matematicas financieras 1 - Curso Matemáticas Financieras

MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
1. Hallar el valor equivalente de un monto de $94´000.000 en 450 días suponiendo una tasa
de interés bancaria del 12% ES.
Solución
Parámetros
o Valor inicial o presente: 94 millones
o Tasa de interés: 12% ES
o Periodo de tiempo: 450 días
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
Vf =¿?
i = 12% ES
450 días
Vp = 94´000.000
Cálculos
Para calcular el valor futuro o equivalente de los $94 millones, se utiliza la formula (11):
(
)
Considerando que se trata de una tasa de interés efectiva semestral, se debe expresar el
periodo de tiempo de 450 días en función de semestres; para esto se plantea una simple
regla de tres como sigue: “si un semestre es igual a 180 días; 450 días a cuantos
semestres serán iguales”; de esta forma
(
)
Respuesta:
El valor equivalente de 94 millones es
2. ¿Qué capital se debe ahorrar hoy para poder retirar 20 millones de pesos dentro de 38
meses suponiendo que el banco donde se tiene la cuenta de ahorros reconoce una tasa
de interés del 11% N-t?
Solución
Parámetros
o
Valor futuro: 20 millones
o
Tasa de interés: 11% N-t
1
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
o
Periodo de tiempo: 38 meses
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
Vf =20´000.000
j = 11% N-t
38 meses
Vp = ¿?
Cálculos
Lo primero que se debe hacer es hallar la tasa de interés efectiva; para esto se utiliza la
formula (15)
Para calcular el valor presente o valor de la inversión, se utiliza la formula (12),
considerando periodos de tiempo semestrales:
(
)
Considerando que se trata de una tasa de interés efectiva semestral, se debe expresar
el periodo de tiempo de 38 meses en función de trimestres; para esto se plantea una
simple regla de tres como sigue: “si un trimestre es igual a 3 meses; 38 meses a cuantos
trimestres serán iguales”; de esta forma
(
)
Respuesta
Para obtener 20 millones al cabo de 38 meses a un interés del 11%N-t, se debe hacer
una inversión inicial de
Otra alternativa para hallar la solución es hallar la tasa efectiva mensual a partir de la
tasa efectiva trimestral y usar como número de periodos 38 meses; el resultado debería
ser el mismo, como se muestra a continuación:
Para hallar la tasa efectiva mensual equivalente se utiliza el siguiente modelo; donde:
es la tasa efectiva mensual, la tasa efectiva trimestral, es igual al número de meses
que tiene un año y el número de trimestres en un año.
2
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
(
(
)
)
Para calcular el valor presente o valor de la inversión, se utiliza la formula (12),
considerando periodos de tiempo mensuales:
(
(
)
)
Respuesta
Como se esperaba el resultado es igual, es decir para obtener 20 millones al cabo de
38 meses a un interés del 11%N-t, se debe hacer una inversión inicial de
3. ¿Cuál es la rentabilidad (EA) de una inversión que se cuadruplica en cinco años?
Solución
Parámetros
o
Valor inicial de la inversión ( ): X
o
Valor final de la inversión ( ): 4X
o
Periodo de la operación: 5 años
Representación gráfica
Vf =4X
En la siguiente gráfica se representa la operación:
i = ¿?EA
5 años
Vp = X
Cálculos
Para determinar la rentabilidad se debe hallar la tasa de interés efectiva anual que gana
la inversión propuesta. Para ello, se utiliza la formula (14), considerando periodos de
tiempo anuales:
√
3
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
√
Respuesta
La rentabilidad que reportaría esta inversión es del
EA
4. ¿En cuánto meses se duplica un capital al 9,5% Nominal semestral?
Solución
Parámetros
o Valor inicial de la inversión ( ): X
o Valor final ( ): 2X
o Tasa de interés efectiva: 9,5% N-s
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
Vf =2X
j = 9,5%N-s
t = ¿?
