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1. Producto escalar, métrica y norma asociada
Consideramos el espacio vectorial Rn sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de Rn ,
indistintamente, como
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
x = (x1 , . . . , xn ) =
n
X
xi ei
i=1
donde ei son los vectores de la base canónica de Rn , ei = (0, . . . , 0, 1(i) , 0, . . . , 0)
El producto escalar es una operación definida entre dos vectores de Rn de la siguiente manera:
Definición (Producto Escalar. Espacio Euclı́deo.). Dados x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn )
dos vectores en Rn , se define el producto escalar de x por y como
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
< x, y >=
n
X
xi yi
i=1
JJ
II
J
I
El par (Rn , < ., . >) se denomina espacio euclı́deo.
Este producto tiene como propiedades fundamentales las siguientes:
Proposición.
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
1. < x, x > > 0 para todo x 6= 0
2. < x, y >=< y, x > para todos x, y ∈ Rn
3. < ax + by, z >= a < x, z > +b < y, z > para todos x, y, z ∈ Rn y todos a, b ∈ R
La propiedad 2 indica que el producto escalar es simétrico, o conmutativo.
La propiedad 3 indica que el producto escalar es lineal respecto a la primera variable. Utilizando
las propiedades 2 y 3, se comprueba que también es lineal respecto a la segunda: dados x, y, z ∈ X
y a, b ∈ R,
< x, ay + bz >=< ay + bz, x >= a < y, x > +b < z, x >= a < x, y > +b < x, z >
Otra consecuencia de la definición es que
< x, 0 >=< x, x > − < x, x >= 0
y en particular < x, x >= 0 ⇐⇒ x = 0
JJ
II
J
I
De hecho, las tres propiedades anteriores determinan el comportamiento de esta operación, y la
estructura del espacio Rn . El concepto de producto escalar se generaliza a espacios vectoriales
sobre R, X, como una operación cualquiera de X × X en R que verifique las tres propiedades
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
anteriores. Cuando X es un espacio Rn , un producto escalar es una aplicación bilineal simétrica
definida positiva no degenerada, que tiene asociada unı́vocamente una matriz A simétrica de
modo que < x, y >= xAy t
A partir del producto escalar, definimos en Rn la longitud de un vector y la distancia entre
dos puntos, que es la base para el estudio de los conceptos de lı́mites y continuidad de funciones,
y el desarrollo del análisis.
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en
Rn
Definición (Norma asociada al producto escalar. Módulo).
Dado un vector x, llamamos norma de x, módulo de x, o longitud de x, al número
Subespacios de Rn
kxk = (< x, x >)1/2 =
n
X
!1/2
x2i
i=1
JJ
II
J
I
La interpretación geométrica del significado de la norma asociada al producto escalar como
la longitud del vector x es obvia en el plano y en el espacio tridimensional, en virtud del Teorema
de Pitágoras.
Teorema (Desigualdad de Cauchy - Schwarz).
Para todos x, y ∈ Rn se tiene:
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
| < x, y > | ≤ kxk kyk
Demostración:
I (Saltar al final de la demostración)
Si y = 0, la desigualdad es obvia, pues < x, y >=< x, 0 >= 0 y kyk = k0k = 0, por lo que
se tiene la igualdad. Ası́ que supongamos que y 6= 0.
Consideremos los vectores x + ty, con t un número real cualquiera. Calculamos el producto
< x + ty, x + ty > que será no negativo por las propiedades del producto escalar. Ası́
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de
0 ≤< x + ty, x + ty >=< x, x > +t2 < y, y > +2t < x, y >
Rn
Si escogemos t = −
JJ
II
J
I
0 ≤< x, x > +
< x, y >
tenemos
< y, y >
< x, y >2
< x, y >2
< x, y >2
−2
=< x, x > −
< y, y >
< y, y >
< y, y >
de donde despejando < x, y > se obtiene
< x, y >2 ≤< x, x > < y, y >
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
luego sacando raı́ces cuadradas positivas,
| < x, y > | ≤ kxk kyk
J(Volver al enunciado)
Como consecuencia, se demuestran las propiedades fundamentales de la norma
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Como en el caso del producto escalar, en un espacio vectorial X, se llama norma a cualquier
Subespacios de Rn
aplicación k.k : X −→ R que verifique estas cuatro propiedades, generalizando el concepto de
módulo de un vector en Rn . Cualquier producto escalar tiene asociada una norma mediante esta
fórmula, aunque no toda norma proviene de un producto escalar.
