Diferencias de potencial y cálculo de voltajes

¿Qué es un voltaje?¿Qué es una diferencia de potencial?
El uso frecuente y ligero de la palabra “potencial”, caso común en electricidad, pudiera alejarnos un poco del
concepto físico, inclusive, del significado mismo de la expresión. Un potencial es una capacidad para hacer algo,
decimos que tiene potencial cuando creemos que puede realizar una tarea o un trabajo.
Utilizando los términos precisos de la Física, un Potencial se define como la capacidad para realizar un Trabajo. Un
Trabajo es el producto de una Fuerza por un Desplazamiento. Para realizar un Trabajo es necesario emplear
Energía, mientras más rápido se necesite completar el Trabajo, más energía necesitaremos; esta velocidad en el uso
de la Energía es lo que llamamos Potencia.
Veamos ahora el caso particular de la electricidad.
Las principales fuerzas (las más intensas) que intervienen en todos los fenómenos eléctricos son las asociadas a un
campo eléctrico y/o a las de un campo magnético. Considerando por ahora sólo el primero, la fuerza primaria
resulta del efecto de atracción o repulsión que experimenta una carga al estar dentro de un campo eléctrico. Las
“líneas de campo” son una representación visual que se utiliza en las ciencias para indicar la trayectoria que
recorrería una partícula de prueba (de polaridad positiva, por definición) al estar bajo el efecto de un campo
eléctrico. “Las cargas iguales se repelen y las opuestas se atraen” es la frase que utilizamos para definir el “sentido”
de esa trayectoria.
Un campo al que estamos más habituados es el gravitacional. La atracción se ejerce entre la masa de la Tierra y una
masa cualquiera y las “líneas de campo” las asumimos como verticales. Supongamos que levantamos una piedra
del piso y luego la soltamos (empleamos energía y trabajo muscular para vencer la fuerza de atracción de la
gravedad y logramos elevarla, con lo que le damos energía potencial), la trayectoria que describiría al caer pudiera
dibujarse como una línea vertical y lo haría en un sentido que llamaríamos “hacia abajo”. Decimos “vertical”
porque así llamamos a lo que está erguido con referencia al piso; y decimos “hacia abajo” porque es lo que está en
el piso. Realmente lo “vertical” viene a ser una dirección radial, colineal al radio de la Tierra y estas líneas son,
además, convergentes (no son paralelas, convergen en el centro de la Tierra); mientras que “abajo”, en el piso, es lo
que corresponde a acercar la piedra a la masa de la Tierra.
En electricidad las piedras son los electrones y el campo que las atrae o repele es el eléctrico. Para “arrancar” un
electrón de su equilibrio junto a un protón (similar a una piedra sobre el piso) es indispensable utilizar energía,
realizar un trabajo, ya que es necesario vencer la atracción (fuerza) que se ejerce entre las dos cargas para lograr
crear entre ellas una distancia (desplazamiento). En la medida en que alejamos el electrón de su posición inicial de
reposo le estaremos dando más potencial, y para hacerlo tenemos que utilizar más energía. Digamos que esa
energía que se introduce en el sistema se almacena en forma de potencial para el electrón.
Si el electrón se suelta y se le da un camino para que regrese a su posición de equilibrio junto al protón ocurre algo
muy interesante. Progresivamente se irá acelerando, aumentando su velocidad, debido a la fuerza de atracción que
ejerce junto a su amigo el protón, en una trayectoria que lo acerca a él (el protón no se mueve). Pero la velocidad
que adquiere no le permitirá reposar junto a él una vez que salve la distancia, ya que tendrá ahora una energía
cinética equivalente a la potencial que tenía antes de que lo soltáramos. Suponiendo que no lo choca, pasará por un
lado y seguirá un camino que lo aleja de nuevo hasta una distancia exactamente igual a la inicial (si no hay
pérdidas), sólo que en el otro extremo de la trayectoria. Así quedará oscilando indefinidamente junto a su
compañero de campo eléctrico.
Esto ocurre porque la energía que introdujimos al arrancar el electrón de su posición inicial sigue almacenada
dentro del sistema que conforman las dos cargas, mientras no haya pérdidas de energía la oscilación se mantendrá.