Vp = X
Cálculos
Lo primero que se debe hacer es hallar la tasa de interés efectiva semestral; para esto se
utiliza la formula (15)
Para determinar el tiempo (numero de semestres) en que se duplican los ahorros de los
clientes, se utiliza la formula (13):
log ( )
log(
)
4
(
)
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
log (
log(
)
)
Respuesta
El capital se duplica en 14,93 semestres o lo que es igual 89,60 meses
5. Usando la comparación de tasas de interés, decida sobre la mejor alternativa entre
invertir en un fondo de inversión que reconoce una tasa de interés del 10% N-t o invertir
en una empresa de alimentos que garantiza duplicar el capital en 30 meses.
Solución
Parámetros
o Rendimiento del fondo de inversión: 10% N-t
o Valor inicial inversión empresa alimentos: X
o Valor final inversión empresa de alimentos: 2X
o Tiempo de la inversión en la empresa de alimentos: 30 meses; 10 trimestres
Cálculos
Lo primero es hallar la tasa de interés efectiva trimestral que paga la empresa de
alimentos; para ello se utiliza la formula (14), considerando periodos trimestrales
√
√
El rendimiento de la empresa de alimentos es entonces
. Para comparar con la
compañía de financiamiento se calcula la tasa nominal trimestral equivalente de la tasa
anterior, utilizando la formula (15)
Respuesta
La mejor alternativa es la empresa de alimentos ya que esta ofrece un rendimiento del
N-t a diferencia del fondo de inversión que solo ofrece el 10% N-t.
6. Si un banco le esta cobrando el 8% N-t anticipado; ¿Qué tasa de interés efectiva mensual
realmente esta cobrando?
5
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Solución
Parámetros
o Tasa Nominal trimestre anticipado: 8%
Cálculos
Lo primero que se debe hacer es hallar la tasa de interés efectiva trimestral anticipada;
para esto se utiliza la formula (15)
Para calcular la tasa efectiva mensual equivalente a la tasa efectiva anticipada trimestral,
inicialmente se halla la tasa vencida de la tasa anticipada, utilizando la formula (17)
(
(
)
)
A partir de esta tasa efectiva trimestral se halla la tasa efectiva mensual, utilizando la
formula (16), considerando que n1 y n2 son 4 y 12 respectivamente.
(
(
)
)
Respuesta
La tasa efectiva mensual equivalente al 8% N-ta, es
7. Un inversionista constituye un CDT a 360 días por $1´250 millones a una tasa del 12% Nm; teniendo en cuenta que la retención en la fuente es de 4%, se pide determinar:
a)
b)
c)
d)
La rentabilidad antes de impuestos.
La rentabilidad después de impuestos y
El valor que le entregan al vencimiento
Si la inflación durante el tiempo de inversión fue del 5%; cual fue la tasa Real
obtenida.
Solución
Parámetros
6
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
o
o
o
o
o
Valor inicial de la inversión: 1.250 millones
Tasa nominal mensual: 12%
Tiempo de la inversión: 360 días; 1 año; 12 meses
Retención en la fuente: 4% sobre los intereses
Inflación durante el periodo de la inversión: 5%
Representación gráfica
Vf =¿?
En la siguiente gráfica se representa la operación:
j = 12% N-m
t =12 meses
Vp = 1.250´000.000
Cálculos
Para calcular el valor final de la inversión, y la rentabilidad antes y después de impuestos
se debe hallar la tasa efectiva a la cual se realiza la operación, para esto utilizamos la
formula (15)
a) La rentabilidad antes de impuestos, corresponde a la tasa efectiva anual equivalente a
la tasa efectiva de la operación, esta se calcula utilizando la formula (16),
considerando que n1 y n2 son 12 y 1 respectivamente
(
(
)
)
La rentabilidad antes de impuestos es:
b) Para calcular la rentabilidad después de impuestos es necesario calcular inicialmente
el valor final de la inversión para seguidamente calcular la retención en la fuente y
determinar lo efectivamente recibido. Para el calculo del valor final antes de
impuestos se utiliza la formula (11) considerando periodos mensuales
(
(
7
)
)
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
De esta manera lo recibido por intereses, que es la base para el calculo de la retención,
es: $158´531.288. La retención se calcula como el 4% de este valor, así:
De esta forma lo realmente recibido por el inversionista es igual:
Para determinar la rentabilidad después de impuestos se calcula la tasa efectiva anual,
considerando lo efectivamente recibido, para esto se utiliza la formula (14)
√
√
La rentabilidad después de impuestos es
c) El valor que se le entrega al vencimiento es
d) Para obtener la tasa de interés realmente obtenida, se utiliza la formula (22),
considerando una inflación del 5%
e) La rentabilidad realmente obtenida en la operación fue del
8. Si un inversionista quiere obtener una rentabilidad real del 9%; a que tasa de interés
deberá colocar sus inversiones considerando que se estima una inflación del 4,5% para
el próximo año.