JJ
II
J
I
Proposición.
1. kxk ≥ 0 para todo x ∈ Rn
2. kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
N
3. kx + yk ≤ kxk + kyk para todos x, y ∈ Rn (desigualdad triangular de la norma)
4. kaxk = |a| kxk para todos x ∈ Rn y a ∈ R
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Demostración.
Las propiedades 1, 2 y 4 son triviales.
Para demostrar la propiedad 3, aplicamos la desigualdad de Cauchy–Schwarz:
kx + yk2 = < x + y, x + y >=< x, x > +2 < x, y > + < y, y >≤
≤ kxk2 + kyk2 + 2| < x, y > | ≤ kxk2 + kyk2 + 2kxk kyk =
= (kxk + kyk)2
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Tomando raı́ces cuadradas positivas se tiene la propiedad.
N
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
Hay además una quinta propiedad, tan importante como las anteriores que definen la norma,
que puede demostrarse como consecuencia de ellas:
Proposición. Para todos x, y ∈ Rn se verifica
| kxk − kyk | ≤ kx − yk
Demostración:
Poniendo el vector x como x − y + y, tenemos
kxk = k(x − y) + yk ≤ kx − yk + kyk
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
de donde se deduce
kxk − kyk ≤ kx − yk
Análogamente, cambiando los papeles de x e y, y teniendo en cuenta que
ky − xk = k(−1)(x − y)k = | − 1| kx − yk = kx − yk
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en
tenemos:
Rn
kyk = k(y − x) + xk ≤ ky − xk + kxk
Subespacios de Rn
y
JJ
II
J
I
kyk − kxk ≤ ky − xk = kx − yk
De las dos desigualdades se deduce que | kxk − kyk | ≤ kx − yk
N
Una vez definida la norma de un vector, se define de forma natural la distancia entre dos
puntos x e y como la longitud del vector diferencia x − y
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
Definición (Distancia entre dos puntos).
Dados dos puntos x e y en Rn , se define la distancia entre x e y como
d(x, y) = kx − yk =
n
X
!1/2
|xi − yi |2
i=1
Y se verifican las siguientes propiedades:
Proposición.
1.
2.
3.
4.
d(x, y) ≥ 0 para todos x, y ∈ Rn
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
d(x, y) = d(y, x) para todos x, y ∈ Rn
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todos x, y, z ∈ Rn
Otra consecuencia de la definición del producto escalar es la generalización a Rn del concepto
de ángulo entre vectores:
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Definición (Ángulo entre vectores).
Dados dos vectores x e y en Rn , se llama ángulo entre x e y al ángulo αxy ∈ [0, π] que verifica
cos αxy =
< x, y >
kxk kyk
y
x−
y
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
αxy
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
0
x
La definición anterior es equivalente al teorema del coseno aplicado al triángulo que tiene un
vértice en el origen de coordenadas, y lados adyacentes formados por los vectores x e y, que
quedarı́a
kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2kxk kyk cos αxy
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Se dice que dos vectores son ortogonales cuando αxy = π/2, es decir, cuando < x, y >= 0
Un concepto que nos será útil en la interpretación geométrica de los problemas que vamos a
estudiar es la proyección ortogonal. Dado un vector x, cualquier otro vector y de Rn se puede
proyectar sobre x: se trata de descomponer y en suma de dos vectores, uno de los cuales es
paralelo a x, y el otro ortogonal. El primero de los dos es la proyección de y sobre x
Definición (Proyección ortogonal). Sea x un vector de Rn . Dado un vector y ∈ Rn , se llama
proyección ortogonal de y sobre x al vector
yx =
< x, y >
x
kxk2
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
y
y
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
yx
x
x
yx
2. Otras normas en Rn
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Como hemos indicado antes, la definición de norma se puede generalizar a espacios vectoriales
cualesquiera a partir de sus propiedades: si X es un espacio vectorial (sobre R), se llama norma
en X a una aplicación k.kX : X −→ R que verifique:
1. kxkX ≥ 0 para todo x ∈ X
2. kxkX = 0 ⇐⇒ x = 0
3. kλxkX = |λ| kxkX para todos x ∈ X y λ ∈ R
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
4. kx + ykX ≤ kxkX + kykX para todos x, y ∈ X
En particular nos interesa destacar dos normas habituales en Rn , y su relación con la norma
asociada al producto escalar.