La única forma de “extraer” esa energía adicional es poner a trabajar al electrón en su camino de regreso. Esto se
logra cuando colocamos un conductor en el camino del electrón (circuito) lleno de partículas con las que colisiona
en su trayectoria de regreso. La fricción por los choques provoca un calentamiento que se traduce en una emisión
(transferencia) de energía desde el sistema hacia el exterior. Este camino tortuoso de colisiones es lo que llamamos
“resistores”, y la medida de cuánto estorban en el camino lo denominamos “resistencia”.
Un potencial es entonces una medida de cuánta energía puede entregar un sistema. Una diferencia de potencial, a la
que llamamos voltaje en electricidad, es la diferencia entre el potencial que tienen dos lugares cualesquiera de
concentración de cargas dentro de un mismo circuito, independientemente de qué potencial tenga cada uno de los
dos puntos respecto a un tercero. Se considera que el planeta Tierra tiene infinitas cargas y puede donar o recibir
todas las que hagan falta en un circuito, por lo que usualmente se le refiere como un punto con CERO potencial.
También es usual que los puntos que se toman como referencia de cálculo en un circuito (chasis o masa) se
conecten físicamente (galvánicamente) a la Tierra mediante un conductor de baja resistencia, de modo de contar
con todos los electrones que hagan falta para lograr el equilibrio en el flujo de cargas dentro del circuito. La
conexión a Tierra tiene otros usos dentro de la distribución de energía eléctrica, pero ya se hablará de esto en otros
temas.
La física nos recuerda que las únicas cargas móviles son las negativas, la de los electrones. En una representación
circuital en donde se indique la polaridad de una fuente de voltaje, al mover internamente las cargas negativas
desde el borne que tiene un signo “-” hacia el borne que tiene marcado un signo “+” no estamos cambiando su
polaridad, no lo estamos haciendo “más negativo”. El signo positivo indica que en ese borne hay “más” (+)
potencial porque tiene una concentración mayor de electrones que en el otro, que tiene “menos” (-); no se refiere en
ningún momento a la polaridad de las cargas que se concentran en él, algo que podría eventualmente conducir a
una confusión por los signos.
La relación entre voltaje y corriente
El estudio del comportamiento y la dinámica de las cargas en los circuitos eléctricos condujo a que se formularan
unos modelos matemáticos que permiten calcular el valor de lo que llamamos “variables de estado”. Las “variables
de estado” nos permiten representar, tal y como su nombre lo indica, el estado de un circuito, en relación al
cumplimiento de los objetivos para los cuales fue diseñado.
Si una red se diseña para que mantenga 110 voltios en un extremo (nodo), se espera que una lectura del voltaje en
ese punto así lo confirme. Cuando se habla de una “variable”, nos referimos simplemente al indicador de un
modelo matemático que puede tomar cualquier valor y al cual, le asignamos la lectura que hacemos con un
instrumento de medición, como por ejemplo un voltímetro. Cuando calculamos un voltaje, la incógnita del modelo
es una variable que llamamos “de estado”, porque el valor que obtengamos del cálculo nos permitiría diagnosticar
el estado de funcionamiento del sistema.
Análisis de circuitos eléctricos
Como se ha dicho anteriormente, un voltaje es la diferencia de potencial entre dos puntos. Si conectamos un
camino entre puntos que tienen diferentes potenciales se establece un flujo de cargas (electrones), desde el punto
que tiene mayor potencial (concentración de cargas) hacia el punto con menor potencial. La relación entre la
diferencia de potenciales (medida en voltios) y la cantidad de electrones que fluyen (medida en amperios) se define
como la resistencia (indicada en ohmios). Esta simple relación se conoce como la Ley de Ohm, aunque no es una
Ley para que los electrones se vean obligados a cumplirla, sino parte de un modelo matemático que los electricistas
utilizamos para tener una idea sobre el comportamiento de las cargas en un circuito.