Solución
Parámetros
o Tasa de rentabilidad real: 9%
o Inflación estimada: 4.5%
Cálculos
Para determinar la tasa de interés real se utiliza la formula (22) de la cual se despeja i;
8
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
(
)
(
)
Respuesta
Deberá colocar sus inversiones a una tasa de interés anual del 13,9%
9. Una persona compra a crédito un equipo por valor de $125´500.000 y se le ofrecen tres
modalidades de pago:
a) Una cuota inicial del 40% y un pago dentro de un año de $90´360.000
b) Un pago único dentro de 24 meses por valor de $188´250.000
c) Un pago de 100´000.000 en 6 meses y un pago de $95´200.000 en el mes 20.
¿Qué alternativa debería tomar la persona comparando las tasas de interés efectivas
ofrecidas?
Solución
Se analizan cada una de las alternativas de manera independiente, determinando para
cada una de ellas, la tasa de interés efectiva anual que se pagara por la financiación.
a) Una cuota inicial del 40% y un pago dentro de un año de $90´360.000
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
Vf = 90´360.000
i = ¿?
t =1 año
Vp = 75´300.000
Para determinar la tasa efectiva anual se utiliza la formula (14)
√
√
b) Un pago único dentro de 24 meses por valor de $188´250.000
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
9
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Vf = $188´250.000
i = ¿?
t =24 meses
Vp = $125´500.000
Para determinar la tasa efectiva anual se utiliza la formula (14)
√
√
c) Un pago de 100´000.000 en 6 meses y un pago de $95´200.000 en el mes 20
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
FF
95´200.000
100´000.000
i = ¿?
Mes 6
Mes 20
Vp = $125´500.000
Para determinar la tasa de interés efectiva anual, se plantea la ecuación de valor con FF
en el mes 20, utilizando la formula (11); como sigue.
∑
(
∑
(
)
(
)
)
Resolviendo por tanteo y error se obtiene una tasa de interés efectiva mensual de:
3,7702% EM; la cual es equivalente a una tasa efectiva anual de 55,90%
10
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Respuesta
Teniendo en cuenta las tasas efectivas anuales que se cobran se debería escoger la
opción a)
10. Hoy se contrae una deuda por $50 millones con intereses al 30% N-t y vencimiento en 8
meses; de otra parte se tiene una deuda por $80 millones tomada hace 6 meses con
intereses al 32% N-s y vencimiento en un año. ¿En qué fecha deberá hacer un pago de
$170 millones para cancelar las deudas suponiendo que el rendimiento normal del
dinero es del 2.5% EM?
Solución
Parámetros
o Compromiso No 1: 50 millones con intereses del 30% N-t en 8 meses; adquirido hoy.
o Compromiso No 2: 80 millones con intereses del 32% N-s en 12 meses; adquirido hace
6 meses
o Pago único de 170 millones en la fecha n.
o Fecha focal: se define el mes 12
o Tasa de interés efectiva: 2,5% EM
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación que se quiere realizar. Las obligaciones
pendientes de cancelación que se quieren remplazar se simulan como ingresos, en
cambio el pago a realizar, como un egreso
ff
80´
50´
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
… 12
13 14 15 16 17 …
n
170´
Cálculos
Calculo de las tasa efectivas aplicadas a los compromisos financieros
Préstamo de los 50 millones; para determinar la tasa efectiva utilizamos la formula (15)
Préstamo de los 80 millones; para determinar la tasa efectiva utilizamos la formula (15)
11
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Obligaciones calculadas en la fecha focal.