Definición (Norma k.k1 ).
Dado x = (x1 , . . . , xn ) se define
JJ
II
J
I
kxk1 =
n
X
i=1
|xi |
La métrica asociada a esta norma enRn serı́a
n
X
d1 (x, y) = kx − yk1 =
|xi − yi |
i=1
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
y2
x2
y
x
|x2 |
|x2 − y2 |
|x1 − y1 |
x2
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en
Rn
Subespacios de Rn
x
|x1 |
x1
x1 = |x1 | + |x2 |
JJ
II
J
I
Definición (Norma k.k∞ ).
Dado x = (x1 , . . . , xn ) se define
kxk∞ = max{|x1 |, . . . , |xn |}
y1
x1
x − y1 = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
Y la métrica asociada
d∞ (x, y) = kx − yk∞ = max{|xi − yi |, ≤ i ≤ n}
y2
x2
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
x
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
|x2 |
|x1 − y1 |
x2
x
|x1 |
x1
Topologı́a en Rn
|x2 − y2 |
y
x∞ = máx{|x1 |, |x2 |}
y1
x1
x − y∞ = máx{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}
Siguiendo este mismo tipo de notación, la norma asociada al producto escalar se escribirá
como
!1/2
n
X
kxk2 =
|xi |2
= (< x, x >)1/2
i=1
Teorema (Relación entre las normas de Rn ).
Para todo x ∈ Rn se tiene:
√
kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 ≤ nkxk2 ≤ nkxk∞
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
I (Saltar al final de la demostración)
Demostración:
Sea x ∈ Rn
1. En primer lugar, existirá un i0 tal que kxk∞ = max{|xi |, 1 ≤ i ≤ n} = |xi0 |.
Entonces trivialmente
kxk22
=
Otras normas en Rn
Topologı́a en
Rn
Subespacios de Rn
n
X
|xi |2 ≥ |xi0 |2 = kxk2∞
i=1
y tomando raı́ces positivas se tiene la primera desigualdad.
2. También es evidente que
JJ
II
J
I
kxk22 =
n
X
i=1
|xi |2 ≤
n
X
!2
|xi |
= kxk21
i=1
y tomando raı́ces positivas se tiene la segunda desigualdad.
3. Para la tercera, podemos escribir kxk1 como un producto escalar, y aplicar la desigualdad
de Cauchy–Schwarz:
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
kxk1 =
Topologı́a en
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
|xi | =< (|x1 |, . . . , |xn |), (1, . . . , 1) >
i=1
≤ k(|x1 |, . . . , |xn |)k2 k(1, . . . , 1)k2
√
=
nkxk2
4. Por último, si kxk∞ = max{|xi |, 1 ≤ i ≤ n} = |xi0 |, entonces
Otras normas en Rn
Rn
n
X
kxk22
=
n
X
|xi |2 ≤ n|xi0 |2 = nkxk2∞
i=1
y tomando raı́ces positivas de tiene
√
kxk2 ≤ nkxk∞
de donde se obtiene la última desigualdad multiplicando a ambos lados por
J(Volver al enunciado)
√
n
N
3. Topologı́a en Rn
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
Una vez definidos el producto escalar, la norma y la métrica en Rn , introducimos la topologı́a
de Rn como un lenguaje en el que expresar las propiedades de conjuntos y puntos del espacio
referentes a aspectos métricos de proximidad, acotación, etc, que nos van a permitir describir a
su vez las propiedades de limites y continuidad de funciones, y desarrollar el análisis de varias
variables.
