recordemos que el valor absoluto de un número real no puede ser negativo, por lo que en este caso necesitamos que 0 ≤ 2x − 5; es decir:
0+5
0+5
0+5
5
−1
2 ·5
≤
≤
≤
≤
≤
(2 · x + (−5)) + 5
2 · x + ((−5) + 5)
2·x+0
2·x
2−1 · (2 · x)
2−1 · 5
2−1 · 5
2−1 · 5
2−1 · 5
≤
≤
≤
≤
(2−1 · 2) · x
(2 · 2−1 ) · x
1·x
x
puesto que la adición preserva desigualdades
por la asociatividad de la adición
por la existencia del inverso aditivo
por la existencia del neutro aditivo
puesto que 0 6= 2 existe 2−1 tal que 2 · 2−1 = 1, además 0 < 2−1
y el producto por un número positivo preserva la desigualdad
por la asociatividad del producto
por la conmutabilidad del producto
por la existencia de inverso del producto
por la existencia de neutro del producto
Por lo que, los números reales para los que la desigualdad tendrá sentido son los números
x tales que 25 ≤ x.
Ahora, consideremos los siguientes dos casos: 0 ≤ 3 · x − 1 y 3 · x − 1 ≤ 0.
(a) Si 0 ≤ 3 · x − 1 entonces |3 · x − 1| = 3 · x − 1, por lo que 3 · x − 1 = |3 · x − 1| < 2 · x + 5
(3 · x − 1) + ((−2 · x) + 1)
<
(2 · x + 5) + ((−2 · x) + 1)
puesto que la adición
preserva desigualdades
3 · x + ((−1) + (−2 · x)) + 1 < 2 · x + (5 + (−2 · x)) + 1
puesto que la adición
es asociativa
3 · x + ((−2 · x) + (−1)) + 1 < 2 · x + ((−2 · x) + 5) + 1
puesto que la adición
es conmutativa
(3 · x + (−2 · x)) + ((−1) + 1) < (2 · x + (−2 · x)) + (5 + 1) puesto que la adición
es asociativa
(3 · x + (−2 · x)) + 0 < 0 + (5 + 1)
por la existencia
del inverso aditivo
3 · x + (−2 · x) < 5 + 1
por la existencia
del neutro aditivo
(3 + (−2)) · x = 1 · x < 6
por
distributividad
x < 6
por la existencia
del neutro del producto
Entonces, para este caso el conjunto de números reales que lo cumple es x < 6 e
intersectando con el conjunto de puntos para los que la desigualdad tiene sentido,
tenemos que el conjunto de puntos que satisfacen este caso es:
5
≤x<6
2
(b) Si 3 · x − 1 ≤ 0 entonces |3 · x − 1| = −(3 · x − 1) = (−3) · x + 1, por lo que
(−3) · x + 1 = |3 · x − 1| < 2 · x + 5
10
((−3) · x + 1) + (3 · x + (−5))
<
(2 · x + 5) + (3 · x + (−5))
puesto que la adición
preserva desigualdades
(−3) · x + (1 + 3 · x) + (−5) < 2 · x + (5 + 3 · x) + (−5)
puesto que la adición
es asociativa
(−3) · x + (3 · x + 1) + (−5) < 2 · x + (3 · x + 5) + (−5)
puesto que la adición
es conmutativa
((−3) · x + 3 · x) + (1 + (−5)) < (2 · x + 3 · x) + (5 + (−5)) puesto que la adición
es asociativa
0 + (1 + (−5)) < (2 · x + 3 · x) + 0
por la existencia
del inverso aditivo
1 + (−5) < 2 · x + 3 · x
por la existencia
del neutro aditivo
−4 < (2 + 3) · x = 5 · x
por
distributividad
5−1 · (−4) < 5−1 · (5 · x)
puesto que 0 6= 5, existe 5−1
0 < 5−1
−1
−1
5 · (−4) < (5 · 5) · x
por que le producto
es asociativo
5−1 · (−4) < 1 · x
por la existencia
del inverso bajo el producto
4
−5 < x
por la existencia
del neutro bajo el producto
Entonces, para este caso el conjunto de números reales que lo cumple es −4/5 < x
e intersectando con el conjunto de puntos para los que la desigualdad tiene sentido,
tenemos que el conjunto de puntos que satisfacen este caso es:
5
≤x
2
Por lo que el conjunto de números reales x que cumplen |3 · x − 1| < 2 · x + 5 es