(
(
1.
2.
)
)
Pagos calculados en la fecha focal.
(
)
1.
(
)
Ecuación de valor
∑
(
(
∑
)
(
log
) (
(
)
)
(
)
)
log(
(
)
(
)
)
Respuesta
El pago único se deberá hacer en el mes 12,58
11. Un artículo fabricado en Inglaterra, se vende en Colombia en $50.000. Suponiendo los
siguientes indicadores económicos: cambio actual £ 1= $4.000, inflación en Inglaterra del
2%, devaluación del peso con respecto a la Libra Esterlina 19% e inflación en Colombia
del 3% ¿Cuánto valdrá el artículo en Colombia y en Inglaterra al final del año?
Solución
Parámetros
o Valor inicial del articulo en Colombia: $50.000
Tasa de cambio inicial: £ 1 = $4.000
o Inflación en Inglaterra: 2%
12
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
o Devaluación del peso con respecto a la libra: 19%
o Inflación en Colombia: 3%
Cálculos
Para determinar el valor del artículo en ambos países al cabo de un año, lo primero es
determinar su valor inicial en Inglaterra; para esto, se utiliza la tasa de cambio inicial:
Considerando que la inflación en Inglaterra fue del 2%, el precio al cabo de un año, se
calcula utilizando la formula (11)
(
(
)
)
(
)
El precio al cabo de un año el articulo valdrá en Inglaterra
Para determinar el valor en pesos colombianos, es necesario calcular la tasa de cambio
después de un año, para ello se considera la devaluación del peso y se utiliza la formula
(11)
(
)
(
(
)
)
Considerando esta tasa de cambio, y que el valor del articulo al cabo de un año cuesta
se determina el valor del articulo en pesos, así:
Nótese que a este valor igualmente se puede llegar si hallamos la tasa combinada:
inflación, devaluación; y se la aplicamos al valor inicial. Para hallar la tasa combinada se
utiliza la formula (21)
Para hallar el precio final del artículo aplicamos la formula (11)
(
)
(
(
13
)
)
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Respuesta
Después de un año el precio del artículo en Inglaterra será de
pesos en Colombia
y de $60.690 Col
12. El señor Susuki residente en el Japón y el Sr. Smith residente en Estados Unidos se
asocian para comprar una Empresa en Colombia, el valor de cada acción es de $10.550 y
esperan venderla al final del quinto mes en $12.880.
a) Calcule la rentabilidad anual total y la rentabilidad anual real de cada uno de los
socios
b) ¿Cuánto tendrá cada uno en su respectiva moneda al final de los 5 meses?
Tome en cuenta la siguiente información:

Inflación en: Colombia 6%, en Estados Unidos 4.5%, en Japón 2.5%

Tasa de devaluación del peso frente al dólar 9%

Tasa de Devaluación del dólar frente al Yen 1,5%

Cambio actual US$1 = $1750; US$1 = Yen 95.
Solución
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Parámetros
Valor inicial de la inversión: $10.550
Valor final de la inversión: $12.880
Periodo de la inversión: 5 meses
Inflación en Colombia: 6%
Inflación en Japón: 2,5%
Inflación en Estados Unidos: 4,5%
Devaluación del peso con respecto al dólar: 9%
Devaluación del dólar frente a Yen: 1.5%
Tasa de cambio inicial: 1USD = $1.750
Tasa de cambio inicial: 1 USD = ¥ 95
Para mejor comprensión se divide la solución del problema en dos: a) la situación del
inversionista japonés y b) la del estadunidense.
a) Inversionista Japonés
Representación grafica
Vf = $12.880
i = ¿? EA
t = 5 meses
Vp = $10.550
Cálculos
14
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Para determinar la rentabilidad del japonés es necesario determinar la inversión y
recibido en Yenes; el cálculo se hace a través de una sencilla regla de tres, considerando
las tasa de cambio.