En primer lugar introducimos la siguiente definición:
Definición.
Sea x ∈ Rn y r > 0. se definen:
• Bola abierta de centro x y radio r:
B(x, r) = {y ∈ Rn : d(x, y) < r} = {y ∈ Rn : kx − yk < r}
• Bola cerrada de centro x y radio r:
B̄(x, r) = {y ∈ Rn : d(x, y) ≤ r} = {y ∈ Rn : kx − yk ≤ r}
JJ
II
J
I
• Esfera de centro x y radio r:
S(x, r) = {y ∈ Rn : d(x, y) = r} = {y ∈ Rn : kx − yk = r}
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Ejemplos:
1.- En R con la distancia del valor absoluto, B(x, r) = (x − r, x + r), B̄(x, r) = [x − r, x + r]
y S(x, r) = {x − r, x + r}
2.- En R2 ,
p
B((x0 , y0 ), r) = {(x, y) :
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r} es el cı́rculo de centro (x0 , y0 ) y
radio r, sin incluir la circunferencia;
p
B̄((x0 , y0 ), r) = {(x, y) :
(x − x0 )2 p
+ (y − y0 )2 ≤ r} es el circulo más la circunferencia;
y la esfera S((x0 , y0 ), r) = {(x, y) :
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r} es la circunferencia de
centro (x0 , y0 ) y radio r.
(x, y)
Producto escalar, . . .
(x, y)
(x, y)
(x0 , y0 )
(x0 , y0 )
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
(x0 , y0 )
3.- En R2 , utilizando la norma k.k1 , tenemos
B1 (0, 1) = {(x, y) : |x| + |y| < 1}
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Para dibujar este conjunto,
tenemos:
Si x ≥ 0, tiene que ser
x + |y| < 1, luego |y| < 1 − x
y
y =1+x
y = −1 + x
x
−1 + x < y < 1 − x
y =1−x
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Si x < 0, queda −x + |y| < 1, de
donde
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
−1 − x < y < 1 + x
y = −1 − x
JJ
II
J
I
4.- En R2 utilizando la norma k.k∞ , tenemos
B∞ (0, 1) = {(x, y) : max{|x|, |y|} < 1}}
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
y
y=1
luego tiene que ser |x| < 1 y
|y| < 1, o lo que es lo mismo,
−1 < x < 1,
x
−1 < y < 1
y = −1
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
x = −1
x=1
5.- De las desigualdades entre las normas k.k1 , k.k2 y k.k∞ , se deducen contenidos entre las
bolas de centro x,
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
B1 (x, r) ⊆ B2 (x, r) ⊆ B∞ (x, r)
√
B∞ (x, r) ⊆ B2 (x, nr) ⊆ B1 (x, nr)
Definición (Conjuntos abiertos y cerrados).
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en
Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
Se dice que un conjunto A ⊆ Rn es abierto si verifica:
“ para cada x ∈ A existe una bola B(x, rx ) centrada en x que está contenida en A (∀x ∈
A ∃ rx > 0 / B(x, rx ) ⊆ A) ”
Se dice que un conjunto B ⊆ Rn es cerrado si su complementario es abierto.
En particular Rn y el vacı́o ∅ son abiertos, y cerrados.
Y definimos también los siguientes conceptos, que clasifican los puntos según su posición
respecto a un conjunto:
Definición (Interior, adherencia, acumulación, frontera, aislados).
1.
2.
3.
4.
5.