Hay otras dos llamadas Leyes de Kirchoff, partes del mismo modelo matemático, que nos permiten agrupar las
relaciones entre voltajes y corrientes de forma tal que podemos convertir todo un circuito eléctrico en ecuaciones
matemáticas. La primera Ley indica que la sumatoria de todas las corrientes que entran a un nodo es igual a cero
(nodo es un punto de confluencia de dos o más conductores, conectados galvánicamente). Y la segunda Ley señala
que la sumatoria de las diferencias de potenciales (voltajes) que se logran recorriendo las ramas de un circuito en
un camino cerrado debe ser igual a cero.
Regla 1: lo más importante que hay que tener en cuenta al utilizar estos modelos es ser absolutamente congruente
con la definición original: la corriente siempre fluye desde un lugar con mayor potencial hacia otro con menor
potencial. La lógica de la física así lo indica.
Regla 2: otro aspecto metodológico también importante consiste en definir la dirección de las corrientes al
principio del análisis, una sola vez, y mantener las implicaciones de esa definición hasta el final de los cálculos. El
sentido que arbitrariamente le asignemos a las corrientes no depende de la física, hay que tener en cuenta que
estamos aplicando un modelo matemático. Lo importante se señala en el párrafo anterior: mantener la relación
entre la polaridad del voltaje y el sentido de flujo de la corriente. Una vez que definimos el sentido de la corriente
en una rama del circuito estamos definiendo también la polaridad del voltaje entre los nodos que se conectan.
Siguiendo estas dos premisas, lo que resta es aplicar las tres relaciones (Ohm y Kirchoff) para establecer un
conjunto de ecuaciones. El sistema tendrá solución matemática sólo si el número de ecuaciones independientes es
igual al número de incógnitas. Esto ya lo debemos conocer de la matemática, además de manejar los métodos
numéricos de solución.
Ejemplo de prueba
El circuito mostrado en la siguiente figura tiene una simbología que conviene aclarar. Si bien hay estándares que
unifican el dibujo de los diagramas eléctricos, en el uso cotidiano termina siendo una cuestión de gustos personales
y cada quien debe utilizar los que mejor le parezcan, guardando por supuesto cierta relación con una terminología
común, de modo que otros puedan comprender nuestro trabajo.
En mi dibujo, represento los nodos como puntos gruesos y la variable V numerada según el número que me
provoque asignarle a cada uno. La pelota en una rama representa una fuente de corriente con el sentido indicado
por la flecha. El símbolo del zig-zag en las ramas representa a los resistores y el “tenedor” en la parte de abajo
representa una conexión a referencia, masa, chasis o Tierra. Mi costumbre me lleva a colocar el nodo de referencia
abajo, pero hay quienes lo ponen arriba o a un lado.
El nodo de referencia no es un capricho, es un requerimiento
matemático. Para resolver el sistema de ecuaciones es necesario
establecer un nodo que llamaremos así, no importa donde esté,
pero al menos debe existir uno y sólo uno. Si no lo hacemos,
terminamos con un sistema con más incógnitas que ecuaciones,
que no podríamos resolver. Por esta razón, definimos un nodo
cualquiera al que le asignamos olímpicamente el valor de “cero
potencial”, y así todos los demás potenciales que calculemos
estarán referidos a este cero referencial. En ningún momento se
debe asumir que el potencial real de este nodo es cero. Más que
preocuparnos por el potencial que pueda tener este nodo de
referencia, lo importante es que haya una referencia, simplemente
se le asigna un valor cualquiera (cero es el más conveniente) para
poder calcular el resto de los voltajes con cualquiera de los
métodos matemáticos que conocemos.
En el circuito que ves, forzado con la finalidad de demostrar lo anterior, podemos deducir claramente que el nodo
que se tomó como referencia en el ejemplo precedente no necesariamente tiene “cero voltios” (respecto a tierra),
aunque se haya asumido como tal para poder calcular las corrientes y las variables de estado del circuito superior.
Una cosa es un nodo con cero voltios respecto a cualquier otro punto, y otra cosa es un nodo de referencia.
Volviendo al circuito inicial, plantearemos las ecuaciones que se obtienen aplicando las reglas descritas.