Inversión
Para hallar el valor finalmente recibido por el inversionista en Yenes se deben calcular las
tasa de cambio de Yenes a dólares y de pesos a dólares en el mes cinco, para esto se
tienen en cuenta las devaluaciones y se utiliza la formula (11), así:
Tasa de cambio Dólares a Yenes
Tasa de cambio inicial 1USD = ¥ 95
(
)
(
)
(
)
Tasa de cambio Dólares a Pesos
Tasa de cambio inicial 1USD = $1.750
(
)
(
(
)
)
Lo recibido en Yenes se calcula a través de reglas de tres simples utilizando las tasas de
cambio del mes 5, así:
15
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Vf =
i = ¿? EA
t = 5 meses
Vp =
Total recibido por el japonés, es: ¥ 670,24
Para determinar la rentabilidad de este inversionista es necesario hallar la tasa de interés
anual ganada por la inversión, para ello se utiliza la formula (14)
√
√
De esta forma la rentabilidad total ganada por el japonés es
EA. Para
determinar la tasa real se aplica la formula (22), teniendo en cuenta la inflación promedio
en Japón.
De esta forma la rentabilidad realmente obtenida por el inversionista japonés es:
.
a) Inversionista estadunidense
Representación grafica
16
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Vf = $12.880
i = ¿? EA
t = 5 meses
Vp = $10.550
Cálculos
Para determinar la rentabilidad del estadunidense es necesario determinar la inversión y
recibido en dólares; el calculo se hace a través de una sencilla regla de tres, considerando
las tasa de cambio.
Inversión
Para hallar el valor finalmente recibido por el inversionista en dólares se deben calcular
las tasa de cambio de pesos a dólares en el mes cinco, para esto se tienen en cuenta las
devaluaciones y se utiliza la formula (11), así:
Tasa de cambio Dólares a Pesos
Tasa de cambio inicial 1USD = $1.750
(
)
(
(
)
)
Lo recibido en dólares se calcula a través de reglas de tres simples utilizando las tasas de
cambio del mes 5, así:
Total recibido por el estadunidense, es: USD 7,10
17
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Vf =
i = ¿? EA
t = 5 meses
Vp =
Para determinar la rentabilidad de este inversionista es necesario hallar la tasa de interés
anual ganada por la inversión, para ello se utiliza la formula (14)
√
√
De esta forma la rentabilidad total ganada por el estadunidense es
EA. Para
determinar la tasa real se aplica la formula (22), teniendo en cuenta la inflación promedio
en Estados Unidos.
De esta forma la rentabilidad realmente obtenida por el inversionista estadunidense
es:
13. Una empresa tiene las dos siguientes opciones de inversión: a) un banco le reconoce en
un depósito a término fijo el 5% ES y un fondo de inversión le reconoce una tasa
promedio del 10,5 N-m. Si la inflación estimada es del 3% y el estado colombiano aplica
la misma retención en la fuente para ambos tipos de inversión
a)
b)
c)
¿Cuál de las dos opciones es la mejor para la empresa?
¿Cuál será la rentabilidad real antes de impuestos, en cada caso?
¿Cuál será la rentabilidad real después de impuestos, en cada caso?
18
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Solución
Inversión en el Banco
Se debe convertir la tasa que paga el banco 5%ES, en la tasa efectiva anual, para ello se
utiliza la formula (16).
(
(
)
)
Para calcular la tasa real se utiliza la formula (22), considerando la inflación del 3%.
La tasa realmente ofrecida por el banco es:
Inversión en el fondo de Inversiones
Se debe hallar la tasa efectiva anual a partir de la tasa que reconoce, es decir 10,5% N-m.
Para esto se utilizan las formulas (15) y (16).
(
(
)
)
Para calcular la tasa real se utiliza la formula (22), considerando la inflación del 3%.