Se
Se
Se
Se
x
x
x
x
x
es interior a A, si existe r > 0 tal que B(x, r) ⊆ A.
es adherente a A, si para todo r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅.
es de acumulación de A, si para todo r > 0, (B(x, r) \ {x}) ∩ A 6= ∅
está en la frontera de A, si para todo r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅ y B(x, r) ∩ (Rn \ A) 6= ∅
es un punto aislado de A si existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ A = {x}
llama interior de A, y se escribe A0 , al conjunto de puntos interiores de A.
llama adherencia o clausura de A, y se escribe A, al conjunto de puntos adherentes de A
llama acumulación de A, y se escribe A0 , al conjunto de puntos de acumulación de A.
llama frontera de A, y se escribe F r(A) o ∂A, al conjunto de puntos de la frontera de A.
Definición (Conjuntos densos).
Dados dos conjuntos B ⊂ A ⊆ Rn , se dice que B es denso en A si A ⊆ B̄
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Es decir, B es denso en A si cerca de cada punto de A siempre hay puntos de B. Por ejemplo,
Q es denso en R, y Qn es denso en Rn .
Definición (Conjuntos acotados).
Un conjunto A es acotado si existe alguna bola B(0, r) que contenga a A; es decir, si existe un
número r > 0 tal que para todo x ∈ A se tiene kxk < r
Algunas propiedades evidentes de estos conjuntos son
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
• A0 ⊆ A ⊆ A
• A0 ⊆ A
• F ra(A) ⊆ A
• Si B ⊆ A, entones B 0 ⊆ A0 , B ⊆ A y B 0 ⊆ A0
JJ
II
J
I
• A es acotado si y sólo si A es acotado
Pero hay otras muchas propiedades, algunas de las cuales se ven en los problemas.
Teorema.
1. Un conjunto A es abierto si y sólo si A = A0
2. Un conjunto A es cerrado si y sólo si A = A
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
Demostración:
El primer apartado es trivial, por la propia definición de conjunto abierto.
Para el segundo apartado, supongamos primero que A es cerrado. Sabemos que A ⊆ A, ası́
que sólo hay que demostrar que A ⊆ A, o equivalentemente demostrar que Rn \ A ⊆ Rn \ A
Como A es cerrado, Rn \ A es abierto, y por tanto si x ∈ Rn \ A existe una bola centrada en
x contenida en Rn \ A, B(x, r) ⊆ Rn \ A. Entonces B(x, r) ∩ A = ∅, luego x 6∈ A y tenemos
lo que querı́amos.
Recı́procamente, supongamos ahora que A = A, y veamos que A es cerrado, es decir, que
n
R \ A es abierto:
Sea x ∈ Rn \ A, x 6∈ A = A, luego existe alguna bola centrada en x que no corta a A,
B(x, r) y B(x, r) ∩ A = ∅. Entonces B(x, r) ⊆ Rn \ A, es decir, x es interior a Rn \ A, luego
efectivamente Rn \ A es abierto.
Teorema.
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
1. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos.
2. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados.
3. A0 es el mayor conjunto abierto contenido en A (es decir, A0 es abierto, y si B es abierto
y está contenido en A, entonces B ⊆ A0 )
4. A es el menor cerrado que contiene a A (es decir, A es cerrado, y si C es un cerrado que
contiene a A, entonces A ⊆ C)
y
s
y
s
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de
x
r
x
r
Rn
JJ
II
J
I
Demostración:
1) Consideremos una bola abierta B(x, r), y sea y ∈ B(x, r) un punto de la bola. Para
demostrar que B(x, r) es abierto hay que probar que existe una bola centrada en y contenida en
B(x, r), B(y, s) ⊆ B(x, r).
Como d(x, y) = kx − yk < r, podemos definir s = r − kx − yk que es mayor que cero. Ahora
si z ∈ B(y, s), tenemos
kx − zk = kx − y + y − zk ≤ kx − yk + ky − zk < kx − yk + s = kx − yk + r − kx − yk = s
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
ası́ que z ∈ B(x, r). Es decir, todo punto z de la bola B(y, s) está en B(x, r), como querı́amos
demostrar.