En una primera ecuación de la Ley de Ohm asumo convenientemente que la corriente fluye desde el nodo 1 hacia
el nodo de referencia. Esto automáticamente implica que el voltaje V1 es mayor a VRef, de acuerdo con la Regla 1.
En este momento no importa si el sentido de la corriente es el real o no lo es, sólo se puede asegurar que el sentido
del flujo es congruente con la polaridad que indirectamente se definió. En este caso, la ecuación sería:
I1 =
V 1−V Ref
V
, considerando que V Ref =0 , nos queda I 1 = 1
R1
R1
Del mismo modo obtenemos otra ecuación para el nodo 2:
I2 =
V 2−V Ref
V
, considerando que V Ref =0 , nos queda I 2 = 2
R2
R2
Ahora, para hallar una ecuación que relacione los dos voltajes aplico el mismo procedimiento, esta vez debo hallar
la diferencia de potencial entre V1 y V2. Supongamos que me provoca asumir que la corriente por esa rama fluye
desde el nodo 1 hacia el nodo 2 (porque me da la gana). Para ser congruentes con la física de la Regla 1, estoy
asumiendo también que el potencial del nodo 1: V1 , es mayor al potencial del nodo 2: V2, porque si no fuera así,
los electrones estarían subiendo de potencial a punta de magia. La ecuación queda entonces:
I 12=
V 1−V 2
R12
Si se hubiese definido el sentido contrario para la corriente (I21), la ecuación sería entonces:
I 21=
V 2−V 1
V −V 2
o I 21 =−( 1
)
R12
R 12
En el fondo las tres ecuaciones son exactamente iguales, considerando el hecho irrefutable de que I12 es igual a -I21.
Simplemente se plantearon desde diferentes perspectivas y todas son válidas, lo importante es que el sentido del
flujo sea congruente y lo haga desde un potencial mayor hacia uno menor: la corriente siempre va desde el mayor
hacia el menor potencial.
Otra ecuación se obtiene del balance de las corrientes en el nodo 1. Se supondrá que las corrientes que entran al
nodo tienen signo positivo, mientras que las que salen del nodo tienen signo negativo (igual acá el signo depende
del gusto personal, con la única restricción que todas las que entran o las que salgan tengan el mismo signo):
−I f1 −I 12−I 1 =0
Y una adicional, obtenida del balance de corrientes en el nodo 2:
I 12 + I f2 −I 2=0
Nota: a veces, al aplicar las reglas del procedimiento con rigurosidad obtenemos ecuaciones que son triviales y que
pudieran ser obviadas en la medida en que, con la práctica, manejemos con más soltura el método.
Agrupando las ecuaciones tenemos el siguiente conjunto:
I 1∗R1=V 1
I 2∗R2=V 2
I 12∗R 12=V 1−V 2
−I f1 −I 12 −I 1 =0
I f2 + I 12−I 2=0
1.
2.
3.
4.
5.
Usualmente se utilizan las ecuaciones de voltaje para sustituir en las ecuaciones de corriente. A partir de la
ecuación 4, con 1 y 3 se sustituye y se obtiene:
V1 V2
V V
V
, separando los términos y reagrupando: −I f1 = 1 + 1 − 2
+
R1 R2
R1 R12 R12
1
1
1
)−V 2∗(
)
se obtiene: −I f1 =V 1∗( +
R1 R12
R12
If=
A partir de la ecuación 5, con 2 y 3 se obtiene:
V 1−V 2 V 2
V V
V
, separando los términos y reagrupando: −I f1 = 1 + 1 − 2
)+
R12
R2
R1 R12 R12
1
1
1
)−V 2 (
+ )
se obtiene: I f2 =−V 1∗(
R12
R12 R2
I f2 =−(
Organizando y expresando las ecuaciones con notación matricial, en la forma [V]*[Y] = [I], tenemos:
[
][
1
1
1
+
) −(
)
V1
R1 R 12
R12
−I f1
∗
=
V2
1
1
1
I f2
−(
) ( +
)
R12
R2 R12
[ ]
(
]
La solución de este sistema, es decir hallar (calcular) los voltajes como variables de estado, se obtiene simplemente
invirtiendo la matriz [Y] y multiplicándola por el vector [I] de inyecciones de corriente.