La tasa realmente ofrecida por el fondo de inversión es:
19
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
De esta forma, la mejor opción es la del fondo de inversión
14. Un padre de familia cuando su hijo cumple 8 años hace un depósito de $X en una
fiduciaria con el objeto de asegurar sus estudios universitarios, los cuales se iniciaran al
cumplir 18 años. Se estima que para esa época el valor de la matrícula semestral de la
universidad va ser de $2´500.000 y no sufrirá modificaciones durante los cinco años que
duraran sus estudios, ¿Cuál deberá ser el valor del depósito $X? Suponga que la fiducia
le reconoce una tasa de interés del 16% N-t
Solución
Parámetros
o
Valor de los pagos: $2,5 millones
o
Numero de pagos: 10, a partir del año 10
o
Tasa de interés efectiva anual: 16% N-t
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
2,5 millones
0
1
8
9
9
17
10
18
11
19
12
20
13
21
14
22
13
23
j = 16% N-t
𝑽𝒑
¿?
Cálculos
Inicialmente se debe calcular la tasa efectiva semestral para aplicar a la anualidad, a
partir de la tasa nominal 16% N-t. Para esto utilizamos las formulas (15) y (16).
(
(
)
)
Para calcular el deposito se calcula el valor presente
20
9
(semestre 19) de la anualidad,
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0, es decir cuando el hijo
cumple 12 años, utilizando la formula (12)
(
[
)
(
[
]
)
(
(
)
]
)
9
Respuesta
El deposito que deberá hacer el padre de familia es:
15. Un trabajador deposita en un fondo de inversiones el 1 de enero del 2005, $30 millones,
si se le reconoce un interés del 12N-m ¿Cuántos retiros mensuales de $2´000.000 podrá
hacer, si el primer retiro lo hace el 1 de enero del 2012?
Solución
Parámetros
o
Valor de los pagos: $2´000.000
o
Tasa de interés: 12% N-m
o
Periodos mensuales
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
2´000.000
𝑽𝒑
4
𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
5
6
7
8
9…
n…
01.01.12
3
01.01.11
2
01.01.09
1
01.01.07
01.01.05
0
j = 12% N-m
Cálculos
Para calcular el número de retiros, inicialmente llevamos el deposito inicial hasta un mes
21
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
antes de iniciar lo retiros, es decir el 01 de diciembre del 2011; esto con el fin de
configurar la anualidad, para esto se utiliza la formula (11)
Tasa de interés efectiva se calcula a partir de la formula (15)
Numero de periodos: 83 periodos (meses)
(
(
)
)
A partir de la anualidad configurada se puede calcular el numero de retiros (pagos)
utilizando la formula (31)
log
(
)
log(
log
)
(
)
)
log(
Respuesta
El inversionista podrá hacer:
retiros mensuales de $2´000.000 y un retiro adicional
por una fracción de $2´000.000
16. Un trabajador deposita en un fondo de pensiones el día de hoy la suma de $10´000.000
y dentro de dos años $5´000.000; el año 5 comienza a hacer depósitos anuales de
$5´000.000, durante 6 años, ¿Cuánto dinero podrá retirar mensualmente en forma
indefinida, comenzando en el año 15? El fondo reconoce una tasa del 15% N-m
Solución
Parámetros
o
Valor de los pagos: 5´000.0000
o
Tasa de interés: 15% N-m
o
Periodos anuales: 6
o
Depósitos extras; año 0: 10´000.000, año 3: 5´000.000
o
Anualidad perpetua mensual a partir del año 15 (mes 179)
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
22
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
A = ¿?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
11 12 13 14
15
16
17… ∞
j= 15% N-m
𝑽𝟑
𝑽𝟎
𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝑽𝑨
𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
Cálculos
Para determinar el valor que trabajador puede retirar mensualmente en forma indefinida
se debe configurar la anualidad perpetua con valor presente en el periodo 179, un mes
antes de iniciarse la anualidad perpetua. Este valor se calcula, por su parte, como el valor
futuro de la anualidad con pagos anuales de $5´000.000, traslada al periodo 179, más el
valor futuro, en este mismo periodo, de los ahorros de $10´000.000 y 5´000.000. Para
calcular los valores futuros se utilizan las formulas (11) y (28).