2) Para demostrar que una bola cerrada B(x, r) es un conjunto cerrado, hay que demostrar
que su complementario, Rn \ B(x, r) = {y ∈ Rn : kx − yk > r} es abierto.
Sea entonces y ∈ Rn \B(x, r); hay que demostrar que existe una bola centrada en y contenida
en Rn \ B(x, r), B(y, s) ⊆ Rn \ B(x, r)
Como ahora d(x, y) = kx − yk > r, podemos definir s = kx − yk − r, que es mayor que
cero. Entonces si z ∈ B(y, r) se tiene
kx − yk = kx − z + z − yk ≤ kx − zk + kz − yk
de donde
JJ
II
J
I
kx − zk ≥ kx − yk − ky − zk > kx − yk − s = kx − yk − kx − yk + r = r
luego en efecto z ∈ Rn \ B(x, r). Es decir, todo punto de la bola B(y, s) está en Rn \ B(x, r),
como querı́amos demostrar.
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
3) En primer lugar, A0 es abierto: en efecto,dado x ∈ A0 hay que demostrar que existe una
bola B(x, r) contenida en A0 .
Como x ∈ A0 , por definición de punto interior, existe al menos una bola B(x, r) ⊆ A. Ahora
bien, si y es un punto de esa bola, y ∈ B(x, r), que por el apartado (1) es un conjunto abierto,
existirá otra bola B(y, s) ⊆ B(x, r) ⊆ A, luego y ∈ A0 . Es decir todo punto de la bola B(x, r)
está en A0 , como querı́amos demostrar.
En segundo lugar, es evidente, como ya hemos dicho, que para cualquier conjunto A0 ⊆ A.
Y en tercer lugar, si B es otro conjunto abierto contenido en A, B ⊆ A, entonces utilizando
el teorema anterior B = B 0 ⊆ A0
4) Para terminar, A es cerrado, ya que su complementario es (Rn \ A)0 : en efecto, si x 6∈ A,
quiere decir que existe alguna bola centrada en x que no corta a A, B(x, r) ∩ A = ∅, o lo que
es lo mismo, B(x, r) ⊆ (Rn \ A), luego x es interior a Rn \ A
Es evidente que A ⊆ A. Y si C es un conjunto cerrado que contiene a A, utilizando el
teorema anterior A ⊆ C = C
N
Teorema.
JJ
II
J
I
1. La unión de conjuntos abiertos es abierto. La intersección finita de abiertos es abierto.
2. La unión finita de conjuntos cerrados es cerrado. La intersección de cerrados es cerrado.
3. La unión finita de conjuntos acotados es acotado.
Observaciones:
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Sin embargo la intersección numerable de infinitos abiertos puede ser cerrado, y la unión
numerable de infinitos cerrados puede ser abierto:
a) sean An = B(0, 1 + 1/n). An son conjuntos cerrados, y sin embargo
∞
\
An = B(0, 1)
n=1
es abierto
b) sean Bn = B(0, 1 − 1/n). Bn son conjuntos abiertos, y sin embargo
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
∞
[
Bn = B(0, 1)
n=1
Subespacios de Rn
es cerrado.
JJ
II
J
I
4. Subespacios de Rn
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
En muchas ocasiones trabajaremos con espacios que son subconjuntos de Rn . En este caso, la
forma de medir distancias entre dos puntos es la misma que como puntos de Rn , paro hay que
darse cuenta de que ya no tendremos una estructura de espacio euclı́deo: en general ni siquiera
tendremos un espacio vectorial.