[
][
−1
1
1
1
( +
) −(
)
V1
R 1 R 12
R12
−I f1
=
∗
V2
1
1
1
I f2
−(
) ( +
)
R12
R2 R12
[ ]
]
Si observamos cuidadosamente la matriz que se obtuvo al organizar y agrupar las ecuaciones podemos notar que
hay una regularidad en el cálculo de los términos. A esa regularidad, similar a la de seguir los pasos de una receta
de cocina, se le conoce con el nombre del Método de Nodos.
Método de Nodos
Para aplicar el método sólo tenemos que revisar la topología del circuito, definir el nombre de cada nodo y aplicar
la regla. Construir (e invertir) la matriz de las conductancias [Y], el vector de inyecciones de corriente [I] para
luego calcular el vector de voltajes [V]. Los arreglos tendrán una dimensión que dependerá del número de nodos
del circuito, descontando el de referencia. Para nuestro ejemplo con tres nodos, la matriz tiene una dimensión de
2x2 (recordar que se elimina del conteo el nodo de referencia).
Cada uno de los términos de la diagonal de la matriz [Y] (conductancia de barra) se calcula como la sumatoria de
todas las conductancias conectadas al nodo que se está considerando, mientras que los términos mutuos son
directamente la conductancia entre cada par de nodos, con el signo opuesto. El vector de inyecciones de corriente
[I] se calcula para cada nodo como la suma de las fuentes de corriente que entran menos las que salen del nodo
(corriente neta entrando al nodo):
Nodos
1
R
j=1
ij
1
Y [i, j]=−( )
R ij
Y [i, i]= ∑
Entrando
I [i]=(
∑
j =1
Saliendo
If j )−(
∑
k=1
If k )
Es así como, aplicando el método, se obtienen los mismos resultados:
Término Y(1,1) = 1/R1 + 1/R12
Término Y(2,2) = 1/R12 + 1/R2
Término Y(1,2) = Término Y(2,1) = - 1/R12 (Notar que la matriz es necesariamente simétrica)
Término I(1) = -If1
Término I(2) = If2
Se presenta a continuación un código en lenguaje C++ para calcular la matriz de conductancia de nodos para un
circuito con un máximo de 50.
Lo primero que se debe introducir es el número de nodos (sin contar el de referencia), luego se introducen todas las
ramas con el siguiente formato: nodo de entrada, espacio, nodo de salida, espacio, resistencia en ohmios. Si es una
rama que va directamente desde un nodo a la referencia se indica colocando en el nodo de salida el mismo número
del nodo de entrada. Para terminar la entrada de los datos se introduce un 0 como valor para los tres campos: nodo
de entrada, nodo de salida y valor de resistencia.
#include <stdio.h>
float Y[50][50];
int nBar;
void Ybus() {
int i,j;
float r,g;
printf("Numero de nodos: ");
scanf("%i",&nBar);
for ( i = 0; i < nBar; i++ ) { // Coloca los elementos de la matriz en cero
for ( j = 0; j < nBar; j++ ) {
Y[i][j] = 0.0;
}
}
// Lectura de los datos
scanf("%i %i %f",&i,&j,&r);
while ( i != 0 && j != 0 ) {
i = i - 1;
j = j - 1;
g = 1 / r; // Calculo de la conductancia
if ( i == j ) {
Y[i][j] += g; // Conexion a referencia
} else {
Y[i][i] += g; // Elemento propio ii
Y[j][j] += g; // Elemento propio jj
Y[i][j] -= g; // Elemento mutuo ij
Y[j][i] -= g; // Elemento mutuo ji
}
scanf("%i %i %f",&i,&j,&r);
}
}
void Resultados() {
int i,j;
printf("Matriz de conductancia\nNumero de nodos: %i\n\n",nBar);
for ( i = 0; i < nBar; i++ ) {
for ( j = 0; j < nBar; j++ ) {
printf("Y(%i,%i) = %f",i+1,j+1,Y[i][j]);
}
}
}
int main() {
Ybus();
Resultados();
return 1;
}