Lo primero es calcular la tasa de interés anual y mensual que se aplica partiendo de la
tasa de interés reconocida del 15% N-m, para esto utilizamos las formulas (15) y (16)
(
(
)
)
(
(
9
)
(
9
[
(
9
)
[
9
)
(
)
)
](
]
)
9
9
Para determinar el monto que puede retirar a perpetuidad, aplicamos la formula (34),
23
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
despejando A
Respuesta
El trabajador podrá realizar retiros mensuales de
17. Con una tasa de interés del 16% N-t, ¿Cuál debe ser el valor de los pagos trimestrales
que realizados por 10 años, amortizarán una deuda de $85´000.000?
Solución
Parámetros
o
Valor presente o actual: $85´000.000
o
Tasa de interés: 16% N-t
o
Periodos trimestrales: 40
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
$85´000.000
j = 16% N-t
0
1
2
3
4
5
6
7
𝑨
8…
36
37
38
39 40
¿?
Cálculos
Considerando que se trata de pagos trimestrales es necesario determinar la tasa de
interés efectivo trimestral a partir de la tasa nominal trimestral dada. Para esto, se utiliza
la formula (15)
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular los pagos de la anualidad,
utilizando para ello la formula (25), como sigue:
[
24
(
)
]
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
[
(
]
)
Respuesta
Las cuotas trimestrales para pagar la deuda son de
,60
18. Un señor desea comprar una póliza de seguro que garantice a su esposa el pago de
$3´000.000 mensuales durante 15 años y adicionalmente $10´000.000 al final de cada
año durante este mismo período. Si el primer pago se efectúa al mes del fallecimiento
del señor, hallar el valor de la póliza de seguro suponiendo que la compañía de seguros
garantiza el 14% N-m
Solución
Parámetros
o
Tasa de interés: 14% N-m
o
Anualidad 1: $3´000.000 mensuales durante 180 meses
o
Anualidad 2: $10´000.000 anuales durante 15 años
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
𝑨𝟐
0
1
2
3… 12
𝑨𝟏
13… 24… 36… 48… 177
𝟑 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
178 179 180
i = 14% N-m
Cálculos
El valor de la póliza corresponde al valor presente de la suma de las dos anualidades.
Para realizar el cálculo se requiere hallar la tasa efectiva de interés anual y mensual
equivalente a la tasa nominal dada 14% N-m.
Tasa efectiva mensual
Tasa efectiva anual
A partir de esta tasa efectiva mensual se halla la tasa efectiva anual, utilizando para ello
25
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
la formula (16), considerando que
es igual a 12 y
(
(
es
)
)
Considerando estas tasas de interés se puede ahora calcular los valores presentes de las
anualidades y sumarlos para obtener el valor de la póliza. Para esto se utiliza la formula
(23), como sigue:
(
)
[
]
Anualidad mensual
(
[
)
]
Anualidad anual
[
(
)
]
Valor de la póliza:
Respuesta
El valor de la póliza será:
19. Una empresa tiene dos alternativas para una instalación de producción: la primera de
ellas requiere la suma de $2.500.000 mensuales como costo de mantenimiento y de
$10´000.000 cada 4 años para reparaciones adicionales; de otro lado, la segunda
alternativa requerirá de una suma de $3.000.000 mensuales para mantenimiento y de
$12´500.000 cada tres años para reparaciones adicionales. Considerando que la
instalación se usara por tiempo indefinido y que el costo de capital de la empresa es del
35% EA; ¿Cuál de las dos alternativas es más conveniente?
Solución
Parámetros
Alternativa 1: $2´500.000 mensuales de mantenimiento, más $10´000.000 para
mantenimiento mayor cada cuatro años
Alternativa 2: $3´000.000 mensuales de mantenimiento, más $12´500.000 para
26
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
mantenimiento mayor cada tres años
Tasa de Interés: 35% EA
Cálculos
Para comparar las alternativas y determinar la mejor de ellas, se debe hallar para cada
una el valor presente.