5
≤x<6
2
12. Encontrar el conjunto de números reales x que satisfacen |8 · x + 12| > x + 3.
En este ejercicio, conocer si x + 3 es positivo o negativo no representa un problema, dado
que de ser negativo |8 · x + 12| siempre será mayor que x + 3.
Por lo que solo es necesario considerar los siguientes casos:
(a) Si 0 ≤ 8 · x + 12 entonces |8 · x + 12| = 8 · x + 12.
11
(x + 3) + ((−x) + (−12))
<
(8 · x + 12) + ((−x) + (−12))
x + (3 + (−x)) + (−12)
<
8 · x + (12 + (−x)) + (−12)
x + ((−x) + 3) + (−12)
<
8 · x + ((−x) + 12) + (−12)
(x + (−x)) + (3 + (−12))
<
(8 · x + (−x)) + (12 + (−12))
0 + (3 + (−12))
<
(8 · x + (−x)) + 0
3 + (−12)
<
8 · x + (−x)
−9
<
(8 + (−1)) · x = 7 · x
7−1 · (−9)
<
7−1 · (7 · x)
7−1 · (−9)
<
(7−1 · 7) · x
7−1 · (−9)
<
1·x
7−1 · (−9)
<
x
puesto que la adición
preserva desigualdades
puesto que la adición
es asociativa
puesto que la adición
es conmutativa
puesto que la adición
es asociativa
por la existencia
del inverso aditivo
por la existencia
del neutro aditivo
por
distributividad
puesto que 0 6= 7, existe 7−1
y 0 < 7−1
porque el producto
es asociativo
por la existencia
del inverso bajo el producto
por la existencia
del neutro bajo el producto
Por lo que para este caso, el conjunto de números reales x que satisfacen es − 79 < x.
(b) Si 8 · x + 12 ≤ 0 entonces |8 · x + 12| = −(8 · x + 12) = −8 · x + (−12).
(x + 3) + (8 · x + (−3)) < (−8 · x + (−12)) + (8 · x + (−3))
x + (3 + 8 · x) + (−3)
<
−8 · x + ((−12) + 8 · x) + (−3)
x + (8 · x + 3) + (−3)
<
−8 · x + (8 · x + (−12)) + (−3)
(x + 8 · x) + (3 + (−3))
<
(−8 · x + 8 · x) + ((−12) + (−3))
(x + 8 · x) + 0
<
0 + ((−12) + (−3))
x+8·x
<
(−12) + (−3)
1·x+8·x
<
(−12) + (−3)
1 · x + 8 · x = (1 + 8) · x = 9 · x
9−1 · (9 · x)
<
<
−15
9−1 · (−15)
(9−1 · 9) · x
<
9−1 · (−15)
1·x
<
9−1 · (−15)
x
<
9−1 · (−15)
12
puesto que la adición
preserva desigualdades
puesto que la adición
es asociativa
puesto que la adición
es conmutativa
puesto que la adición
es asociativa
por la existencia
del inverso aditivo
por la existencia
del neutro aditivo
por la existencia
del neutro del producto
por distributividad
puesto que 0 6= 9, existe 9−1
y 0 < 9−1
por que el producto
es asociativo
por la existencia
del inverso bajo producto
por la existencia
del neutro bajo producto
Por lo que para este caso, el conjunto de números reales x que satisfacen es x < − 15
9 .
Por lo tanto, el conjunto de los números reales x que satisfacen |8 · x + 12| > x + 3 es
− 97 < x ó x < − 15
9 .
13