Si Y es un subconjunto de Rn , podemos considerar la restricción de d a Y × Y , definiendo lo
que llamamos un subespacio métrico de Rn . Por ejemplo, si x ∈ Y , la bola de centro x y radio
r en el espacio (Y, d) es
BY (x, r) = {y ∈ Y : d(x, y) < r} = B(x, r) ∩ Y
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
B(x, r) ∩ Y
Topologı́a en Rn
x
Subespacios de Rn
Y
JJ
II
J
I
B(x, r)
y un conjunto M ⊆ Y será abierto en Y si para cada punto m ∈ M existe una bola BY (m, rm )
en Y de modo que BY (m, rm ) ⊆ M , o lo que es lo mismo, si para cada m ∈ M existe un número
rm > 0 tal que B(m, rm ) ∩ Y ⊆ M . Y M es cerrado en Y si Y \ M es abierto en Y
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de
Rn
Proposición. Un conjunto M ⊂ Y es abierto en Y si y sólo si existe un abierto A en X tal que
M = A ∩ Y , y es cerrado en Y si y sólo si existe un cerrado C en X tal que M = C ∩ Y
Cuando trabajamos con subconjuntos Y de Rn , nos interesará destacar en algunos casos el
hecho de que el conjunto Y “esté formado por un sólo trozo”. Esta propiedad tiene un nombre
especı́fico dentro del estudio de la topologı́a de Rn :
Definición (Conjuntos conexos).
Sea Y ⊆ Rn . Se dice que Y es conexo si no se puede descomponer como unión de dos conjuntos
abiertos (en Y como subespacio métrico) disjuntos no vacı́os.
Si Y no es conexo, se dice que es disconexo.
Ası́, la definición anterior es equivalente a decir que
Y es disconexo si existen dos conjuntos U , V abiertos en Y , no vacı́os, tales que
U ∩V =∅
JJ
II
J
I
y
Y =U ∪V
O, teniendo en cuenta que los complementarios de conjuntos abiertos son cerrados,
Y es disconexo si existen dos conjuntos M , N cerrados en Y , no vacı́os, tales que
M ∩N =∅
y
Y =M ∪N
Y también es equivalente a decir que Y es conexo si y sólo si los únicos subconjuntos de Y
que son a la vez abiertos y cerrados en Y son el propio conjunto Y y el vacı́o ∅.
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
Definición (Segmentos).
Dados dos puntos x, y ∈ Rn , se llama segmento de x a y a
[x, y] = {z = ty + (1 − t)x, 0 ≤ t ≤ 1} = {z = x + t(y − x), 0 ≤ t ≤ 1}
Teorema (Abiertos conexos).
Sea A un conjunto abierto y conexo en Rn , y sean x, y ∈ A. Entonces existe una poligonal
contenida en A que une x e y.
Una poligonal es una familia de segmentos de recta, unidos de modo que el extremo final de
un segmento sea en extremo inicial del siguiente.
Para demostrar el teorema, escogemos un punto cualquiera x en A, y llamamos M al conjunto
de puntos de A que se pueden unir a x por una poligonal contenida en A, y N al conjunto de
puntos de A que no se pueden unir a x por una poligonal contenida en A. Se trata de demostrar
que M y N son conjuntos abiertos en A; como evidentemente M y N son disjuntos, y su unión
es todo el conjunto A, y A conexo por hipótesis, uno se ellos tendrá que ser vacı́o y el otro tendrá
que ser todo el conjunto A. Por último, como M no es vacı́o, pues al menos contiene al propio
punto x, tendrá que ser M = A, luego todo punto de A puede unirse a x por una poligonal, y
esto termina la demostración.
Producto
escalar, métrica
y norma
asociada.
Topologı́a de Rn
Producto escalar, . . .
Otras normas en Rn
Topologı́a en Rn
Subespacios de Rn
JJ
II
J
I
Veamos entonces que M es abierto. Sea y ∈ M ; como A es abierto, existe una bola centrada
en y contenida en A, B(y, r) ⊆ A; vamos a ver que esa bola está contenida en M :
Sea z ∈ B(y, r); el segmento que une y y z, [y, z] está contenido en la bola. Por otra parte,
como y ∈ M , existe una poligonal de x a y contenida en A. Si a esa poligonal le añadimos el
segmento [y, z], tendremos una poligonal de x a z contenida en A, luego efectivamente z ∈ M .
De forma análoga se demuestra que N es abierto, lo que termina la demostración del teorema.
N