Tasa efectiva mensual
A partir de esta tasa efectiva anual se halla la tasa efectiva mensual, utilizando para ello
la formula (16), considerando que es igual a 1 y es
(
(
)
)
Tasa efectiva cuatrienal
A partir de esta tasa efectiva anual se halla la tasa efectiva cuatrienal, utilizando para ello
la formula (16), considerando que es igual a 1 y es
(
)
(
)
Valor presente de la alternativa 1
Sera igual al valor presente de la anualidad perpetua mensual más la anualidad perpetua
cuatrienal.
El valor presente de la alternativa 1, es: $
Tasa efectiva trienal
A partir de esta tasa efectiva anual se halla la tasa efectiva trienal, utilizando para ello la
formula (16), considerando que es igual a 1 y es
(
(
)
)
27
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
Valor presente de la alternativa 2
Sera igual al valor presente de la anualidad perpetua mensual más la anualidad perpetua
trienal.
El valor presente de la alternativa 2, es: $
Respuesta
La mejor alternativa será la número 1, considerando que es la de menor valor
presente.
20. Una empresa metalmecánica tiene cuatro opciones para la compra de una maquinaria:
el modelo A cuesta $300 millones; el modelo B, $500 millones, el C $700 millones y el
modelo D, $900 millones. Si la persona puede hacer 42 pagos mensuales de máximo $30
millones comenzando al final del mes 6. ¿Cuál será el modelo más costoso que podrá
comprar? Suponga una tasa del 24% N-m
Solución
Parámetros
Número de pagos: 42 pagos mensuales
Valor máximo de pagos: $30´000.000
Tasa de Interés: 24% N-m
Representación gráfica
𝑨
0
1
2… 5
6
7
8
9
10
11 …
𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
40
j = 24% N-m
Cálculos
Tasa efectiva mensual
28
41
42
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
El valor del cual dispone la empresa en el mes 5 es el valor presente de la anualidad, la
cual se puede calcular utilizando la formula (23)
[
[
(
)
(
]
)
]
Para determinar el valor a hoy se haya el valor presente de esta cantidad, utilizando para
ello la formula
(
(
)
)
Respuesta.
De esta manera la opción que podrá adquirir es C, que corresponde a una inversión de
$700´000.000.
29
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
FORMULARIO
(
)
1.
Interés compuesto; Valor futuro:
2.
Interés compuesto; Valor presente:
3.
Interés compuesto; número de periodos:
4.
Interés compuesto; tasa de interés:
5.
Relación tasa nominal y tasa efectiva:
6.
Relación entre tasa efectivas:
7.
Relación entre tasa efectiva vencida y tasa efectiva anticipada:
8.
Ecuación de valor: ∑
9.
Ecuación de valor: ∑
10.
Tasas combinadas:
11.
Tasa real, descontada la inflación.
12.
Valor presente de una anualidad:
[
13.
Pagos a partir del valor presente:
[
14.
Pagos con base en el valor futuro:
15.
Valor futuro de una anualidad:
16.
Número de pagos con base en el valor futuro:
17.
Número de pagos con base en el valor presente:
18.
Valor presente de una anualidad anticipada: ̈
19.
Valor futuro de una anualidad anticipada: ̈
(
)
(
)
(
)
√
(
)
∑
(
(
)
( – ) (
[
(
(
)
(
)
30
)
]
]
]
)
)
)
)
∑
[(
(
]
(
)
(
)
(
[
[
(
)
)
(
)
(
) (
](
)
)
]
;
(
)
MATEMATICAS FINANCIERAS
TALLER FINAL - RESUELTO
20.
Valor presente de una anualidad perpetua:
DEFINICIÓN DE VARIABLES
: Valor futuro
: Valor presente
Interés
: Tasa de interés efectiva del periodo
Número de periodos
: Tasa de interés nominal
Número de periodos
: Tasa efectiva de interés anticipada
Inflación
Pagos de una anualidad
: Tasa de interés efectiva real
: Tasa de interés efectiva combinada
̈ Valor presente de una anualidad anticipada
̈ Valor futuro de una anualidad anticipada
31